鉴于这篇论文对于 C++ 从业者的重要性，的主办方 组织了一群译者，把这篇重要论文翻译成了中文，让 C++ 开发人员对 C++ 的设计原则和历史有一个系统的了解。下面是论文的完整摘要：

到 2006 年时，C++ 已经在业界广泛使用了 20 年。它既包含了自 1970 年代初引入 C 语言以来一直没有改变的部分，又包含了在二十一世纪初仍很新颖的特性。从 2006 年到 2020 年，C++ 开发者人数从约 300 万增长到了约 450 万。在这段时期里，有新的编程模型涌现出来，有硬件架构的演变，有新的应用领域变得至关重要，也有好些语言在争夺主导地位，背后有雄厚的资金支持和专业的营销。C++——一种没有真正商业支持的、老得多的语言——是如何在这些挑战面前继续茁壮成长的？

本文重点关注 ISO C++ 标准在 2011 年、2014 年、2017 年和 2020 年的修订版中的重大变化。标准库在篇幅上约占 C++20 标准的四分之三，但本文的主要重点仍是语言特性和它们所支持的编程技术。

本文包含了长长的特性清单，其中记录了 C++ 的成长。我会对重要的技术要点进行讨论，并用简短的代码片段加以说明。此外，本文还展示了一些失败的提案，以及导致其失败的讨论。它提供了一个视角，如何看待这些年来令人眼花缭乱的事实和特性。我的重点是塑造语言的想法、人和流程。

讨论主题包括各种方向上的努力，包括：通过演进式变化保留 C++ 的本质，简化 C++ 的使用，改善对泛型编程的支持，更好地支持编译期编程，扩展对并发和并行编程的支持，以及保持对几十年前的代码的稳定支持。

ISO C++ 标准是通过一个共识流程演化而来的。无可避免，在方向、设计理念和原则方面，不同的提案间存在竞争和（通常是礼貌性的）冲突。委员会现在比以往任何时候都更大、更活跃，每年有多达 250 人参加三次为期一周的会议，还有更多的人以电子方式参加。我们试图（并不总是成功）减轻各种不良影响，包括“委员会设计”、官僚主义，以及对各种语言时尚的过度热衷。

具体的语言技术话题包括内存模型、并发并行、编译期计算、移动语义、异常、lambda 表达式和模块。要设计一种机制来指定模板对其参数的要求，既足够灵活和精确，又不会增加运行期开销，实践证明这很困难。设计“概念”来做到这一点的反复尝试可以追溯到 1980 年代，并触及到 C++ 和泛型编程的许多关键设计问题。

文中的描述基于个人对关键事件和设计决策的参与，并以 ISO C++ 标准委员会档案中的数千篇论文和数百份会议记录作为支持。

下面是论文的一级目录：

参加论文翻译工作的译者有（按拼音序）：

论文翻译的校对和体例统一工作由吴咏炜、杨文波、张云潮完成。最后的发布由吴咏炜完成。

我们翻译的是论文的正文部分，英文原文超过 140 页。最后的参考文献部分，由于翻译的意义不大，没有译出。不过，这也带来了一个小小的负面后果：虽然我们对论文内部的交叉引用可以用脚本生成链接，但对指向参考文献的链接就完全无能为力了。所以，如果想要阅读参考文献的话，只能请你到结尾的 References 部分自行查找了。

翻译过程中我们发现了一些原文中的小问题，并在译文中进行了修正或标注（绝大部分已经经过 Bjarne 老爷子确认）。当然，在翻译过程中引入翻译错误或其他技术问题，恐怕也在所难免——不过，跟 ACM 上发表论文不同，这个网页仍然是可以修正的。所以，如果你，亲爱的读者，发现问题的话，请不吝提交 pull request，我们会尽快检查并进行修正。

最初，我设计 C++ 是为了回答这样的一个问题：如何直接操作硬件，同时又支持高效、高级的抽象？C++ 在 1980 年代仅仅是一个基于 C 和 Simula 语言功能的组合，在当时的计算机上作为系统编程的相对简单的解决方案，经过多年的发展，已经成长为一个远比当年更复杂和有效的工具，应用极其广泛。它保持了如下两方面的关注：

• 语言构件到硬件设施的直接映射

这种组合是 C++ 区别于大多数语言的决定性特征。“零开销”是这样解释的 [Stroustrup 1994]：

• 你不用的东西，你就不需要付出代价（“没有散落在各处的赘肉”）。
• 你使用的东西，你手工写代码也不会更好。

抽象在代码中体现为函数、类、模板、概念和别名。

C++ 是一种活的语言，因此它会不断变化以应对新出现的挑战和演变中的使用风格。2006 年至 2020 年期间的这些挑战和变化是本文的重点。当然，一门语言本身不会改变；是人们改变了它。所以这也是参与 C++ 演化的人们的故事，他们识别出面临的挑战，诠释解决方案的局限，组织他们的工作成果，并解决他们之间必然出现的分歧。当我呈现一种语言或标准库特性时，其背景是 C++ 的一般发展和当时参与者的关切。对于在早期被接受的许多特性，我们现在从大量的工业使用中获得了后见之明。

C++ 主要是一种工业语言，一种构建系统的工具。对于用户来说，C++ 不仅仅是一种由规范定义的语言；它是由许多部分组成的工具集的一部分：

• 庞大的——常常是旧的——代码库

只要有可能，只要合适，我就会考虑这些组成部分之间的相互作用。

有一种流传广泛的谬见，就是程序员希望他们的语言是简单的。当你不得不学习一门新的语言、不得不设计一门编程课程、或是在学术论文中描述一门语言时，追求简单显然是实情。对于这样的用途，让语言干净地体现一些明确的原则是一个明显的优势，也是理想情况。当开发人员的焦点从学习转移到交付和维护重要的应用程序时，他们的需求从简单转移到全面的支持、稳定性（兼容性）和熟悉度。人们总是混淆熟悉度和简单，如果可以选择的话，他们更倾向于熟悉度而不是简单。

看待 C++ 的一种方式是，把它看成几十年来三种相互矛盾的要求的结果：

• 立即添加这两个必要特性！！
• 不要搞砸我的（任何）代码！！！

我添加了感叹号，因为这些观点的表达常常带着不小的情绪。

我想让简单的事情简单做，并确保复杂的事情并非不可能或没有必要地难。前者对于不是语言律师的开发者来说是必不可少的；后者对于基础性代码的实现者是必要的。稳定是所有意图持续运行几十年的系统的基本属性，然而一种活的语言必须适应不断变化的世界。

标准委员会控制，它主要关注的是长长的新特性列表，以及对实际细节的关心。这是社区里最能表达和最有影响力的人所坚持的东西，仅仅基于哲学或理论观点就否认他们的关切和意见的话，恐怕就失之鲁莽了。

即使有了 C++11 的支持，我仍然认为无锁编程是专家级的工作。

——出色的在线参考资料；它甚至有一个历史部分！

• 会议——CppCon、ACCU、Meeting++、C++ Now（以前称为 BoostCon）、Qt、NDC、std::cpp 的会议，以及在波兰、俄罗斯、中国、以色列和其他地方的一些会议。此外，很多通用软件会议上也在越来越多的安排 C++ 专题。
• 博客——有许多，播客也是。
• 视频——视频已成为有关 C++ 的最新进展的主要信息来源。主要的 C++ 会议通常会录制演讲视频并将其发布以供免费访问（例如 CppCon、C++Now 和 Meeting++）。视频采访已变得很流行。最多最受欢迎的托管网站是 YouTube，但不幸的是，YouTube 在有些拥有大型 C++ 开发者群体的国家（例如中国）被封了。
• GitHub——使共享代码和组织联合项目开发变得更加容易。

跟某些语言和供应商的集中组织相比，这还差得很远。但是，这些 C++ 社区和组织富有活力，彼此保持联系，并且比在 2006 年的时候活跃得多。此外，一些企业的用户组和会议也仍然活跃。

从 2006 年不太理想的状态（）到现在，C++ 的教育是否得到了改善？也许吧，但是对于 C++ 来说，教育仍然不是强项，大多数教育还都集中在为业内人士提供信息和培训上。在大多数国家/地区，很多大学毕业生对 C++ 语言及使用它的关键技术只能算一知半解。对于 C++ 社区来说，这是一个严重的问题。因为，对于一门语言来说，如果没有热情洋溢的程序员们源源不断、前赴后继地精通其关键设计和实现技术，那它是无法在工业规模上取得成功的。假如更多使用 C++ 的开发者知道如何更好地使用它，那他们就能做太多太多的事来改进软件！如果毕业生带着更准确的 C++ 视角进入工作岗位，那么太多太多的事情会变得容易得多！

