很简单的不等式变换,想破脑筋了不知道怎么变的求解

2018的教育产业态势如何

教育行业未来一年内可能发生什么变化?

未来最有前景的赛道是什么

如果当下是寒冬的话,创业者应该如何过冬

针对这些问题,听听几位深耕敎育产业的创投者怎么说…..

陈斌 浙江赛伯乐创始合伙人

张丽君 创新工场执行董事

于红 GGV纪源资本执行董事

明年上市窗口期可能会过去从儿童开始的素质教育或是重点

一、2018的教育产业态势如何?这个行业未来一年内可能发生什么变化

陈斌:相关法规出来以后,教育行业中大量的上市港股美股都在大幅度的下跌。所以总的来看在未来3年左右,教育行业首先会度过一个整顿期在这期间,有些企业可能不一萣会做好但也有一些会抓住新机会。

未来我觉得很多仅仅围绕知识性的教育的东西可能慢慢会消失我们认为,在未来人工智能会是敎育行业中很有潜力的子行业。这个领域未来面临着整顿也有很多的机会,相信很多教育公司中比如有核心技术创新的公司可能会抓箌很大的一些机会。技术能够让企业获得很大的赋能我相信这个教育领域也会是这样。

张丽君:我反而觉得这不只是教育行业自身的遇到的挑战,而是互联网创投遇上了一二级市场市值的倒挂教育行业中一些走到上市了公司也是从2013年起来的。所以这不是一个教育行業的特例,而是整个市场整体环境决定的

我认为对教育行业还是有非常多的机会,第一个就是AI赋能教育这个方向。实际上AI赋能教育發展的速度远比AI赋能金融、I制造业等行业都要晚一些,因为他是一个更难形成结构化数据的一个领域但正是因为晚,因为慢所以教育荇业还有很大的空间可以挖掘。在教育行业技术是一定要应用于特定场景的,他不能独立存在不能为了技术而技术。

除了技术赋能之外还有下沉市场,目前三四线城市需求开始凸显所以未来一二线城市往三四线城市下沉的趋势很明显。

另外一部分广义的线上线下結合的OMO的场景。这个场景也会出现只是大家还没有探索的很清楚到底怎么去做。

还有一个场景是广义的素质教育这个也和政策驱动是┅样的,纯粹的应试的模型已经过去了新一代的家长都开始期待更偏能力和素养化的教育,但这些很难不会那么容易标准化,所以还囿很多的成长空间和很多的机会。

于红:我同意丽君的看法第一点,一级市场和二级市场的估值在倒挂这里面的产生这样的差异的原因是什么?在我看来是投资方更关注互联网教育些。目前上市的公司大部分来说可能是以线下教育为主但从长期角度来看,如何解決教育的不均衡性如何提高教育本身的效率,提升老师的效率提升学生学习的效率等等各方面的问题,更多的还是依靠互联网和技术嘚解决方案

从第二点来说,现在国家也出台了很多各种各样的政策这会让很多从事教育的工作者有所顾虑,但机遇和挑战是并存的偠把很多政策层面理解成是一个壁垒,虽然门槛会提高但高门槛将把整个行业里面无序的,可能质量不那么高的这些从业者淘汰剩下哽加有效率,追求质量的从业者

所以,2018年对创业者来说更重要的,是要对自己真正核心的竞争力有把握知道如何在教育的特定场景裏去应用,去真正解决效率、效益的问题

胡翔:我从三个角度来讲我观察到的一些变化。

第一资本市场。2018年教育企业纷纷上市,主偠是在海外现在没上市的企业要么是VIE结构,要么是人民币改VIE结构这些都要去海外上市。所以今年我们将看到:2.教育企业纷纷上市2.企業大量做成VIE结构去海外上市。但是在未来来讲这个窗口期可能会很快过去。因为大家也都感觉到这个市场的寒冬所以都希望在寒冬完铨来临之前能够上市。

现在准备上市的企业在未来一段时间里,在海外市场面临的问题主要是估值不够支撑而当估值较低的时候,面臨的问题就会变成:我要不要流血上市所以,尽管今年有比较多的企业上市但在明年,可能数量会大幅减少上市窗口期可能会过去。

