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三角函数是高中数学的重点和难点

三角函数有很多性质和计算，本身会以非常复杂的形式出现，也会与其他类型的基本函数混合出现，在数列中也可能遇到三角函数有关的数列，此外它在圆锥曲线中是非常重要的解题工具。

因此，三角函数作为基本函数类型，需要对它的概念、性质有非常深刻的了解，对常用的变换和数值计算也要熟练掌握。

过去我们习惯于用角度表示角的大小，事实上更加通用的是弧度。

先来看角度是怎么来的：把圆周分为360等分，每一等分叫作1°

细细想来，我们的角度和长度是两套体系，没法放在一起计算，比如5+10°就毫无意义

现在我们引入新的描述角大小的体系：弧度

同学们对π应该都还算熟悉，π是无理数，π的值约为3.1415926......

π的含义为圆的周长与直径的比值

我们令某圆的半径为r，那么它的直径d=2r，周长C=πd=2πr

对于单位圆，也就是半径为1的圆，它的直径d=2，周长C=2π

规定：单位圆每单位长度的弧所对应的角的大小为1弧度，记作1rad

弧度的单位rad其实是个并没有单独现实意义的单位，它代表这个大小的角度，在单位圆中对应的弧长

比如某个圆的半径为r，对于大小为a rad的角，它对应的弧长为r*a

来比较下角度和弧度两套系统

单位 单位值 全圆周大小 一些常用数值

根据全圆周大小可以看出：

举个具体例子会更加直观：

假设圆A的半径为5厘米，那么弧度为π/6（也就是30°）大小的角，它对应的弧长为：

比较等式两边的单位，可以看出，这个rad=厘米/厘米，也就是说它没有现实中的物理意义，它就代表着“半径为r厘米的圆上，长度为r厘米的弧对应的角的大小”

再来看一个很有说服力，也很极端的例子：

假设圆B的半径为1米，那么弧度为2π（也就是360°）的角，它对应的弧长是多少？

很简单：1米*2π=2π米，也就是我们圆周长

这也符合π的定义：圆周长（2π米）与直径（2米）的比值。

用弧度的最大好处就在于它不像角度那样引入了新的单位，它可以直接和半径进行弧长相运算。

弧度的基本概念就介绍到这里，必须要对角度和弧度的互换一定要很熟练，对常用弧度的三角函数也要非常熟悉

先来看直角三角形ABC，其中C是直角，∠ACB=π/2

对于∠BAC，假设它的大小为θ，我们规定

（1）它的对边BC与斜边AB的比叫作正弦，用函数sin表示，sinθ=BC/AB

（2）它的邻边AC与斜边AB的比叫作余弦，用函数cos表示，cosθ=AC/AB

（3）它的对边BC与邻边AC的比叫作正切，用函数tan表示，tanθ=BC/AC

（4）它的邻边AC与对边BC的比叫作余切，用函数cot表示，cotθ=AC/BC

（5）它的斜边AB与邻边AC的比叫作正割，用函数sec表示，secθ=AB/AC

（6）它的斜边AB与对边BC的比叫作余割，用函数csc表示，cscθ=AB/BC

根据以上定义，很容易得出三角函数间的基本关系：

注意：正割与余弦互为倒数，余割与正弦互为倒数，千万不要弄反！

上面的定义和基本关系可以看出：

（1）只要知道了正弦sin和余弦cos的值，其他三角函数都可以通过它们相除、取倒数获得。

（2）正弦与余弦有平方和为1这个数量关系。

以上两点使得正弦和余弦使用的机会比其他的三角函数要多许多，为了计算方便，大多数情况下使用的都是正弦和余弦函数，因此对它两要特别熟悉。此外，正切tan在未来会学的二倍角公式中非常有用。

其他的三角函数适当掌握即可。有条件的话熟练掌握其他3种三角函数（余切、正割、余割）在应对少数题目时会较为方便。如果时间精力有限可以跳过。

直角坐标系中的角与三角函数

来看这个二维坐标系，这个圆的半径为1，圆心O在原点（0，0），我们叫它单位圆

取圆上一点A，向x轴引垂线交于B（b，0），向y轴引垂线交于C（0，c），则A坐标（b，c）

我们来看∠θ，从直角三角形OAB中可以看出：

在这样的单位圆中，我们规定起始位置为x轴正方向，它的角大小为0rad，逆时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负

