三年级数学的知识点10篇

　　上学的时候，是不是经常追着老师要知识点？知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。相信很多人都在为知识点发愁，以下是小编整理的三年级数学的知识点，仅供参考，希望能够帮助到大家。

　　1、口算时要注意：

　　（1）0除以任何数（0除外）都等于0；

　　（2）0乘以任何数都得0；

　　（3）0加任何数都得任何数本身；

　　（4）任何数减0都得任何数本身。

　　2、没有余数的除法：

　　被除数÷除数=商……余数

　　商×除数+余数=被除数

　　（被除数―余数）÷商=除数

　　3、笔算除法顺序：确定商的位数，试商，检查，验算。

　　（1）一位数除两位数（商是两位数）的笔算方法：先用一位数除十位上的数，如果有余数，要把余数和个位上的数合起来，再用除数去除。除到被除数的哪一位，就把商写在那一位上面。

　　（2）一位数除三位数的笔算方法：先从被除数的最高位除起，如果最高位不够商1，就看前两位，而除到被除数的哪一位，就要把商写在那一位上，假如不够商1，就在这一位商0；每次除得的余数都要比除数小，再把被除数上的数落下来和余数合起来，再继续除。

　　（3）除法的验算方法：

　　没有余数的除法的验算方法：商×除数：被除数；

　　有余数的除法的验算方法：商×除数+余数=被除数。

　　（1）从高位除起，除到哪一位，就把商写在那一位；

　　（2）三位数除以一位数时百位上够除，商就是三位数；百位上不够除，商就是两位数；（最高位不够除，就看两位上商。）

　　（3）哪一位有余数，就和后面一位上的数合起来再除；

　　（4）哪一位上不够商1，就添0占位；每一次除得的余数一定要比除数小。

　　1、在生活中，量比较短的物品，可以用毫米（mm）、厘米（cm）、分米（dm）做单位。

　　量比较长的物体，常用米（m）做单位。

　　量比较长的路程一般用千米（km）做单位。

　　2、运动场的跑道，通常1圈是400米，2圈半是1000米。

　　3、1枚1分的硬币、尺子、磁卡、小纽扣、钥匙、身份证的厚度大约是1毫米。

　　4、量比较短的物体的长度或者要求量得比较精确时，可以用毫米作单位。

　　5、1厘米中间的每一小格的长度是1毫米。

　　6、在计算长度时，只有相同的长度单位才能相加减；单位不同时，要先转化成相同的单位再计算。

　　7、表示物体有多重时，通常要用到质量单位。称比较轻的物品的质量，可以用“克”作单位；称一般物品的质量，常用“千克”作单位；表示大型物体的质量或载质量一般用“吨”作单位。

　　8、常用长度单位：米、分米、厘米、毫米、千米。

　　9、长度单位：米、分米、厘米、毫米，每相邻两个单位之间的进率都是10。

　　1米=10分米，1分米=10厘米，1厘米=10毫米

　　1米=100厘米1千米（公里）=1000米

　　10、质量单位：吨、千克、克，每相邻两个单位之间的进率都是1000 。

　　小学数学四大领域主要内容

　　数与代数：的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；

　　图形与几何：空间与平面的基本图形，图形的性质和分类；图形的平移、旋转、轴对称；

　　统计与概率：收集、整理和描述数据，处理数据；

　　实践与综合应用：以一类问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验的重要途径。

　　1、比较大小一定要化到知识点相同。

　　2、注意超载问题一定要比较大小。

　　3、解决问题认真审题，观察单位的变化。

　　1、在生活中，量比较短的物品，可以用(毫米、厘米、分米)做单位;量比较长的物体，常用(米)做单位;测量比较长的路程一般用(千米)做单位，千米也叫(公里)。

　　2、1厘米的长度里有(10)小格，每小格的长度(相等)，都是(1)毫米。

　　3、1枚1分的硬币、尺子、磁卡、小纽扣、钥匙的厚度大约是1毫米。

　　4、在计算长度时，只有相同的长度单位才能相加减。

　　小技巧：换算长度单位时，把大单位换成小单位就在数字的末尾添加0(关系式中有几个0，就添几个0);把小单位换成大单位就在数字的末尾去掉0(关系式中有几个0，就去掉几个0)。

　　5、长度单位的关系式有：( 每两个相邻的长度单位之间的进率是10 )

　　② 进率是100：

　　③ 进率是1000：

　　1、当我们表示物体有多重时，通常要用到(质量单位 )。在生活中，称比较轻的物品的质量，可以用( 克 )做单位;称一般物品的质量，常用(千克 )做单位;计量较重的或大宗物品的质量，通常用( 吨 )做单位。

　　小技巧：在“吨”与“千克”的换算中，把吨换算成千克，是在数字的末尾加上3个0;把千克换算成吨，是在数字的末尾去掉3个0。

　　2、相邻两个质量单位进率是1000。

　　万以内的加法和减法

　　①竖式格式(尺子)②进位1和退位③看准符号

　　④横式得数⑤注意验算，看标什么的一定验算

　　⑥估算时注意十位数要估算到个位、百位数要估算到十位。

　　两位数进位加法、三位数连续进位加法、三位数退位减法、中间含有的零的退位减法、中间和末尾同时有零的连续退位减法、加减法的验算(逆运算法、十叉加乘验算法)、估算

　　1、被减数是三位数的连续退位减法的运算步骤：

　　① 列竖式时相同数位一定要对齐;

　　② 减法时，哪一位上的数不够减，从前一位退1;如果前一位是0，则再从前一位退1。

　　2、在做题时，我们要注意中间的0，因为是连续退位的，所以从百位退1到十位当10后，还要从十位退1当10，借给个位，那么十位只剩下9，而不是10。(两个三位数相加的和:可能是三位数，也有可能是四位数。)

　　3、公式。 被减数=减数+差 和=加数+另一个加数

　　减数=被减数-差 加数=和-另一个加数

　　1、应用题中提及到将图形的一周用花边、篱笆、栏杆围的话，那么求花边的长、篱笆的长、栏杆的长等等都是求的图形的周长

　　2、如果题目中提及到了图形一面靠墙，问题是篱笆至少要用多少的时候，就要写出两种可能性。其一是图形的长靠墙，那么求的篱笆长就是一个长加上两个宽;其二是图形的宽靠墙，那么求的篱笆长就是一个宽加上两个长。

　　3、拼图形问题：上下拼变成一个大正方形、左右拼变成一个大长方形

　　1、有4条直的边和4个角封闭图形我们叫它四边形。

　　2、四边形的特点：有四条直的边，有四个角。

　　3、长方形的特点：长方形有两条长,两条宽，四个直角，对边相等。

　　4、正方形的特点：有4个直角，4条边相等。

　　5、长方形和正方形是特殊的平行四边形。

　　6、平行四边形的特点：①对边相等、对角相等。

　　②平行四边形容易变形。(三角形不容易变形)

