差分进化算法对于不可导或者不连续也可以进行求解

算法的主体分成4个步骤：
 3.变异个体与原始种群交叉
 4.从变异个体和原始种群中筛选优秀个体

3.变异个体与原始种群交叉

然后我们以一定概率让新产生的变异个体与原种群中个体进行交叉重组，这个概率记作CR，
例如2中得到的变异个体n=(-0.7,0.7)让它与原始种群中的第三个个体(0.9,-0.6)进行交叉，
这意味着-0.7有50%的概率被替换为0.9，0.7有50%的概率被替换为-0.6，

4.从变异个体和原始种群中筛选优秀个体

最后通过计算目标函数值，比较原始种群以及变异种群中的个体，选出下一代的原始种群。
前者的目标函数值是1.17，后者的目标函数值是0.85，后者更接最小值点 (0,0)->0 ,
因此我们选择保留变异个体n，替换掉前者的个体，作为新的原始种群.

按照上述2-4步骤进行迭代后，得到的种群逐渐接近函数的最小值点，这个迭代次数可以由参数Round控制，更大的迭代次数可以使得收敛效果提高。最终我们只需要输出种群中目标函数值最小的个体即可.

分析结果, 如上面所示 可以大致看出 最小值的取值点在 x1 逼近10000,的时候取得

二、改进的差分进化算法

（1）自适应差分进化算法

主要是使用了自适应算子。在基本的差分进化算法中，变异算子经常取常数，比较难准确确定，变异率太大，全局最优解低，变异率小，群体多样性下降，易出现‘早熟’的现象。我们可以设计这样的变异算子：

这样开始的时候变异算子为2F0，在初期可以保持多样性，防止早熟。随着进展，变异算子降低最后变为F0，避免最优解遭到破坏。

还可以设计一个随机范围的交叉算子：

这样交叉算子的均值就在0.75，保持了群体多样性。

（2）离散差分进化算法

采用的是浮点数编码，用到了floor这个函数向下取整即可.

种群数量NP：规模越大多样性越好，但是增加计算难度，一般在5D~10D之间，而且必须大于4. D : 为个体的特征维度

变异算子F：[0,2],决定偏差向量的放大比例。F=0.5是一个比较好的初始选择，如果过早收敛可以增大F或者NP

交叉算子CR： [0,1] ,CR越大，发生交叉的可能性就越大，一般CR=0.1，较大的CR会加速收敛。

终止条件：一般当目标函数值小于阈值时程序终止，一般取 le -6

《概率论与数理统计（本科）》期末考试复习题

（打印时缩放成A4纸）

1、以A表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则 A为（）.

甲产品滞销或乙产品畅销

3、设A,B为两随机事件，且 B A，则下列式子正确的是（ ）

(A) 0.4(B) 0.6(C) 0.24(D) 0.55、袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球

5、袋中有50个乒乓球，其中

20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球

取到黄球的概率是 （）

6、甲袋中有4只红球,

6只白球；乙袋中有 6只红球，10只白球.现从两袋中各取1球，则2球颜色相同的概率是（）.

7、随机扔二颗骰子，已知点数之和为8,则二颗骰子的点数都是偶数的概率为（

&设每次试验成功的概率为 p（0 ：：： p ：：：1）,重复进行试验直到第 n次才取得r （1 _ r _ n）次成功的概率为（）

9、离散型随机变量X 的分布律为 P（X =k） =AA?（k =1,2「j，则有（）

（C） A1 且，：：：1

X在区间（2,5）上服从均匀分布

.现对X进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于

12.设随机变量X的概率密度为

,a为（0,1）间的数，使

具有对称的概率密度，即

14、设两个随机设离散型随机变量

(X,Y)的联合分布律为

其它是随机变量X的分布函数，则区间D为(

16、设随机变量X的概率密度为

17、设随机变量 X,Y相互独立,

24、设二维随机变量(X,Y)服从

24、设二维随机变量(X,Y)服从G上的均匀分布,

G的区域由曲线 y = x2与y=x所围，贝U (X,Y)的联合概率密度函数

26、设X与Y为两个随机变量，则下列给出的四个式子那个是正确的 ().

28、 若随机变量 X和Y相互独立，则下列结论正确的是( ).

30、已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间1-1,3 1

X和Y相互独立，且它们分别在区间

33、设(X1,X2，…,Xn)为总体Np,二)(」未知)的一个样本，X为样本均值，则在总体方差 -的下列估计量中，为 无偏估计量的是()

34、样本容量为 n时，样本方差 S2是总体方差

4、 三台机器相互独立运转，设第一、二、三台机器不发生故障的概率依次为 0.9,0.8,0.7，则这三台机器中至少有一台发

5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次， 其命中率分别为 0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中地概率为

7、 设某批电子元件的正品律为 -，次品率为1 ?现对这批元件进行测试，只要测得一个正品就停止测试工作，则测试次数

X服从正态分布N ( -2,9),则概率密度函数为

X的概率密度为f(x)二

X的概率密度，贝U A的值为

17、设随机变量X的分布函数为 F(x)二Max2

18、 设X与Y是两个相互独立的随机变量，且 X在0,3上服从均匀分布， Y服从参数为2的指数分布，则数学期望

分布.25、若X1,X2J||,Xn1是正态总体N(比/)的容量为n的简单随机样本，则 亠——2——

26、测量铝的比重16次，设这16次测量结果可以看作一个正态分布的样本，得

重均值J的0.95置信区间为 三、解答题

2、 设事件 A与B相互独立，两事件中只有 A发生及只有B发生的概率都是 丄，试求P(A)及P(B).

