一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A 、B 、C 、……表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示集合中的元素。如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作：a ∈A ，否则就说a 不属于A ，记作：a A 。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N +或N +。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z 。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q 。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R 。 集合的表示方法

⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系

⑴、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A 、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B （或B A ）。。

⑵相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A ＝B 。

⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A ，我们称集合A 是集合B 的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作 ，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A

②、对于集合A 、B 、C ，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算

⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B 。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）

⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B 。

①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U 。

②补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集。简称为集合A 的补集，记作C U A 。

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1、。第一讲复合函数的定义域一、复合函数的构成设 ug( x) 是 A 到 B 的函数，yf (u) 是 B 到 C 上的函数，且 BB ，当 u 取遍 B 中的元素时，y 取遍 C ，那么y f ( g( x) 就是 A 到 C 上的函数。此函数称为由外函数y f ( x) 和内函数 u g( x) 复合而成的复合函数。说明：复合函数的定义域，就是复合函数 y f (g( x) 中 x

定义域要点 1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的解答：精选资料，欢迎下载。 函数 f (1 2x) 是由 A 到 B 上的函数 u1 2x 与 B 到 C上的函数 y f

求得 g(x) 的范围，则 g(x) 的范围即是 f (x) 的定义域 , 即使函数f (x) 的解析式形式所要求定义域真包含g( x) 的值域，也应以g(x) 的值域做为所求f (x) 的定义域，因为要确保所求

7、外含数f (x) 与已知条件下所要求的外含数是同一函数， 否则所求外含数f (x) 将失去解决问题的有效性。换元法其实质就是求复合函数f ( g(x) 的外函数 f (x) ，如果外函数f ( x) 的定义域不等于内函数g(x) 的值域，那么 f (x) 就确定不了 f ( g( x) 的最值或值域。例 4：已知函数 f (x)x1x , ( x1)求 f ( x)

求极限（衍生出：无穷小比较+讨论连续性和间断点类型）

一、（一）函数的概念及常见函数

【注】函数概念有两个基本要素：定义域、对应规则（或称依赖关系）。

当两个函数的定义域与对应规则一样时，它们就是同一函数
（因为值域是随着前两项来的）
y=2x和s=2t，如果定义域一样，就是同个函数，因为规则也一样。

定义2（内层的值域，是外层的定义域）

考点1：定义域是自变量x的范围

例子：f(x+1)定义域(0,1)，是在说x的范围，而不是x+1的范围，跟f(x)这个函数无关

考点2：内层的值域，如果和外层的定义域不重合，那就不能构成复合函数

把y=f(x)变为 ，原函数的定义域变值域，值域变定义域。

唯一确定的值，可以排除很多函数，y=x平方，就没有反函数
严格单调的函数，才有反函数

关于y=x对称的是（原函数）和（x和y对调过的反函数）

如果反函数的x，y不对调，那么图形是和原函数重合的。

将幂函数、指数、对数、三角、反三角统称为基本初等函数

了解它们的定义域、性质、图形：

定义5：初等函数是什么？

1.将由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到的

2.能用一个解析式表示的函数。

考点：单调性重要应用（很多地方都用到）

构造f(x)=0时，只能用严格单调，可以推出最多一个根
用单调不减，有“等于号=”，最差情况可以平行于x轴，与x轴无交集，推不出最多一个根
（1）证明f(x)>0（严格不等式），只能用严格单调增
用单调不减，只能证明f(x)大于等于0（还是可以等于0，所以无法证明）
（2）证明f(x)≥0（非严格不等式），严格单调增、单调不减，两个都能用。
用单调不减，可以证明f(x)大于等于0，在等于0的情况下，也能成功证明。