教学所面临的一个问题是教育机构经常将编程视为低级技能，而不是基础课目。好的软件对我们的文明至关重要。为了把控软件，我们需要像对待数学和物理学一样，严肃认真地对待关键系统的软件开发。那种削足适履的方式对于教育和软件开发是行不通的。一个学期的教学也远远不够。我们永远都不会期望在教了短短几个月英语之后，学生就会懂得欣赏莎士比亚。同样，了解语言的基本机制与精通内行所使用的惯用法和技巧之间是有差距的。就像任何主要的现代编程语言一样，教授 C++ 也需要根据学生的背景和需求相应地调整教学方法。即使教育机构意识到了这些问题并愿意做出一些弥补，奈何学生已经课满为患，教师也很难保持不跟工业实践脱节。SG20（教育）正试图总结教授和使用现代 C++ 的方法来提供一些帮助。SG15（工具）则可能提供更多支持教学的工具，从而越来越多地发挥重要作用。

从 C++11 开始，我们对此有了越来越多的认识。例如，Kate Gregory 制作了一些很棒的视频，介绍了如何教授 C++ [Gregory , 2018]。最近的一些书籍认识到在支持教育方面，不同的受众存在不同的需求，并试图迎头解决这些问题：

自 2014 年左右以来，视频和在线课程的使用急剧增加。这对 C++ 的教学来说很有帮助，因为这样就不需要一个中心组织或大量资金的支持。

以下列出了从 2006 到 2020 年间，与 C++ 语言相关的学术研究成果：

看起来还有更多的关于 C++ 的学术研究机会，关于语言的特性和技巧（例如，异常处理、编译期编程和资源管理），以及其使用的有效性（例如，静态分析或基于真实世界代码和经验的研究）。

与其他语言相比，在 1990 年代初期到中期，C++ 在用于工业用途的工具和编程环境方面做得相当不错。例如，图形用户界面和集成软件开发环境都率先应用于 C++。后来，开发和投资的重点转移到专属语言，例如 Java（Sun）、C#（微软）和 Objective-C（苹果）以及更简单的语言，例如 C（GNU）。

在我看来，有两个主要原因：

• 资金：组织倾向于使用他们可以控制的语言和工具，从而提供比竞争对手更大的差异化优势。从这个角度来看，C++ 由正式的标准委员会控制、强调所有人的利益，这反倒成了一个缺点——某种公地悲剧的变体。
• 宏和文本定义：C++ 没有一个简单，可广泛使用的内部表示形式来简化基于源代码的工具构建，并且大量使用宏必然导致程序员看到的跟编译器所分析的有所不同。和 C 一样，C++ 是根据字符序列来定义的，而非根据直接表示抽象且更易于操作的构件来定义。我与 Gabriel Dos Reis 一起定义了这样一个表示形式 [Dos Reis and Stroustrup 2009, 2011]，但事实证明 C++ 社区中面向字符的传统难以克服。当初建造时没有意识到的规范化结构，想通过翻新加上去就难了。

因此，在 2006–2020 年期间，与其他语言相比，C++ 被支持工具方面的问题严重困扰。但是，随着以下这些工具的涌现，这种情况得到了稍许改善：

• 在线编译器：例如 Compiler Explorer [Godbolt 2016] 和 Wandbox [Wandbox 2016–2020]。这些系统允许从任何浏览器中编译 C++ 程序，有时甚至可以执行。它们可用于实验，检查代码质量，还有比较不同的编译器及编译器和库的不同版本。
• 编译器工具支持：例如 LLVM 编译器后端基础设施，可简化代码生成和代码分析 [LLVM 2003–2020]。除了 C++ 本身，这为许多新语言提供了福利。

上面列出的只是一些示例。像往常一样，C++ 用户面临的问题是可选方案的数量众多，例如：[RC++ 2010–2020] 列出了 26 个用于在编译时生成代码的系统，并且有数十个程序包管理器。因此，我们需要的是某种形式的标准化。

截至 2020 年，工具仍不是 C++ 的强项，但我们正在大范围内取得进展。

针对大多数现实问题的最佳解决方案需要组合使用多种技术，这也是 C++ 演进的主要动力。自然地，这让那些声称拥有单个简单最佳解决方案（“编程范式”）的人感到不爽，但是支持多种风格一直是 C++ 的根本优势。考虑一下“绘制所有形状”的例子，这个例子自 Simula 发展早期（绘图设备为湿墨绘图仪）以来就一直用于说明面向对象编程。用 C++20，我们可以这样写：

该段代码是什么编程范式？

• 显然，它是面向对象编程：使用了虚函数和类层次结构。
• 显然是泛型编程：使用了模板（通过使用 range 概念进行参数化，我们得到一个模板）。
• 显然，这是普通的命令式编程：使用了 for 循环，并按照常规 f(x) 语法定义了一个将要被调用的函数。

对这个例子我可以进一步展开：Shape 通常具有可变状态；我可以使用 lambda 表达式，也可以调用 C 函数；我可以用 Drawable 的概念对参数进行更多约束。对于各种“更好”的定义，适当的技术组合比我能想到的任何一种单一范式所能提供的解决方案更好。

C++ 支持多种编程风格（如您坚持，也可以称为“范式”），其背后的想法并不是要让我们选择一种最喜欢的样式进行编程，而是可以将多种风格组合使用，以表达比单一风格更好的解决方案。

在 2006 年，许多 C++ 代码仍然是面向对象的风格和 C 风格编程的混合体。自然而然的，到 2020 年仍然有很多类似这样的代码。但是，随着 C++98 的到来，STL 风格的泛型编程（通常称为 GP）变得广为人知，并且用户代码也逐渐开始使用 GP，而不只是简单地使用标准库。C++11 中对 GP 的更好支持为在生产代码中更广泛的使用 GP 提供了极大的便利。但是，C++17 中缺少概念（），这仍然阻碍了 C++ 中泛型编程的使用。

基于模板的泛型编程是 C++ 标准库的支柱：容器、范围（）、算法、iostream、文件系统（）、随机数（）、线程（）（）、锁（）（）、时间（）（）、字符串、正则表达式（）和格式化（）。

C++ 中的元编程出自泛型编程，因为两者都依赖于模板。它的起源可以追溯到 C++ 模板的早期，当时人们发现模板是图灵完备的 [Vandevoorde and Josuttis 2002; Veldhuizen 2003]，并以某种有用的形式提供编译期纯函数式编程。

模板元编程（通常称为 TMP）往往非常丑。有时，这种丑陋通过使用宏来掩盖，从而造成了其他问题。TMP 几乎无处不在，这也证明了它确实有用。例如，如果没有元编程，就无法实现 C++14 标准库。许多技巧和实验在 2006 年前就有了，但是 C++11 具有更好的编译器、变参模板（）和 lambda 表达式（），这些推动了 TMP 成为主流用法。C++ 标准库还增加了更多元编程的支持，比如：编译期选择模板 conditional，允许代码依赖于类型属性的类型特征（type trait）如“能否安全地按位复制类型 X？”（），还有 enable_if（）。举例来说：

计算类型以精确地反映需求，这可以说是 TMP 的本质。我们还可以计算值：

注意，模板特化在其中起着关键作用，这一点在大多数 TMP 中是必不可少的。它已用于计算复杂得多的数值，也可以表示控制流（例如，在编译期计算决策表，进行循环展开，等等）。在 C++98 [Stroustrup 2007] 中，模板特化是一个很大程度上没有得到足够重视的特性。

在设计精巧的库中以及在现实世界的代码中，诸如 enable_if 之类的原语已成为数百甚至数千行的程序的基础。TMP 的早期示例包含一个完整的编译期 Lisp 解释器 [Czarnecki and Eisenecker 2000]。此类代码极难调试，而维护它们更是可怕的差事。我见识过这样的情形，几百行基于 TMP 的代码（不得不承认非常聪明），在一台 30G 内存的计算机上编译需要好几分钟的时间，由于内存不足而导致最终编译失败。即使是简单的错误，编译器的错误信息也可以达到几千行。然而，TMP 仍被广泛使用。理智的程序员发现，尽管 TMP 有着各种问题，仍比起其他方案要好。我见过 TMP 生成的代码比我认为一个合格的人类程序员会手写的汇编代码要更好。

因此，问题变成了如何更好地满足这种需求。当人们开始把像 fac<> 这样的代码视为正常时，我为此而感到担心。这不是表达普通数值算法的好方法。概念（）和编译期求值函数（constexpr（））可以大大简化元编程。举例来说：