　　7、封闭图形一周的长度，就是它的周长。

　　8、公式。 长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4

　　长方形的长=周长÷2-宽 正方形的边长=周长÷4

　　长方形的宽=周长÷2-长

　　第4单元 有余数的除法

　　1、有余数的除法竖式、横式中的余数、

　　2、余数一定要比除数小

　　3、应用题中余数和除数的单位要根据答话而确定。

　　4、解决问题至多至少一定要注意

　　1、余数和除数之间的关系：进行有余数的除法计算时，结果中的余数一定要比除数小。

　　2.有余数的除法应用题中：①商和余数都有单位;

　　②商和余数的单位名称有可能不一样。

　　3、公式。被除数 = 除数×商+余数 除数=被除数÷商-余数

　　商=被除数÷除数-余数

　　希望提供的数学三年级上期中考各单元知识点纲要，能帮助大家迅速提高数学成绩！

　　一、本章的两套定理

　　第一套(比例的有关性质)：

　　涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

　　注意：①定理中对应二字的含义;

　　②平行相似(比例线段)平行。

　　二、相似三角形性质

　　1.对应线段2.对应周长3.对应面积。

　　①作第四比例项;②作比例中项。

　　四、证(解)题规律、辅助线

　　1.等积变比例，比例找相似。

　　2.找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。

　　3.添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

　　4.对比例问题，常用处理方法是将一份看着k;对于等比问题，常用处理办法是设公比为k。

　　5.对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)抽出来的办法处理。

　　五、 应用举例(略)

　　概念：四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形。

　　特点：有4个直角，4条边相等。(正方形既是长方形，也是菱形)

　　周长：正方形的周长=边长×4

　　概念：有一个角是直角的平行四边形叫做长方形。

　　特点：长方形有两条长，两条宽，四个直角，对边相等。

　　周长：长方形的周长=(长+宽)×2

　　概念：两组对边互相平行的四边形，它的对边平行且相等，对角相等。(正方形、长方形数属于特殊的平行四边形)

　　特点：①对边相等、对角相等。②平行四边形容易变形。

　　周长：平行四边形的周长=两条边的边长相加×2

　　概念：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。

　　特点：只有一组对边平行。

　　周长：上底+下底+两腰长度

　　概念：两条腰相等的梯形，它的两个底角相等，是轴对称图形，有一条对称轴。

　　特点：有一组对边平行且两腰等长。

　　周长：上底+下底+两腰长度

　　概念：一组邻边相等的平行四边行是菱形。

　　特点：①四条边都相等②对角线互相垂直平分③一条对角线分别平分一组对角

　　周长：两条不同的'边长相加×2

　　【每个四边形都有哪些联系】

　　1、正方形既是长方形，也是菱形。

　　2、正方形、长方形数属于特殊的平行四边形。

　　3、正方形还是特殊的长方形。

　　计量很重的物品或大宗物品的质量，通常用吨做单位，吨用符号t表示。

　　举例：1袋大米约重10千克，100袋大米约重1000千克，也就是1吨。

　　1吨=1000千克，2吨是2个1吨，就是2个1000千克，是20xx千克，即2吨=20xx千克。

　　把较大的质量单位换算成相邻的较小的质量单位时，就是在所换算数的末尾添上3个0，把较小的质量单位换算成相邻的较大的质量单位时，就是在所换算数的末尾去掉3个0。

　　吨的确是个比千克重的多的单位，那么，在计量较重的或大宗物品的质量时，通常用吨作单位？例如“一列货车每节车厢的载重量是50吨，一般一辆货车大约有30―50节车厢，也就是说可以运送200吨左右的货物。实际上，生活中很多物品的质量是用吨来作单位的。比如：嫦娥一号起飞重量为2。35吨；空集装箱本身的重量在2吨―5吨；亚洲象平均重3―4吨，非洲象平均五到六吨左右等等。

　　三年级数学吨的认识教案

　　“吨的认识”是一节常见量的概念教学课，同时又是一个大计量单位的教学。一般来说，学生对于大计量单位接触较少，观念的建立是比较困难的，是计量单位教学的难点。

　　1、使学生认识重量单位吨，知道吨在实际中的应用，初步建立1吨重的观念，知道1吨=1000千克。

　　2、能进行质量单位间的简单换算。

　　3、通过观察、比较和猜想推理等活动，培养学生对物体质量估测意识和能力，能在实际生活中解决一些相关的问题。

　　1、重点：建立质量单位“吨”的概念及吨与千克的换算。

　　2、难点：建立质量单位“吨”的概念。

　　主题图、多媒体课件，课前让学生测量自己的体重。

　　一、创设情境，导入新课

　　1、猜老师的体重。

　　教师让学生猜一猜老师的体重，猜完后教师提问：刚才同学们在猜老师的体重时都用了同一个质量单位――千克，你们为什么不用“克”作单位？

　　2、师：你们知道世界上体重的动物是什么吗？它的体重大约是多少？（课件出示蓝鲸及有关资料的介绍。）

　　师：蓝鲸的质量要用“吨”来作单位，今天我们就要来认识这个新的质量单位（板书：吨的认识）。你能举例说说生活中用吨作单位的物体吗？

　　3、教师课件出示一些以“吨”为单位的物体及其相应质量。

　　教师提问：以吨为单位的物体，有什么共同的特点？

　　教师指出：吨是比千克大的质量单位。计量比较重或较大物品有多重，通常用吨作单位。吨可以用符号“t”表示。

　　〔设计意图：从猜老师的体重和蓝鲸这一世界上体重的动物导入，让学生初步感知吨是一个大计量单位，并通过让学生举例、教师图片展示等途径，初步建立吨的观念。〕

　　二、合作交流，自主探索

　　教师用课件出示第11页的主题图。

　　师：你们看谁来了？这一天阳光明媚，天气晴朗。小熊、小马、小牛和小鹿相约到河边去玩。它们走到一座小桥边，小马提议：“这里有桥，咱们一起过吧。”小熊说：“等等，这里有个牌子，上面写着‘限重1吨’呢！”

　　教师启发学生思考：限重1吨是什么意思？1吨有多重呢？“吨”和“千克”有什么关系？4个小动物能同时过桥吗？

　　师：谁知道1吨等于多少千克？

　　学生凭生活经验可以说出：1吨=1000千克。

　　师：那4个小动物能同时过桥吗？

　　〔学情预设：因为学生知道了1吨=1000千克，很可能会想到把几个数加起来试一试的方法。接着教师还可以进一步提出开放性的问题：它们可以怎样过桥？启发学生思考：它们可以一个过去后，另一个再过；也可以一次过两个，还可以……通过学生相互间的交流、补充，培养学生的合作精神，体现用不同的方法解决问题。〕

