电子设计夶赛三等奖 优秀毕业生

1.1）分析：函数的(1+x)^a泰勒展开式式要以某点为中心展开若以原点(x=0)为中心展开，则为泰勒级数的特殊形式——麦克劳林公式若没有考虑以x=x0，x0可以为任意值的情况则不算完整解答了该函数的(1+x)^a泰勒展开式式。

1.2）答：函数(1+x)^(-1)以x=x0为中心的(1+x)^a泰勒展开式式如下图所示：

二、泰勒级数的展开方法

泰勒级数是用一类无限项连加式来表达函数的级数若表达式为x的幂级数，则称为麦克劳林级数为泰勒级数嘚特殊形式。(1+x)^a泰勒展开式式公式如图所示：

3.1）求(1+x)^(-1)的高阶导数表达式用于求其(1+x)^a泰勒展开式式，如下图：

3.2）代入(1+x)^a泰勒展开式式公式①和该函數的高阶导数公式②得：(如图)

对于1/(1+x)而言，此函数本身就较为简单直接计算即可。但对于一些定义复杂的函数如三角函数，则其一般函数值的精确计算要依赖于泰勒级数举例如图所示：

需要注意的是：sin1为无理数，就如同π一样，只能精确到有限位。利用泰勒公式，可以将很多复杂的函数(有些特殊的函数例外)转化为只有加减乘除的式子进行计算而且计算精度可以确定。著名的圆周率π现代的数值算法，也应用了泰勒级数的原理。

4.2）数学理论分析和计算

泰勒级数展开式将简单的函数式子化为无穷多项幂函数看似化简为繁。但事实上泰勒级数可以解决很多数学问题

如：①求极限时可以用函数的麦克劳林公式((1+x)^a泰勒展开式式的特殊形式)；

②一些难以积分的函数，将函数(1+x)^a泰勒展开式变为幂级数使其容易积分；

③复杂离散函数的多项式拟合，用于统计学和预测算法；

④一些数学证明有时需要将复杂函数化為格式高度统一的幂级数来证明。

此类例子数不胜数不可能一一列举。

（插图用绿色背景展示以证明其为本人编辑。）

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