点到直线的距离公式PPT距离公式的推导过程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-14 09:30 标签： 点到直线的距离公式PPT

点到直线距离公式的三种

广东省新兴县教师发展中心   何国飞

点到直线的距离公式_点到直线的距离定义_点到面的距离公式向量_高中数学知识点总结点到直线的距离公式对于高中生而言，要用常规方法求解某些函数的最值，是非常困难的，甚至不知道如何下手，但是善于利用函数的几何意义，把所给函数整理变形，便立即可以看出明确的几何意义，从而利用变形后函数所呈现出的几何意义，数形结合，进行求解函数的最值问题。首先我们先来看看点到直线的距离，已知一点P(x0,y0)以及直线方程Ax+By+C=0，求点到直线的距离公式，如下图所示：1. 下面我们具体看一个例题，看看如何利用点到直线的距离的几何意义，求解函数的最值问题的。例题：求下图1所示函数的最大值、最小值，题目如下图所示：2. 接下来我们对原函数进行变形处理，具体变形步骤如下图所示，首先需要对函数进行适当的变形，使变形后的函数满足点到直线的距离公式，这个过程就是点到直线距离公式的配凑过程。3. 然后我们对点(x,(4-(x-2)^2)^(1/2))作分析，把它变成参数方程，则有x0=t,y0=(4-(t-2)^2)^(1/2)。因为(x0-2)^2+y0^2=(t-2)^2+4-(t-2)^2=4，显然x0,y0满足以(2,0)点为圆心，半径为2的圆，且是上半圆，因为y0>0的。我们画出直线方程和满足x0,y0的原方程图像，具体图像如下图所示，非常简单，直线方程时一条直线，还有一个以(2,0)点为圆心，半径为2的圆的上半圆。4. 画出图形后，数形结合，在图上过圆心A作直线的垂线，交直线于C点，交圆于E点，在过圆最右端点B作直线的垂线，交直线于D,则很明显圆上点到直线的最小距离是CE,最大距离是BD，再次利用点距离距离公式，计算出CE、BD的大小，即可求得原函数的最值。计算过程如下图所示：5. 上面我们求出了圆上点到直线的最大最小值，分别为BD、CE长度，将这两个值代入原函数的变形表达式中，可得到函数的最大、最小值。具体如下所示：END注意事项" 关键在于函数如何变形为点到直线距离公式的形式。" 教学目标：" " （1）让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；" " （2）培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；" " （3）引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验．" " 教学重点：点到直线距离公式及其应用．" " 教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法．" " 教学方法：问题解决法、讨论法．" " 教学工具：计算机多媒体、实物投影仪．" " 教学过程：" " 一、创设情景提出问题" " 多媒体显示实际的例子：" " 某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？" " 经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．" " " " 这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．" " 二、自主探索推导公式" " 多媒体显示：已知点P(x0，y0)，直线：Ax+By+C=0，求点P到直线的距离．怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？" " 教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况．学生解决．" " " 板书：" " " " " " 如何求？" " 学生思考回答下列想法：" " 思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得．" " " " " 教师评价：此方法思路自然．" " 教师继续提出问题：" " (1)求线段长度可以构造图形吗？(2)什么图形？如何构造？" " (3)第三个顶点在什么位置？(4)特殊情况与一般情况有联系吗？" " 学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中．第三个顶点在什么位置？可能在直线与x轴的交点M或与y轴交点N，或过P点做x,y轴的平行线与直线的交点R、S．" " " " 教师根据学生提出的方案，收集思路．" " 思路二：在直角△PQM,或直角△PQN中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值．" " 思路三：在直角△PQR,或直角△PQS中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值．" " 思路四：在直角△PRS中，求线段PR、PS、RS，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ长．" " 学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程．" " （思路一）解：直线：，即" " 由，"  " " " " " " （思路四）解：设，，，" " ，；，" " " " " " 由，" " 而" " " " " " " " 说明：如果学生没有想到思路二、三，教师提示做课后思考作业题目．" " 教师提问：①上式是由条件下得出，对成立吗？" " ②点P在直线上成立吗？" " ③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？" " 由此推导出点P(x0，y0)到直线：Ax+By+C=0距离公式：" " 适用于任意点、任意直线．" " 教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？