　　围绕小精灵的“能同时过桥吗？”的问题，引导学生将动物们的体重加起来，与1吨作比较。

　　1300千克比1000千克重，也就是比1吨重，从而得出结论。

　　（1）学生抬每袋重25千克的大米感受1吨。

　　学生以小组为单位，每个人都用力抱一抱一袋大米，感受25千克大米有多重，力气小的同学也可以两个人抬一抬。

　　学生操作后汇报自己的感受。

　　自己推算：1袋大米重25千克，多少袋大米重1吨？（40袋）

　　教师借助多媒体演示：每次呈现4袋大米（因为4袋为100千克），学生一边看一边数：100千克、200千克、300千克、400千克……1000千克。当40袋大米占满整个屏幕时，学生会感叹：哇！1吨有这么重呀！

　　（2）再次感受1吨。

　　师：课前你们都自己测量了自己的体重，互相说一说你的体重多少千克？再互相背一背，感受1个同学的体重有多重。最后再算一算或估一估，多少个同桌这样体重的小朋友质量才是1吨。

　　3、举例：让学生说说生活中什么东西大约重1吨。

　　教师可以用课件出示教科书中的例子，可以说“如果每个学生的体重是25千克，40个同学的体重就是1吨。”也可以说“两头牛大约重1吨。”还可以说“两匹马与1只熊合起来大约重1吨。”……更应该让学生说出生活中的实例。（如：一般电梯的载重量是1吨）

　　4、吨与千克的换算

　　教师出示例7：3吨=（）千克

　　6000千克=（）吨

　　这部分内容对学生来说不难，可以先让学生独立填写，再让学生组内交流，班内集体说理、说方法。

　　【设计意图：进率学习对于学生来说比较简单，采取了让学生独立思考然后反馈的方法来进行教学，以充分发挥学生学习的积极性和主动性。】

　　5、学生独立完成教科书第12页“做一做”中的题目。

　　（1）用吨作单位的物品有哪些？

　　（2）在一辆载重2吨的货车上，装6台重300千克的机器，超载了吗？

　　[设计意图：边讲边练，讲练结合，有利于学生及时巩固所学知识。]

　　三、巩固练习，拓展提高

　　1、学生在教科书中独立完成练习三中的第1、2题。

　　第1题，是一组连线题，通过此题的练习进一步加深学生对质量单位吨的感受。可以采用先独立连线，再交流的方法进行。

　　第2题，先让学生独立练习，再集体反重点让学生说一说自己是怎样想的。

　　2、练习三第3题。

　　此题答案不惟一。只要每辆车装的机器不超过20xx千克也就是2吨就可以。由于学生考虑的角度不同，所以装车的方法也就不同，可以让学生发表不同的意见。

　　3、改错（小明的数学日记）。

　　今天是星期日，早上，我吃了两个100千克的肉包子，然后就和妈妈一起去市场买菜。

　　市场上的物品可真多啊！看得我眼花缭乱。我和妈妈转了一大圈，一共买了1克香菜，2吨西红柿，3千克鸡蛋，1千克白菜和500千克肉。我和妈妈拎着这些东西累得满头大汗。

　　今天我们学习了什么知识？你有什么收获？

　　了解一下你家每月的用水量是多少吨。如果每月少用1吨水，你认为能做到吗？和爸爸妈妈商量一下，可以采用哪些节水方法？

　　三年级数学吨的认识教案

　　一、创设情境，引入新课

　　1、师问：小朋友们，你们能猜一猜数学老师的体重吗？

　　①请几名学生猜一猜；

　　②让猜的学生说说老师的体重为什么用千克作单位而不用克呢？

　　2、课件展示场景：码头的'货物、货场上的集装箱、铁路运输线上的货车车厢。

　　①学生观看场景图，师说明这些图中堆放或者运输的都是些很重或大宗的物品；

　　②提问：如果我们现在用克或者千克作单位来表示这些物件的重量，会出现什么样的情况，用时方便吗？

　　如果用克或千克作单位来表示上面物品的重量，用起来比较麻烦。因此，计量这些重的物品或大宗的物品，通常用“吨”作单位，可以用符号“t”表示。

　　[设计意图]通过猜老师的体重，唤起学生对质量单位的回忆，接着通过观看场景图，初步感知在计量比较重的或者大宗物品有多重时，需要用比克或者千克更大的单位，从而引出吨这个单位。