第一次转到y轴正方向刚好经历一个直角，它是π/2

第一次转到x轴负方向刚好经历一个平角，它是π

第一次转到y轴负方向刚好经历一个平角+一个直角，它是3π/2

第一次转回到x轴正方向刚好经历一个圆周，它是2π

继续转下去就是2π+θ

第一次转到y轴负方向刚好经历一个直角，由于方向是负的，它是-π/2

第一次转到x轴负方向刚好经历一个平角，由于方向是负的，它是-π

第一次转到y轴正方刚好经历一个平角+一个直角，由于方向是负的，它是-3π/2

第一次转回到x轴正方向刚好经历一个圆周，由于方向是负的，它是-2π

继续转下去就是-2π-θ（θ＞0）

在单位圆里，取x轴正方向上的半径为起始，规定它为0rad，让它绕着圆心逆时针旋转（箭头方向）π/2，到达y轴正方向

（0，π/2)范围内，半径都落在第一象限内。

它在旋转过程中依次经过红色、蓝色、绿色3个位置

从这3条半径在圆上的端点分别向x轴、y轴引垂线

可以看出，它们的正弦（纵坐标）、余弦值（横坐标）都是正的。

此时它们的正切值（正弦值比余弦值）也都是正的。

正弦值逐渐增大（0→1）

余弦值逐渐减小（1→0）

正切值逐渐增大（0→无限大）。

继续旋转，从y轴正方向（（0，1））继续旋转π/2，到x轴负方向，此时共旋转π rad

该半径依次经过粉色、浅蓝、浅绿三个位置。

（π/2，π)范围内，半径都落在第二象限内。

从这三条线向x轴、y轴分别引垂线可以看到：

它们的正弦值（纵坐标）是正的，余弦值（横坐标）是负的。

此时它们的正切值（正弦值比余弦值）也是负的。

正弦值逐渐减小（1→0），

余弦的绝对值逐渐增大，由于是负的，数值逐渐减小（0→-1），

正切的绝对值逐渐减小，由于是负的，数值逐渐增大（负无穷大→0）

继续旋转半径（增大角度）直到3/4圆周（y周负方向），在（π，3π/2)范围内，半径都落在第三象限；以及再接着旋转半径到完整圆周（x周正方向），在（3π/2，2π)范围内，半径都落在第四象限。

请自行分析以上两种情况下，各三角函数的正负、单调性、取值范围。

当旋转一周时，半径又回到最初的起点，当继续增加角的大小，比如增加到（2+1/2）π时，它又开始重复最初的循环。因而，任何相差2π的整数倍的角的三角函数是相同的，无论转过多少圈都是如此。

当顺时针旋转时，半径先进入第四象限，然后是第二、第三、第一，然后进入下一个循环。

可以发现，当x向负方向旋转了θ角时，它与旋转了（2π-θ）角处在相同的位置，它们具有相同的三角函数。

互为相反数、和/差分别为π/2、π、2π的角的三角函数关系

刚刚，已经讨论了和为2π（x与2π-x）、差为2π（x与2π+x）的角的三角函数，它们是相同的，现在来看其他情况

从图中很容易看出，θ与-θ的值相同，只是一个顺时针旋转另一个逆时针旋转（或反过来），因此二者是关于x轴对称的，所以它们的横坐标（cos）相等，纵坐标（sin）互为相反数

初中数学已经学过，和为π/2的两个角，它们的正弦等于对方的余弦，余弦等于对方的正弦，正切等于对方的余切，余切等于对方的正切。随便画个直角三角形从定义出发就可以得证。

