线性代数矩阵 第一列和第二列和为0时可以直接把第一第二列换成0吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-21 05:10 标签： 矩阵各行元素之和为零是什么意思
即矩阵乘积的秩小于等于两个矩阵中秩小的那个 更一般的结论：A列满秩时上式就能成立（可逆是列满秩的一个特例） 请大神帮我证明一下吧，谢谢啦！关键是证明那个一般的结论。（我想这个地方的列满秩应该是指列向量组线性无关吧！

* 第四节 矩阵的秩 的行向量组线性无关 此性质也可以表达为： 矩阵 的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n，即 性质4： 阶方阵 的充要条件是 的行列式 证明 阶方阵 的行向量组的秩为 * 第四节 矩阵的秩 性质5 齐次线性方程组 有非零解得充分必要条件是它的系数矩阵 的行列式 等于零。 * 第四节 矩阵的秩 3．矩阵秩的计算 的行和列的交点上的 个元素，按原来的次序所组成的 引入 阶子式的概念。 【定义3.12】 在一个 矩阵A中任选 行和 列，位于这些选定 矩阵的行列式，称为A的一个 阶子式。 * 第四节 矩阵的秩 又如，选第 1，2，3行和第1，3，4列，相交的3阶行列式即3阶子式为： 由于行和列的选法很多，所以k 阶子式也很多。 【例3.12】 设矩阵为 选第1，3行和第3，4 列，它们的交点上元素所成的2阶行列式为： 是一个2阶子式。 * 式不为零。 第四节 矩阵的秩 【定理3.8】 矩阵的秩是 r 的充分必要条件为矩阵中有一个 r 阶子式 不为零，同时所有r+1阶子式全为零。 式全为零。 以上定理和推论的证明我们予以省略。下面我们就用这一定理求矩 推论1 矩阵A的秩 的充分必要条件为A至少有一个r阶子 推论2 矩阵A的秩 的充分必要条件为A的所有r+1阶子 阵的秩。 * 第四节 矩阵的秩 解 我们利用矩阵A的k阶子式来求得。先求出A的所有3阶子式为 【例3.13】 求矩阵 的秩 而A的2阶子式中： 由定理3.10可知： * 第四节 矩阵的秩 从上例看到，用矩阵的k阶子式去求其的秩相当繁琐。而根据定理 先通过初等变换，将矩阵A化简为如下阶梯形矩阵： 3.7我们得到初等变换不改变矩阵的秩，所以我们为了求矩阵的秩，可以 对此阶梯形，再利用定理3.8的结论，可知A的秩 就是阶梯形矩阵 中非零行的个数。 * 第四节 矩阵的秩 【例3.14】 设矩阵A（同例3.13）， 求R(A)。 解 对A作初等行变换： 所以， * 第四节 矩阵的秩 用这种方法也可以判断向量组的线性相关性及其求向量组的一个极 【例3.12】 判断向量组 是否线性相关，若线性相关，试求其一个极大线性无关组。 解 将此向量组 转置为列向量： 大无关组。 下页继续…… * 第四节 矩阵的秩 对A作初等行变换： 构成矩阵为： 下页继续…… * 第四节 矩阵的秩 所以， ,即向量组 的秩为3，因小于4， 则 线性相关，且 和 都是其一个极大无关组。 * 第五节 线性方程组解的判别定理 我们的基本问题是：非齐次线性方程组（3.1）什么时候有解？什么 有了向量和矩阵的理论准备，我们现在回到这一章开始所提出的问 （3.1） 题，即讨论线性方程组（3.1）： 的解。 时候无解？在有解时，是有无穷多个解还是唯一解？且求出其全部的解。 * 第五节 线性方程组解的判别定理 在第三节中我们得到：线性方程组（3.1）有解的充分必要条件为β 引入列向量 于是，线性方程组（3.1）可以改写成向量方程 可由向量组 来线性表出，而解得多少与上述线性表出方式 是否唯一有关。 * 第五节 线性方程组解的判别定理 证明 【定理3.9】 与增广矩阵 线性方程组（3.1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵 别是矩阵 与 有相同的秩。 向量组 是等价的，因而有相同的秩。这两个向量组分别 线性表出，由此可以立即推出，向量组 与向 有相同的秩，即 。 先证必要性。设线性方程组（3.1）有解，即β可以由向量组 * 第五节 线性方程组解的判别定理 程组（3.1）的系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组（3.1）无解。 由于矩阵A与增广矩阵

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