这个二重积分怎么算，用极坐标还是直角坐标呢，求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-13 09:52 标签： 什么时候用极坐标计算二重积分 
 自变量为r和θ，通过原点作射线，以x正半轴为始边，绕θ角度遍历区域D，当自变量微元后，
得到面积元素dσ，向Z轴积分，得到曲顶柱体体积的代数和。

类比用直角坐标计算二重积分 

直角坐标计算和极坐标计算的理解：
 前者：以x型区域为例，则z先对y方向积分求出曲顶柱体的切面面积，然后切面面积对x方向积分，
得到曲顶柱体的代数和；
 后者：先计算射线旋转经过区域D的面积（面积元素dσ），然后计算z方向上有多少个dσ。
区域D与圆域有关，或被积函数与圆有关，往往使用极坐标计算更方便。
理解二重积分的几何意义及公式

极坐标系下的二重积分计算步骤与典型例题

第一步：直角坐标系下画图(画确定积分区域的各边界曲线，根据题意确定区域).

第二步：简化计算(判断积分区域整体，或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或y=x直线对称、判断被积函数整体，或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助偶倍奇零与轮换对称性化简计算)

第三步：确定坐标系(确定使用极坐标计算二重积分，根据被积函数特征，如包含x^2+y^2、y/x或x/y描述或包含相应项；积分区域的特征：由射线、圆弧等围成；或者积分在直角坐标系下不能进行有效计算)

第四步：转换描述(借助直角坐标与极坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ转换被积函数表达式与积分区域边界曲线描述形式用极坐标描述)

第五步：确定积分区域类型(根据积分区域图形与被积函数特征，确定最终需要计算的积分区域的类型：简单θ-型或简单ρ-型，如果不是则分割积分区域)

第六步：扫描求型限(对于简单θ-型，用x正半轴逆时钟扫描；对于简单ρ-型，从ρ=0开始，以极点为圆心，半径逐渐增大的同心圆扫描，确定型变量的范围：常值区间)

【注】θ的取值范围一般取为[0,2π]，也可以取为[-π, π]；ρ的取值范围则为[0,+∞].

第七步：画线定余限(在型变量的取值范围内，做射线穿过积分区域，或以极点为圆心的圆逆时钟穿过区域，入点为下限，出点为上限：上下限一般为型变量的函数或者直接为常值)

第八步：余变先积分，最后积型变。

【注】特别注意，被积函数除了直接函数转换成的表达式外，还要多乘以一个ρ，即有

典型例题解析见下面的课件列表，极坐标区域类型及定限方法参见下面列出的参考阅读内容列表

二重积分的极坐标计算方法参考课件列表：

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