如上图所示OA旋转π/2后到达OB，方便起见，我们记∠X1OA=θ，则有：

现在我们把整个图向右旋转π/2，可以看出，B回到了A的位置

这很好理解，本来A就是转了+π/2到达B，现在B和坐标轴都转了-π/2，B自然回到A的位置，只不过x轴和y轴的横竖换了过来

从上图很容易看出，单纯看绝对值的话：

B向y轴（横着的）引垂线，与原来的A向x轴（横着的）引垂线的高度是相同的

B向x轴（竖着的）引垂线，与原来的A向y轴（竖着的）引垂线的高度是相同的

由于θ+π/2相当于逆时针旋转一个直角，因此当A在第二象限时，θ+π/2必然落在第三象限；当A在第三象限时，θ+π/2必然落在第四象限；当A在第四象限时，θ+π/2必然落在第一象限。

对于以上三种情况，请自行作图、旋转观察它们的绝对值大小和正负号变化。

根据以上四次操作，可以得到：

为了更加直观形象，可以这样理解记忆。

请先自行想象（想象不出就随便画个）直角坐标系和单位圆，并随便画个第一象限角

它要是比π/4小就认为它“躺着”，要是比π/4大就叫认为它“站着”

增加π/2后，原本“躺在”第一象限的角变成“站在”第二象限的角，原本“站在”第一象限的角变成“躺在”第二象限的角，因而它们的sin和cos的绝对值是互换的。

从第一象限进入第二象限，纵坐标（sin）都是正的，因而sin(θ+π/2)也是正的，cos变sin不变号；横坐标（cos）从正的变成了负的，因而cos(θ+π/2)变成负的，sin变cos要变号。

只要记住了第一象限角+π/2变成第二象限角，写出公式就可以了，它对所有角都适用。

很容易得出：∠X2OB=θ，

所以OA和OB是关于y轴镜面对称的

再来看符号：在第一和第二象限的纵坐标都是正的；第一象限的横坐标是正的，第二象限的横坐标是负的

对于A是第二、三、四象限角的情况请自行画图讨论，会发现与第一象限相同，因此对于任意角都有：

这种情况下的推导过程非常直观，也很容易理解和记忆，θ与π-θ必然是关于y轴对称的，因而它们的纵坐标相等，横坐标互为正负。

现在来证明下为什么必然关于y轴对称：

若第一象限：0＜θ＜π/2，则如前所述。

若第二象限：π/2＜θ＜π，则仍如前所述，只不过A和B角色互换。

若第三项先：π＜θ＜π3/2，则-π/2＜π-θ＜0（顺时针倒着转，第四象限），二者都在x轴下方关于y轴对称

若第四象限：π3/2＜θ＜2π，则-π＜π-θ＜-π/2（顺时针倒着转，第三象限），二者都在x轴下方关于y轴对称，A和B与上个情况中的角色互换。

可以看出来，当θ变成π+θ后，相当于做了关于原点的中心对称变化，它的横坐标、纵坐标都变为原来的相反数，绝对值不变，符号变。

并可以推出：tan(θ+π)=tanθ （负负得正）

对于互为相反数，以及和或差等于π/2、π、2π的角的三角函数之间的关系，必须要非常非常熟练，这是三角函数题目中非常基础的应用。

鉴于死记硬背有困难并可能记错，可以借鉴“直观理解”部分提供的方法，简单画个草图，利用草图直接写下相关关系。

在画图的过程中为避免看错，随意选取的角尽量远离π/4，适当贴近坐标轴会更直观明白。

由于以上公式对任意角都成立，因而画上最熟悉的情形（通常是锐角）进行推断即可。

此外，对于所有和或差为nπ/2（n为正数）的角之间的关系，都要认真一步一步转化为以上形式再做判断，尽量不要跳跃。

我们有从x轴正方向逆时针旋转到OB的角∠X1OB为∠B，从x轴正方向逆时针旋转到OA的角∠X1OA为∠A，则∠BOA=∠A-∠B

现在把∠BOA顺时针旋转∠B，让OB和x轴重合，如下图所示

由于做旋转变换后，AB的长度不变，所以有：

将上式用-B替换B得到：

将上式用-B替代B得到：

将上式用-B替代B得到：

将以上和的公式中的B换为A就得到了二倍角公式：

这两个公式的优势在于只有一个未知项cosA或sinA

把2A看作一个角（B），则A是它的一半（B/2），我们可以推出半角公式：

这里的正负号需要根据实际情况确定

如果上下同时乘以2cos(B/2)就可以得到：

以上两个公式的优势在于免去了正负号的不确定

利用sin和cos的二倍角公式，可以得到：

以上三个公式的优势在于变形后的式子里只有一个未知项tan(A/2)