3、 甲、乙、丙三门炮向同一架飞机射击，设甲、乙、丙炮射中飞机的概率依次为 0.4 , 0.5 , 0.7，又设若只有一门炮射中，

飞机坠毁的概率为 0.2 ,若有两门炮射中，飞机坠毁的概率为 0.6 ,若三门炮同时射中， 飞机必坠毁.试求飞机坠毁的概率？

4、 已知一批产品中 96 %是合格品，检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是 0.02 ;一次品被误认为是合格品的概

率是0.05 .求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率

5、 设袋中有10个球，其中3白7黑，随机任取3个，表示取到的白球数,试求：(1)、随机变量X的分布律；(2) 数学期

某一地区患有癌症的人占 0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为 0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为 0.04 ,

现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大 ？

设离散型随机变量X的分布密度为

求：⑴￥ =「2X的分布密度；(2) % = X2的分布密度.

设随机变量X的概率密度f(x)二 卄宀,试求：(1 )随机变量Y=2X的密度函数fY(y)；( 2)数学期望E(Y)。

=丄,两个随机变量X,Y是相互独立且同分布,

求随机变量(X,Y)、

12、设(X,Y)的联合分布律为

13、 玻璃杯成箱出售，每箱 20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为 0.8,0.1,0.1 , 一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购

买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看 4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回 .试求：

在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率

14、 设有两箱同类零件，第一箱内装 50件，其中10件是一等品；第二箱内装 30件，其中18件是一等品.现从两箱中随意

挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件 (取出的零件均不放回)，试求

(1)现取出的零件是一等品的概率； (2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率

15、 甲、乙两个独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2，乙的命中率为 0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次 数，试求X和Y的联合分布律?

求：(1)确定常数 A和B ；( 2)X的概率密度函数.

18、某种型号的器件的寿命 X (以小时计)具有以下的概率密度

0,现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)其它

现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立)

，任取4只，问其中至少有一只寿命大于 2000小时的概率是多少?

19、设随机变量X的概率密度为f (x) ] °,其他?求丫 = X2的概率密度

22、 设随机变量 X的概率密度为fX(x) ,(—：：： x ：：：：：)，求随机变量 Y=1-3X的概率密度fY (y).

23、设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

设二维连续型随机变量 X,Y的概率密度为

25、从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是

为途中遇到红灯的次数，求 (

为途中遇到红灯的次数，求 (1)

X的分布律；(2) X的期望.

26、设袋中有10个球，其中3

白7黑，随机任取3个，随机变量 X表示取到的白球数,试求:

⑴、随机变量X的分布律;、数学期望E(X )。27、设随机变量 X的概率密度f(x)

⑴、随机变量X的分布律;

、数学期望E(X )。

27、设随机变量 X的概率密度f(x)

28、设总体X服从正态分布 N(),二

),X1,X2,|||,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，试求 「和二 的最

29、设总体X的概率密度为

其中二0是未知参数，X1,X2^l,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，求(1)二的矩阵估计量^?； (2) 求二的极大似然估计量。

30、设X1,X2^ ,Xn是来自参数为■的泊松分布总体的一个样本，试求?的最大似然估计量及矩估计量

置信水平为0.95的置信区间.

置信水平为0.95的置信区间.

1、已知事件 A,B,C相互独立，证明:A B与C相互独立.2、设随机变量X服从标准正态分布

已知事件 A,B,C相互独立，证明:

设随机变量X服从标准正态分布

设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

求(1) A的值；(2)两个边缘概率密度函数。

试求：（1）常数C ; （2） X和Y的边缘密度函数；（3）证明X与Y相互独立?

5、设二维随机变量（x，Y）的联合密度函数f（x，y」6x。，「2他1，

6、设随机变量 X的概率密度为 f （x）=

试求：（1）X的分布函数;

（2）Y =3X的概率密度函数;

（3） Y二e-X的数学期望。

7、随机变量X的概率密度

8、设总体X在［a,b］上服从均匀分布，其中a, b为未知参数，又x1,x2 / ,xn为样本，求未知参数a, b的矩估计量

9、从一批零件中抽取 18个测量其长度，得到样本标准差 s = 0.195，设零件长度服从正态分布?求零件长度标准差 c的

置信水平为95%勺置信区间.

［附正态分布、t分布、 分布数值表］

《难得的是有份清闲时光，难得的是有种知途迷返，知之为知之，不知为不知，知你冷暖，懂

你悲欢，把你放在了心头上的人。难得的是面对片深山广林、教你为人，怎样处事，面对人生 ；淡泊

世事，践行伯乐，明镜心扉。

心似无物化有物，道似无情渡有情，佛似无边胜有边，儒似学而不思厌也，山高不止于流水，

流水不止于小桥，除非去哪里在看看，除非去哪里在历历，除非去哪里在观光 ！ 一路走马观花，沐浴

星星的乐园，想哪，念那。

白若溪在月牙泉唱着：每当太阳落下西边的阳，也有美丽的月牙泉，它是天的镜子，也是沙漠

的眼。就在那片天的很远很远，从那年我月牙泉边走过，从此以后魂牵梦绕，也许是你们不懂得这 种爱恋，除非也去那里看看。

我们都是追梦的人，有些人，有些事，该忘的那就都忘了吧。这世界即没平白无故的付出，也

没有平白无故的缘分，那我们就因更当珍惜，当你的眼泪忍不住快要流出来的时候。 睁大眼睛！千万 别眨眼，或许会让你看到世界由清晰、变模糊的全过程，在你心泪落下的那一瞬间，至此变得清澈 明晰。