这个例子说明，当我们需要一个值时，函数是最佳的计算方式，即使——尤其——在编译期。传统模板元编程最好只保留用于计算新的类型和控制结构。

我对 C++ 语言的最终目标是：

• 使用和学习上都要比 C 或当前的 C++ 容易得多
• 完全类型安全——没有隐式类型违规，没有悬空指针
• 完全资源安全——没有泄漏，不需要垃圾收集器
• 为其构建工具要相对简单——不要有宏
• 跟当前 C++ 一样快或更快——零开销原则
• 性能可预测——适用于嵌入式系统
• 表达力不亚于当前的 C++——很好地处理硬件

这和《C++ 语言的设计和演化》[Stroustrup 1994] 及更早版本中阐述的设计目标并没有太多不同。显然，这是一项艰巨的任务，并且与较旧的 C 和 C++ 的多数用法不兼容。

最早，在 C++ 还是“带类的 C”的时候，人们就建议创建语言的安全子集，并使用编译器开关来强制执行这种安全性。但是，由于许多原因中的某一个原因，这些建议失败了：

• 没有足够的人在“安全”的定义上达成一致。
• 不安全特性（对每种“不安全”的定义来说）是构建基本安全抽象的基础。
• 安全子集的表达能力不足。

第二个原因意味着，你不能仅仅通过禁止不安全的功能来定义一个安全的 C++。“通过限制以达到完美”这个方法，对于编程语言的设计来说，在极其有限的场合下才能发挥作用。你需要考虑那些一般来说不安全但有安全用途的特性的使用场景和特征。此外，该标准不能放弃向后兼容（），所以我们需要一种不同的方法。

让良好的编程成为可能比防止错误更重要。

这意味着我们需要“良好使用”的指南，而不是语言规则。但是，为了在工业规模上有用，指南必须可以通过工具强制执行。例如，从 C 和 C++ 的早期开始，我们就知道悬空指针存在的问题。例如：

虽然许多程序员已经开发出防止指针悬空的技术。但是，在大多数大型代码库中，悬空指针仍然是一个主要问题，安全性问题比过去更加关键。一些悬空的指针可以作为安全漏洞被利用。

在 2004 年，我帮助制定了一套用于飞行控制软件 [Lockheed Martin Corporation 2005] 的编码指南，这套指南接近于我对安全性、灵活性和性能的构想。2014 年，我开始编写一套编码指南，以解决这一问题，并在更广泛的范围内应用。这一方面是为了回应对用好 C++11 的实用指南的强烈需求，另外一方面是有人认为的好的 C++11 让我看着害怕。与人们交谈后，我很快发现了一个明显的事实：我并不是唯一沿着这样的路线思考和工作的人。因此，一些经验丰富的 C++ 程序员、工具制作者和库构建者齐心协力，与来自 C++ 社区的众多参与者一起启动了 C++ 核心指南项目 [Stroustrup and Sutter 2014–2020]。该项目是开源的（MIT 许可证），贡献者列表可以在

核心指南绝不是唯一的 C++ 编码指南项目，但却是最突出、最雄心勃勃的。它们的目标明确而清晰，那就是显著提升 C++ 代码的质量。例如，早在 Bjarne Stroustrup、Herb Sutter 和 Gabriel Dos Reis 的论文中 [Stroustrup et al. 2015] 就阐明了关于完全类型和资源安全的理想和基础模型。

为了实现这些雄心勃勃的目标，我们采用了一种“鸡尾酒式”的混合方法：

• 规则：一套庞大的规则集，意图在 C++ 里实现使用上的类型安全和资源安全，推荐那些已知的有效实践，并禁止已知的错误和低效的来源。
• 基础库：一组库组件，使程序员可以有效的编写低层次程序，而无需使用已知的容易出错的功能，并且从总体上为编程提供更高层次的基础。大多数组件来自标准库，其中一些来自以 ISO 标准 C++ 编写的小型指南支持库（Guidelines Support Library，GSL）。
• 静态分析：检测违规行为、并强制执行指南关键部分的工具。

这些方法中的每一种都有很长的历史，但是每一项都无法单独在工业规模上解决这些问题。例如，我是静态分析的忠实拥护者，但是如果程序员使用动态链接的方式在一个单独编译的程序中编写任意复杂的代码，那么我最感兴趣的分析算法（例如，消除悬空指针）是不能求解成功的。这里的“不能”是指“一般说来，理论上是不可能的”，以及“对于工业规模的程序而言在计算上过于昂贵”。

基本方式不是简单的限制，而是我称之为“超集的子集”或 SELL 的方法 [Stroustrup 2005]：

• 首先，通过库功能对语言进行扩展，从而为正确的使用语言奠定坚实的基础。
• 然后，通过删除不安全、易出错及开销过高的功能来设置子集。

对于库，我们主要依赖标准库的各个部分，例如 variant（）和 vector。小型指南支持库（GSL）提供了类型安全的访问支持，例如 span 可以提供在给定类型的连续元素序列上的带范围检查的访问（）。我们的想法是通过将 GSL 吸收到 ISO 标准库中，从而最终也就不需要它了。例如，span 已被添加到 C++20 标准库中。当时机成熟时，GSL 中对于契约的微弱支持也应当被合适的契约实现所替代（）。

为了能规模化，静态分析完全是局部的（一次仅一个函数或一个类）。最难的问题与对象的生命周期有关。RAII 是必不可少的：我们已经不止一次的看到，手动资源管理的方法在很多语言中都很容易出错。此外，也有很多现存的程序，以一种有原则的方式使用指针和迭代器。我们必须接受此类使用方式。要使一个程序安全很容易，我们只需禁止一切不安全的功能。然而，保持 C++ 的表现力和性能是核心指南的目标之一，所以我们不能仅仅通过限制来获得安全。我们的目的是一个更好的 C++，而不是一个缓慢或被阉割的子集。

通过阐明原则、让那些优秀的做法更加显而易见、以及对已知问题进行机械化检查，这些指南可以帮助我们把教学的重点放在那些让 C++ 更有效的方面。这些指南还有助于减轻对语言本身的压力，以适应最新的发展趋势。

对于对象的生命周期，主要有两个要求：

• 切勿指向超出范围的对象。

指针指向已知会超过函数生命周期的对象（例如，作为参数被传递到函数中），我们可以返回它，但对于指向局部资源的指针就不行。在遵循该指南的程序中，我们可以确保作为参数的指针指向某资源或为 nullptr。

为避免泄漏，上面示例中的“裸 new”操作应当通过使用资源句柄（RAII）或所有权标注来消除。

如果指针所指向的对象已重新分配，则该指针会变为无效。例如：

无效检查甚至比检查简单的悬空指针还要困难，因为很难确定哪个函数会移动对象以及是否将其视为失效（指针 p 仍然指向某个东西，但从概念上讲已经指向了完全不同的元素）。尚不清楚在没有标注或非本地状态的情况下，静态分析器是否可以完全处理无效检查。在最初的实现中，每个将对象作为非 const 操作的函数都被假定为会使指针无效，但这太保守了，导致了太多的误报。最初，关于对象生命周期检查的详细规范是由 Herb Sutter [Sutter 2019] 编写的，并由他在微软的同事实现。

范围检查和 nullptr 检查是通过库支持（GSL）完成的。然后使用静态分析来确保库的使用是一致的。

核心指南是为逐步和有选择地采用而设计的。因此，我们看到其中一部分在工业和教育领域被广泛采用，但很少被完全采用。要想完全采用，良好的工具支持必不可少。

编程语言设计的最终目的，是在程序员交付有用的程序的同时，改进他们的思考方式和工作方式。尽管有些程序语言被视为“只是实验性的”，但是一旦程序语言被用于和语言本身无关的实际工作，这门语言的设计者们就应对他们的用户承担相应的责任。正确、合适、稳定性和足够的性能就成为重要的课题。对 C++ 来说，这些事情在 1979 年仅用了 6 个月就发生了。C++ 已经茁壮成长了 40 年之久。为什么能成功？又是如何成功的？

我之前的 HOPL 论文 [Stroustrup ] 以 1991 到 2006 年的观点回答了这些问题。从那时起发生的变化，除了语言的特性和组件库之外，主要是标准委员会的作用和影响（）。

C++ 为高要求的应用而生，并成长为一种重要的编程语言——在某些领域，它甚至是主导语言。这是在没有认真的商业支持和没有营销的情况下达到的。许多现代语言拷贝了它的特性和理念。关键的语言技术贡献有：

• 静态类型系统，对内置类型和用户定义类型具有同等支持（）
• 既有值语义，又有引用语义（）
• 系统和通用资源管理（RAII）（）
• 支持高效的面向对象编程（）
• 支持灵活的和高效的泛型编程（）
• 直接使用机器和操作系统资源（）
• 通过库提供并发支持（往往使用内建函数实现）（）（）

