4.1.1 不确定推理的概念

所谓推理就是从已知事实出发，运用相关知识（或规则）逐步推出结论或证明某个假设成立或不成立的思维过程。其中已知事实和知识（规则）是构成推理的两个基本要素。已知事实是推理过程的出发点，把它称为证据。

4.1.2 不确定性推理方法的分类

可信度方法、主观Bayes方法、证据理论 都是在概率论的基础上发展起来的不确定性推理方法。

知识库是人工智能的核心，而知识库中的知识既有规律性的一般原理，又有大量的不完全的专家知识，即知识带有模糊性、随机性、不可靠或不知道不确定因素。世界上几乎没有什么事情是完全确定的。不确定性推理即是通过某种推理得到问题的精确判断。

（1）不确定性问题的代数模型

一个问题的代数模型由论域、运算和公理组成。建立不确定性问题模型必须说明不确定知识的表示、计算、与语义解释。

• 不确定性的表示问题：指用什么方法描述不确定性，通常有数值和非数值的语义表示方法。数值表示便于计算，比较，再考虑到定性的非数值描述才能较好的解决不确定性问题。例如对规则A->B（即A真能推导B真）和命题（或称证据、事实）A，分别用f(B,A)来表示不确定性度量。
• 推理计算问题：指不确定性的传播和更新，也即获得新的信息的过程。包括：

  一般初始命题/规则的不确定性度量常常由有关领域的专家主观确定。

• 语义问题：是指上述表示和计算的含义是什么？即对它们进行解释，概率方法可以较好地回答这个问题，例如f(B,A)可理解为前提A为真时对结论B为真的一种影响程度，C(A)可理解为A为真的程度。特别关心的是f(B,A)的值是：

（2）不确定推理方法的分类

不确定推理方法在人工智能系统中通常是不够严谨的，但尚能解决某些实际问题，符合人类专家的直觉，在概率上也可给出某种解释。

不确定性推理模型没有一个统一的模型，种类不计其数，其中比较著名的有：

• Zadeh在1978年提出的可能性理论，1983年提出的模糊逻辑和逻辑推理

在以产生式作为知识表示的MYCIN系统中，第一次使用了不确定推理方法，给出了可信度作为不确定性的度量。

1.规则的不确定性度量

规则以A->B表示，其中前提A可以是一些命题的合取，引入可信度CF(B,A)作为规则A->B的不确定性度量。其中引入P(B)表示结论B为真的概率,P(B|A)表示在规则A->B,证据A为真的作用下结论B为真的概率。则可信度

CF（B，A）表示证据A为真时，相对于P（～B）=1-P（B）来说A对B为真的支持程度（当CF（B，A）≥0），或相对于P（B）来说A对B为真的不支持程度（当CF（B，A）＜0）。以上定义保证了-1≤CF（B，A）≤1。
当P（B，A）-P（B）相同时，P（B）小的CF小，P（B）大的CF大。

可以看出规则的可信度CF（B，A）的几个特殊值：

• 前提A为真，结论B必真时，由于P（B|A）=1，故由上式知CF（B，A）=1；
• 前提A与结论B无关时，由于P（B|A）=P（B），故由上式知CF（B，A）=0；
• 前提A真结论B必假的情形，由于P（B，A）=0，故由上式知CF（B，A）=-1；

显然CF（B，A）≥0表示前提A真支持B真。CF（B，A）＜0表示前提A真不支持B真。

CF（B，A）的定义借用了概率，但它本身并不是概率，因为CF（B，A）可取负值（概率>=0），另外CF(B,A）+CF(B,～A)不必为1（而P(A)+P(~A)=1），甚至可能为0。

值得注意的是，在实际的应用中CF(B,A)的值是由专家根据经验知识主观确定的,并不是由P(B)和P(B,A)计算出来的。

2.证据的不确定性度量

证据A的不确定性也可以用CF(A)表示，同样规定-1≤CF(A)≤1，几个特殊值规定为：

• 对证据A一无所知时，CF(A)=0；

同样要注意的是：初始证据的CF值由专家主观提供，其它证据的CF值由规则的CF值和初始证据的CF值经过推理求得。

则最后更新的CF（B）可由下式求得：

CF(B)的更新计算，也可以这样理解：已知CF(A),A->B,CF(B,A)，而B原来的可信度为CF(B),来求B的可信度更新值CF(B|A)。这时上面的计算公式可写成：

