“连续介质力学，它不去考虑把物质再分为‘实在’的质点。这种力学是以一种假想来表征的，即假定物质的密度和速度对于坐标和时间的依存关系都是连续的，而且相互作用中那个不是明白规定的部分能被看作是表面力，这种力也是位置的连续函数。属于这一类的有流体动力学理论和固体弹性理论。”
—— 爱因斯坦
上回说到： 在理解了质点的力学规律的基础上，我们又给由大量质点组成的固体建立了一个新模型——刚体，并且深入研究了刚体的运动学和动力学规律。将物体看成刚体，比起“将物体看成一个质点”，总是能提供更丰富的信息；比起“将物体看作大量质点构成的质点系”，又因为有着“内部任意两点间距离不变”这样严格的约束，使得整体的自由度总数从降到了，大大简化了问题。于是我们得到了这样的经验：当物体的大小、形状可忽略，或不涉及转动时，就把它抽象成质点；当物体的大小、形状不可忽略或涉及转动，但不考虑形变、也不考虑其内部各部分的相互作用力时，就把它抽象成刚体。 利用这两条经验、两种理想模型，我们已经可以解决不少问题。
然而，自然界中根本不存在真正的刚体——力是导致物体形变的原因，物体受力时必然会发生形变 ，其内部各质点之间也会产生相对运动和相互作用力，从而使得“内部任意两点间距离不变”的约束条件失效。当形变不可忽略时，刚体模型也就不再适用，必须要将物体作为变形体 处理。
一般来说，自然界中的真实物体可以分为固体、液体、气体三种物态。对于固体 ，它能够维持自身的体积和形状，如果施加一个外力使得它发生形变，会有两种情况：一种是当我们撤掉这个外力后固体又恢复原形，这样的形变叫弹性形变 ，例如我们最熟悉的弹簧；另一种是即便我们撤掉外力后也难以恢复原形，这样的形变叫塑性形变 ，例如碾压、锻打甚至撕裂。一般来说，当外力在一定限度之内时，固体或多或少都有一种受力后趋向于恢复原形的性质，即弹性 。这样的固体被我们叫做弹性体 ，研究弹性体的力学被我们称作弹性体力学 ，或简称弹性力学 。而对于液体或气体，它们完全无法维持自身形状，更别提“恢复原形”了，它们则统称流体，研究流体的力学便是下一篇中要遇到的流体力学。
在我们生活中所见到的任何机械、建筑等工程结构一般都是固体。固体往往有抵抗形变和破坏的能力，但这种能力又是有限度的。为了保证安全和正常工作，我们往往希望构件能有足够的能力负担起应该承受的载荷，即要求其具有不被破坏的能力（一定的强度 ）、不发生过大变形的能力（一定的刚度 ）、足够的保持原有平衡形态的能力（一定的稳定性 ），这也就要求我们选择合适的形状、合适的尺寸、合适的材料等，对这些问题的计算和分析就是包括材料力学 、结构力学 等学科在内的弹性力学的任务。如果设计出来的结构其强度和刚度不够，那么曲轴可能被折断、齿轮可能损坏变形、杆件可能被压弯，甚至储气罐可能爆炸、桥梁可能摇摆、楼房可能坍塌……
其后果不堪设想。但如果一味只知加固加粗、选择更结实的材料，又会面临重量的增大、成本的增加等等问题。所以，为了兼顾经济和安全，必须定量计算，这就是弹性力学的重要意义所在。
【一】弹性形变的基本类型
◆ 连续介质假设 · 质元模型
在研究固体的弹性形变之前，必须找到适用的方法来建立模型。在上一篇中我们研究刚体时，尽管在推导刚体运动的方程时会将刚体划分为大量的小质点来研究，但一旦我们的方程建立完成，便只考虑“整体的运动”，丝毫不考虑这些“极小的部分”具体是怎样划分的。而这次我们要开始着手研究弹性体（或流体）了，这时情况就发生了变化。
从理论来上讲，此时这些“极小的部分”有变形、有相互错动，肯定不能只考虑整体的运动，必须始终将它细分。从极限的角度来看，这种划分必然是越细越好，最好是划到无限小才显得精确。在这样的情况下，物体便不能被看成许多离散质点的组合，而要认为它连续地、无间隙地分布在其占有的整个空间里，称作连续体 或连续介质 。因此处理连续体的学科也被称作连续介质力学 ，弹性力学和流体力学都是它的分支，本篇最开始爱因斯坦的那句话便是对连续介质力学的准确概括。
——或许你会好奇：一旦视角足够微观，物体总是不连续的呀！因为物质看作由离散的分子、原子等构成，而这些粒子之间往往存在很大空隙，甚至还相当空旷。这没错，但是我们日常研究中往往都站在宏观的视角，从宏观角度看，不考虑其微观结构，物体当然可以当做是连续的！具体来说，我们的研究方法是：在物体里取很小很小的“有质量的体积元”，称作“质元 ”，并以质元为单位来分析物体运动。在考虑连续介质时，我们熟悉的密度 概念才有用武之地——单位体积的质量是密度，所以一个体积元具有的质量。总之我们可以说：我们现在使用的不再是质点模型，而是“质元模型”。
【符号说明】本篇中涉及“体积”均用表示，以免和代表势能的混淆。
取“很小很小”的质元，那是取到多小？能取到无限小吗？答案是不行。因为，尽管从宏观视角来看一个质元必须取得很小，这才能将质元看成连续分布；但如果从微观视角来看，如果质元取得太小，以至于一个质元里只含一两个分子或原子，那就意味着物质微观结构已经不可忽略了，要想忽略微观结构，则一个质元又要取得够大才行，至少里面要包含足够多的分子或原子。一句话概括：“宏观上要很小，微观上要很大” ——这矛盾吗？其实一点都不矛盾！因为宏观上的“很小”是相对于物体的尺度来说的；微观上的“很大”却是相对于分子或原子来说的。举个栗子，当我们研究一杯水的时候，我们可以取体积的水（大约）作为质元，这和一杯水比起来可以说是极小了，但和水分子比起来又无比巨大——这样一个质元里可以含有超过个水分子！我们总是假设这种取质元的方式是可行的，这个假设简称连续介质假设 ，只有当连续介质假设得到满足的时候，连续介质力学才有适用的前提。