相较于目前占主导地位的依靠垃圾收集器和广泛运行期支持的“托管”模式——典型的如 Java、C#、Python 和 JavaScript（）等语言——C++ 提供了一种不同的、对许多应用领域来说更好的软件模式。我所说的 “更好”是指更容易编写、更有可能正确、更可维护、使用更少的内存、耗能更低和更快。

这些贡献的领域是互帮互助的，举例来说：

• 引用语义（例如，指针和智能指针）支持使用值语义（例如，jthread 和 vector）高效地实现高级类型。
• 对内置类型和用户定义类型的统一规则，简化了泛型编程（内置类型不是特殊情况）。
• 编译期编程使得一系列的抽象技术因为能够有效使用硬件而变得负担得起。
• RAII 允许使用用户定义的类型，而无需采取特定的操作来支持其实现对资源（包括非内存资源）的使用。

11.2 技术上的成功

C++ 成功的根本原因很简单——它填补了编程领域的一个重要的“生态位”：

需要有效使用硬件和管理高复杂性的应用程序

如果你能负担得起“浪费”25% 甚至 99% 的硬件机能，那可供选择的编程语言和环境就多了。如果你的底层模块需要仅仅千行的底层代码，C 语言或者汇编语言可以效劳。40 年以来，C++ 的独特“生态位”足以使其社区不断成长。

这里有一个现代（2014 年）的 C++ 总结：

• 带构造和析构函数的类、继承、泛型编程、函数对象
• 最初来自于 Simula 语言（当时还不是零开销的）

Simula 开创了许多抽象机制和一个灵活的类型系统，但在运行时间和空间成本上，它们带来了沉重的代价。与 1995 年的 C++（）描述相比，关注点从编程技术转向了问题领域。这更多的是解释风格和人们兴趣的不同，而不是语言设计的不同。这两个总结现在和当时都是准确的。

在过去几十年的基础上，21 世纪的关键技术进步包括：

• 类型安全的并发支持：线程和锁（）、并行算法（）、合并线程（）
• 类型推导：auto（）、概念（）、模板参数推导（）、变参模板（）
• 简化使用：auto（）、范围 for（）、并行算法（）、范围（）、lambda 表达式（）
• 编译期编程：constexpr（）、编译期循环（）、可确保的编译期求值和容器（）、元编程（）
• 泛型编程：STL（）、概念（）、用户定义类型作为模板参数（）、lambda 表达式（）

它们都与零开销原则相关，但最后两个有点令人惊讶，因为在 2006 至 2020 年期间内，C++ 对它们的支持并不完全。

假如 C++ 分裂成互不兼容的方言，或者成为你无法长期依赖的东西，以上这些就都失去意义了：

• 稳定性和兼容性至关重要（）（）

C++ 的目的是成为构建应用程序的工具，许多用 C++ 开发的伟大应用程序，例如在（）和（）章节提到的那些，是 C++ 真正的成功。

11.3 需要工作的领域

没有一种语言对所有人和所有事都是完美的。对于这点，没有人比既懂多种语言、又严肃使用其中一种并努力支持它的人了解更多了。阻碍进步的很少是单纯的无知。相反，重大改进的主要障碍是缺乏方向、缺乏开发资源以及害怕破坏现有代码。

C++ 苦于诞生过早，在现代化的集成开发环境（IDE）、构建系统、图形界面（GUI）系统和 Unicode 问世之前就已经诞生了。我期待 C++ 能慢慢赶上来。举例来说：

• 工具使用：从 C 语言开始，用字符和词法标记来说明语义，以及用 #include 和宏来组织源代码，这一直是有效工具建设的主要障碍。模块应该会有所帮助（），而且是有可能为 C++ 设计出一个合理的内部表示的 [Dos Reis
• 教育：今天的 C++ 教学大多仍然过时和落后（）。核心指南（）是对实践进行现代化的一种方法。WG21 的教育研究小组（）和许多面向教育的会议报告表明，这些问题得到了重视和并正在解决中。
• 打包和发布：C++ 诞生时，由独立开发、维护的模块组成的软件并不常见。今天，已经有了用于 C++ 的构建系统和打包管理程序。然而，还没有一个是标准的，有些难以用于简单的任务，有些则不够通用，不能应对使用 C++ 构建的大规模系统。我在 2017 年的 CppCon 主题演讲中提出了这个问题，并向社区发起挑战 [Stroustrup 2017c] 来解决它。我认为我们正在看到进展。此外，C++ 社区还缺少一个标准的地方来寻找有用的库。Boost [Boost 1998–2020] 是解决这个问题的一个努力，GitHub 正逐渐成为一个通用的资源库。但要达到让相对的新手能找到、下载、安装和运行几个主流的库这样的方便程度，我们的路还很长。
• 字符集和图形：C++ 语言和标准库依赖于 ASCII，但大多数应用程序使用某种形式的 Unicode。WG21 工作组现在有一个研究小组试图找到一个方式去标准化 Unicode 支持（）。缺乏标准的图形和图形界面则是更难的问题。
• 清理陈年烂账：这非常困难，而且令人不快。例如，我们知道内置类型之间的隐式窄化转换会导致无穷无尽的问题（），但是有数以万亿计的 C++ 代码行，这些代码以难以预测的方式依赖于那些转换。试图通过添加“更现代”的特性来替换旧特性来进行改进很容易成为 N+1 问题（）的牺牲品。改进的工具（例如静态程序分析和程序转换）提供了希望。

大型语言社区所面临的挑战是多种多样的，不可能有单一而简单的解决方案。这不仅仅是一个语法、类型理论或基本语言设计的问题。有些问题是商业性的。在工业规模上取得成功所需的各种技能范围令人望而生畏。时间会证明，C++ 社区是否能处理好所有这些问题，以及更多的其他问题。这点上我适度乐观，因为现在所有领域都已经有一些积极的举措（）。

C++ 是由一个大型委员会控制的，成员多种多样，并且会不断变化（）。因此，除了技术问题外，我们必须考虑在语言的演化过程中什么是有效的：

• 问题驱动：C++ 开发应该被那些真实世界中的具体问题的需求所驱动。
• 简单：C++ 应该从简单、高效、易用的解决方案中进行推广而成长。
• 高效：C++ 语言和标准库应该遵循零开销原则。
• 稳定性：不要搞砸我的代码！

大部分（全部？）C++ 最成功部分的开发都遵从了那些“经验法则”。它们自然会限制语言的发展范围，但这是好事。C++ 并不意味着对所有的人都是无所不能的。此外，这些原则迫使 C++ 在现实世界的挑战中相对缓慢地成长，并从反馈中受益。也请参见《C++ 语言的设计和演化》中的其他“经验法则” [Stroustrup 1994] 和我的 HOPL2 论文 [Stroustrup 1993]。这里面一直有连续性。

相比之下，一个功能如果设计时没有明确专注在解决大部分开发者实际面临的问题上，那它通常会失败：

• 只为专家：某个功能从开始的时候就要满足所有专家的需要。
• 模仿：我们需要这个功能，因为它在另外某个语言里很流行。
• 理论性：语言理论里说语言里一定要有这个特性。
• 革命性：此功能非常重要，以至于我们必须打破兼容性，或者摒弃那些不好的老方法。

我的结论是，尽早确定方向和期望至关重要。稍晚一些，就会有太多的人有太多的不同意见，因而无法达成一套连贯而一致的想法。

给定一个方向和一套原则，一种语言可以基于反馈、用户经验、实验和作为工具的理论成长。这是好的工程方法；反之，则是无原则的实用主义或教条的理想主义。

C++ 标准委员会的章程几乎只关注语言和库的设计。这是有局限性的。一直以来，像动态链接、构建系统和静态分析之类的重要主题大多被忽略了。这是个错误。工具是软件开发人员世界的一个重要组成部分，要是能不把它们置于语言设计的外围就好了。

热衷于各种不同的想法具有危险性。在 2018 年的一篇论文 [Stroustrup 2018d] 中，我列出了 51 条最近的提案：

我列出了我认为有可能显著改变我们编写代码方式的论文，每一篇对教学、维护和编码指导都有重要的影响，其中许多对实现也有影响。

单独来说，许多（大多数）提案都是有道理的，但是放在一起却是疯狂的，甚至足以危及 C++ 的未来。

那篇论文的题目是《记住瓦萨号！》（Remember the Vasa!）。瓦萨号是 17 世纪瑞典的一艘宏伟战舰，由于设计上不断后期添加以及测试不充分，在首航时就沉没在斯德哥尔摩港。在 1990 年代，委员会经常提醒自己记得瓦萨号，但在 2010 年代，这一教训似乎已经被遗忘。