（在前面学习的向量知识中，有向量的模．由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识，且也提出过直线的法向量的概念．）能否用向量知识求解呢？" " 思路五：已知直线的法向量，则，，如何选取法向量？直线的方向向量，则法向量为，或，或其它．由师生一起分析得出取＝．" " " " " " 教师板演：" " ，" " ，由于点Q在直线上,所以满足直线方程,解得" " " " 教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法．" " 三、变式训练学会应用" " 练习：" " 1.解决课堂提出的实际问题．（学生口答）" " 2.求点P0(－1,2)到下列直线的距离：" " ①3x=2②5y=3③2x＋y=10④y=－4x+1" " 练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式．" " 练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式．" " 教师强调：直线方程的一般形式．" " 例题：" " 3.求平行线2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距离．" " 教师提问：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？" " 学生回答：选其中一条直线上的点到另一条直线的距离．" " 师生共同分析：点所在直线的任意性、点的任意性．几何画板演示点和直线变化，选取点和直线．学生自己练习，教师巡视．教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果．然后选择一种取任意点的方法进行板书．" 解：在直线2x－7y－6=0上任取点P(x0，y0)，则2x0－7y0－6=0，点P(x0，y0)到直线2x－7y＋8=0的距离是．" " 教师评述：本例题选取课本例题，但解法较多．除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和．或者选取直线外的点P，求它到两条直线的距离，然后作差．" " 引申思考：与两平行线间距离公式．"  
" " " " " " " " " " " " " " " " 四、学生小结教师点评" " ①知识：点到直线的距离的公式推导以及应用．" " ②数学思想方法：类比、转化（或化归）、数形结合、特殊与一般的方法．" " 五、课外练习巩固提高" " ①课本习题7.3的第13题----16题；" " ②总结写出点到直线距离公式的多种方法．" " 教学设计说明：" " 一、教材分析" " 我主要从三方面：教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说明的．教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容．我确定教学目标的依据有教学大纲、考试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况．" " 二、教学方法和教学用具" " 1、教学方法的选择" " （1）指导思想："以生为本"的理念，在课堂中充分体现"教师为主导，学生为主体"．" " （2）教学方法：问题解决法、讨论法．" " 2、教学用具的选用" " 采用了计算机多媒体和实物投影仪教具，不仅将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，而且迅速展示学生不同解题方案，部分纯计算的解题过程，提高课堂效率．" " 三、教学过程" " 这节课在："创设情景提出问题--自主探索推导公式--变式训练学会应用--学生小结教师点评--课外练习巩固提高"五个环节中，始终以学生为本．教师主导，学生自主探究，将问题解决．" " 首先多媒体显示实例，引发学生的学习的兴趣和求知欲望，从而引出数学问题．通过一系列问题引导学生通过图形观察，进而思考、分析、归纳总结选择较好的方法具体实施．学生分组练习，落实计算能力，培养合作学习能力．关于思路五，在课本中没有出现这样的证法，我在课堂上选取这样的证法．主要是考虑到：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法，这样思路五的给出不仅符合新教材的要求，也为今后的学习方法奠定了基础．" " 我选择练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式，主要通过学生口答完成．我强调注意在公式中直线方程的一般式．例题的选取来自课本，但是课本只有一种特殊点的解法．我把本例题进行挖掘，引导学生多角度考虑问题．在整个过程中让学生注意体会解题方法中的灵活性．本节课小结主要由学生总结和补充，教师点拨，尤其数学思想方法教师加以总结概括．在整节课的处理中，采取了知识、方法来源于课本，挖掘其深度、广度，符合现代教学要求．

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