接下来，就让我们开始研究固体的弹性，认识几种最简单的弹性变形。我们假设以下所研究的变形都属于小变形，研究的所有固体都是连续、均匀、各向同性的。
上面说到，在考虑弹性体时，我们不再将它看作一个个离散的质点，而是看成“一小块一小块”且连续的质元，同时我们还需要考虑物体里各部分之间的内力。内力是物体里这一部分作用在那一部分上的，从微观角度考虑就是“这一块质元”作用在“那一块质元”上的，因此就它不可能只作用在单独的一个点上，最少最少也是作用在它们的接触表面——某个小面元上。由此，我们要首先去定义“作用在单位面积上的力”——应力 的概念。（当然，像重力、惯性力、电磁力等，依然认为是作用在质元的内部体积上而不是表面上。）
应力用来衡量的是物体中各部分相互作用的内力 。假定固体中有一假想的小面元将物质分成了两部分（方向任意），则彼此之间有内力作用，设作用在这个小面元上的内力为，则该截面上的应力定义为：
反映的是内力在这个微小截面处的集中度，应力越大则内力越集中。你或许会觉得它的定义有点像压强？没错，而且它的量纲也是压强的量纲，单位也是帕斯卡。但最重要的区别在于：应力（至少在我们目前的认识中）是个矢量，它不一定和截面垂直。对于这样一个矢量，我们可以把它分解为垂直于截面的分量和平行于截面的分量——前者称为正应力 （正向压过去的），后者称为切应力 或剪应力 （横着切过去的）。
弹性固体内的微小质元受到应力作用，自然会发生变形。和应力类似，我们也定义一个概念叫应变 去衡量单位质元的变形程度。变形主要有两种基本形式——一种是线段长度的伸长或缩短，另一种是原本正交的线段夹角的变化。
为了度量前一种，假设固体中某条沿着坐标轴方向的很短的线段（或者说一个质元的某条边）原本的长度为、变形后的长度为，则我们定义“单位长度线段的变形”为：
当时，相当于取某点（某质元）处的极限，此时的称为某点处的正应变 。
为了度量后一种，假设固体中某两条分别沿着正交坐标轴（或者说一个质元的某两条邻边）的很短的线段原本夹角为、变形后的夹角为，则我们定义“剪切变形的角度”为：
同样取某点（某质元）处的极限，此时的称为某点处的切应变 。正应变和切应变都是量纲为一的纯数。
简单地说：正应变衡量的是质元的拉伸和压缩，切应变衡量的是质元的剪切和扭转 。如果我们能够通过外力计算出内力，用内力再计算出应力，用应力再计算出应变，就不难通过应变再计算出物体宏观的变形程度。
首先我们考察最简单的变形情形——拉伸 和压缩 。
一根直杆（以圆柱形为例），原长为。现在我们对其一端的表面施加与杆方向平行的拉力或压力，则直杆就会被拉伸或压缩，相应地变长或变短，长度的变化量设为，则杆内的正应变。我们规定这样的符号规则：拉伸时取正，而压缩时取负。
设杆的横截面积为，则杆内某点处受到的正应力大小为。在一定限度内，我们发现的规律是：应力大小恰好和应变大小成正比，即：
这个关系被称作胡克定律 。其中被称作固体的杨氏模量 ，它具有和应力相同的量纲，和固体的材料有关。同理，对于应力我们也有了这样的符号规则：是拉力时取正、是压力时取负。
说到胡克定律，你一定能马上想到我们以前学过的弹簧的胡克定律，很容易发现这两者道理是一模一样的。换句话说，就好像是“局部、微观”视角的一样。胡克定律是用和牛顿同时代的英国物理学家胡克命名的，他对弹簧进行了深入研究，并于1676年发表了一句拉丁语字谜，谜面是：ceiiinosssttuv。两年后他公布了谜底是：ut tensio sic
vis，意思是“拉力正比于伸长”，而这正是胡克定律的中心内容——只是胡克本人并没有将其弹簧定律表达成应力与应变的微观形式，完善的弹性理论是数学家柯西等后来者建立起来的。胡克同时还是世界上第一个观察到细胞的人。另据记载，中国东汉时期的经学家和教育家郑玄更早发现了弹性弦伸长量与受力的正比关系，他在《周礼注疏》中写道：“假令弓力胜三石，引之中一尺，驰其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”这种观察启发了弹簧秤的制造，明代的宋应星在《天工开物》中对此亦有提及。
上面我们提到了，胡克定律的“正比关系”只有在一定限度（称作比例限度 ）内才满足。如果超出比例限度一些，正比关系不再成立，但物体的弹性依然保持，直到超出了另一个更高的限度——弹性限度 ，弹性就会失去，即使再撤掉外力也不能恢复原形，就像我们使劲折铁丝能把它折弯，再也恢复不回去一样。超出弹性限度可能导致材料失去功能，材料失去功能统称为失效 。脆性材料容易被拉断，塑性材料在拉伸时可能出现明显影响功能的塑性变形，受压的杆件也可能被压扁、压弯甚至压断，包括弹性材料的失去弹性，以上都属于由于强度或刚度不足而造成的失效。此外，温度、时间、金属的疲劳、化学腐蚀等都可能造成失效。