为了对委员会的流程进行组织约束，方向组提出 C++ 程序员的“权利法案” [Dawes et al. 2018]：

1. 编译期稳定性：新版本标准中的每一个重要行为变化都可以被支持以前版本的编译器检测到。
2. 链接期稳定性：除极少数情况外，应避免 ABI 兼容性破坏，而且这些情况应被很好地记录下来并有书面理由支持。
3. 编译期性能稳定性：更改不会导致现有代码的编译时间开销有明显增加。
4. 运行期性能稳定性：更改不会导致现有代码的运行时间开销有明显增加。
5. 进步：标准的每一次修订都会为某些重要的编程活动提供更好的支持，或为某些重要编程群体提供更好的支持。
6. 简单性：每一次对标准的修订都会简化某些重要的编程活动。
7. 准时性：每一次标准的修订都会按照公布的时间表按时交付。

接下来的几十年，我们将会看到结果到底怎么样。

“在 C++23 努力做到以下几点：”

• 通用异步计算模型（执行器）（）

注意关注点是在库上。“同时也在以下方面取得进展：”

• 函数式编程风格的模式匹配（）

鉴于这些议题的工作已经相当深入，委员会有可能会完成大部分工作。这一大群充满热情的人还能拿出什么东西并达成共识，就不那么容易预测了。对于未来几年，方向小组（我是其中的一员）提到了一些有希望进一步开展工作的领域 [Hinnant et al. 2020]：

• 支持简单图形和简单用户交互
• 探索错误处理的更好表达方式和实现方法

在委员会之外，我期望在构建系统、包管理和静态分析方面取得重大进展（）。

再往后的五年、十年或更远的未来，我在预测水晶球里就有点看不清了。在这个时间范围内，我们需要着眼于根本，而不是具体的语言特性。我希望标准委员会能注意到学到的教训（），并把重点放在根本上（）：

• 把完全资源安全和类型安全的 C++ 作为追求目标
• 很好地支持各种各样的硬件
• 保持 C++ 的稳定性记录（兼容性）

保持稳定性需要在关注兼容性的同时，抵制试图通过添加大量“完美”特性来取代不完美或不时髦的旧方式来大幅改善 C++ 的冲动。新的特性总是会带来意外（有些令人愉快，有些则不那么令人愉快），旧的特性不会简单地消失。记住瓦萨号！[Stroustrup 2018d]（）。很多情况下，库、指南和工具是比修改语言更好的方法。

对于单线程计算来说，硬件已无法变得更快，所以对效率的重视将持续存在，而有效支持各种形式的并发和并行的压力将不断增加（）。专用硬件将大量涌现（例如，各种内存架构和特殊用途的处理器）；这将使 C++ 这样的、可以利用这些硬件的语言受益。唯一比硬件性能增长更快的是人们的期望。

随着系统越来越复杂，开销可负担的抽象机制的重要性也在增加。对于依赖实时交互的系统，可预测的性能是至关重要的（例如，许多实时系统禁止使用自由存储（动态内存））。

随着我们对计算机化系统的依赖程度的增加、高手黑客数量的增多，安全问题只会越来越重要。为了防御，我看好硬件保护，看好更结构化、能支持更好的静态分析的系统，而非无休止的临时运行期检查和低级代码。

语言和系统之间的互操作性仍会至关重要；很少有大系统会只用一种语言来编写。

随着系统变得越来越复杂，对可靠性的要求也越来越高，对设计和编码质量的需求也急剧增加。我认为 C++ 已经为此做好了充分的准备，C++23 的计划是要进一步加强它。然而，仅靠语言特性是不足以满足未来需求的。我们需要有工具支持的使用指南，以确保语言的有效使用（）。特别是，我们需要确保完全的类型安全和资源安全，这必须反映在教育中。为了蓬勃发展，C++ 需要为新手提供更好的教育材料，也需要帮助有经验的程序员掌握现代 C++。仅仅介绍奇技淫巧和高级用法是不够的，而且反而会因为增强了 C++ 的复杂性名声而对语言造成伤害。

由于种种原因，我们需要简化大多数的 C++ 使用的场景。C++ 的演进已经使之成为可能，而我预计这一趋势将继续下去（）。改进的优化器——有能力利用代码中使用的类型系统和抽象——让优化这件事变得不同了。在过去的几年里，这极大地改变了我优化代码的方式。我从放弃精巧而复杂的东西开始，那是错误的藏身之处；并且，如果我难以理解发生了什么，编译器和优化器也会如此。我发现，这种方法通常会给我带来从适度到惊人的性能提高，同时也简化了未来的维护。只有当这种方法不能给我带来我想要的性能时，我才会求助于高级（又称复杂）的数据结构和算法。这是 C++ 抽象机制设计上的一大胜利。

我期待着看到用 C++ 构建更多令人兴奋的应用程序，并看到新的编程惯用法和设计技巧的发展。

我也希望其他语言能从 C++ 的成功中学习。假如从 C++ 的演化中吸取的经验教训仅局限于 C++ 社区，那将是可悲的。我希望并期待在其他语言和系统中看到 C++ 模型的关键方面，这将是一个真正的成功衡量标准。在一定程度上，这已经发生了（）。

• 对大多数技术主题的描述都省略了很多可以看作是根本的内容。很多情况下，许多人经年累月的工作会被简化为一页甚至一句话。特别是，我忽略了并发性这个极其重要的话题；它应该有一篇专门的长篇论文来进行详述。

感谢让 C++ 成功的数以百万计的程序员，他们创建的应用是我们这个世界的关键部件。

Wong。本文的完整性和准确性在很大程度上依靠这些审稿人。当然，错误归我自己。

感谢所有在标准上努力工作的人。还有很多我没有提到的名字，可以在 WG21 论文的作者和这些论文的致谢部分中找到。我参考和引用的许多“P”和“N”编号的论文保存在 。没有这些论文，本文的一些内容就会过度依赖我的记忆了。

第一章平面机构的自由度和速度分析

1.1 构件——独立的运动单元零件——独立的制造单元

运动副——两个构件直接接触组成的仍能产生某些相对运动的连接。

机构——由两个或两个以上构件通过活动联接形成的构件系统。

机器——由零件组成的执行机械运动的装置。

机器和机构统称为机械。构件是由一个或多个零件组成的。

机构只是一个构件系统，而机器除构件系统之外还包含电气，液压等其他装置；

机构只用于传递运动和力，而机器除传递运动和力之外，还具有变换或传递能量，物料，信息的功能。

1.2运动副——接触组成的仍能产生某些相对运动的联接。

运动副元素——直接接触的部分（点、线、面）

1）按引入的约束数分有：

I级副（F=5）、II级副（F=4）、III级副（F=3）、IV级副（F=2）、V级副（F=1）。

2）按相对运动范围分有：

平面运动副——平面运动

空间运动副——空间运动

平面机构——全部由平面运动副组成的机构。

空间机构——至少含有一个空间运动副的机构

3）按运动副元素分有：

高副（）——点、线接触，应力高；低副（）——面接触，应力低

1.3机构：具有确定运动的运动链称为机构

机构的组成：机构＝机架＋原动件＋从动件

保证机构具有确定运动时所必须给定的独立运动参数称为机构的自由度。

原动件＜自由度数目：不具有确定的相对运动。原动件＞自由度数目：机构中最弱的构件将损坏。

1.5局部自由度：构件局部运动所产生的自由度。出现在加装滚子的场合，计算时应去掉Fp。

复合铰链——两个以上的构件在同一处以转动副相联。m个构件, 有m－1转动副虚约束对机构的运动实际不起作用的约束。

计算自由度时应去掉虚约束。

出现场合：1两构件联接前后，联接点的轨迹重合，2.两构件构成多个移动副，且

　　数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。以下是小编为大家收集的六年级下册数学知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。

　　六年级下册数学知识点1

　　典型应用题：具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。

　　(1)平均数问题：平均数是等分除法的发展。

　　解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。

　　算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。

　　加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。

　　数量关系式(部分平均数×权数)的总和÷(权数的和)=加权平均数。

　　差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。

　　数量关系式：(大数-小数)÷2=小数应得数数与各数之差的和÷总份数=数应给数数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。

　　例：一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时60千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。

　　分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“1”，则汽车行驶的总路程为“2”，从甲地到乙地的速度为100，所用的时间为1÷100，汽车从乙地到甲地速度为60千米，所用的时间是1÷60，汽车共行的时间为1÷100+1÷60,汽车的平均速度为2÷(1÷100+1÷60)=75(千米)

　　(2)归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。

　　根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。

　　根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。

　　一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”

　　两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”

　　正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。

　　反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。

　　解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量(单一量)，然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。

　　数量关系式：单一量×份数=总数量(正归一)

　　总数量÷单一量=份数(反归一)

　　例一个织布工人，在七月份织布4774米，照这样计算，织布6930米，需要多少天?