以上3个也叫作万能置换公式

积化和差 和 和差化积公式

把A和B分别用(α+β)/2和(α-β)/2替换，用和角公式和差角公式很容易求出：

对于形如：asinx+bcosx 的式子，利用两角和的正弦公式可以转化为

此处相当于把a和b看作一个直角三角形的两条直角边，因此其斜边为 \sqrt{a^{2}+b^{2}}

利用两角和余弦公式也可以将其转化为：

最后要了解两个定理，这两个定理和三角函数的直接关联并不是很大，但在解三角形、非向量的平面几何中经常用到：

对于△ABC，设∠A、∠B、∠C对应的边长分别为a、b、c，则有：

这条定理非常容易证明，只要从每个顶点向对边引垂线，然后用面积公式：

然后等式三部分分别除以a*b*c即可

对于锐角三角形，sinx随着x增大而增大，该定理与“大边对大角、小边对小角”也相一致

在x轴上任意取点B，空间内任取点C，并连接OB、OC，过C做x轴的垂线垂足为A

对于△OCB，设∠O、∠B、∠C的对边分别为o、b、c

用A替换O、a替换o得到余弦定理：

以上3个式子是对称的，仔细观察它们的对称性对记忆很有帮助

解三角形就是知道三角形的几个元素后求其他的元素，主要利用的就是正弦定理和余弦定理

这里先回顾初中学习的全等三角形

所谓全等三角形，就是经过旋转、翻转、平移后，两个能完全重合的三角形

全等三角形的判别方式有：

边边边、边角边、角边角、角角边，斜边直角边

可以这么理解：若两个三角形全等，那么他们就是同一个三角形，只不过出现在不同的位置而已

因此全等三角形的判定条件，也是确定唯一三角形的条件

也就是说只要知道了边边边、边角边、角边角、角角边，斜边直角边中的任一种情形，这个三角形就是唯一确定的！

根据余弦定理，知道了3边的长，每个边的对角也都可以计算得出，因而该三角形唯一

根据余弦定理，知道了夹角和它的两夹边，那么已知角的对边可以唯一确定，再根据余弦定理可以计算得出其他两个边的对角

根据三角形的内角和为π，可以求出夹边的对角，再根据正弦定理，计算出两个已知角的对边

根据三角形的内角和为π，可以求出未知的角，再根据正弦定理，计算出其他2个未知的边

知道了斜边直角边，根据sin或cos的定义，两个锐角都可以确定，第三条直角边也很容易确定

同样是三个条件，为什么角角角、边边角就不能唯一确定三角形呢？

我们知道，三个角相等，边长不同的三角形是相似三角形，它们相应的边具有相同的比例关系，可以看做是同一个三角形的三条边等比例放大或缩小，它的三个角大小不变。

我们假设已知边a、b，和a的对角A（黑色）

那么问题来了，B究竟是锐角还是钝角呢？

因此无法唯一确定三角形

如下图，黑的的a、b、A是已知的，红色的c、B、C不是唯一的

将已确定边a沿着未确定c向外旋转，延长未确定边c于a的另一边连接即可

可以看出，这两个三角形的边a、b和角A是相同的

事实上，这两个图形里的∠B互补

值得注意的是，在求三角形的未知角时，尽量使用余弦定理而不是正弦定理，因为一个角和它的补角的正弦值相同，有的情况下无法确定它是锐角还是钝角。

三角函数的基础知识非常的多且繁琐，这章还不是全部。

这些基础知识必须非常熟练地掌握，要像加减乘除指数对数的运算法则那么熟练才可以，需要非常大量的基础训练来提高熟练度，增强对各种变换敏感性。

要对通过单位圆中半径不断的旋转，造成各三角函数在数值和符号上的变化的过程和结果非常熟悉，这是掌握三角函数的最最基础。

要把使用习惯从角度°变为弧度rad，并牢记特定值的三角函数。

最后再强调遍，本篇是三角函数基础的基础，需要大量训练，理解、记忆！