直杆在发生纵向形变的同时还会伴随着横向形变。设杆的横向线度原来为，经历纵向形变后改变量为，则横向应变为：
实验证明：当应力不超过比例极限时，横向应变与纵向应变是一个常数，可以写成：
这里的被称为泊松比 ，量纲为一。之所以引入负号，是因为绝大部分材料都满足“纵向拉伸时横向会收缩、纵向压缩时横向膨胀”的规律，所以和的符号是相反的，引入负号来保证通常为正值。由热力学原理可以给出各向同性材料的取值范围为，对于常规、传统的材料都有，如果意味着材料在变形过程中体积保持不变（称为不可压缩材料 ），如果意味着材料在变形过程中横向尺寸保持不变。而如果，就会出现“纵向拉伸时横向也膨胀、纵向压缩时横向也收缩”的奇异现象，这种具有“负泊松比”的材料也被称作拉胀材料 ，黄铁矿、α-方英石等天然材料和很多人造材料就具有这种奇妙的负泊松比效应，有这样特性的材料和结构多半会有高减振及高断裂抵抗的能力，可用在像防弹背心、包装材料、护膝及护肘、减振材料及胶棉拖把等地方。
为了描述拉伸和压缩过程中的体积变化，我们还可以定义“体应变 ”，并有：
其中的比例系数称为体积模量 。它的倒数，也就是则有更直观的物理意义，称作压缩率 。
容易证明：杨氏模量、体积模量和泊松比之间满足如下关系：
除了拉伸和压缩，常见的形变形式还有扭转 和弯曲 。这两个词看起来比较相似，其实是有显著区别的。我们依然以圆柱形的直杆为例，扭转指的是给它一个绕轴的合力矩（可以由一对大小相等、方向相反但作用线之间有一定距离的力提供，这称为一对力偶），最终的结果是杆件的任意两个横截面产生绕轴线的相对转动。而弯曲则指给它垂直于轴的横向合力作用，最终的结果是轴由直线变成曲线。我们稍微想象一下转动汽车方向盘和折弯吸管两幅画面，就可以轻易地区别这两个概念。
我们首先考虑柱的扭转。首先考虑最简单的情况——薄壁圆筒的扭转，也称为纯剪切 ，因为这里只存在最干净的切应变（纯粹是长方形变成了平行四边形）。如图所示，设圆筒高为，半径为、厚度为，若施以绕轴的合力矩，使得其一端的截面相比于另一端绕轴相对旋转了一个小角度。我们可以在圆筒的中间高度处任取一横截面，对该截面以下的部分柱体列出力矩平衡方程：
其中为横截面的面积，可解得切应力。而切应变显然为。
实验证明，在切应力不超过材料的剪切比例极限 时，切应力与切应变成正比，即：
称为剪切的胡克定律 （就是上面的胡克定律又改头换面了一下）。其中称为材料的剪切模量 ，其量纲与相同，由此可以得出扭矩和薄壁圆筒扭转角的关系为，即薄壁圆筒的扭转角与合力矩的大小成正比。
上面我们研究圆柱扭转时得到的这个公式和柱的长度有关，为了消除的影响，我们不妨用沿轴单位长度的扭转角来度量圆柱的扭转程度，并记其中，这样公式就可以写成：
可以发现：扭矩越大，则扭转程度越厉害；而越大，则扭转程度会越小，因此也称为柱的“抗扭刚度 ”。所谓“刚度”，就是衡量受力后不易变形的程度，比一比“谁更刚”。
——这里的几何参量定义是，即横截面上所有点对轴心距离平方的积分，称作横截面的极惯性矩 ，显然它只和横截面的形状和尺寸有关，量纲为长度的四次方。对薄壁圆筒，横截面为细圆环，；对圆柱，横截面为圆形，，等等。我们已经看到了：柱的抗扭刚度由材料（ ）和截面（）两方面的性质所共同决定。
接下来我们讨论梁的弯曲，这是一个超级、超级复杂的问题，我们只举一个最简单的例子。（计算恐惧症者可跳过此段，直至本小节末尾处。）
如图所示，设长为的均匀梁两端被支座固定，则在其自重的作用下向下微微弯曲。为简化问题设两个支座的支持力均只有竖直向上的分量，且，为其自重。不过需要特别指出的是：此处的受力分析图仅作示意，重力并不是集中分布在梁的中心处，而是均匀分布在梁的每一段长度上。为简单计，假定梁的截面是矩形，宽为、高为。
首先我们从梁左侧起算长度处将梁切开，将梁分为两段。取其中左段受力分析。已知最左侧受向上的支持力，全段受到自身的重力，这是向下的均匀分布力（称作载荷集度 ，定义作单位长度上受到的力）。为了让这一段梁能保持平衡，我们计算截断处其所受到的内力（这本应该是另一段梁施加给它的）：由受力平衡方程发现这里应当有一个剪力（取向上为正方向）；由力矩平衡方程发现这里应该有一个弯矩（取逆时针为正方向）。
可以证明：对于跨度远大于截面宽度的梁，剪力对弯曲形变的影响可以忽略，因此我们主要考虑弯矩导致的弯曲。我们在切开梁的截面附近取很小一段长度，设该处弯曲的曲率半径为，对应的圆心角为。可以证明：无论截面形状如何，只要其有一纵向对称面，那么弯曲的梁里总会存在一个中性层 （即图中用点划线标出的中性轴 所对应的一层）处于“既不拉伸也不压缩”的临界状态，而这根中性轴必然通过截面的几何中心，对于矩形截面的梁当然被中性层分为上下高度相等（均为）的两部分，在两端弯矩（假设在内不变）的作用下，上层被压缩，下层被拉伸。我们选择其中特定一层（如右图中深蓝色所示）研究，设其到中性层的距离为（向下为正），则我们可以写出：此处的正应变，此处对中性层的弯矩，再利用胡克定律，联立并积分可得：
再记其中。和上面一样，此处定义几何参量，即横截面上所有点对轴（即中性层）距离平方的积分，称作横截面对轴的惯性矩 ，显然它也只和横截面的形状和尺寸有关，量纲也是长度的四次方。对这里的矩形截面，；对圆截面，。
