将军饮马三角形周长最小值中的三角形两边之和大于第三边是如何体现出来的？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-03-12 02:18 标签： 将军饮马三角形周长最小值
“三角形三边关系”求最值的模型图理解透彻，做题就能战无不胜关注
三角形三边关系定理
三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这个定理很简单，常常应用于求线段和差的最值问题。一般来说，都归纳为两种思路：（1）、求两条线段之和最小值，用两边之和大于第三边来解决。（2）、求两条线段之差最大值，用两边之差小于第三边来解决。
上面两种思路最后都是利用三角形的三个顶点“共线”来求得答案，而且答案就是等于第三边，模型图如下。
实际应用中，要注意三点共线时，P点的位置特点。求两边之和的最小值，第三边应该是比较长的边，点P在第三边的线段上（P在AC线段上）。两边之差求最大值，第三边应该是一个比较小的边，P点在第三边的延长线上（P在AB线段的延长线上）。当三角形的边不符合上面的规则时，通常需要做一定的等价转换。
中考真题
（2019陕西中考填空压轴题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6，P为对角线BD上一点，则PM-PN的最大值为__________。
求两边之差的最大值，马上想到利用三角形的两边之差小于第三边这个定理，想办法找到两边的差值等于第三边（三点共线时），那么就得到最大值了。但是上面的题，如果一直纠结于△NPM中，求PM-PN的最大值，那就会走进死胡同，因为P在移动过程中，PM-PN始终是小于MP的。NPM三点共线时其实是PM+PN的最小值。
这就是上面提到的求差值的两边之外的第三边，在三角形里应该是比较小的边，不能是最大边，显然△NPM里第三边NM不是小边。因此这里需要转换，找到一个合适的三角形，使得第三边是较小边。
所以，△PME才是我们要利用的三角形，最后符合条件的P在ME线段的延长线上。在△PME中，ME在P点的整个移动过程中，不可能成为最长边，即属于我们的短边。
无论是求和的最大值还是求差的最大值，这类题型还有个特点，就是最值实际上就等于第三边，对应到图形上，这个第三边在动点移动过程中，始终不变。因此，问题的关键就是寻找合适的三角形来利用三边之差的定理。
思路拓展
如果上题告诉E点是OC的中点，求PM+PE的最大值，那么就要作辅助线N点（将军饮马思路），去寻找较长边。
总结
口诀：三角两边求最值，三点共线正合适，求和要找较长边，求差要找较短边
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