一个偶函数的图像与一个积函数的图像重合能得到什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-25 10:55 标签： 两个偶函数的积是偶函数的证明

再不写我感觉要掉粉了。最近在准备考试，比较累了- -只能靠风油和搞笑段子提神TAT，以后应该是周更了……

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一般要要画函数图是标号对应点连线，三角函数来说，图中的x是用弧度制表示的角度大小，y是函数的取值，让角度从0出发，终边按正方向走，定下一些特殊点就可以取得函数值。

变化了一个圆周角的对应函数图像

一般来说我们定下一些特殊点，然后就可以连起来。

这里的值都是需要记住的~~~

但是一般画图我们简化成五点（0，0）（π/2,1）（π，0）（3π/2,-1）(2π，0)

截取一部分的f（x）=sinx

你会发现蓝色段接着再重复一遍可以得到红色段，这就可以联系到我之前讲过的任意角里面简单介绍的周期，简单地说就是经过一定数量重复原来的变化，是函数的一个基本性质，可以这样表示：

对于正弦函数来说，x∈[0,2π]的这一部分函数就是一个循环，也就是说T=2π是最小正周期，

放在任意角来说，转一圈就是一个周期了，而单位圆上的终边可以转n圈，也就是角度x可以取任意实数，这时候可以知道sinx的定义域为R，还从各个图像中观察到，值域是[-1,1].

除了周期这个性质，我们根据图像观察：

还可以得出正弦函数的对称性

一是点对称，明显sinx是关于原点对称的奇函数，运用好这个性质可以帮助你快速解题。

加上周期的作用，一个周期有两个对称点，可以得到对称点是（kπ，0）k∈Z，称为对称中心。（其周期是π不是2π）

观察到[0，π]半个周期中有对称轴x=π/2，而一个周期有两条这样的轴，再加上周期的作用得出对称轴为：

跟对称中心一样的周期π

根据对称性和周期——发现相邻的对称点和对称轴的距离是π/4。

对于函数来说，还有一个非常重要的单调性。依然是截取其中的一段出来看：

加上周期的作用，sinx单调增区间（注意  指一个函数中所有递增性质的区间，如不可以说[-1,1]是sinx的单调增区间，你可以说sinx在[-1,1]单调递增。下面的式子也不可以缺少k∈Z）

有了单调性就可以求最值——非常明显了max=1，min=-1.同样是要注意，这是x∈R才有的性质。

这里要引用到上一篇三角函数值的诱导公式

发现了什么？根据函数图像移动在x轴上 左加右减（这个初中已经涉及了，日后我会详细讲），也就是sinx 向左平移π/2个单位长度得到cosx的图像。

这样的话，余弦的一些性质便可以通过正弦推出来，有些甚至是可以照搬，比如定义域x∈R，值域[-1,1]，周期T=2π.但是位置改变了，也就是对称性有所变化。若是用五点作图法，那取 点 (-π,-1),（-π/2,0）,(0,1), (π/2,0)， (π，0)确定一个周期的大致图像。

对称的点和轴也发生了变化

点对称相当于向左平移了π/2的倍数单位长度，故对称点中心为（kπ+π/2,0）（k∈Z）

轴对称相当于向左平移了π/2的倍数单位长度，故对称轴为x=kπ（k∈Z）

还可以注意到cosx是个偶函数，偶函数其实就是关于y轴对称（x=0）的函数

终边到y上半轴一次不存在，再到下半轴一次不存在。角度转半圆已经是一个周期了，故周期为π

讨论的点跟上面的是一样的，比较特殊的是因为tanx=sinx/cosx,而分母不为0，即x≠kπ/2+kπ.用几何意义来说就是斜率不存在，直线变成了与y轴重合（必修2的知识以后我展开详细讲）。

表示：不存在的。虽然我很不想拿出这个老土的表情包……

值域 R,所以没有最值

对称性 只有点对称，对称中心（kπ/2,0）（k∈Z）

这个基础小知识点先讲到这里。

感受一下各自的不同。黑色是y=x

        新手别着急，以目前的小知识点储量是做不了高考题的，按照学校的进度起码要到高二才行，但如果自身学校老师不咋地的话，还是建议尽早建立自己的知识体系，尽快将必修1到5的知识在高一的时候弄清楚明白。题型的话我日后抽时间总结。

        学过一轮的同学很容易背个公式就觉得自己会了，这会导致一个什么问题呢——学校的模拟题可能会考得还行，一到高考题就科科，因为高考题很多是考一些细致的基本定义而不是骚方法，起码，近年来全国卷的趋势是这样的。题目中很多隐藏线索都是靠最基本的定义凑起来的，把知识点拆分你就会看出全国卷其实并不难，但为什么凑在一起就不会了呢……所以平时小知识点也不能大意。emm很多同学在这点扑街，骚方法会让你有种以为自己很厉害的错觉，然后逐渐偏离考点……之前我去逛了一下书城书店，发现一些不少教辅书各个专题的难度与真题相差之大，什么百题，大全，名校，状元之类的……

真不如把当地近五六年的高考原题多刷几遍。好的当然也有，推荐一下外研社出版的。

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下次我会敲图像的变换——伸缩平移翻折。还会讨论变形后的单调性。

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