——分析我们得到的式子，可以发现：弯矩越大的地方，曲率半径越小，即曲率越大，或者说被弯曲得越厉害；而越大，则越大，弯曲程度越小，故也称为梁的“抗弯刚度 ”。我们也已经看到了：梁的抗弯刚度由材料（ ）和截面（）两方面的性质所共同决定。
需要补充的是，这个式子也叫欧拉-伯努利梁方程 ，注意这里的伯努利是之前约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利。尽管之前的达·芬奇、伽利略等也试图对梁进行研究，但苦于当时没有出现微积分这样的数学工具而难以推进。欧拉和伯努利在18世纪中叶终于利用微积分研究梁并将理论推向实用，但直到19世纪后期它才随着埃菲尔铁塔的建设和摩天轮的发展真正成为了第二次工业革命中建筑工程的基石。
我们继续根据已知的弯矩分布求梁的变形。定义变形后的梁轴线相对于原本水平位置的竖直位移为（称为挠度 ），相对于原本位置转过的转角为。在小挠度、小转角的近似下（如图所示，绘图有显著夸张），根据几何关系易有、，所以有这样的结论：对的导数是，对的导数是，因此就是的两阶导数，反过来从求就需要做两次积分。
其中应用了边界条件来确定积分常量和。这就是挠度方程——它的函数图像就是这根梁弯曲之后的形状，其中负号表示梁的弯曲方向朝下。可以看出这条曲线是显著对称的，而它的受力也是对称的，故恰好符合。——还要说明的是，实际遇到的问题，往往是拉、压、弯、扭等种种基本形变的组合。
研究这类变形问题能够帮助我们解决很多有实际意义的问题，例如：材料不变时，选择什么样的截面形状能够尽可能防止变形与断裂？我们从“抗弯刚度”和“抗扭刚度”的定义出发思考，显然应该要尽可能增大和，而它们的定义分别是和。这样看来，显然是距离中性面/中轴线比较远的那部分材料贡献比较大；而距离中性面/中轴线比较近的那部分材料贡献比较小。于是，为了让有限的材料和成本发挥更大的作用，我们完全可以削减那些靠近中性面/中轴线的部分，将这些材料挪到离中性面/中轴线更远的地方，形成工字形、圆环形等等的截面，这就是工程里广泛采用工字钢、空心钢管等等的缘由。生物体在长期的进化中也“学习”到了这条力学规律：你看，鸟的骨头、麦秆、竹子等等都是空心的。
【二】弹性形变的一般理论
写到这里，你或许能有这种感觉：应力和应变本身具有非常复杂的属性。它们不但具有严格的“正”、“切”之分，还有繁多的分量，所以它们可能有比我们之前所猜测的更加复杂的内涵。
以应力为例，之前我们曾将应力定义作固体内某微小单位截面上的所受的力，即有，并认为应力是一个矢量。但其实我们很容易就能发现：应力不但和截面的位置有关，也和它的取向有关，截面的朝向不同也会导致应力的不同，所以我们之前的定义是没有办法真正描述“一点处”（或者“一个质元处”）的应力的。要怎样才能完整描述某个位置处的应力值呢？唯一的办法只有将换成面积矢量——面积也是要带方向的，其方向定义作截面法线的方向，而这时的应力便成了“一个矢量到另一个矢量的映射”。这换句话就是说，对于的每一个分量，都可能对应到的完全不同的另一个分量，这意味着应力的每个分量至少需要两个指标，并应写作。即：
——没错，正如你想到的，真正的应力应当表示作一个二阶张量，即应力张量 ，满足：
也可以写成矩阵的形式：
——这也就是说，作为二阶张量的应力总共有个分量，它们各司其职，起到了沟通里某个分量与里某个分量的桥梁作用。其实，二阶张量最好用的一种理解方式就是：它表示从一个矢量到另一个矢量的线性映射。
【注意】在弹性力学的研究中我们同样可以区分固定坐标系和本体坐标系，甚至有时这种区分还是非常必要的。但本篇中我们不强调这一点，故若无特殊说明，一般的坐标均用 表示。
结合应力的物理意义，我们还能最终发现应力张量中九个分量的“真身”：
——原来，应力张量矩阵的对角项被正应力占据，而非对角项则表征了切应力！（顺带一提：这样矩阵中对角元和非对角元“分而治之”的现象已经不是第一次出现了，在未来还会时不时跳出来，我们要早点习惯这种姿态。 ）这样的一个应力张量中看似有几个分量，但应力张量看似有九个分量，然而可以证明：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，方向都垂直于两平面交线且共同指向或者共同背离交线。所以有、、，也就是独立的分量其实只有六个。这是为什么呢？只要当我们要研究的那一点附近取微小质元的时记得要取成一个标准立方体的形状，就可以马上用这个微小立方体的受力和力矩平衡来说明这一点。
以上结论告诉我们：应力矩阵是一个实对称矩阵！接下来自然可以行云流水般祭出我们的拿手好戏：选取合适的坐标系，总能够将应力矩阵对角化，使得只有对角项存在，即：
——此时的对角项上只有正应力。按我们一贯的称呼，留下的三个应力分量、、称作主应力 ，而此时的三根坐标轴叫做应力主轴 。
用同样的方法自然也可以处理应变。之前说过，应变也分为两种形态：一种叫正应变，它刻画的是沿某根轴方向的长度变化，例如选轴，就可以将对应的正应变写作；另一种叫切应变，它刻画的是原本正交的两根轴之间的夹角变化，例如选轴与轴，就可以将对应的切应变写作。——我们几乎直接可以想到，应变必然也是一个二阶张量！定义应变张量 ，先写成：