（1）定义：函数左边>右边，为单调增

（2）导数：设f(x)在区间 I 上可导

反例： 的导数 在0点导数为0

b）注意：是双向的箭头！

（1）P5，eg3，单点导数，推不出函数的邻域内的（单调增加/减少）

只能得出（该点）的函数左边和右边的大小关系。

带有（区间）的单调增/减，才能推出单调增加/减少。

偶函数：f（x）=f（-x）

【注】（1）常用奇偶函数

奇函数，关于原点对称，如果在0点有定义，f(0)=0

偶函数，关于y轴对称。

（1）用奇偶函数的定义公式

a）奇函数定义，f(x)=-f(-x)两端对x求导，得到结论。
b）偶函数定义，f(x)=f(-x)两端对x求导，得到结论。

（3）对（2）中的结论反推条件的结论

连续的奇函数其原函数都是偶函数；

连续的偶函数其原函数之一是奇函数。

连续函数都有原函数：因为 【这个有点不理解】

原函数是不定积分，要加c，上面的图里，是变上限积分，不是不定积分，所以不用+c

奇函数+c不等于奇函数，因为在0点必须=0（在0点有定义的话）

（4）奇偶函数的运算性质

最小正周期，为函数f（x）的周期

【注】f（x）和f（ax+b）的周期关系

（2）可导的周期函数，其导函数为周期函数

（3）周期函数的原函数，不一定是周期函数。

【注】（2）周期函数的原函数是周期函数，充要条件，其在一个周期上的积分为零

【注】（3）中的区间(a,b)，可以改为无穷区间，(a，+∞)，(-∞，b)，(-∞，+∞)依然成立

也就是证明f(+∞)，f(-∞)存在，来推有界

考点1：考（3），给个函数，给个开区间，然后问你怎么推出有界，一般就左右端点求极限。

考点2：把（4）中的有限去了，问你对不对

1.数列极限的概念（一般不考）

定义（n趋向于正无穷）

解读：当n越趋近于无穷，数列an就越趋近于A

【注】（2）数列{xn}的极限是否存在，如果存在极限值等于多少，与数列的前有限项无关

考点1：也就是说，有题目问，已知数列极限，数列某项和其他的对比，一般都是错的，因为极限值管不到前面的项。

在函数极限中x→∞是指|x|→+∞，

在数列极限中，n→∞是指n→+∞

极限存在=左右极限存在，且相等

【注】极限和该点函数值取值多少无关（后面的间断点有说明）

【注】需要分左、右极限求极限的问题

（二）极限性质（函数、数列）

（1）极限值的正负，保，函数值的正负（严格大于）

（2）函数值的正负，保，极限值的正负（大于等于）

什么时候用？给抽象函数

3.极限值与无穷小之间的关系

单调有界数列必有极限。

单调增、有上界的必有极限（它的下界就是第一项）

单调减、有下界的必有极限（它的上界就是第一项）

（1）有限个无穷小，相加=无穷小

（2）有限个无穷小，相乘=无穷小

（3）无穷小量*有界量=无穷小

2.常用无穷大的比较（不等式）

3.无穷大与无界变量的关系：（概念的对比）

数列无穷大，是xn后面的值都大于M

数列无界变量，是xn后面的值，至少有一项，大于M（一个就够了，其他无所谓）

无穷大，一定是无界变量，反之不是。

4.无穷大量与无穷小量的关系

如果去掉了f(x)不等于0的条件，则由于被除数不能=0，所以1/无穷小，不等于无穷大

题型一 极限的概念、性质及存在准则

（1）存在±不存在=不存在

（2）不存在±不存在=不一定存在（有可能相互抵消变常数）

2.等价无穷小代换的原则

2）加减关系在一定条件下可以换；

总结：就是换了之后不等于0

方法4 利用洛必达法则求极限

化为0/0，无穷/无穷才能用洛必达

必须满足（3）的这个条件，右端必须存在（是个数字）或者无穷大，才可以洛必达
求导后右端振荡的不存在，才不能用洛必达

方法5 利用泰勒公式求极限

定理（带Peano余项的泰勒公式）

设f（x）在x=x0处n阶可导，则

方法7 利用定积分的定义求极限

先提出1/n，再确定被积函数和积分区间

1.“0/0”型极限的方法

1）有极限非零的因子极限先求出来

2）有理化（有根式的时候）

2.“∞/∞”型极限的方法

1）洛必达法则；2）分子、分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大

PS：无穷/无穷，用洛必达法则的时候，验证下面是无穷就行，上面不用验证是否无穷

3.“∞-∞”型极限的方法

1）通分化为0/0（分式-分式）

2）根式有理化（根式-根式）

3）变量代换或泰勒公式

这两种极限求极限的函数一定是幂指函数，

1.n项和的数列极限，常用方法：

变化范围小，主体不怎么变，用夹逼
变化范围大，主体影响很大，用定积分定义

例1：变化范围1~n，等式的主体部分n^2，用夹逼（主体不变）

例2：变化范围1~n^2，等式的主体部分n^2，用定积分定义（主体变了）

【eg6】多次用到这个结论

2.n项连乘的数列极限，常用方法：

常用方法（基于单调与否）

先证数列{xn}收敛（常用单调有界准则），然后等式两端取极限得A=f（A），得极限A

主要就是找上/下界，和，单调性。

怎么证明？一般做lim x-A的绝对值，作出递推不等式（重点）
最后，左边大于0（绝对值），右边趋近于0（不等式放大或缩小），用夹逼定理得证
取极限得到A后，为什么还要证明呢？
因为该数列不一定有极限，如果没有极限，则第一步取极限的前提就不成立了。