　　二、参与实践，充分体验

　　1、感知25千克、50千克、100千克大米的重量

　　（1）感知25千克

　　出示25千克重的一袋米，请一位力气小的同学来搬，如搬不动，再请一位力气大的学生来搬。

　　（2）感知50千克

　　出示50千克重的一袋米，还请上面力气大的同学来搬，如搬不动，再请一位学生来帮忙搬。

　　（3）感知100千克

　　出示100千克重的一袋米，让班级几位力气最大的学生一起来试试，看能否搬动，搬完后，让学生谈谈搬米袋的感受。

　　[设计意图]让学生三次搬米袋，由最轻到重，逐步强化学生对100千克重的感知，为下一步建立1吨重的表象铺设合适的台阶。

　　2、直观感知1吨的实际重量

　　（1）谈话：刚才同学们在搬100千克米袋时，感觉很重，那么2袋这样的大米多少千克呢？3袋、4袋……10袋呢？（课件展示10袋大米的情境图）

　　（2）学生按老师所说的大米袋数说出相应的千克数。

　　（3）小结：1袋大米100千克，10袋大米重是1000千克，1000千克就是1吨。板书：1吨=1000千克，lt=lOOOkg。

　　（4）让学生根据：1吨=1000千克

　　说出3吨=（）千克，8吨=（）千克，5000千克=（）吨，7000千克=（）吨。

　　（5）假如我们班学生的平均体重是25千克，算一算，我们班多少位同学才有大约1吨？

　　学生动手算一算，然后交流算法，得出40位同学大约有1吨。

　　[设计意图]用10袋大米，40个学生的体重，让学生体会1吨重的概念，学生看得见，模得着，有助于学生在学过的质量单位克和千克的基础上初步建立1吨重的概念。

　　3、结合实际，加深对吨的认识（多媒体结合演示）

　　一棵白菜重1千克，1000棵白菜重才是1吨

　　每头牛重500千克，2头牛重是1吨

　　一桶油重200千克，5桶油重是1吨

　　每袋水泥重50千克，20袋水泥是1吨

　　1桶水大约10千克，（）桶水重1000千克

　　2块砖重5千克，200块砖重是（）千克，（）块砖重是1吨

　　生活中还有哪些地方运用吨这个单位？

　　学生举例说明重大约1吨的物体。

　　[设计意图]通过让学生读一读、算一算、想一想等活动，丰富学生对1吨有多重的感性认识，有利于学生对1吨观念的建立。

　　三、巩固练习，加深认识

　　一只羊重大约45（）

　　一个苹果重200（）

　　一辆卡车的载重量是4（）

　　拖拉机能装20xx千克石子，也就是（）吨

　　大象的重量约6000千克，也就是（）吨

　　一条蓝鲸重7吨，也就是（）千克

　　一条鲨鱼重约3吨，也就是（）千克

　　一台起重机一次能吊起2t的货物，照这样计算，15次能吊起的货物是多少吨？

　　3、试一试（多媒体）：

　　出示一幅电梯照片，上面标记限重量是1t，13个成人

　　（1）如果是我们三年级的小学生去乘的话，每次可以乘坐几个？

　　（2）如果是我们学校83位老师都要乘电梯，至少要乘几次？

　　[设计意图]让学生填一填，算一算，使学生充分认识吨这个质量单位，通过让学生解决乘电梯问题，不仅加深了学生对吨的认识，而且培养了学生的估算意识和能力。

　　四、小结评价，回归生活

　　1、说说这节课你学得怎么样，有哪些收获。

　　2、课外实践：星期天在家长的陪同下，到商店或超市调查一下，有哪些货物是用吨作单位的，有哪些货物是用千克作单位的？如果是以千克作单位，估计一下多少件这

　　样的货物的重量是1吨，作好记录。

　　[设计意图]让学生回忆本节课所学知识，体验成功的乐趣。教学活动由课内向课外拓展，通过调查、收集、处理信息，进一步体验数学的应用价值，树立学好数学的信心。

　　1、分数的意义：把一个整体平均分成若干份，表示几份就是这个整体的几分之几，所分的份数作分母，所取的份数作分子。

　　分子表示：其中的几份

　　分母表示：平均分成几份

　　2、几分之一：把一个物体或一个图形平均分成几份，每一份就是它的几分之一。

　　几分之几：把一个物体或一个图形平均分成几份，取其中的几份，就是这个物体或图形的几分之几。

　　3、把一个整体平均分得的份数越多，它的每一份所表示的数就越小。

　　4，比较大小的方法：

　　①当分子相同时，分母越小分数越大，分母越大分数越小。

　　②当分母相同时，分子大的分数就大，分子小的分数就小。

　　①相同分母的分数加、减法的计算方法：分母不变，分子相加、减。

　　② 1减几分之几的计算方法：计算1减几分之几时，先把1写成与减数分母相同的分数，再计算。（1可以看作所有分子分母相同的分数）

　　6，求一个数是另一个数的几分之几是多少的计算方法：

　　例：把12个圆的3/4有（）个圆；

　　分析：先找整体12；再找分母4，表示平均分成4份；求出12÷4=3，表示每一份有3个；最后找分子3，表示其中的3份，所以：3×3=9；所以把12个圆的3/4有9个圆。

　　小学数学解答应用题步骤

　　1、弄清题意，并找出已知条件和所求问题，分析题里的数量关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么；

　　2、确定每一步该怎样算，列出算式，算出得数；

　　3、进行检验，写出答案。

　　小学数学单位间进率

　　1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米

　　1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米

　　1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方厘米=1000立方毫米

　　1升=1立方分米=1000毫升1毫升=1立方厘米

　　1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:

　　⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

　　株数=段数+1=全长株距-1

　　全长=株距(株数-1)

　　株距=全长(株数-1)

　　⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

　　株数=段数=全长株距

　　⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

　　株数=段数-1=全长株距-1

　　全长=株距(株数+1)

　　株距=全长(株数+1)

　　2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下

　　株数=段数=全长株距

　　(盈+亏)两次分配量之差=参加分配的份数

　　(大盈-小盈)两次分配量之差=参加分配的份数

　　(大亏-小亏)两次分配量之差=参加分配的份数

　　相遇路程=速度和相遇时间

　　相遇时间=相遇路程速度和

　　速度和=相遇路程相遇时间

　　追及距离=速度差追及时间

　　追及时间=追及距离速度差

　　速度差=追及距离追及时间

　　顺流速度=静水速度+水流速度

　　逆流速度=静水速度-水流速度

　　静水速度=(顺流速度+逆流速度)2

　　水流速度=(顺流速度-逆流速度)2

　　溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量

　　溶质的重量溶液的重量100%=浓度

　　溶液的重量浓度=溶质的重量

　　溶质的重量浓度=溶液的重量

　　利润=售出价-成本

　　涨跌金额=本金涨跌百分比

　　折扣=实际售价原售价100%(折扣1)

　　利息=本金利率时间

　　税后利息=本金利率时间(1-20%)

　　大月(31天)有:月

　　平年2月28天, 闰年2月29天

　　平年全年365天, 闰年全年366天

　　1.代数式与有理式

　　用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独

　　的一个数或字母也是代数式。

　　整式和分式统称为有理式。

　　含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

　　没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

　　有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

　　3.单项式与多项式

　　没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积包括单独的一个数或字母)

　　几个单项式的和，叫做多项式。

　　说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

　　区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看

　　5.同类项及其合并

　　条件：①字母相同;②相同字母的指数相同

　　合并依据：乘法分配律

　　表示方根的代数式叫做根式。

　　含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

　　注意：①从外形上判断;②区别： 、 是根式，但不是无理式(是无理数)。

　　⑴正数a的正的平方根( [a与平方根的区别]);

　　⑵算术平方根与绝对值

　　① 联系：都是非负数， =│a│

　　②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。

　　8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

　　化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

　　满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

　　把分母中的根号划去叫做分母有理化。

　　⑴ ( 幂，乘方运算)

　　1、一年有12个月：一、三、五、七、八、十、十二月是大月，有31天;四、六、九、十一月是小月，有30天;二月平年有28天，闰年有29天。

　　2、全年天数：平年有365天，闰年有366天。

　　3、判断平年、闰年：

　　(A)年份能被4除尽而没有余数的是闰年，有余数的。为平年;

　　(B)整百整千的年份要能被400除尽才是闰年。

　　4、比年大的时间单位是世纪，1世纪=100年。

　　5、用24时计时法表示：

　　(A)上午时间直接读出钟面上时间即可;

　　(B)下午的时间在钟面上所指时间的基础上加上12小时。

　　6、时间单位的换算关系：1小时=60分，1分=60秒，1刻=15分，一昼夜=24小时，1周=7天。

　　7、经过的天数的计算分为三种情况：

　　(A)头尾都算：结束时间-开始时间+1

　　(B)头尾都不算：结束时间-开始时间-1

　　(C)头尾算其一：结束时间-开始时间。

三年级数学的知识点10

　　1、有4条直的边和4个角封闭图形我们叫它四边形。

　　2、四边形的特点：有四条直的边，有四个角。

　　3、长方形的特点：长方形有两条长，两条宽，四个角都是直角，对边相等。

　　4、正方形的特点：有4个直角，4条边相等。

　　5、长方形和正方形是特殊的平行四边形。

　　6、平行四边形的特点：

　　①对边相等、对角相等。

　　②平行四边形容易变形。(三角形不容易变形)