——我们希望它也等于便好了，因为这样就同样是正应变占据对角位，切应变占据非对角位，看起来很棒，与之前的应力张量放在一起也颇具对称美感。但现在的问题是，矩阵或张量不仅仅是任意排布的“数表”，就好像之前我们证明过不是所有看起来像矢量的东西都能被称作矢量一样，还需要验证是否符合矢量的运算规则。同理，现在我们还需要验证这个新定义的张量是否符合张量的运算规则，嗯从哪开始呢？简单点猜想，大概只要能像之前的一样，能够写出像这样的“一个矢量到另一个矢量的映射”的形式，我们就能认定它是张量了吧。为此，还是得从应变的定义出发去思考，同时还必须验证这里的定义与以前对正应变和切应变的定义是否能自洽。
我们假设平衡形态下固体内部各质元的位置为（顺便用这个坐标来识别各个质元），经历了弹性变形挪到，则处的位移自然就表示了固体的变形。不过呢，假如所有质元的位移都相同，那宏观上表现出来的其实就是固体的整体平动，仍无形变。要讨论形变，我们关注的是各个质元位移的“不同”，即位移之差。现在我们自然可以设想：利用一个张量，将质元原始位置映射到质元各自的位移上，不正是“一个矢量到另一个矢量的映射”嘛！我们暂且将它的元素写成。
当物体发生形变时，质元之间的距离也将发生改变，考虑两个相邻质元，假设原本两点的位置差为，而形变后两点位置差变为，可求得两点间距离平方的变化量：
【说明】为了避免推导过于冗长，我们从第三行开始使用了省略号，只保留结果中和有关的部分，你当然也可以选择将几乎一样的项照抄三遍。如果你觉得无法忍受，不久后我们会介绍一种很好用的简写形式。
最后的结果，用矩阵可以写成：
将这个大矩阵（的一半）作为新的张量——嗯不如就将它叫做，则相当于新张量的每一个分量可以表出为：
——这个式子看上去极为古怪，它真的就是我们熟悉的应变吗？可以这样猜想：首先，考虑到小变形假设，任何分量都是小量，所以上面括号里的第三项更是二阶小量，不妨忽略，这样只剩下了。
先考虑的情况，例如，恰是“方向位移与原长之比”，符合正应变的定义！也就是说这个矩阵 的对角元恰恰就是三个正应变。更进一步，我们还可以将三个对角元（正应变）相加，得到，而这个值正是体应变——单位体积的变化率。
再考虑的情况，例如，它本质和下图中的和两个角有关，即，而切应变是它的两倍。也就是这个矩阵 的非对角元并不刚好等于切应变，而是等于切应变的二分之一。
因此，张量正是我们需要的应变张量，但它的分量与之前我们猜测的形式有区别，即所有的切应变要换成自身的一半 （如，这一点经常容易出岔子，务必牢记）。所以，应变张量真正的形式为：
用应变张量去表述最开始的，其实分量式应写成：
——这里我们用了一个新符号“ ”，它可不是比号，当然更不是冒号，而是“两个点乘重叠在一起”，你还可以叫它“双点乘 ”。在出现二阶张量的式子里，“双点乘”时常出没。这里面的也是一种新的记法，它把两个矢量直接写在一起，中间没有点乘也没有叉乘，实际上相当于是把两个矢量揉成一个新的二阶张量，称作并矢 ，矢量和矢量的并矢定义为：
所以，“双点乘”其实是一种二阶张量与二阶张量的运算，而它的结果却是一个标量。
前面我们寄希望于将应变张量写成类似于应力张量那种“将一个矢量映射成另一个矢量”的存在，最后没做到，但发现这个居然更厉害，它的功能是“将一个二阶张量映射成一个标量”！它们当然都是二阶张量，但你或许也能感觉到这两种张量或许还是存在一些区别的，暂且埋下伏笔。
最后，依然指出：以上已经证明了应变张量所对应的是实对称矩阵，自然我们也能选取合适的坐标系将它对角化，即：
——此时的对角项上只有正应变。同样按我们一贯的称呼，留下的三个应变分量、、称作主应变 ，而此时的三根坐标轴叫做应变主轴 。而在这种情况下，三个主应变之和依然是体应变（单位体积的膨胀率）。线性代数中我们曾把这样的“对角线元素之和”称作矩阵的迹 （记作），而矩阵的迹不会随着坐标变换发生改变，这在物理上其实非常好理解——体积变化率当然和坐标系的旋转无关！
弹簧受压或受压，会存储弹性势能 ——其值为。自然推广，那一般的弹性固体发生弹性形变也一定会存储弹性势能。其能量如何计算呢？
还是从最简单的几种情况开始。先考虑正应变的情况，例如一根直杆的拉伸和压缩，它的弹性势能显然和弹簧类似，也应当可以用表示。现在用应变去表达，则有（为杆的原长）；用应力去表达，则有（为杆的横截面积）；据此我们最终就够用杨氏模量去把弹簧的表达出来，即。将这一切代入弹性势能的表达式，最终得到总弹性势能：
——可见总弹性势能和棒的总体积成正比。这就提示我们：弹性势能是分布在整个体积中的！ 其实对于连续介质，我们更关心的往往是单位体积内存储了多少弹性势能，即弹性势能密度 ，我们可以用表示：
以上三种表达方式完全通用。
但是，当我们立刻想用同样的类比方法去研究切应变情况下的弹性势能密度时往往会遇到困难。所以最终我们还是得从定义出发。我们依然取出一个纯剪切的质元，并设其左侧面固定，则右侧面上的切力应为。由于剪切变形，右侧面向上错动的距离是。若切应力从增加到，则切应变也应从增加到，则剪切所做功的增量应为：
根据剪切胡克定律，可得到单位体积内存储的应变能增量为：
积分，直接得到对应于切应变的弹性势能密度：
以上三种表达同样完全通用。而且我们惊奇地发现：正应变和切应变的弹性势能密度居然又有相同的形式！
