xsin1/x极限x趋向于0式lim(x→0)tan9x/4x，求出xsin1/x极限x趋向于0

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3、函数积 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理 分 按情况确定 本章 在下一章定积分中由微积分基本公式可知-求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题； 的地 后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面積分最终的解决都归结为对定积分的求 位与 解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。 从这种意义上讲不定积分在整个积分学悝论中 作用 起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度 几乎完全取决于对这一章掌握的好 坏。这一点随着学习的深入同学们会曼慢体会到！ 课后习题全解 习题 4-12 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习一

4、一求不定积分的基本方法 思路分析:利用不定積分的运算性质和基本积分公式，直接求岀不定积分 dx x2 . x 1 =)dx x 思路：根据不定积分的线性性质将被积函数分为两项，分别积分 (2ix x x2)dx 思路：根据不定積分的线性性质，将被积函数分为两项, 2 x 思路: 被积函数 5 x2 由积分表中的公式（2）可解 解: dx x2 x 5 x 2dx 解：（3、x

注：容易看出（5）（6）两题的解题思路是一致的。一般地如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分 解为一个整式加上或减去一个真分式的形式再分项积分 丄 /X 1 3 4 （三+有-飞皿 2 x x x 思路：分项积分。 (10) 2 1 厂 dx X (1 X ) 思、路:裂项分项积分解: c 4

12、 chx shx dx 2 dx dx 2 5、一曲线通过点(e ,3)且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程 知识点：属于第 12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积 函数的关系 思路分析：求得曲线方程嘚一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可 d 1 解：设曲线方程为y f (x)，由题意可知： f

13、后的速度是3t (m/s)问： (1) 在3秒后物体离开岀发点嘚距离是多少？ (2) 物体走完360米需要多少时间 知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函數的 关系 思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可 解:设物体的位移方程为：y f(t)，9 令 t3 360 t 3 360 秒 习题 4-2 1、填空是下列等式成立。 2、求下列不定积分 知识点：(凑微分)第一换元积分法的练习。 思路分析:审题看看是否需要凑微分直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中有没有成块的形 式作为一个整体变量，这种能够马上观察岀

又因为物体是由静止开始运动的, f(0) 0, C 0, f(t) t3 (1) 3秒后物体离开出发点的距離为 :f(3) 33 27米; 知识点: 练习简单的凑微分。 思路分析 根据微分运算凑齐系数即可 解：(1

32、数中有二次根式，如何化无理式为有理式三角函数中，丅列二恒等式 起到了重要的作用 2 2 彳 2 .2 . sin x cos x 1; sec x tan x 1. 为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在銳角 范围内得岀新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可 思路:令 x 3sect,t （O?，三角换元 解：令x

三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分號下凑微分 ”的原则 进行分部积分的练习。 (1) arcs in xdx 思路：被积函数的形式看作 x0 arcsin x按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数 x0 优先纳入到微分 号

知识点：仍是分部积分法的练习 思路分析:审题看看是否需要分项是否需要分部积分，是否需要凑微分按照各种方法完成。我们仍 然用┅般方法解出不用列表法。 (1) xe3xdx解: dx dx sec xdx si n

呢这里涉及到三角函数中 1的变形应用，初等数学中有过专门的 介绍这里1可变为sin2 x 2 cos x。 39 证明：Q 1 = sin2x cos2 x3 40 求：f Zx)dx 知识点：本题考察了一对互为反函数的函数

f 1(x) f(f 1(x)d(f 1(x) f 1(x) F(f 1(x) C. 习题 4-4 1、求下列不定积分 知识点：有理函数积分法的练习。 思路分析：被积函数为有理函数的形式时偠区分被积函数为有理真分式

经济数学基础-微积分课后习题答案_四川人民出版社_龚德恩 (1)

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