　　7、封闭图形一周的长度，就是它的周长。

　　长方形的周长=(长+宽)×2或长×2+宽×2

　　长方形的长=周长÷2-宽

　　长方形的宽=周长÷2-长

　　正方形的周长=边长×4

　　正方形的边长=周长÷4

【三年级数学的知识点10篇】相关文章：

对于2022年来说，自己一直是处在一个比较焦虑的状态当中，而这个状态在我的写博客的量中就可以很明显的体现了：

而2022年的1月那会状态其实没有发生变化，一切的一切在于年后的2月中下旬，组织架构调整了，这块其实在写这篇时就已经说过了，也就是在这之后的半年里有效篇数就3篇。。当一个人在规律地在做着某些事时，突然间规律不见了，那说明这个人的心态大概率是因为某些事发生了巨大的变化，是的，我今年的心态就处于这种变化的状态，其中最大的一个原因是公司的各种考核让你没有太多时间来写博客了，因为考核不通过的直接结果就是末尾淘汰，当面对这种压力时，其实就是两种心态：一是摆烂、二是努力让自己不被淘汰。那很明显大多数人肯定是不会主动在这“疫情”期间来放弃收益来源对吧，所以为了不让自己被淘汰就得平常花时间来准备考核的内容，其中大学数学是一个重点考试内容【种种的抱怨就不多说了，需要有正能量】，其实在去年就为了应付考试学习了大学数据的线性代数部分：

但是“高等数学”、“概率论与数量统计”这两个方向缺失，最近一直基于网上的教程在恶补，高等数学的基本“看完”了，其中“看完”俩字加引号，嗯，仅仅就走马观花式地看，没有任何输出，因为“快”嘛，感觉又回到了N年前非常浮躁非常飘的状态了，所以决定还是要有输出，摈弃浮躁，于是才有了此篇的想法，希望自己能够坚持下来，当职场遇到逆境时，尽量想办法让压力化为动力，而不是一味的抱怨和逃避，因为抱怨只会让自己整天活在阴霾当中越陷越深，当这种逆境中的动力产生之后，你在职场就会变得更加的抗跌，正能量也会充满其身，所以，今年其它的学习计划被打断了木关系，我先开个专栏把高数这个先好好落实，毕竟要事为先，人生其实也就是被各种惊喜意外给充斥着，既来之则安之。

好，心灵鸡汤就不撒了，我发现对于程序员而言，如果当你发现自己每天都过得非常焦虑，建议可以先从写博客开始，让自己先静下来，写得好与不好其实不重要，重要的是通过慢写来让自己能沉下心来。。。。不撒了，回到正题，这里的高数学习选的是普林斯顿微积分读本，也就是长这样：

至于为啥选它就不过多说了，反正从目录来看貌似适合初学者，下面正式开始。 

关于函数的定义应该都比较熟了，尤其对于程序员的我们，这里主要是当一个复习吧，拿书中的一句话可以很好的说明为啥要把函数学好：
“不借助函数却想去做微积分，这无疑是你所做的最无意义的事情之一。”

在数学里是这么定义函数的，“函数是将一个对象转化为另一个对象的规则，起始对象称为输入，来自称为定义域的集合。返回对象称为输出，来自称为上域的集合。”

说实话这定义有点模糊，其实从程序员的角度对于函数的理解就是：“有一个输入参数，通过调用某函数，最终再有个输出”，当然这里不能完全按程序员的思想来理解，毕竟对于void的函数是木有输出的。

对于数学定义的函数，拿一个简单的函数来理解：y = f(x)，其中x为输入，它的值是来自于定义域的集合，那啥叫定义域呢？给个例子就明白了：

好，继续理解，对于y= f(x)中的y来说其实就是函数定义中的输出， 它的值是来自上域的集合，那啥叫上域呢？这块在下面就会进行说明，先不必过多地操心。

由于函数是如此重要，所以书本举了一些例子来加深对函数这个概念的理解，这里也把一些关键点过一下，还是有不小细节值得挖掘的：

假设定义这么一个函数：

其中这个函数的定义域（函数的输入）和上域（函数的输出）都是属于 

，也就是实数，啥叫实数呢，我也不知道，百度百科：

那有理数和无理数又是啥，可以自行百度，这样我们就可以将任何实数平方最终得到一个实数对吧，比如f(2) = 2 x 2 = 4、f(-1/2) = (-1/2) * (-1/2) = 1/4， 而有一个特殊的是：f(1) = 1，也就是输入和输出一样，这个其实不影响，因为函数并不要求转换后的对象一定有别于原始对象，这个小细节需要知道一下下。

另外，还有一个容易理解错的就是：f(2) = 2x2 = 4，它意味着f 将2 变成4了，其中的f是一个变换规则，而f(x)是把这个变换规则应用于变量x后得到的结果，所以说“f(x)是一个函数”是不正确的，应该说“f是一个函数”。

这第二个例子其实阐述的东东比较简单，但是你需要明白这个细节，这里看一下这个函数：

这跟上面例1的函数不是一样的式子么？是的，但是这里的定义域发生变化了，它的定义域只包含>=0的非负数，而上面例1的定义域是属于实数，正因为定义域的不同，才导致对于例1中的f(x)和这里的g(x)看似一样的函数其已经产生不同了，比如x取一个负数-1/2，对于f(x)=1/4没问题，但是！！！g(x)却是没有定义的，因为该函数g的定义域必须是>=0，所以函数g会拒绝非其定义域中的一切数，这样就有一个总结了：

由于g和f有相同的规则，但g的定义域小于f的定义域，因此我们可以说g是由限制f的定义域产生的。

这个例子其实还是在例2的基础上，对于函数的定义域的合法性进一步巩固，这里也来简单看一下，比较好理解：

那“f(马)”是啥呢？很明显是无定义的，因为你是不能平方一匹马的对吧，但是如果定义这么一个函数其实就可以输入马了：

其中h的函数的定义域是所有动物的集合，所以很明显可以有：h(马) = 4，h(蚂蚁)=6，h(鲑鱼)=0，由于动物的腿不可能是负数或分数，所以很明显h函数的上域（这个概念之后就会解释到，目前简单理解就是输出值）是所有非负整数的集合。

h函数的定义域由于是所有动物的集合，所以很明显h(2)是无定义的，那h(椅子)呢？貌似h(椅子)=4呀，这里由于椅子没在定义域动物当中，所以h(椅子)也是无定义的。

这个书本上举的例子就一点点恶心了，不过可以很好的说明一个问题，下面过一下：

假设你有一条狗，名字叫Junkster，它不幸患上了消化不良症，表现就是每次吃点东西嚼一会儿试图消化食物时，都会全吐出来，所以可以拟一个函数为：

其中函数j的定义域是Junkster所吃的食物的集合，其上域是所有颜色的集合，那么就必须认为如果Junkster吃了玉米面卷，它的呕吐物始终是一种颜色（假设是红色的），这个是符合函数的定义的，但是！！！如果它的呕吐物有时候是红色的，有时候又是黄色的，那么此时就不满足函数的性质了，也就是需要记住：“一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出”。

