抛物线上的点在准线上的射影是什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-09 09:33 标签： 抛物线焦点发出的光线

已知P为抛物线y=12x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(6，172)，则|PA|+|PM|的最小值是（　　）A．8B．192C．10D．212

学案15：抛物线（一）

1.抛物线的概念：平面内到一个定点尸和一条定直线/（尸不在/上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点

2.抛物线的标准方程与几何性质

1.抛物线焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。

2.抛物线焦点弦的性质：若抛物线的方程为y2=2px （p>0）,过抛物线的焦点F理，0）的直线交抛物

%1IABI="% （其中。为直线的倾斜角）；

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在“平行与正交”一节的末尾，我们提到正交张量可以用两个无穷远处的“复数点”的对称积构成， 。在通常的坐标下 。接下来，我们会经常使用这两个复数点。限于我的水平，我不会处理含复数的点。因此在全文中，我将把这类点当作实数的点看待，并不管它的坐标是否是复数。经验证明，一般情况下它是否有虚部并没有什么影响。

我们在这一节中考虑如何用三维矢量方法定义焦点和准线，这一定义会和我们在解析几何中使用的定义有所不同。用三维矢量定义的焦点共有6个，而解析几何中的焦点只有2个。这6个焦点中，有2个在无穷远，有2个坐标为虚数，只有剩下的2个我们可以在解析几何的平面内看见。剩下的这2个就是我们通常处理的焦点。

定义：设 为圆锥曲线， 为垂直结构，则 称为焦点方程。

我们先不管这个方程为什么叫做“焦点方程”，而是关心这个方程中哪些东西有几何意义（即，哪些东西是规范不变的）。因为这个方程如此简单，我们几乎无法用更少的笔墨写下一个不平凡的方程，因此，这个方程必定有十分基本的意义。

这个方程属于线性代数学中的特征值方程， 称为特征值。在3维空间中， 是3次的，因此这个方程是关于的3次函数，共有3个解。是一个退化的张量， ，因此明显 是其中的一个解。剩下的是一个二次方程，可以求出这两个解 ，不妨设 。规范的选择可以使 分别乘以任意的常数，这导致 会随着规范变化。然而，比值 却是规范无关的（因此它有几何意义），因此我们可以定义 ，称为圆锥曲线的离心率。

分别对应两个行列式为0的张量 , （显然它们是规范无关的）。一个（2,0）型对称张量的行列式为0，意味着它能写成两个点的对称积，因此我们设 ，并称 为圆锥曲线的焦点。类似地，因为是 对应的张量，它和 的性质是相似的。于是我们把 也当作圆锥曲线的焦点。这样一来，圆锥曲线有共6个焦点。这6个焦点两两配对，配对的焦点的对称积分别是 。

因为 ，所以存在非零线矢 ，使得 。 在特征方程中是 对应的特征向量。利用在“直线与椭圆相交”一节的知识很容易看出， 的几何意义是 的连线，因此我们把 称为圆锥曲线的 主轴。同理， 对应的特征向量 使 ，是 的连线，称为y主轴。 对应的特征向量 要求 ，很明显，这正是无穷远直线

我们重新叙述一下以上的结论：

焦点方程是特征值方程，特征值 有3个解 ，称为离心率。每个特征值 对应的特征向量称为主轴，分别记为 ，分别称为x主轴、y主轴、无穷远直线，这三条直线两两关于椭圆共轭（可自行证明）。每个特征值对应一个退化二阶线束 ，其线束中心称为焦点。主轴是配对的焦点的连线。

这条圆锥曲线当 时称为椭圆， 时称为抛物线， 时称为双曲线。特殊地，当 时称为圆（即特征方程有重根）， 时称为等轴双曲线。

，因此 ，确实 。把 代入，得到 的对称积。因此，两个焦点的坐标分别是 。这是我们所熟知的。

，这两个焦点在y轴上，它们的直角坐标是 ，这是我们在解析几何中看不到的。无穷远处的自然也看不到。所以，解析几何中，我们通常考虑的焦点是在x轴上的两个焦点。

我们现在的材料有 ，如图。

现在来研究如何用几何手段构造焦点。我们从焦点方程出发，寻求 的几何意义。最简单的方式是从曲线系入手。曲线系理论告诉我们，由两条曲线生成的曲线系必定经过这两条曲线的交点。 也可以看成是 生成的曲线系，只是略有区别（注意上下指标）： 是退化二次线束（即经过 之一的所有直线）， 是二次线束（即与圆锥曲线相切的所有直线），因此它们生成的曲线系不是过定点，而是包含共同含有的直线。这些直线实际上就是下图的四条切线：