当CF(A)<0时，规则A→B可不使用，像医疗专家系统MYCIN规定证据A的可信度CF(A)<=0.2,就认为规则A→B不可使用。

举例：已知一组规则和证据（事实）：

所以CF（B1）的最后更新值为0.9

下面求B2的最后更新值：

所以CF（B2）的最后更新值为0.72

解：由已知知识建立的规则树：

根据规则R4以及公式（1）：

根据规则R5以及公式（1）：

根据规则R1以及公式（1）：

同样根据规则R2，R3以及公式（1）

由于CF1，2（H）与CF3（H）异号，所以使用公式（5）的第三部分：

在PROSPECTOR探矿专家系统中，采用了主观Bayes方法来度量不确定性。引入两个数值（LS，LN）来作度量，LS表现规则A->B成立的充分性，LN表现规则A->B成立的必要性。也就是说LS表现规则A->B，A为真时对B为真的支持程度，LN表现了A不为真（~A）对B为真的支持程度。

1.对规则的不确定性度量

……（公式3.3.1）

分析LS、LN的意义。建立几率函数

，……（公式3.3.2）表示事实X为真的概率与X为假的概率之比，显然P(X)的越大O(X)也加大，而且：

根据公式3.3.1和公式3.3.2可以推导出：

由这两个公式，对于规则A->B，LS表现A为真时对B为真的支持程度，LN表现了A为假（~A）时对B为真的支持程度。

根据LS、LN的定义可知，LS≥0，LN≥0，而且LS和LN不是独立取值，只能出现：

在实际系统中，LS、LN的值是由专家凭经验给出的，而不依照LS、LN的定义来计算。

例如有规则A->B，并且给出

2.证据的不确定性度量

在主观Bayes推理中就以O（A）或P（A）表示证据A的不确定性，转换公式是：

（1）当证据A必出现时即P(A)=1，可直接使用

求得使用规则A->B后，O(B)的更新值O(B|A)和O(B|~A)，若需要以概率表示，再由

（2）当A是不确定的即P(A)≠1，需作如下考虑

当P(A|A')=1时，证据A必然为真，可推导处：

当P(A|A')=0时，证据A必然为假，同样的方法可推导出：

这样可确定P（A|A'）为1，0，P（A）时，相应的P（B|A'）值。其它情况的P(B|A')的值可从线型插值图求得：

（1）当证据A1，A2，A3，A4必然发生后，看B的概率变化，已知B的先验概率为0.03，而规则

解：由规则R1，P（B）=0.03，便得：

即执行规则R1后，证据B为真的概率由初始0.03变为0.382。

即执行规则R2后，证据B为真的概率由执行规则R1之后的0.382变为0.99464。

执行规则R3，R4之后证据B的概率的变化可按同样方法计算，读者可自行完成。

（2）证据A必然发生（即为真），并且已知B1的先验概率为0.03，B2的先验概率为0.01。使用下列规则R1，R2之后，计算P（B2|A）。

解：在本题中，关键是使用规则R2时，证据B1不是必然为真，即是不确定的，这时需用插值法：

①由于A必然发生，所以根据规则R1有：

Dempster和Shafer提出的证据理论，可用来处理由不知道所引起的不确定性，能区分“不确定”与“不知道”的差异，具有较大的灵活性，因而受到人们的重视。

在可信度方法和主观Bayes方法中，知识是用产生式的形式表示的。在可信度方法中，证据、结论以及知识的不确定性是以“可信度”进行度量的。在主观Bayes方法中，证据及结论的不确定性是以概率的形式进行度量，而知识的不确定性则是以数值对（LS，LN）来进行度量的。在用产生式表示知识时，证据可以是单个命题，也可以是用AND和OR连接起来的复合命题。

而在D-S理论中，知识也是用产生式的形式表示的，但证据和结论都要以集合进行表示。例如针对医疗诊断问题，U表示所有可能疾病的集合，医生为进行诊断而进行的各种检查就是获得所需的证据的过程，检查得到的结果就是获得的证据，这些证据就构成了证据集合A。根据证据集合A中的这些证据，就可以判断病人的疾病。通常有的证据所支持的不只是一种疾病而是多种疾病，这些疾病当然都是集合U中的元素，可以构成U的一个子集H，H就是结论集合。例如医疗诊断中的证据“流鼻涕”，有可能是“感冒”，有可能是“过敏性鼻炎”引起的，则有结论集合H={“感冒”，“过敏性鼻炎”}，证据集合A={“流鼻涕”}，而U是所有疾病的集合。

在D-S理论中，知识的不确定性通过一个集合形式的可信度因子来表示，而证据和结论的不确定性度量则采用信任函数和似然函数来表示。为此引入概率分配函数、信任函数以及似然函数的概念。