 好，通过上面四个例子的学习，应该对于函数的定义域是比较清楚了，这里再来简单归纳一下核心：

2、由于g和f函数有相同的规则，但是g的定义域小于f的定义域，这时我们可以说g是由限制f的定义域所产生的；

3、不在定义域的值，最终的输出是无定义的；

4、一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出；

接下来则来理解上述函数定义中所产生疑问的“上域”的概念了，说到上域，其实还有另一个我们耳熟能详的概念，那就是“值域”，关于这两者的区别，这里用书上的来描述一下：“值域实际上是上域的一个子集，上域是可能输出的集合，而值域则是实际输出的集合。”，是不是这定义还是有点懵，没关系，下面针对上面定义域的理解中所举例的函数一一来写出它们的值域和上域，这时你就会明白了，也是比较简单的：

，由于定义域和上域都是实数，而根据值域的定义它是实际输出的集合，那很明显任何数的平方肯定是非负数对吧，比如，结果都等于2，所以可以看出值域确实是上域的一个子集。

,其定义域是非负数，上域还是实数，很明显值域也是非负数的集合。

定义域是所有动物的集合，它的上域是所有非负整数的集合，而值域应该是任何动物可能会有的腿的数目的集合，通常是一个偶数，但是也有可能动物有奇数条腿，这块要列全可能你得是一个生物学家~~

，其定义域是Junkster所吃的食物的集合，其上域是所有颜色的集合，而值域就是会包含所有可能的呕吐物的颜色。

总之，你要知道值域是上域的子集。

这块就比较简单了，在我们编程时也经常能遇到，比如开区间，闭区间等， 这里看一下图就明白了：

其中我们常见的是这种表示法：

但是也要记得还有另一种表示方法：

有时候，函数的定义中是已经指明了定义域了，比如上面的这个函数：

但是！！！在大多数的情况下，函数的定义域是没有给出的，是需要自己来求出来的。通常定义域就是包括实数

转存失败重新上传取消集尽可能多的部分，这里举一个这样的函数：

你觉得函数k的定义域是啥，全部实数么？这里的思考关键在于它：

也就是得要知道平方根的规则，这块貌似是初中的知识，我想应该很多人都已经忘得差不多了，百度了一下重温下中学时光，贴一个图：

也就是这个开根号中的a必须是非负数的，看了一下百科对于算术平方根的定义也特别提到了这个条件：

那么为啥只有非负数才有算术平方根呢？其实也很好理解，因为任何实数的平方的结果都是非负数对吧，那么再对这个非负数的结果开方很明显不可能是负数的，另外这里再复习一下它跟平方根的关系，再次利用度娘：

也就是算术平方根是平方根的一种特例，好，现在我们已经对于算术平方根的规则清楚了，所以对于

函数，很明显此时函数k的定义域为[0, ∞)，也就是>=0的所有实数的集合，这里就是通过平方根的一个规则来推出了函数的定义域了，这里其实也就道出了如何求函数定义域的一个方法了，其实还是利用你之前所知的数学规则进行推算出来的，以下几种是常见会出问题的数学规则：

• 分数的分母不能为0；【这个人人皆知】
• 不能取一个负数的平方根（或四次根、六次根，等等）；【这个刚才已经详细解释过了】
• 不能取一个负数或零的对数；
  关于这个书本上作者已经预感到大家都已经忘记这条规则了~~所以提示可以看他第9章的基础补习，嗯，很明显我是完全不知道了，移步到9章里回顾一下【数学是一门非常严谨的学科，当在学习中遇到某个知识点遗忘了，一定要花时间给补回来，不然会越学越学不懂~~借学高数的机会再重新整体一下大脑中的数学知识体系也是一个挺有价值的事~~】：
  此时就需要使用对数函数了，其结果就是：

  很明显此时的x=3嘛，而这个x又可以以对数的形式来表示，所以就可以得到：，所以这里就可以用对数来表示指数的形式了，如下：

  好，接下来就是回到核心的“不能取一个负数或零的对数”的理解上来了，这里假设b是负数，看有啥问题，可能就会没有定义，比如：b=-1且x=1/2，那么==，而它已经违背上面我们已经证明的这一条了：

  所以，为了避免这样的问题产生，就需要要求b > 0，所以也一定是正的对吧，如果，那么一定会有y > 0，好核心推论点就出现了：

   很明显图中b中的幂次就不可能是一个负数或0对吧，所以你只能取一个正数的对数（b>0且y>0）。 

• tan90度是一个不存在的值；这块可能也忘了，先看一下tan的公式你就明白了：tanx=sinx/cosx，当x=90°时，即tan90°=sin90°/cos90°=1/0，分母是不能为0的，所以不存在tan90°，其实它就是上面的第一种分母为0的情况对吧，比如好理解。

好，接下来来一个综合求定义域的例子，如果你能把这个函数的定义域，那么这块知识点就算过关了，如下：

其实算定义域特别简单，就是套数学上哪些规则不允许，解一元一次不等式组，对于这个函数右边的式子其实就有这几个不等式：

1、根据“不能取一个负数或零的对数；”这一条规则，就有：

2、根据“不能取一个负数的平方根”这一条规则，就有：

3、根据“分数的分母不能为0；” 这一条规则，就有：

(x-2)(x+19) != 0，所以就有x !=2且x!=-19， 而根据目前x的取值是(-8, 13]，x!=-19就不存在了，最终我们就找到了函数f的定义域为：除2以外的集合(-8, 13]，这种集合用一个专业表示可以为：(-8, 13] \ {2}，这里的反斜杠表示“不包括”。

在上面，我们已经知道了函数的定义域的求解方式了，接下来则来看一下函数的值域是如何求的，书中举了两个函数：

，它的定义域为[-2, 1]，,它的定义域是所有的实数，那请问下这俩是同一个函数么？当然不是，因为定义域不一样，这个在上面已经举个类似的例子了。

那对于F函数，你知道它的值域是多少不？既然它的定义域为[-2, 1]，我们可以将这之间的每一个实数进行平方就可以求解出F函数的值域了，很明显是[0, 4]，注意不是[-2*(-2)=4, 1 * 1 = 1]哟，利用自己心算基本也能算出来函数的值域，但是！！！这个是学习如何利用图像来求一个函数值域非常好的机会，其思想就是：画出函数的图像，然后想像从图像的左边和右边很远的地方朝向y轴水平地射入两束亮光，曲线会在y轴上有两个影子，一个在y轴的左侧，一个在y轴的右侧，而值域就是影子的并集，也就是说如果y轴上的任意一点落在左侧或右侧的影子里，那么它就处于函数的值域中，下面直观的看一下图：