现在我们来考虑同时存在正应力和切应力时的弹性势能密度。前面提过，由于横向变形的存在，在考虑不同方向的正应变时，光考虑纵向拉伸是不够的，还需要考虑横向拉伸，即涉及到泊松比。即对于三个方向的正应变而言，实际的胡克定律应表示为：
也就是，一旦哪怕一个方向有了正应力，则三个方向都会有正应变，会产生弹性势能。再加上切应力后，我们可以写出在三个正应力与三个切应力同时存在情况下的总弹性势能密度，为：
【说明】这里的计算弹性势能从最原始表达式出发，选择了没有用过任何形式胡克定律的与。上面计算的纯剪切情形下的弹性势能事实上已经包含了两个对称分量分别贡献的弹性势能的和，故不用再乘。
利用弹性势能密度，我们其实可以证明关于杨氏模量、剪切模量和泊松比之间满足如下关系：
而我们知道：对于一个譬如是正方体形状的质元，给它三个方向同时施加正应力，会导致两种形变效果——第一，体积大小的改变（膨胀或压缩）；第二，形状的改变（由正方体变为长方体），而这两种都属于形变的范畴——很明显，只有当三个方向都施加相同的正应力时，才会只有体积改变而没有形状改变。此外，施加切应力还将导致另一种形状改变（长方体变成斜六面体）。我们也可以考虑将总弹性势能密度分割为“体积改变的贡献”和“形状改变的贡献”两部分。首先，我们可以将对于正应变的胡克定律先“翻转过来”，原来是用应力去表示应变，现在回到最初用应变表示应力的形式：
将体应变代入，并定义系数、，上式简化为：
——其中的第一项便是体积改变对弹性势能的贡献，第二项则是形状改变对弹性势能的贡献。两个系数和统称拉密模量 。已经指出：第二个拉密模量其实就是我们非常熟悉的剪切模量，没错，这完全就是一个书写习惯问题：同一个物理量，一般在同杨氏模量等等配对的时候用，在和配对的时候用。
在上面，我们已经把应力和应变全部使用二阶张量表出，自然我们也希望用类似的形式去表达应力和应变的关系。之前揭示应力和应变之间关系的式子，如、等，统称胡克定律。于是我们也可以尝试将所有应力分量和应变分量的关系集中写出，这是普通胡克定律的推广，称作广义胡克定律 。
根据已有的讨论，应力张量和应变分量尽管各有九个分量，但由于具有对称性，实际独立的只有各六个分量。如果我们将这各六个分量单独抽离形成列向量，则之前所有胡克定律可以总结为如下的矩阵形式：
另一种写法是（一定要注意这两者的区别）：
——上面的矩阵看上去非常对称与简洁，有许多相同项，更有许多项为零，非常好用。但要注意的是，这个形式是基于我们之前对各向同性 材料所做的研究——简单来说便是，材料本身没有某个特殊的方向，无论哪个方向都有着相同的力学性能。我们知道，固体可以粗略分为晶体 和非晶体 两类，对于晶体，它往往有固定的熔点，其分子（原子和离子）是排列成某种几何上非常规则的晶格结构的，照理来说各个方向上的性质应该是不相同的。但好在实际见到的大部分晶体并不是单晶体 （整一块晶体），而是多晶体 （众多小晶体杂乱无章地排列在一起），整体平均下来就会发现各个方向的力学性能接近相同了，例如大部分金属（铁、铜之类）。至于玻璃、塑料等非晶体，绝大部分也是各向同性的。上面这个简洁的矩阵只有对各向同性材料才成立。 可以看出：对于各向同性材料，正应变只和正应力有关，切应变只和切应力有关。
与之相反，如果每个方向力学性质不相同，则称作各向异性 材料，如木材、胶合板和某些人造复合材料等。在各向异性材料的情况下，上式变为：
——即每个变量都有可能不相同，正应变可能同时和正应力与切应力有关，切应变亦然。不过好在，这个矩阵至少对称性还是满足的，即，因此独立变量不会有个那么多，而是个。
以上的矩阵被称为柔度矩阵 （为什么叫“柔度”？上式我们的实际写法为“”，换句话说这个矩阵里数值越大则同样的应力带来的应变越大，其实是越“柔软”），将它取逆可以得到刚度矩阵 。但它的本质是借用中应力应变张量是对称矩阵的特点将它们都化成一阶，从而“假装”应力和应变都是一阶矢量，用一个矩阵就可以把它牵连在一起。更本质的考察认为：广义胡克定律应当是把一个二阶张量（应力）映射到一个二阶张量（应变）的中介，“将二阶张量映射到二阶张量” ，我们至少需要的是一个有四个指标的四阶张量，它的各分量满足：
即广义胡克定律可以写为：
——其中的是个四阶张量，称为刚度张量 。相反，若是写成，此时的四阶张量称作柔度张量 。你或许会质疑：刚度是stiffness、柔度是compliance，这两个张量的符号与它们的英文首字母恰好相反嘛！的确如此，也不知道这是从什么时候传下来的定义，不过可能已经约定俗成，很难更改了。另外，很容易可以证明，刚度张量具有相当丰富的对称性：。
最后再回到各向同性材料中。我们发现，整个柔度矩阵（或刚度矩阵）里总共用到了三个模量——杨氏模量、泊松比和剪切模量，我们已经证明这三个量之间是不独立的，满足关系，也就是只要任选其中两个量就可以表达出第三个量来。其实，包括拉密第一模量、体积模量等等在内，所有的弹性模量 互相之间都不独立，都有所牵连。原则上只要已知其中任意两个，就可以表达出其他所有的弹性模量。
【三】弹性体动力学与弹性波
◆ 弹性体动力学基本方程
接下来让我们来研究弹性体里的动力学，也就是弹性体里每个质元在应力（可能还有其他外力）作用下将会怎样运动的问题。研究动力学自然也是选取弹性体中的微小质元作为研究对象。我们还是用我们的拿手技能——拉格朗日方程来建立动力学方程，为了做到这一点，我们需要先写出小质元的动能与势能。