　　分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。6930÷((天)

　　(3)归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量(或单位数量的个数)，通过求总数量求得单位数量的个数(或单位数量)。

　　特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。

　　数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量。

　　例修一条水渠，原计划每天修800米，6天修完。实际4天修完，每天修了多少米?

　　分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。800×6÷4=1200(米)

　　(4)和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。

　　解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和(或两个小数的和)，然后再求另一个数。

　　解题规律：(和+差)÷2=大数大数-差=小数

　　(和-差)÷2=小数和-小数=大数

　　例某加工厂甲班和乙班共有工人94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少12人，求原来甲班和乙班各有多少人?

　　分析：从乙班调46人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成2个乙班，即94-12，由此得到现在的乙班是(94-12)÷2=41(人)，乙班在调出46人之前应该为41+46=87(人)，甲班为94-87=7(人)

　　(5)和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。

　　解题关键：找准标准数(即1倍数)一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数(也可能是几个数)与标准数的倍数关系，再去求另一个数(或几个数)的数量。

　　解题规律：和÷倍数和=标准数标准数×倍数=另一个数

　　例:汽车运输场有大小货车115辆，大货车比小货车的5倍多7辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆?

　　分析：大货车比小货车的5倍还多7辆，这7辆也在总数115辆内，为了使总数与(5+1)倍对应，总车辆数应(115-7)辆。

　　(6)差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。

　　解题规律：两个数的差÷(倍数-1)=标准数标准数×倍数=另一个数。

　　例甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍，甲乙两绳所剩长度各多少米?各减去多少米?

　　分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的3倍，实比乙绳多(3-1)倍，以乙绳的长度为标准数。列式(63-29)÷(3-1)=17(米)…乙绳剩下的长度，17×3=51(米)…甲绳剩下的长度，29-17=12(米)…剪去的长度。

　　(7)行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

　　同时同地相背而行：路程=速度和×时间。同时相向而行：相遇时间=速度和×时间

　　同时同向而行(速度慢的在前，快的在后)：追及时间=路程速度差。

　　同时同地同向而行(速度慢的在后，快的在前)：路程=速度差×时间。

　　例甲在乙的后面28千米，两人同时同向而行，甲每小时行16千米，乙每小时行9千米，甲几小时追上乙?

　　分析：甲每小时比乙多行(16-9)千米，也就是甲每小时可以追近乙(16-9)千米，这是速度差。

　　已知甲在乙的后面28千米(追击路程)，28千米里包含着几个(16-9)千米，也就是追击所需要的时间。列式28÷(16-9)=4(小时)

　　(8)流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

　　船速：船在静水中航行的速度。水速：水流动的速度。

　　顺水速度：船顺流航行的速度。逆水速度：船逆流航行的速度。

　　顺速=船速+水速;逆速=船速-水速

　　解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。

　　解题规律：船行速度=(顺水速度+逆流速度)÷2;流水速度=(顺流速度逆流速度)÷2

　　路程=顺流速度×顺流航行所需时间;路程=逆流速度×逆流航行所需时间

　　例一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比顺水多行2小时，已知水速每小时4千米。求甲乙两地相距多少千米?

　　分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为284×2=20(千米)20×2=40(千米)40÷(4×2)=5(小时)28×5=140(千米)。

　　(9)还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。

　　解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。

　　解题规律：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算(逆运算)方法，逐步推导出原数。

　　根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。

　　解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。

　　例某小学三年级四个班共有学生168人，如果四班调3人到三班，三班调6人到二班，二班调6人到一班，一班调2人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人?

　　分析：当四个班人数相等时，应为168÷4，以四班为例，它调给三班3人，又从一班调入2人，所以四班原有的人数减去3再加上2等于平均数。四班原有人数列式为168÷4-2+3=43(人)

　　(10)植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。

　　解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。

　　解题规律：沿线段植树：

　　_棵树=段数+1棵树=总路程÷株距+1;_株距=总路程÷(棵树-1)总路程=株距×(棵树-1)

　　棵树=总路程÷株距株距=总路程÷棵树总路程=株距×棵树

　　例沿公路一旁埋电线杆301根，每相邻的两根的间距是50米。后来全部改装，只埋了201根。求改装后每相邻两根的间距。

　　分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为50×(301-1)÷(201-1)=75(米)

　　(11)盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足(或两次都有余，或两次都不足)，已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫盈亏问题。

　　解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差(也称总差额)，用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。

　　解题规律：总差额÷每人差额=人数

　　总差额的求法可以分为以下四种情况：

　　第一次多余，第二次不足，总差额=多余+不足

　　第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足

　　第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余

　　第一次不足，第二次也不足，总差额=大不足-小不足

　　例参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组10人，则多25支，如果小组有12人，色笔多余5支。求每人分得几支?共有多少支色铅笔?

　　分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有12人，比10人多2人，而色笔多出了(25-5)=20支，2个人多出20支，一个人分得10支。列式为(25-5)÷(12-10)=10(支)10×12+5=125(支)。

　　(12)年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。

　　解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。

　　例父亲48岁，儿子21岁。问几年前父亲的年龄是儿子的4倍?

　　分析：父子的年龄差为48-21=27(岁)。由于几年前父亲年龄是儿子的4倍，可知父子年龄的倍数差是(4-1)倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的4倍。列式为：21-(48-21)÷(4-1)=12(年)

　　(13)鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

　　解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物(如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。

　　解题规律：(总腿数-鸡腿数×总头数)÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数

　　兔子只数=(总腿数-2×总头数)÷2

　　如果假设全是兔子，可以有下面的式子：

　　鸡的只数=(4×总头数-总腿数)÷2

　　兔的头数=总头数-鸡的只数

　　例鸡兔同笼共50个头，170条腿。问鸡兔各有多少只?

　　三年级数学知识点复习

　　1、整十整百数乘一位数

　　口算整十整百数乘一位数，可以先用整十整百数“0”前面的数乘一位数，再在积的末尾添上挡住的“0”。

　　2、两、三位数乘一位数的估算方法

　　把两位数或三位数看作与它接近的整十数或整百数进行估算。

　　3、求一个数是另一个数的几倍

　　求一个数是另一个数的几倍，就是求一个数里面有几个另一个数，用一个数÷另一个数，得数后面不用加单位名称。

　　4、分数的意义：把一个整体平均分成若干份，表示1份或几份的数就是分数。

　　表示：把一个整体平均分成5份，取其中的两份

　　表示：把一个整体平均分成4份，取其中的一份

　　5、比较大小的方法：

　　(1)分子相同，分母小的分数就大。

　　(2)分母相同：分子大的分数就大。

　　1.10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。

　　相邻两个计数单位之间的进率是“十”，这种计数方法叫做十进制计数法。

　　特别注意：计数单位与数位的区别。

　　2、多位数的读法：

　　①、从高位数读起，一级一级往下读。

　　②、万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加一个万字。

　　③、每级末尾不管有几个零都不读，其他数位有一个“零”或连续几个“零”，都只读一个“零”。

　　小结：①、从高级写起，一级一级往下写。

　　②、当哪一位上一个计数单位也没有，就在哪一位上写0。

　　特别注意：多位数的读写都先划上分级线。

　　4、多位数的大小比较：

　　小结：①、位数多的时候，这个数就比较大。

　　②、当这两个数位数相同的时候，就从最高位开始比，哪个数位上的数大，这个数就大。

　　5、“万”“亿”作单位的数：

　　有时候，为了读写方便，我们把整万(亿)的数改写成有“万”(亿)做单位的数。

　　方法概括：分级、去0，写万(写亿)

　　这种求近似数的方法叫“四舍五入法”，是“舍”还是“入”，要看省略的尾数部分的最高位是小于5还是等于或大于5。

　　方法概括：分级、去尾、四舍五入约

　　近似数的取值范围：近似数+4999(最大)

　　近似数―5000(最小)

　　7、表示物体个数的数：0、1、2、3、4、5、6…….叫自然数一个物体也没有：用0来表示。0也是自然数。最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。

　　8、计算工具的认识：算盘，计算器

　　9、测量得到的数都是近似数，数出来的数都是准确数

　　六年级下册数学知识点2

　　1.负数：负数是数学术语，指小于0的实数，如3。

　　任何正数前加上负号都等于负数。在数轴线上，负数都在0的左侧，所有的负数都比自然数小。负数用负号“-”标记，如2，5.33，45，0.6等。

　　2.正数：大于0的数叫正数(不包括0)