单调性判定常用有三种方法：（跟级数判定有点像）

若xn+1-xn≥0（≤0），则{xn}单调增（单调减）；

2）设{xn}不变号，后项/前项

（1）若xn>0，则当后项/前项≥1（≤1）时，{xn}单调增（单调减）；

（2）若xn<0，则当后项/前项≥1（≤1）时，{xn}单调减（单调增）；

（1）若f（x）在I上单调增，则

解读：单调增，可以给出正反馈，就看第一第二项了。

（2）若f（x）在I上单调减，则{xn}不单调（直接用方法2）

【eg2】最后的一个单调性判定的方法：

把递推函数变函数，然后求导，看导数大于/小于0

【eg3】有首项和递推式，首先判断f(x)单调性，能就直接用方法1解答

总结：三种数列极限，N项和，N项连乘，递推关系。

题型四、无穷小量阶的比较

【eg1】快速看出积分x的阶数

原阶数=求导后阶数+1（结果是一样的，记图里的那个还容易错）

常用于间断点的连续性判断

1）第一类间断点：左，右极限均存在

可去间断点：左极限=右极限

跳跃间断点：左极限≠右极限

2）第二类间断点：左，右极限至少有一个不存在（不止无穷和振荡间断点）

1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍连续；

2）基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续；

3）闭区间上连续函数的性质

连续函数和微/积分中值定理一起出综合题

（1）有界性：若f（x）在【a,b】上连续，则f（x）在【a,b】上有界

（2）最值性：若f（x）在【a,b】上连续，则f（x）在【a,b】上必有最大、最小值

（3）介值性：若f（x）在【a,b】上连续，且f（a）≠f（b），

则对f（a）与f（b）之间任一数C，至少存在一个ξ∈（a,b），使得f（ξ）=C

推论：若f（x）在【a,b】上连续，

则f（x）在【a,b】可取到，介于最小值m与最大值M之间的任何值

（4）零点定理：若f（x）在【a,b】连续，且f（a）*f（b）<0，则必存在ξ∈（a,b），使f（ξ）=0

A.是否单调：随便取几个值，证明不单调就可以

B.是否周期函数：只要有一个部分不是周期函数，整体就不是周期函数

7.D.没有说明连续性的函数，当它不连续，取固定点的值时，该点极限和该点的值没有关系

18.对于两个变量求极限，有不确定的项，要做好准确的分类。

25.注意，加起来不等于0就可以用等价无穷小

29.对复合函数重复使用无穷小会放大/缩小，

对于内层的函数，尽量写泰勒公式（准确度高），别偷懒，否则容易错。

用泰勒后，不必要的在最后，可以消去。

34.实在算不下去的时候，用泰勒呀！

45.凑递推式，要凑成能够递推的形式

专题一、求极限及极限式中的参数

1.求函数极限首先要对其进行化简，然后判别类型，选择方法；

常用的化简技巧有：初等变形（约分、通分、有理化、换元、抓大头等）

加减中把极限存在（不管是否为0）的部分，拆项先算出来

乘除中把极限存在（必须不为0）的部分，分离先算出来、等价代换等等；

主要是在待定参数取值范围内用洛必达法则（或其他方法）

题目3：变限积分里有x不能直接求导，必须把x换出去

题目4：换积分次序+换元+积分对象外提

题目5：学到了个新极限，看似很复杂

题目7：确定b用积分保号性，确定a用洛必达，确定c用极限的唯一性

题目8：（1）夹逼定理（2）下图

题目9：（1）零点定理（2）单调有界准则（单调性+有界性）+夹逼定理

题目2：sincos公式+泰勒展开到x^5+合并同类项

求给出通项的数列的极限，要立即想到数列的单调有界定理

二、极限的概念、性质及存在准则（有待补充）