假设每个质元的体积为，其质量为。之前将小质元的位移表达为，那么对应的速度便应该是，故每个小质元的动能是：
总动能自然是上面的对整个空间的体积进行积分，即：
利用之前我们使用的记号，可以类似地将单位体积内的动能（或者叫动能密度 ）写成，也就是：
总势能呢？对于弹性固体，最重要的势能莫过于弹性形变导致的弹性势能。之前已经单位体积内积蓄的弹性势能（即弹性势能密度）为：
——这里面含有大量的正应变与切应变，利用之前已经证明过的应变与位移之间的关系，将它们全部用位移的分量表出：
此外可能还有一些其他的外力，不过我们暂时先不用管它。只需要待会将除了弹性内力以外所有的外力统统塞进方程右端的“广义力”就可以了。
最终我们可以写出单位体积内所蕴含的拉格朗日量，即“拉格朗日量密度 ”：
接下来需要做的自然是代入拉格朗日方程。不过代入之前，我们需要审视一下这次和以往有什么区别。
以往我们用拉格朗日方程求解的往往是，即坐标对于时间的依赖，坐标仅仅是时间的函数，也就是自变量仅仅有一个。在这种情况下，拉格朗日方程（后面的泛指弹性内力以外的一切外力）写成本质形式为：
但现在我们要计算的函数是，它同时是的函数。将它的分量拆开，其实可以写成：、、。这也就是说：我们要计算的函数总共有三个 ，但这些函数所依赖的自变量却有四个！在这种情况下，我们对这三个函数各需要一个拉格朗日方程，而每增多一个自变量会再增多一项。换句话说，这里我们实际用到的拉格朗日方程的形式是：
——其中右边的是“作用在单位体积上的外力”在三个方向上的分量。如果你对这个形式不放心，可以再回过头去用哈密顿原理（最小作用量原理）和变分法验证一次。
解这三个方程的步骤大同小异，我们举对应的方程为例，可以写出其中各项：
故解得描述的动力学方程为：
同样方法再套用两遍，将三个方向的方程都写出来，最终可以合并写成漂亮的矢量形式：
——这便是弹性体动力学基本方程 。
◆ 弹性体的静力学平衡：拉密方程
当我们得到了弹性体动力学的基本方程，那么弹性体的静力学平衡问题也就自然解决了。因为我们一直是把静力学当作是动力学的一种特殊情况在处理。只需要将动力学基本方程中的加速度项取为零，就能直接得到标志着合力与合力矩都为零的弹性体平衡方程 ，也叫拉密方程 ：
弹性体的平衡和一般我们所说的物体的平衡有什么区别呢？区别就在于，对于一个弹性体，我们说它的“平衡”，除了要求整体的平衡，还要求其中的每个小部分（即每个质元）也都能维持平衡！ 因此无论我们研究动力学还是静力学问题，都是把内力和外力的作用同时考虑在内的。
从理论上讲，之前我们研究的各种各样的形变计算问题（例如杆的拉伸和压缩、柱的扭转、梁的弯曲等等），看似是从应力求解应变，但从“全过程”的角度来看依然是从外力和弹性体自身性质（弹性模数）等去求解形变带来的质元位移，所以它们都是标准的静力学问题，理应也可用上述方程求解。但可惜的是，无论是这里的静力学方程还是动力学方程，求解起来都是颇为复杂的。因此，为了避免吓坏小朋友，之前我们并没有一言不合上基本方程，而是选择了借助直观、适当应用一些近似去研究的路径。
弹性体的动力学方程虽然在求解一些具体问题时比较麻烦，但有时却又能为我们揭示一些很有意义的规律。让我们来考虑一种没有附加外力（即）的情况，写出此时的弹性体动力学方程：
对它悄悄干两件事：整体取散度（）和整体取旋度（），则可以得到两个方程：
【注意】第二个式子中，由于对梯度再取旋度的结果总为零（即，详见第二篇），因此最后一项自然消除。
这里同时出现了“位移矢量的散度”和“位移矢量的旋度”，它们分别有什么物理意义呢？先看定义，首先推散度：，原来位移矢量的散度就是体应变！从物理图像上直观想象一下，散度代表位移矢量的“分散程度”，当散度为正，意味着每个质元所处的位置都朝远离某个中心点的方向发散开去，相当于质元体积膨胀了；相反如果散度为负意味着质元所处的位置收紧，必然意味着体积缩小。——概念合理。
再推旋度：——要注意，这里的是转角！也就是切应力作用下“描述转动的部分”，并不涉及形变，正因此才会有旋度。我们不妨也给这个矢量一个新的记号。用位移矢量的旋度去描绘质元的转动，概念也合理。
将和代入以上两式，得到：
——请大声告诉我它们的名字～
回想起之前第十三篇中描述一切波动的普遍方程，和它们可以完全对应：
由此我们意识到：弹性体中至少可以传播两种形式的不同波动。 这就是所谓“弹性波 ”。之前我们限于知识不足，只能用弹簧小球模型对它进行一些近似的研究，而如今我们终于在弹性固体模型下再次“发现”了它。于是，只需要取位移满足一般简谐波的通用形式：
就能得到和同样是以简谐波进行传播的：
继续研究，我们还可以发现，这两种弹性波又大不相同：
第一种弹性波是体应变的传递过程，其效果便是小质元的体积周期性地压缩、膨胀，或者说弹性介质周期性地变稀疏、变密集，有时也称为压缩波 或者疏密波 。这种疏密相间的波形已经暗示了它是一种纵波——事实上，根据上面的波动表达式，我们已经能明显看出的传递是代表着仅存在分量，也就是已经等于零的过程，这意味着波矢与振动的方向恰好平行，因此它就是纵波。我们可以计算出它的波速：（右下角的符号表示它是纵波）