还要指出的是，证据理论是用集合来表示命题的，设U是变量y的样本空间，其中具有n个元素，变量y的所有取值都在D中，D中元素所构成的子集个数为2n个，在任何时刻变量y的取值都会落入某个子集。也就是说每一个子集A都对应着一个关于y的命题“y的值在A中。”，所以就用集合A来表示该命题。

注：关于集合U幂集的定义：给定集合U，考虑U的所有子集，以它们为元素构成一个集合，这个集合称为U的幂集，记为2U。

例1：设U={a,b,c}，其基本概率分配函数为

m(A)表示了证据对U的子集A成立的一种信任的度量，取值于[0，1]，而且2U中各元素信任的总和为1。不同于Bayes方法，因为Bayes方法仅对U中单个元素赋予一种信任——概率。

基本概率分配函数值一般由主观给出，一般是某种可信度，所以概率分配函数也被称为可信度分配函数。

即子集A的信任函数的值是A的所有子集的基本概率分配函数值的和，用来表示对A的总信任。信任函数表示对A为真的信任程度。信任函数又称下限函数。

信任函数具有如下性质：

（2）单元素集上m与Bel是相等的即若A是单元素集，则m(A)=Bel(A)

（3）信任函数为递增函数，即若，则Bel(A1)≤Bel(A2)

Bel(A)表示对命题A为真的信任程度，所以Bel(～A)表示对～A为真的信任程度即表示A为假的信任程度，Pl(A)=1-Bel(～A)即表示对A为非假的信任程度，也就是所有与A相交的子集的基本概率分配函数的和。似然函数又称为上限函数。

（4）Pl(A)-Bel(A)表示了既不信任A也不信任～A的一种度量，可表示对不知道的度量。

（5）用信任区间[Bel(A),Pl(A)]来描述A的不确定性。Bel(A)表示度量的下限，Pl(A)表示度量的上限。实际上m,Bel,Pl只要知其一，必可求得另两个，但三个函数有不同的含义。几个特殊信任区间：

[1/2，/2]表示A是否为真是完全不确定的

4.除用区间[Bel(A),Pl(A)]来作为证据A的不确定性度量外，还可以

其中|A|，|U|分别表示A和U所含元素的个数。f1(A)具有性质：

设m1(A)和m2(A)(A∈2U)是U基于不同证据的两个基本概率分配函数，则将二者可按下面的Dempster组合规则合并

该表达式一般称为m1与m2的正交和，并记为

组合后的m(A)满足：

例5：设U={a,b,c}，若基于两组不同证据而导出的基本概率分配函数分别为：（不同症状而导出同样的结论的基本概率）

(2)含冲突修正的组合规则

在上面的基本组合规则中，若B和C的交集为空集，这时将Dempster组合规则进行如下修正：

规范数K的引入，实际上是把空集所丢弃的正交和按比例地补到非空集上，使所有的m(A)仍然满足：

6. 基于证据理论的不确定性推理

基于证据理论的不确定性推理，大体可分为以下步骤：

• 给幂集2U定义基本概率分配函数
• 计算所关心的子集A∈2U（即U的子集）的信任函数值Bel(A)、似然函数值Pl(A)

(1)如果 流鼻涕 则 感冒但非过敏性鼻炎（0.9）或过敏性鼻炎但非感冒（0.1）

R1：流鼻涕→感冒但非过敏性鼻炎（0.9）

R2：流鼻涕→过敏性鼻炎但非感冒（0.1）

(2)如果 眼发炎 则 感冒但非过敏性鼻炎（0.8）或过敏性鼻炎但非感冒（0.05）

R1':眼发炎→感冒但非过敏性鼻炎（0.8）

R2':眼发炎→过敏性鼻炎但非感冒（0.05）

括号中的数字表示规则前提对结论的支持程度。

（1）小王流鼻涕（0.9）

（2）小王眼发炎（0.4）括号中的数字表示事实的可信程度。

用证据理论求解这一医疗诊断问题。

首先取集合U={h1,h2,h3}，其中h1表示感冒但非过敏性鼻炎，h2表示过敏性鼻炎但非感冒，h3表示同时得了两种病。

基本概率分配函数的取值为：前提证据的可信度*规则的可信度

再取下面的基本概率分配函数：

将两个概率分配函数合并

“感冒但非过敏性鼻炎”为真的信任度为0.87，非假的信任度为0.934

“过敏性鼻炎但非感冒”为真的信任度为0.066，非假的信任度为0.13

所以，看来该患者是感冒了