复内积空间为什么加共轭？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-03 02:50 标签： 向量的共轭怎么求

向量的外积是矩阵的克罗内克积的特殊情况。 给定 列向量 和 行向量 ，它们的外积 被定义为 矩阵 ，结果出自 这里的张量积就是向量的乘法。 使用坐标: 对于复数向量，习惯使用 的复共轭(指示为 )，因为人们把行向量认为是对偶空间的复共轭向量空

复数向量的内积公式是前一个向量各分量与后一个向量中元素的共轭对应相乘然后相加。 即(x,y,z)*(a,b,c)=x(a共轭)+y(b共轭)+z(c共轭) 只有这样定义才能保证自己与自己的内积结果为正数。 上式结果为1*(-i)+i*(-i)+1*0=1-i

内积是公理化的定义，只要满足内积公理地定义均可成为内积。一般来说，在闭区间[a, b]上，两个连续函数f(x), g(x)的内积定义为二者乘积在[a, b]上的黎曼积分。

没有这种记号，记号是为了书写简便而存在的，因为在数学领域单独用到纯虚数的地方很少，所以不需要单独用记号表示，本人数学系的，可以保证。 用I（

复数向量当然与之前所讲的向量不同，之前所说的向量是对应实数对的，XY轴都是实数轴， 但复数向量X轴是实轴，Y是虚轴，向量上的点只是对应复数的实部与虚部而并非复数本身， 因此差别很大，用点表示复数向量不能直等，而平面向量则可以。它们不

一 向量空间与内积空间

    向量空间也称作线性空间，向量空间对向量线性组合封闭。如果  为向量空间 V 的一组基，则  仍在向量空间 V 中。在向量空间中，仅定义了数乘与向量加法运算。在此基础上，定义内积运算，通过内积运算，可以求解向量长度，向量间角度等概念，这就定义了内积空间。设向量为X, Y，X

    在 空间上，有如下矢量  和 ，在几何中，矢量长度表示原点到其端点的距离，根据 Pythagorean 定理，有 。定义内积 ，则矢量 X 长度等于 ，这样建立其内积与长度关系。

    在复矢量空间 中，有如下矢量  和 ，定义内积 。 如何理解复矢量内积？首先，针对单个复数 ，

有 ，使用共轭乘法可求解复数长度。当两个不同复数共轭乘法时，，其结果仍然为一个复数，可分解为实数分类与虚数分量。复矢量内积就是对所得复数相加得到一个结果，最终结果一般包括实数分量与虚数分量部分，即一般结果为  形式。

    2）共轭对称性：，针对复矢量，该等式成立，针对实矢量，共轭运算等于本身，则内积运算对称；

    一个信号可表示为 f(t) 的函数，在区间  上 ，空间  表示所有平方可积函数组成的空间，即

    函数 f(t) 可以存在无穷多个间断点，使用 Lebesgue 观点，即不考虑测度为零的集合时，在区间  上的积分和有限。在 N 维向量空间中，空间维度为 N，向量长度也为 N。类比 N 维向量空间，空间  是无限维的（即无限个 f(t) 满足以上条件）， 区间  可以被无限细分，类似向量长度可以无限长。

    当逐渐增大 N 时，  也随着逐渐增大，由于  空间为无限维空间，如果按该方法定义内积将得到一个无限大值（在向量空间中，由于空间维度有限，使用乘积和定义是合理的，其物理意义也很明确）。改进的方法为使用无限和平均值，则有 。当 N 趋近无穷大时，该式为 Riemann 和近似，则 内积可定义为：

     空间内积同样满足 正性，共轭对称性，均匀性以及线性等性质。

    由于在 Lebesgue 积分过程中，不考虑测度为零的间断点，则在  空间中定义两个函数相等意味着除了零测度集外，只要其他区域上满足

    在信号处理应用中，存在很多无限离散序列，，该离散序列在 j > |N| 时，，这定义了  的离散形式：

       以上定义中使用  内积概念，由于积分过程不考虑测度为零的间断点，所以并不保证在任意点上两函数都无限接近；

    2）一致收敛定义为：给定任意足够小 ，存在一个足够大的非负整数 N，使得当  时， 在区间 上任意点都满足 ；

    根据以上图形，很容易得到如下结论：若  一致收敛到 f，则  一定  收敛到 f；反之，则不一定成立。

四 Schwarz不等式与三角不等式

    考虑不等式 ，其中 t 为实数变量，使用内积公式展开得：

    ，由于该不等式大于或等于零，关于 t 的二次函数判别式小于等于零；

    在复空间下内积结果一般为一复数，即 。要使 X, Y 内积为一实数，可以对 X 做反方向旋转，故可考虑如下不等式：

    ，其中 t 为实数变量， 使内积结果为一实数，展开不等式得：

    3）如果 ，一个子空间中每个矢量与另一个子空间每个矢量正交，则子空间  正交；

    在小波变换与傅里叶变换中，分别用到两个不同得正交矢量集，haar小波函数与三角函数，具体如下：

   令 k 为 [1,N] 区间中一具体整数，做如下运算：，由矢量基的正交性可得：；

   内积（子）空间 V 中存在一组基 ，可以寻找一组对应正交基 ，其中 ，具体方法如下：

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