线性代数，行列式一题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-16 11:40 标签： 线性代数三角形行列式题

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这学期在网上讲线性代数，对一些在教室黑板上很容易说清楚的问题，都得搬到计算机上进行，关键是看不见学生的反映，有人说出些小作业随时让学生做，可是，数学课不同于其它课，信息量知识量大做题耗时不必说，很多抽象思维的东西是需要现场交流的，虽然也是直播，有的只可”意会”的内容很不好远程”言传身教”。

这样，师生都守着电脑上课，也是可利用的，正好这届学生已学过C语言课，所以上线性代数，我也试着引入用C语言计算一些问题。同时用自然语言、数学语言、计算机语言，从不同的角度描述和理解同一数学问题也许更好。教材上来就讲行列式，并且用什么“对换”“逆序”来讲，想想学生看着PDF电子文件也够头痛的。

线性代数，对学了C语言的同学该这样开始学：递归方法计算行列式

我先简单引入向量，就是一列有序的数，这是学生熟悉且好掌握的，简单介绍矩阵，让学生和C语言二维数组联系起来，再正式开讲方阵的行列式。引入矩阵的余子阵概念，即方阵A中划去某元素所在行及所在列的元素后剩余元素所组成的n-1阶方阵,记为Aij，就可自然引出用如下递归定义计算行列式det(A)或|A|。

A只有一个元素，det(A)为A的值，即det(A)=A。否则n>1时，行列式值为：


根据这个定义，先讲一些示例，按着以上算法,再介绍C程序。虽然有的同学C语言学的不怎么好，但大概思路还是可接受的。


(倒数第四行delete [] A1k;，还是学生告我他的编译器对“delete A1k”有警告而改正的。)

  这个定义，开始可能难点，但再熟悉一下二阶行列式的计算，就可很自然地理解行列式的性质，如对换、数乘、倍加变换对行列式值的影响。也很容易理解行列式的按行、列展开。


有了以上行列式计算的程序，也容易理解克拉默法则解线性方程组、求伴随矩阵等程序。

教材上也没涉及行列式的几何意义，只是一味的算算算，行列式其实是代表向量组所组成的平行四边形有向面积（三维是体积），画了如下图简单介绍，了解几何意义也对以后学习矩阵或向量组的秩时为什么用到行列式，有个直观的映像。对线性变换导致的空间变换也好理解，对|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|等性质看起来也很直观了。


通过举例分析一些复杂的行列式计算，学生基本能掌握行列式这一章。

另外，递归程序计算行列式时，随着n的增大，计算量是很大的，如以下四阶矩阵，


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