因此， 也必定包含这四条直线。同时，因为 ， 应该是一个退化二次线束。而这只有两种可能：或者由D、E两点构成，或者由F、G两点构成。而这恰好是 对应的两对焦点。因此，如下说法都是正确的：

1. 关于圆锥曲线的切线相交于焦点。

2.过焦点作圆锥曲线的两条切线，它们分别经过。

3.圆锥曲线的四条切线交于6个点。在这6个点中，取一对不在同一直线上的点生成垂直结构，则这6个点成为焦点。

有了这些作为工具之后，我们就可以仅仅连几条线而解决许多涉及到焦点的问题了。比如下面的例题：

F是椭圆的焦点，过F作直线交椭圆于A、B，求证：A、B处的切线交于准线上的H点，且AF与FH垂直。（其实我证是在考虑这个问题的时候想到焦点方程的）

证明：因为H的极线AB经过F，所以F的极线经过H。故H在准线上。

因为AB的极点H在直线FH上，因此直线AB、FH关于椭圆共轭。这样一来，我们只需要证明：过F点的两条直线共轭当且仅当它们垂直。

因为涉及到虚交点等问题，我们改用之前的图。忽略椭圆，先只看点Z、Z'、H与直线ABF，由定义可以得知 当且仅当 构成调和线束。接下来忽略Z、Z'，只看椭圆和F、H、直线FAB，由“交比、对合与调和点列”一节的内容可知， 共轭当且仅当它们与F点到椭圆的两条切线形成调和点列。而这里因为F是焦点，这两条切线恰好就是 。所以“”自然和“ 共轭”是等价的。

我们现在来粗略看一下离心率 在图中的体现。我们在“二次点列与二次对合”一节熟知，椭圆的四条切线可以进行交比；空间中任意两点 可以计算 ；这些都是有几何意义的实数。因为有垂直结构的圆锥曲线唯一的参量就是它的离心率，因此它们都和离心率有关。我们借用坐标系来计算。

设过Z、Z’两点的各两条切线得到的交比（即直线 的交比）为 ，则可利用第十节附录给出的公式： 得到 。类似地，把上述Z、Z’换成FX1，FX2以及FY1，FY2，可以得到 。因此我们直观地看到了离心率的体现。

我们可以考虑几个特殊情况。当 （成调和线束）时，对应 ，这是等轴双曲线。当 时，直线 重合， 位于圆锥曲线上，圆锥曲线与无穷远直线相切。这对应 ，是抛物线；当 时， 均位于圆锥曲线上，这时它到椭圆的两条切线退化成一条，四个焦点重合到圆锥曲线的中心（即无穷远直线的极点），这是圆。

想象一下如何把长轴在x轴上的椭圆沿水平方向捏成一个长轴在y轴上的椭圆：最初，x轴上有两个实焦点，y轴上有两个虚焦点；当离心率被压缩得越来越小时，这四个焦点同时向原点接近；当离心率变成0时，四个焦点聚到一起；继续压缩时，四个焦点开始分开，但x轴上的焦点变成虚焦点，y轴上的焦点变成实焦点了。

圆锥曲线和它的六个焦点。黑线是四条切线
接近圆时，四个焦点聚集到了一起

在这一节里，我们使用三维矢量以及射影几何的手段构造了椭圆的6个焦点和6条准线。这种手段能简单地处理某些解析几何中复杂的结论，但处理某些解析几何中最简单的东西却十分棘手（比如说椭圆的第一定义和第二定义）。因此，这一节的目的是提供有关焦点的平台与大致图像，而它具体能解决什么问题还需要进一步讨论。

举一个例子：如果我们有两个椭圆 ，我们可以构造焦点方程 ，这个方程的解会产生这两个椭圆的公共焦点。另外一方面，如果我们有椭圆 及其4条切线、6个焦点，那么所有与 的4条切线均相切的椭圆 会和 有共同的焦点。这可能是一个很好的研究共焦点椭圆的方法。据我所知，处理共焦点椭圆可以使用椭圆坐标或者双曲函数，然而这些都是函数的角度。从线性代数的角度以及几何的角度或许能作为一个很好的补充。

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