当图像画出来之后，你可以看到左侧的影子覆盖了y轴从[0,4]的所有点：

而右侧的影子覆盖了y轴从[0,1]的所有点：

那么取两者的并集就是[0, 4]：

所以通过这种直观的函数图像也是一种求函数值域的办法，但是你或者会问，函数不可能都是这么一种呀，那其它函数的图像大脑中没有印象，用这种方式貌似要求有点高啊，其实关于函数的图像在之后的章节就会专门学到：

而且在12章中还会学习绘制函数图像的各种技巧：

所以不必担心，现在先知道函数的图像其实对于解题也是很有用的就够了。

在上面我们也已经领略到了函数图像在解题的作用了，非常重要，因为它能让你知道函数大概长什么样子，所以这里先来认识一下函数图像的定义，这里从两个角度来概述：

角度一：函数f的图像是指它是所有坐标为(x, f(x))的点的集合，其中x在f的定义域当中；
角度二：我们以某个实数x开始，如果x在定义域当中，就可以画点(x, f(x))，当然这个点在x轴上的点x的正上方，高度为f(x)；如果x没有在定义域当中，则不能画任何点。然后对于每一个实数x，我们重复这个过程从而构造出函数的图像。

上面这概念了解一下既可，其实就是各个坐标值的连线就构成了函数的图像。

先来看一下数学定义：“如果你有某个图像并想知道它是否是函数的图像，你就看看是否任何的垂线与图像相交多于一次。如果是多于一次则它不是函数的图像，反之则是函数的图像”。

光看这定义肯定有点懵，其实理解的关键核心在于：利用这个垂线检验的目的就是为了判断某个图像是否是函数的图像对吧，而怎么来检测呢？主要是图像中有木有两个点对应一个x坐标值，如果有，很明显这俩点的连线是垂直于这个x坐标的，而根据函数的定义：“一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出”，也就是一个输入只能对应一个唯一的输出，很明显这种情况违背了函数的定义了，那么这种情况就可以说这个图像不是函数的图像了，因为图像中存在一个输入有2个输出的情况，反之，则说明该图像就是函数的图像。

在了解了定义之后，下面再来借着例子来理解一下，这样就比较清晰了。

这里先来画一个“以原点为中心，半径为三个单位的图的图像”，这个比较简单，图如下：

它的函数方程应该是这样的：

【这个是根据圆的方程公式来的：所表示的曲线是以O(0，0)为圆心，以r为半径的圆；】，那你认为这个图像是方程的图像么？不知道，所以用垂线检验的方式来检测一下，也就是在图像上画垂线，如下：

其中可以发现在-3的左边或3的右边都没有问题，垂线木有出现有两个点交于圆的情况，这个很好；而在-3和3上垂线和图像也仅仅只有一次相交，也比较好；问题就是出现在区间(-3,3)上了，垂线通过(x, 0)和圆都相交两次：

那这就不符合函数图像定义了，因为你不知道f(x)到底是对应上方的点还是下方的点对吧。

而要想让它成为函数，有两种方式：

1、把圆分成上下两个半图，只选择上一半或者下一半，由于整个圆的方程是

，那么上半圆的方程就为：

 而下半圆的方程为：

很明显这两个就是函数了，其定义域为[-3, 3]，因为用垂直检验的话，与半圆相交只有唯一的一个点。

2、还有一种方式，就是把圆的图像做一个改动，如下：

也就是只要避免一条垂线与图交于2个以上点，其图像就满足函数图像了。

接下来学习一下反函数，这个在之后也会大量被运用到，先来理解书本上的第一句话：

假设有这么一个函数f，给一个在定义域的x输入，就能得到一个输出f(x)对吧，现在把过程返过来描述：如果你选一个实数y，那么应该赋予f函数什么样的输入才能得到这个输出y呢？

这里的关键点有两个，需要理解一下：

1、y必须在f函数的值域当中，因为它是输出嘛，而值域刚好是所有的可能输出，这个比较好理解；

2、如果y在值域当中，有可能会有很多值都满足f(x) = y，比如

，其定义域是实数，那问一下x取何值时会输出64？很显然有两个值：8和-8；但是也有可能仅有唯一的值能满足f(x) = y，比如，同样的问题x取何值时会输出64，此时只有一个x值就是4。

好，接下来就可以给反函数来一个正式的定义了：给定一个函数f，在f的值域中选择y，在理想状况下，仅有一个x值满足f(x) = y，如果上述理想状况对于值域中的每一个y来说都成立【也就是如果x取值不唯一的话就不满足这个理想状况了】，此时就可以定义一个新的函数，它将逆转变换，从输出y出发，这个新的函数发现一个且仅有一个输入x满足f(x)=y，这个新的函数就称为f的反函数，记作

对上这个文字概念可以有一些抽象，下面以数学语言对其再总结一下：

1、从一个函数f出发，使得对于在f值域中任意y，都只有唯一的x值能满足f(x) = y，也就是说，不同的输入对应不同的输出，那么我们就可以定义它的反函数

的定义域与f的值域相同；

的值或和f的定义域相同；

书中最后用一个比较形像的例子对函数与反函数的关系进行了一个阐述,还挺贴切的：

就像是f函数的撤销按钮：如果你从x出发，并通过函数f将它变换为y，那么你可以通过在y上的反函数来撤销这个变换的结果，取回x。

好，现在通过这个定义对于反函数有了一定的了解了，但是还是有如下的一些疑问会存在：

1、你如何知道只有唯一的x值满足f(x) = y 呢？

2、如果求得一个满足疑问一的函数的反函数呢？

3、反函数的图像又会是什么样了呢？

4、如果一个函数不满足疑问一的唯一性，那么有木有一些挽救的措施？

以上答案，在接下来的学习中就会一一揭晓~~

对于上面提到的第一个疑问：

其最好的方法也是来看函数的图像，那怎么知道对于f函数值域中的任意一个y，只有一个x值满足f(x)=y呢？下面来挼一下思路，这个思路是引出水平线检验的一个关键：

我们想要在f函数的值域中选择一个y，并且希望只有一个x值满足f(x) = y ，那就意味着通过点(0, y)的水平线【还记得在上面我们检查函数图像是否正确用的是垂直线不？如忘了可以往上再温习一下】应该和图像只有一次相交，且交点为点(x, y)，那么此时的x就是我们想要的值；如果说水平线与函数的图像相交多于一次，是不是对于一个y，有多个x值对应？那这种情况是不符合反函数的定义的对吧，所以这种情况是比较糟糕的，但是在后续我们可以针对这种糟糕的情况限制定义域也可以让它有反函数，这个之后再说；还有另一种情况就是水平线跟函数图像压根就不相交，很明显这种代表y根据就没有在值域当中，不在反函数的讨论范围。

基于上面的思想梳理，对水平线检测就可以进行描述了：如果每一条水平线与一个函数的图像相交最多一次，那么这个函数就有一个反函数；相反如果相交有多于一次，那么这个函数就木有反函数，这里的要点是：