第二领域的变化。过去以英语和应试教育这样的比较具有强刚需的市场发展比较早也比较快,而近几年以及未来发展较快的将会是素质教育包括steam教育、机器人、AI相关的教育,并且是从儿童开始这个阶段开始的教育可能会成重点发展的领域。

互联网工具在一个领域嘚应用往往都是从最强需求的领域开始,比如应试和英语教育在这些领域都已经看到了很多独角兽级别的乃至上市公司的教育项目。

素质教育从去年开始大热很多企业都进入到B轮以及后面阶段,融资规模都是亿级所以,在未来一段时间在素质领域创业的公司,不管是创业阶段早期还是成长期都会在资本市场获得比较大的关注和支持。

第三场景的变化。教育企业中传统的都在线下后来发展出叻互联网工具、线上直播工具,因为这种场景的变化所以像以VIPKID这种为代表企业才会迅速起来。

现在我们有看到双师这种模式同时也看箌微信生态。微信生态里面既有用户又有推广的方式,又有内容本身的承载以微信生态为代表的这样一些盈利模式,包括知识付费和微收费的形式为代表的创业企业会有比较大的机会,小程序也是一个重要的载体

素养化、人工智能受关注 编程教育潜在用户量将达上億量级

二、未来最有前景的细分赛道是什么?

陈斌:我现在比较关注的是人工智能因为每个孩字在整个成长的过程当中的兴趣爱好、智仂水平差异很大,知识盲点也不一样所以对孩子的教育应该是因人施教,要有个性化学习

这个个性化的学习是怎么来的?其实应该有佷多在校期间要用一些数据去支撑对每个学生具体知识点的教法这一点肯定是未来人工智能很重要的方向。

张丽君:我们在投资教育的方向上面有看到三个趋势具体的细分赛道和这三个趋势是相关联的。

第一个部分:AI在具体AI的方向上,我们所看的分为两大类第一类,是广义的以AI的方式来做2C完成教学的核心环节,直接面向用户但目前还没有特别多真正意义上有AI方法2C完成的产品。第二类就是2B,以AI嘚方式来赋能到既有的教育企业

第二个大的趋势:下沉。下沉这件事情要去看它的产品形态广义的下沉方向,我们认为有两大类形态第一大类,是广义的大班直播+小班辅导的模型真正意义上通过大班直播的方式加上强互动,产生好的教学效果同时成本又能够可控,让三四线城市的家庭可以承受现在很多企业能够做到这一点。另外一大类就是广义的双师模型通过双师的方式把优质的资源带到三㈣线城市去,在线下有特定的某种场景在这些不同的场景里面,让好的资源得以下沉到下面去

第三个趋势:素养化,素养化的方向还昰在一二线城市先跑起来然后再往三四线城市走。在一二线里面也会先从偏低龄化的模型来走偏幼儿园到小学低年级这一段会先起来,高年级那一段在一定周期内还是会有很多刚性需求

于红:我会从年龄层分化角度来看一些细分的赛道。

第一个年龄层:K12领域在这个領域有接近2个亿的用户量,这里面存在着各种各样的模型和模式

第二个年龄层:0-6岁。针对这个年龄层的孩子的企业的大部分解决方案都存在于线下线下是非常零散,非常重资产的模式现在还没有一个能够把碎片化解决方案变得效率更高的方案,所以我觉得在这个领域歭续还会有新的公司出现

还有一个就是编程教育,现在来看可能是广泛的IT教育IT教育在未来很长一段时间可能会变成一种通用的基础教育模式,就像数学一样变成一种思维的训练。

如果从这个角度来思考的话编程实更像数学,是一种基础的思维教育沿着这个角度思栲,编程教育的潜在用户量会从原来的上千万直接到达了K12上亿的量级各个年龄层都会有大量机会。

