求不定积分降次法分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-12-02 14:31 标签： 求不定积分降次法

【摘要】不定積分是微积分学中重要的概念，因此，掌握不定积分的求法是学好微积分的基础.本文笔者根据自己的教学经验详细地介绍了多种不定积分的求法，并且通过实例对每种方法进行了探讨.

【关键词】不定积分；微积分；求解方法

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　　不定积分是微积分中的重要概念，其计算也是重要运算。在近年来的考研真题中多次出现，其多为综合性的解答题，难度多为中等难度，应该熟练掌握。而定积分也是微积分中的重要概念，定积分的性质变化多样，是我们考研中所常见的内容。有些单独成题，有些嵌入计算题之中。有些题是考查性质的结论，有些题目是考查性质条件的掌握，比较灵活多变，此类题目多见于选择题和填空题，其难度为中等难度。接下来，跨考教育数学教研室吴方方老师就为大家详细讲解积分的计算方法及注意事项。

　　关于不定积分的计算方法，我们有换元法和分部积分法。其中换元法又分为第一类换元法(凑微分)和第二类换元法。对于含有根号的积分，通常是先换元，以消去根式符号。而有些题目在用分部积分法时，要先对被积函数变形，使得运算的式子简化了，也减少了出现运算错误的可能性，倘若你做这类题不这样对被积函数进行变形，而是直接利用分部积分法计算，将使运算变得复杂化，这种情况也是考生所遇到的典型问题。

　　关于定积分，其计算方法除不定积分中的方法外，还有一些特殊情形要求我们要掌握的。比如对称区间上的定积分，我们在做这类题时，首先要先注意下其被积函数的奇偶性。

　　对于对称区间上的被积函数奇偶性来考虑题，可能大部分同学是知晓的。而有一些题目我们往往是用定积分的几何意义来简化求解的，而对用利用定积分的几何意义来做题，是相当多的学生所不知道的。除了对称区间上的以为，对于具有周期性的被积函数我们在做题时也要非常谨慎的待。

　　若 ，则有： 积分值与积分的起点和终点无关，与积分长度有关。对于这种周期函数的积分性质也是我们同学们要牢牢掌握的知识点。这样对于我们在做相关题目时会非常的方便和简单。

　　变限积分也是我们考研中常考的内容，微分学中函数的各种性态的研究都曾以可变限积分函数出现于试题中，此类试题多出现于选择题、填空题、解答题，题目难度和不定积分、定积分的难度相当都属于中等难度的试题。而对于变限积分的求导也是我们要掌握的知识点，这个属于函数求导那一块的内容，要求我们熟练的掌握各类变限积分的求导方法。

　　因此，关于一元函数积分学这一部分大都是出一些小的题型，但其内容在考研中属于很重要的地位，这就要求我们必须掌握这一部分的知识点和其各种性质。

　　通过本节课的学习，掌握不定积分的第一换元积分法（凑微分法）．知道第二换元积分法．

教师名称　　　职称　　　工作单位

问题1：有界函数的界是否唯一？

答案：不唯一．例如正数M是函数f(x)的一个界，显然有
∣f(x)∣≤M 按照定义，M +1显然也是函数f(x)的一个界．依此类推，可知任意大于M的正数都是函数f(x)的界．

问题2：周期函数的周期是否唯一？

答案：不唯一．例如正数T是函数f(x)的一个周期，显然有 f(x +2T )＝f(x + T + T )＝f(x + T )＝f(x) 按照定义，2T显然也是函数f(x)的一个周期．依此类推，可知T的任意正整数倍都是函数f(x)的周期．


　　下面把在中学里大家已经知道的函数的基本属性复习一下，也就是：函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性．
　　当一个变量增加时另一个变量也跟着增加，这样的函数就叫做单调增加的函数．从图形上看这条曲线，曲线上的点x在增加的时候，它所对应的纵坐标y也在增加，这样的函数是单调增加的．单调减少是相反的，随着x的增加相对应的y在减少，这样的函数是单调减少的，正如图形中演示的这样．如果函数当x在增加的时候，它所对应的y不是增加，也不是减少，这样的函数就不具有单调性．
　　一个函数的图形如果关于y轴对称，这样的函数就称为偶函数．从图形上来分析，曲线上任一点关于y轴的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是偶函数．从解析式上看，如果有
　　f(x)就叫做偶函数．
　　一个函数的图形如果关于原点对称，这样的函数就称为奇函数．曲线上任一点关于原点的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是奇函数．从解析式上看，如果有
　　f(x)就叫做奇函数．
　　如果自变量在定义域中变化时，函数值始终在一个有限的区间内变化，如图形中演示的，无论怎样变化，都有
　　这条曲线所反映的函数就是有界函数．
　　如果存在一个正数T，对任意的自变量x，有
　　这样的函数就叫做周期函数．从图形上反映，这个函数在相隔为T的任意两点上函数值都是一样的．也可以这样来看，从任意一点出发，以长度T为间隔划分区间，在每个区间上的函数图形都是可以完全重合的．

分析：可以利用单调性的定义，证明对任意的x1>x2，有f(x1)>f(x2)．

判断下列函数的奇偶性：

分析：利用定义1.3，也可以利用关于奇偶函数的几个结论．

由此可知y＝x3－1 不是奇函数．又显然
由此可知 y＝x3－1 不是偶函数．
（2）因为 y＝x 是奇函数， y＝cosx 是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函数．

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