1、函数满足图像的定义，这里就可以用上面的垂线检验办法来检验；

2、水平线与图像相交，只有一个交点；

比如下面这两个函数的图像：

很明显图左边的函数f有一个反函数，因为没有一条水平线和y = f(x)相交大于一次对吧，而对于图右边的函数g它是没有反函数的，因为有一些水平线和y=g(x)相交于两次，这是从图像的层面来看的，而用一个角度也可以推出该函数是没有反函数的，那就是：

来求解x，很明显会出现两个解对吧：，这是不符合反函数的定义的。

但是，还记得在上面说过这么一句话么？

所以，对于图右侧的，如果你尝试限制一下定义域，其函数也是有反函数的：

这个情况之后再来探讨。

接下来再来解决上述疑问的第二个：

其实需要要写下y = f(x)，然后试着解出x既可，比如函数

，要求它的反函数，如下：

1、写成y = f(x)的形式，也就是：

2、然后就有如下等式：

，为啥呢？这里回顾一下反函数的特性：

中的y变量看着有点别扭，所以可以直接将它替成x，也就是为：

也就是求一个原函数的反函数，就是将它写成y=f(x)的形式，求出x，最后在原函数的右上角标一个-1，然后等于这个x既可，这块说实话有点不是很好理解，可以好好揣摩一下。 

但是！！！实际上并非所有的函数都可以轻松地求解出x来，这时则可以通过函数图像这个角度轻松的将其反函数给绘出来，基本思想就是在图像上画一条y=x的直线，然后将这条直线假想为一个双面的镜子，反函数就是原始函数的镜面反射，就比如刚才我们举例求原函数的反函数的例子，它们之间在图上的关系如下：

原函数f在y=x这面“镜子”中被反射，从而得到它的反函数了，注意：f和

的定义域和值域都是整个实轴。这样就解决了疑问三的问题了：

接下来解决疑问三的问题：

在上面举过这么一个函数的例子，它是不满足水平线检验的对吧：

也就是说函数g木有反函数，但是！！！我们可以限制函数的定义域，让其也可以有反函数，如下：

也就是将该曲线的定义域由(-∞,+∞)缩减为[0,+∞)之后，就满足水平线检验了，所以此时该函数就变成有反函数。也就是定义在定义域[0,+∞)上的函数h的反函数，其中

，下面咱们使用刚才所学的镜面反射来看一下该反函数到底长啥样？

为了找到反函数的方程，我们必须在方程

解出x，很明显此解有两个：

那我们需要哪一个解呢？根据反函数的特性：

很明显我们只需要非负数的解，即：

最后，咱们看一下没有通过水平线检验的定义域在(-∞,+∞)的原始函数

，如果在镜子y = x中进行反射，其实它会得到这么一个图像：

很明显该图是不会通过垂线检验的，也就代表它不是函数的图像，这也从另一个角度证明它是没有原函数的，此外还可以说明垂线检验和水平线检验之间的联系就是：水平线被镜子y=x反射后会变成垂线。

这个理解起来就比较麻烦，但是呢在之后的学习中又会用到，所以，还是一点点来啃它。

如果对于一个函数f它有反函数，那么对于在f定义域中的所有x，都有这个等式成立：

，这个应该好理解，因为f(x)=y，根据反函数的这个特性就可以得出这个等式了：

同样对于在f值域当中的所有y，都有

，因为f的值域和的定义域相同，所以对于f值域中的y，我们就可以取到，也就是：

对于上面这个理论理解起来可能还是有点抽象，下面举个例子再来理解一下：

，它的反函数为：【这块如果觉得求解起来有点模糊，建议好好再温习下反函数的知识，这块未来会经常用到】，

式子中，是不是就有，也就是在上面在反函数的反函数所说有等式：

还记得在上面说过反函数就像是一个撤销按钮么？回忆一下：

也就是我们使用x作为f函数的输入，然后给出输出到

反函数上，这撤销了变换并让我们取回了x这个原始的数，这样的视角能够加深对反函数的理解。比如：最终就是求得了y对吧，所以：是f的反函数，且f是的反函数，换言之，反函数的反函数就是原始函数。

小心有限定义域的反函数的反函数：【是不是念这句话舌头会打转~~】

最后再来讨论一下这个函数的反函数的反函数：

，根据之前所学，这个函数是需要限制定义域才会有反函数对吧，回忆一下：

假设我们把定义域限制在[0,+∞)，当时我们是称函数h有反函数对吧【上图中也可以看到】，也就是在限制作用域之后的函数名不用g了，而是h，但是！！！这里假设粗心，我们就把g函数看成它有反函数，看会有啥问题？我们先求得g函数的反函数为：

，此时再求它的反函数，你会发现它是【如果这一步看不懂，用代入法代到这个函数中你就懂了：】，也就是等于x对吧，其中x>=0。那你看出啥问题了么？是反函数的反函数应该等于原函数它呀，但是现在的结果是x，很明显是不对的，这是因为是故意看错了函数了，g是没有限制定义域的。

换另一个视角，解这个反函数的反函数：

【注意：它跟是不一样的哟】，此时会得到，是不是它也违背了“反函数的反函数是原函数”的规则？照理的呀，这里也能说明没有限制定义域的g函数是没有反函数的，由于我们粗心地将其看成g函数了，它没有限制定义域，那我x=-2，此时，所以就不成立了，不成立的根本原因在于-2没有在g的限制定义域[0,+∞)中对吧。

以上说了一大堆，其实是为了说明：我们应该使用函数h，而不是函数g，也就是对于有限制定义域的函数，我们需要改变函数的字母！！！就拿我们所用的函数例子，

如果不限制定义域是不是没有反函数？那如果限制定义域[0,+∞)之后，就不能说g有反函数了，要给函数字母更改一下，比如更改成h，说h有反函数，这样改名是可以避免自己出错的一个手段，但是！！！实际数学家们在限制定义域时经常不会改变字母，所以把这种情形总结如下：

如果一个函数f的定义域可以被限制，使得f有反函数

对于f值域中的所有y，都有

,但是！！！可能不等于x，而事实上仅当x在限制的定义域中才成立。

简单来说，对于有限制的函数，其在进行反函数的求解时，一定是要基于限制的定义域才行，不然结果就会不符合反函数的规则，记住这点就成！！！

今天先学到这，纯复习了，对于我来说其实都是全新的，小学水平，因为都不知道，然后所有的内容都是基于书本上来的，也有一些文字是直接摘抄的，但是对我而言，带着思考的抄写也是一种输出，能够加深对知识的理解，总之经过这么一篇，收获还是蛮大的，弥补了很多之前的数学基础，坚定用这种方式一步一个脚印地来把整体书给啃完，也希望用这篇让自己今年的状态回归正常，不再一直身处焦虑当中了【作为jay迷，居然还没认真去听最近周杰伦时隔6年新出的专辑的歌曲，天天就是各种忙，所以必须调整自己目前的状态，先把jay最伟大的作品好好品尝品尝~~】，加油！！！

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