　　若一个数大于零(>0)，则称它是一个正数。正数的前面可以加上正号“+”来表示。正数有无数个，其中分正整数,正分数和正无理数。

　　3.正数的几何意义:数轴上0右边的数叫做正数

　　4.数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。

　　所有的实数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。

　　5.数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。

　　6.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

　　即AG矩形的一条边为轴，旋转360°所得的几何体就是圆柱。

　　其中AG叫做圆柱的轴，AG的长度叫做圆柱的高，所有平行于AG的线段叫做圆柱的母线，DA和DG旋转形成的两个圆叫做圆柱的底面，DD旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面。

　　7.圆柱的体积：圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积。设一个圆柱底面半径为r，高为h，则体积V：V=πr2h;如S为底面积，高为h，体积为V：V=Sh

　　8.圆柱的侧面积：圆柱的侧面积=底面的周长高，S侧=Ch(注：c为πd)

　　圆柱的两个圆面叫做底面(又分上底和下底);圆柱有一个曲面，叫做侧面;两个底面之间的距离叫做高(高有无数条)。

　　特征：圆柱的底面都是圆，并且大小一样。

　　9.圆锥解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面(满足交线为圆)组成的空间几何图形叫圆锥。

　　10.圆锥立体几何定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴。

　　11.圆锥的体积：一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积。一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。

　　根据圆柱体积公式V=Sh(V=rrπh)，得出圆锥体积公式：V=1/3Sh

　　S是圆锥的底面积，h是圆锥的高，r是圆锥的底面半径

　　12.圆锥体展开图的绘制：圆锥体展开图由一个扇形(圆锥的侧面)和一个圆(圆锥的底面)组成。(如右图)在绘制指定圆锥的展开图时，一般知道a(母线长)和d(底面直径)

　　13.圆锥的表面积：一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积。

　　圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成。

　　14.圆柱与圆锥的关系：与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。

　　体积和高相等的圆锥与圆柱(等低等高)之间，圆锥的底面积是圆柱的三倍。

　　体积和底面积相等的圆锥与圆柱(等低等高)之间，圆锥的高是圆柱的三倍。

　　底面积和高不相等的圆柱圆锥不相等。

　　15.生活中的圆锥：生活中经常出现的圆锥有：沙堆、漏斗、帽子。圆锥在日常生活中也是不可或缺的。

　　数学速算方法与技巧

　　进位加法的简单计算方法

　　不管多大的数相加其最基本的原则都是20以内的加法原则，20以内进位加法的速算口诀为：几加九进十减一、几加八进十减二、几加七进十减三、几加六进十减四。由于加法具有交换律，所以我们只需要记住这几句就可以了，在100以内的加法中，先观察两个各位数字，找出他们中间较大的数，按口诀进行计算可以很快的算出答案。

　　解题思路:因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和计算出来，这样再加别的数会比较简单。

　　解题思路:因为53+47=100是个整百数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面，然后再把53+47的和算出来。

　　养成良好的计算习惯

　　养成良好的计算习惯，是提高孩子计算能力切实有效的办法。帮助孩子养成以下良好计算习，应该做到“一看、二想、三计算”的认真计算习惯。

　　计算是一件非常严肃认真的事情，来不得半点马虎，但恰恰有孩子没有良好学习习惯，拿到计算题后，没有看清数字，没有弄清运算顺序，就盲目的算起来。

　　数学整数乘法知识点

　　(1)求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。

　　(2)在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。

　　(3)在乘法里，0和任何数相乘都得0.

　　(4)1和任何数相乘都的任何数。

　　(5)一个因数×一个因数=积;一个因数=积÷另一个因数

　　六年级下册数学知识点3

　　1.统计表：把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。

　　2.统计组成部分：一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期;表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。

　　单式统计表：只含有一个项目的统计表。

　　复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。

　　百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。

　　4.统计表制作步骤：

　　(2)整理数据：要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。

　　(3)设计草表：要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。

　　(4)正式制表：把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。

　　5.统计图：用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。

　　(1)用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按一定的顺序排列起来。

　　(2)优点：很容易看出各种数量的多少。注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。

　　(3)取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定

　　(4)复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。

　　(5)制作条形统计图的一般步骤：

　　a)根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

　　b)在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。

　　c)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。

　　d)按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。

　　(1)用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。

　　(2)优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。

　　(3)制作折线统计图的一般步骤：

　　a)根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

　　b)在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。

　　c)在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。

　　d)按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。

　　(1)用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。

　　(2)优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。

　　(3)制扇形统计图的一般步骤：

　　a)先算出各部分数量占总量的百分之几。

　　b)再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。

　　c)取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。

　　d)在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。

　　正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵――对象的“质”的特征，及其外延――对象的“量”的范围。一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。但在这之前，有一个通过实例、练习及口头描述来理解的阶段。

　　比如，儿童对自然数，对运算结果――和、差、积、商的理解，就是如此。到小学高年级，开始出现以文字表达一个数学概念，即定义的方式，如分数、比例等。有些数学概念要经过长期的酝酿，最后才以定义的形式表达，如函数、极限等。定义是准确地表达数学概念的方式。

　　许多数学概念需要用数学符号来表示。如dy表示函数y的微分。数学符号是表达数学概念的一种独特方式，对学生理解和形成数学概念起着极大的作用，它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化了。许多数学概念的定义就是用数学符号来表达，从而增强了科学性。

　　许多数学概念还需要用图形来表示。有些数学概念本身就是图形，如平行四边形、棱锥、双曲线等。有些数学概念可以用图像来表示，比如函数y=x+1的图像。有些数学概念具有几何意义，如函数的微分。数形结合是表达数学概念的又一独特方式，它把数学概念形象化、数量化了。

　　总之，数学概念是在人类历史发展过程中，逐步形成和发展的。

　　(1)纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.25、0.368都是纯小数。

　　(2)带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如：3.25、5.26都是带小数。

　　(3)纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：3.111……0.5656……

　　(4)混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.1222……0.03333……写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。

　　六年级下册数学知识点4

　　1、认识圆柱和圆锥，掌握它们的基本特征。认识圆柱的底面、侧面和高。认识圆锥的底面和高。

　　2、探索并掌握圆柱的侧面积、表面积的计算方法，以及圆柱、圆锥体积的计算公式，会运用公式计算体积，解决有关的简单实际问题。

　　3、通过观察、设计和制作圆柱、圆锥模型等活动，了解平面图形与立体图形之间的联系，发展学生的空间观念。

　　4、圆柱的两个圆面叫做底面，周围的面叫做侧面，底面是平面，侧面是曲面，。

　　5、圆柱的侧面沿高展开后是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高，当底面周长和高相等时，侧面沿高展开后是一个正方形。

　　6、圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2即S表=S侧+S底×2或2πr×h+2×πr2

　　7、圆柱的侧面积=底面周长×高即S侧=Ch或2πr×h

　　8、圆柱的体积=圆柱的底面积×高，即V=sh或πr2×h

　　（进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。）

　　9、圆锥只有一个底面，底面是个圆。圆锥的侧面是个曲面。

　　10、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。（测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。）

　　11、把圆锥的侧面展开得到一个扇形。

　　12、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一，即V锥=1/3Sh或πr2×h÷3

　　13、常见的圆柱圆锥解决问题：①、压路机压过路面面积（求侧面积）；②、压路机压过路面长度（求底面周长）；③、水桶铁皮（求侧面积和一个底面积）；④、厨师帽（求侧面积和一个底面积）；通风管（求侧面积）。

　　小学数学基数和序数简介

　　基数：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。

　　序数：第一、第二、第三、第四、第五、第六、第七、第八、第九、第十。

　　基数在数学上，是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。

　　序数原来被定义为良序集的序型，而良序集A的序型，作为从A的元素的属性中抽象出来的结果，是所有与A序同构的一切良序集的共同特征，即定义为{B|BA}。

　　数学图形的变换知识点

　　1、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线对折，两边能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

　　2、成轴对称图形的特征和性质：①对称点到对称轴的距离相等；②对称点的连线与对称轴垂直；③对称轴两边的图形大小形状完全相同。

　　3、物体旋转时应抓住三点：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度。旋转只改变物体的位置，不改变物体的形状、大小。

　　六年级下册数学知识点5

　　六年级数学下册知识点为大家介绍了分数，把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。

　　六年级数学下册知识点：分数

　　把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

　　在分数里，中间的横线叫做分数线;分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。

　　把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。

　　真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

　　假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。

　　带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。

　　把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。

　　分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。

　　把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

　　六年级下册数学知识点6

　　知识点一、正比例的意义及应用

　　（1）正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（在除法中是叫做商）一定，那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。