各向同性的压缩波——纵波（动图图源：维基百科）
第二种弹性波则是衡量“转动”的矢量的传递过程，由图可知其效果应当是小质元的相对位置被周期性地剪切、扭曲、错动，但介质密度并不改变，没有受到拉伸或压缩，因此有时称为剪切波 或者扭曲波 。同理我们容易猜测出它是横波，因为此时存在的是分量，即，意味着波矢与振动的方向恰好垂直。我们之前在一维弹簧振子链的模型下只考虑了纵波，然而实际的弹性固体里还会有横波。它的波速则是：（右下角的符号表示它是横波）
各向同性的剪切波——横波（动图图源：维基百科）
——由此可见，在同种、各向同性的固体弹性介质中，一般有，即纵波的传递速度比横波快得多。
声波 是空气中传播的疏密波，是一种纵波。在第十二篇中我们已经说明了声音是由物体振动产生的，当人类开口说话、演奏乐器或敲击桌面时，会导致空气中的分子有节奏地开始振动，空气随之被周期性地压缩、膨胀。这种振动以波的方式传递出去，最终会有振动的空气柱周期性地敲击我们的耳膜，我们也就听到了声音。当然，传递声波的介质不仅仅是空气这样的气体，也可以是液体或者固体。人和动物都会把耳朵贴在地面上来监听远处的响动，这便是固体传声的例子，而且固体传声的速度往往比液体或气体还要快许多。
这是为什么呢？我们考虑弹性固体中的例子，显然声波便是刚才计算出的弹性波里是纵波的那一支，即弹性固体中声波传播的速率——声速（专门用表示）为：
利用体积模量的关系（这个关系利用之前的结论很容易可以推出～）并将所有换成，我们也可以将声速写成用和表示的形式：
但是液体和气体便不一样了。在下一篇（流体力学）中我们将会知道：液体或气体这类流体，本质上可以看作是剪切模量（或）的连续介质，换句话说切向的相互错位不会产生弹性恢复力。尽管其具体物理图景我们现在还不急着研究，但是从这些结论，我们已经可以知道，流体中的声速应该是：
——比较两者，首先流体中因为少了含有的一项，声速比起固体肯定会小不少；再加上流体的可压缩性往往本来就强于固体，故流体中的也要更小（气体的可压缩性又远远强于液体）。因此这就不难解释为何一般情况下固体里的声速要快于液体里的声速、液体里的声速又快于气体里的声速了。
此外，当（或）时，意味着横波波速。于是我们又可以得到另一条结论：弹性固体里可以传播横波与纵波，流体中则只能传播纵波、不能传播横波。
人类常用“登天”比喻困难，但“入地”却更比登天还要许多倍，这也是我们为《带上她的眼睛》里那个勇敢坚强的女孩而心碎的原因。居住在地球表面的人类，长期以来对地表以下的状况所知甚少，只能依靠许多间接的方法，其中最重要的方法是借助地震波 。
地壳中的岩石可以看作是弹性固体。当地震发生，或者地壳受到其他种类的扰动（人工爆破、核试验、矿坑坍塌等）时，这种扰动将会以弹性波的形式传递到远方，从而远处的人也能感到地面摇晃。地震波有纵波也有横波，纵波也称为P波 （P代表primary“主要”或者pressure“压缩”），横波也称为S波 （S代表secondary“次要”或者shear“剪切”）。这两种波的性质不同：前面已经证明弹性固体里纵波的波速快于横波波速，也就是说P波传播往往更快，因此首先到达、被地震仪第一个记录到的一般是P波，人首先感受到的也是“前后”的摇晃；S波传递较慢，随后才到达，但由于振幅一般更大，故造成的破坏更严重。除此以外，这两种波相互叠加，尚有可能构成其他模式的地震波。
通过比较同一次地震中地球上不同位置的监测站接收到地震波的时间，可以计算出地震波在地下不同深度处的传播速度，继而推测地壳内部的性质。在地壳和地幔中，P波和S波均可传播，说明地壳和地幔都是固体；大约深处，P波传播速度显著降低，S波则直接被反射、不能传播，说明到这里已经闯入了液态的地核（外核）。更晚的研究表明在地下更深处（约以下）还存在一个可以传播S波的固态内核。目前普遍认为外核主要由熔融的铁和镍构成，而内核则是固态的铁-镍核心。
在本篇里，我们从“连续介质假设”和“质元模型”出发，使得不能忽略形变的固体也能得到描摹。我们定义了应力和应变的概念，以直杆为例研究了固体弹性形变中拉、压、弯、扭等主要类型，在张量理论的基础上建立了应力和应变的普遍关系——广义胡克定律，并推导了弹性体动力学基本方程，研究了弹性波（如声波、地震波等），填补了之前对波动的探讨里遗留的一片空白。当然，对于固体所具备的力学性质的研究远不止此，例如更加复杂的塑性形变，以及摩擦、断裂、损伤、疲劳、爆炸等现象，以及和晶体性质有关的更加深入微观的研究，最终我们甚至能提炼出一门专门的学科——固体力学 。这是一门应用极为广阔的学科，因为固体材料种类繁多，如钢、木材、混凝土、纺织品和塑料等，甚至能应用于地质（如冰、土壤、岩石）、生物（如骨骼、心脏组织）乃至医学（如假牙和手术植入物的设计）等领域，我们这里就无法一一涉及了。
接下来，我们还要继续探讨和固体截然不同的物态——液体与气体，它们不能保持固定的形状，“流动”是它们最鲜明的特征，而这使得它们的力学理论与固体相比，既有相通的地方，更有不同之处。
欲知后事如何，请听下回分解～ ^_^
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