今天是高等数学主题的第八篇文章，今天的内容是不定积分。

我以前的高数老师说高等数学是大半本书的微积分加上数列和极限知识。 在微积分中，积分相关占大半。 微积分之所以重要，不是因为比重大、容量大，而是因为经常使用。 大多数理工科教科书都有微积分公式。 原因也很简单，当时这些科学家在研究未知事物和计算时，大量使用微积分作为工具。 所以我们必须学习那个。

我总是觉得微积分这个名字很好。 微积分是微分和积分的总称。 微分从宏观上研究微观，而积分则相反从微观上获得宏观。 因此，积分在某种意义上可以认为是微分的相反。

微分与极限相对应，函数中通过使x接近0来调查函数的变化。 当x趋向0时，我们得到的函数变化率是函数的导数，这也是导数公式的来源：

从微分的观点来看积分，也就是说，让我们反向思考这个过程。 假设我们得到的导数是f'(x )，那么求导数之前的函数f ) x )是什么呢？ 在这个问题上，求导出前的函数称为原函数，我们写为f(x )。 如果f ) x )是f ) x )的原函数，则它应该满足存在任何x I的f ) ) x )=f ) x )。

例如，f(x )=x^2的导数为2x，因此x^2是2x的原始函数。

函数与原始函数的关系很清楚，但为了严格，也需要考虑原始函数是否一定存在的问题。

这个问题看起来很绕圈子，其实很容易就能接受。 如果函数连续，则原始函数一定存在。 根据高数书，这是原函数的存在定理，但一句话也没有证明，基本上被认为是公理。 让我们简单地分析一下函数f(x )是连续的，也就是说，原始函数的导数存在且是连续的。 知道连续未必能指引，但能指引的一定是连续的。 如果现在导数存在并连续，那么原来的函数一定是连续的。 如果函数不存在，如何连续？ 因此，当前函数f(x )连续意味着该原始函数f ) x )一定存在。

我们了解原始函数后，可以开始不定积分的内容。 其实不定积分没有多少计算内容，反而更像是映射。 将当前函数映射到原始函数。

也就是说，从当前函数f(x )中查找原始函数f ) x )，使其等于f ' ) x )=f ) x )。 反过来写这个过程，如下所示。

这个公式其实是求导的逆运算，即使完全没有技术含量也应该知道。 此时，对于某个确定函数f(x )，其原始函数是否确定？ 让我问一下这个问题。

例如，假设在该示例中F(X )=2x，那么原始函数是否只有F(X )=x^2？

答案很明显。 不是。 可以随意举出f(x )=x^2) 3这一另一个元函数。 同样，它是合法的元函数，就像用其他值替换后面的常量一样。 因此，可以看到原始函数是无限的，区别只是最后附加的常数。 也就是说，原始函数因该常数的存在而不确定，这也是不定积分中“不定”一词的由来。

根据不定积分的定义，可以推导出一些简单的性质。 我们先来看看第一个性质。 是最简单的性质。

这个证明非常简单，我们直接向原式求导就可以了：

同样简单的还有另一个性质：

证明方法和刚才一样，直接请求指导即可。

那么，以上就是不定积分的所有性质。 你可能会想，为什么性质中没有乘法和除法的性质？ 我也对这个问题感兴趣过。 因为我查的所有资料中没有相关的公式。 我自己也尝试过推导，但没有任何结果。 这当然不是数学家们懈怠，也不是不能计算，而是太复杂了，不太实用。

最后，我们来看看不定积分的基本积分表。 计算时容易查。

不定积分本身的内容就这么多，理解起来并不困难。 但是在实际解决问题的过程中，有一些解决问题的技术。 因为是版面的问题，所以放入下一篇文章和大家分享。

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