　　（2）如果用字母x和y分别表示两种相关的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系式可用x/y=k。

　　（3）判断两种量是否成正比例的应用方法：

　　1、判断两个是否相关联；

　　2、判断这两个量的比值是否一定，比值一定就成正比例关系；

　　反之不成正比例关系。（简说：用除法，商一定，成正比）

　　知识点二、正比例的图像

　　理解掌握：正比例图像是一条直线。从图像中，可以直观看到两种量的变化情况，由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。

　　知识点三：反比例的意义及应用

　　（1）反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，那么这两个量叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系。

　　（2）如果用字母x和y分别表示两种相关的量，用k表示它们的比值（一定），反比例关系式可用x×y=k。

　　（3）判断两种量是否成反比例的应用方法：

　　1、判断两个是否相关联；

　　2、判断这两个量的积是否一定，积一定就成反比例关系；反之不成反比例关系。（简说：用乘法，积一定，成反比）

　　数学大数的认识知识点

　　1、10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。

　　相邻两个计数单位之间的进率是“十”，这种计数方法叫做十进制计数法。

　　特别注意：计数单位与数位的区别。

　　2、在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

　　3、位数：一个数含有几个数位，就是几位数，如652100是个六位数。

　　4、按照我国的计数习惯，从右边起，每四个数位是一级。

　　6、亿以上数的读法：

　　①先分级，从高位开始读起。先读亿级，再读万级，最后读个级。

　　②亿级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字。万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。

　　③每级末尾不管有几个0，都不读。其他数位有一个“0”或连续几个“0”，都只读一个“0”。

　　7、亿以上数的写法：

　　①从最高位写起，先写亿级，再写万级，最后写个级。

　　②哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

　　8、比较数的大小：

　　①位数不同的两个数，位数多的数比较大。

　　②位数相同的两个数，从最高位开始比较。

　　省略万位后面的尾数，要看千位上的数；省略亿位后面的尾数，要看千万位上的数。

　　这种求近似数的方法叫“四舍五入法”，是“舍”还是“入”，要看省略的尾数最高位上的数是小于5还是等于或大于5。小于5就舍去尾数，等于或大于5就向前一位进1，再舍去尾数。

　　10、表示物体个数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10……都是自然数。一个物体也没有，用0来表示，0也是自然数。所有的自然数都是整数。

　　1、真、假分数的倒数。很简单，将分子分母交换位置，就是真、假分数的倒数了。

　　2、整数的倒数。整数做分母，1做分子。即为整数的倒数。

　　3、小数的倒数。对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数，对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行即可。

　　4、带分数的倒数。先把分数化为假分数，然后将分子分母调换位置，即为该数的倒数。

　　六年级下册数学知识点7

　　(一)、折扣和成数

　　1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折”。

　　几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如：八折=8/10=80%，

　　解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。

　　商品现在打八折：现在的售价是原价的80%

　　商品现在打六折五：现在的售价是原价的65%

　　几成就是十分之几，也就是百分之几十。例如：一成=1/10=10%

　　解决成数的问题，关键是先将成数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。

　　这次衣服的进价增加一成：这次衣服的进价比原来的进价增加10%

　　今年小麦的收成是去年的八成五：今年小麦的收成是去年的85%

　　(二)、税率和利率

　　(1)纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

　　(2)纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。

　　(3)应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。

　　(4)税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

　　(5)应纳税额的计算方法：

　　应纳税额=总收入×税率

　　收入额=应纳税额÷税率

　　(1)存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。

　　(2)储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。

　　(3)本金：存入银行的钱叫做本金。

　　(4)利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。

　　(5)利率：利息与本金的比值叫做利率。

　　(6)利息的计算公式：

　　利息=本金×利率×时间

　　利率=利息÷时间÷本金×100%

　　(7)注意：如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税)，则：

　　税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)

　　税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率)

　　估计费用：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。

　　购物策略：根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比较，并能够最终选择最为优惠的方案

　　数学最小的数是什么

　　要回答这个问题，我们首先看一下“几位数”的概念：在一个数中数字的个数是几(其最左端的数字不为0)，这个数就是几位数。关于几位数的定义中，最左端的数字不为0是关键条件。就像我们分数定义中，明确规定分母不为0一样，否则没意义。

　　在整数中，最小的计数单位是1(个)，当0单独存在时，它不占有数位。当0出现在一个几位数的末尾或中间时，它起到的只是“占位”的作用，表示该位上没有计数单位。

　　假设0也算一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢?00是没有两位数的意义的。

　　所以，一位数是由一个不是0这个数字写出的数，只要几位数的意义不变，最小的一位数仍然是1。

　　数学三位数乘两位数知识点

　　工作效率×工作时间=工作总量

　　工作总量÷工作时间=工作效率

　　工作总量÷工作效率=工作时间

　　积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积也乘或除以几(零除外)

　　一个因数乘几，另一个因数除以几，积不变(零除外)。

　　两位数乘三位数，积最多五位数，最少四位数

　　估算原则：便于口算、接近准确数、能解决实际问题(估大或估小)

　　六年级下册数学知识点8

　　(1)指对某一类的数据进行搜集、整理、计算和分析等。例：六年级二班人数统计。

　　(2)指总括地计算。例：把全国报来的数据统计一下。

　　(1)定义：将搜集来的数据填写在一定格式的表格内，以此来更方便直观的反映和解决问题，这样的表格就叫做统计表。

　　(2)统计表的结构：统计表由表格外和表格内组成。表格外一般包括：统计表名称、统计数据的单位、还有统计日期等信息;表格内主要包括表头、横标目、纵标目和数据。

　　(3)统计表的种类：

　　①简单表：未对数据进行分组，只是简单地按时间或单位顺序罗列;

　　②单式统计表：只对一个类型或项目的数据进行统计;

　　③复式统计表：对两个或两个以上的项目数据进行统计。

　　(4)统计表的设计与制作

　　①收集和整理数据，并对数据按目标进行分类;

　　②初步设计：包括表格横、纵目，表头以及单元格的尺寸、颜色等

　　③绘制完整表格，填好数据，并加上统计表名称、数据单位以及制作时间等信息。

　　(1)定义：用点、线、面、体等形式来表示所统计的数据之间的数量关系的图形叫做统计图。

　　(2)统计图的结构：

　　(3)是统计图的分类

　　①条形统计图：根据统计数据的总体情况，设定单位长度表示一定的数量，再将统计数据根据数量的多少画成长短不同的直条，最后把这些直条按照一定的顺序排列起来。

　　优点：直观，容易看出各统计量之间的数量关系。

　　②折线统计图：根据统计数据的具体情况，设定一个合适的单位长度表示一定的数量，再根据数量的多少描出各点，最后选用不同线段把各点顺次连接起来。

　　a、数据数量很明确;

　　b、可以看清楚数据的变化情况。

　　③扇形统计图：用整个圆或圆盘的面积表示总数，用扇形面积表示各部分占总数的百分数。

　　优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。

　　(4)统计图的制作

　　a、根据图纸的大小与统计数据的数量，画出两条起点相同互相垂直的射线;

　　b、在水平方向的射线上，均匀地分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔;

　　c、在垂直射线上根据数据的具体情况，确定单位长度;

　　d、按照数据的大小画出长短和颜色均不同的直条，并注明数量;

　　e、添上名称、单位、日期，并注明图标。

　　a、根据图纸的大小和数据的数量，画出两条互相垂直的射线;

　　b、在水平方向的射线上，根据实际情况，确定水平方向的单位长度;

　　c、在垂直射线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度;

　　d、按照数据的大小描出各点，再用合适的线段顺次连接起来，并注明数量;

　　e、最后添上名称、单位、时间，并注明图标。

　　a、算出所要统计的数的数量占总量的百分比;

　　b、根据公式，算出各部分扇形的圆心角度数;

　　c、取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。

　　d、在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。

　　e、添上名称、单位、日期，并注明图标。

　　小学数学倒数的定义是什么

　　倒数是一个数学学科术语。是指数学上设一个数x与其相乘的积为1的数，记为1/x，过程为“乘法逆”，除了0以外的数都存在倒数，分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。

　　小学数学轴对称知识点

　　如果一个图形沿一条直线折叠,直线两侧的图形能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形，这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。

　　2、轴对称图形的性质

　　把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。

　　经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。这样我们就得到了以下性质：

　　(1)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　(2)类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

　　(3)线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。

　　(4)对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

　　4、轴对称图形的作用

　　(1)可以通过对称轴的一边从而画出另一边;

　　(2)可以通过画对称轴得出的两个图形全等。

　　六年级下册数学知识点9

　　比较系统地掌握有关整数、小数、分数和百分数、负数、比和比例、方程