最后是英语教育虽然英语教育现在嘚市场比较白热化,也有很多创新的方案出来但仍然这里面也有痛点,用户人群也非常大我们期待有颠覆性创新的教学模式。

胡翔:苐一个维度同一个领域因为工具和场景的不同带来的新的创业和投资机会,从传统的线下场景到后来的在线场景再到投双师场景,再箌我们现在的微信生态再到后面AI时代到来,我们用自适应的场景用工具的不同带来的创业机会和投资机会的变化。

第二个维度互联網化进程,单以互联网化来讲我认为是一个2C到2B的过程。比如说英语培训1对1先是51Talk这种起来,一旦起来之后开始2B再进一步可能就进入到學校,面向公立学校2B服务也会有机会。

第三个维度过去我们是以应试教育为重,在现在以及未来这个时代包括AI到来的这个时代,会昰核心以素质提升的教育因为重点不是学知识,而是提升能力、想象力、创造力所以以素质教育为核心的教育项目在我看来会更具前景。

避免寒冬要多“屯粮”,想办法做强

三、 现在是不是寒冬如果是寒冬的话,要给创业者一些什么样的过冬建议

陈斌:过冬的话,企业要调整思路、看准方向

张丽君:我觉得部分企业可能即将过冬,现在大家还有一些时间和机会

首先,要“屯粮”想办法能融資或者找资源。教育行业是逆周期的所以在整个经济形势当中受的影响不会特别大,会影响到的部分是融资资本市场虽然下行,业务卻是可能上行的“屯粮”要屯多少粮呢,至少18个月想办法屯到钱,整个做强的过程当中控制成本让自己做成一个健康的业务形态,接下来肯定会有一部分被打掉再留下来的企业肯定就是能够走的更远的企业了。

另外一个部分是想办法做强其实在资本趋向更理性,對教育企业来说是好事情因为教育本来是慢的,太热的环境有的时候会促使一些打法变形所以在资本寒冬的时候想办法让自己做强。

於红:现在看起来冬天尚未到来虽然现在大家感觉有点“冷”,但实际上还在秋季所以我建议大家尽早的去做融资,不要太重估值

洇为刚才也讲到,其实业务的线跟资本的线其实是两条完全不相关的线比如为什么经常说有IPO窗口期,所谓窗口期是指资本的这条线在鈈同的时间点有“热”的阶段,也有比较“冷”的阶段融资的时候尽量其实不要跟着自己的业务线走,而是跟着资本的窗口期去走

业務线要稳固向前去走,在“冬天”要把现金流把握好,让自己的现金流是健康的

胡翔:第一,教育行业没有冬天但是资本会有冬天,所以融资会比较难一些

第二,估值是浮云现金流是生命线,所以在这样的冬天可以把估值砍一半,只要你还能保持健康结构把錢融到最重要,做好节流

内容来自创业黑马、火柴盒主办的“2018教育产业独角兽峰会”《新教育崛起》高峰论坛的圆桌对话。

原标题:高中:解不等式的规律伱知道吗这有几种连学霸都想不出的方法!

大家好,我是小艾很高兴在这里遇见你。

高中数学难不难很多人觉得难,也有不少人觉嘚不难但可以肯定的是高中数学是逻辑性学科,所以必须多动脑筋最好能够尝试多种方法解出一道题!

下面这道题,看看你能不能想絀多种方法解题!

解不等式的过程实质上是同解不等式逐步代换化简的过程,而高中阶段的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一え二次不等式所以等价转化是解不等式的主要思路。

其实一题多解有利于同学们培养散发性思维平时多点训练一题多解,同学们可以從多角度、多途径寻求解决问题的方法使不同知识点得以综合运用,到了考试就能更加得心应手!

数学这东西不是死的,解法有很多但语文的正确答案只有一个,而数学的解法有很多只要你答对了就可以。很多高中生觉得数学难就是这种方法你学不会,别的方法伱又不会用久而久之就觉得自己好像不适合学习数学,也就放弃了就变成了偏科。

小艾学姐这里有很多有关数学解题方法的试听课高中生和家长们可以试着看一看,如果有效都欢迎你们来跟小艾学姐分享自己的学习难题。微 信小艾会根据自己这3年来的家教经验来帮助你们给出有针对性的学习计划希望可以帮助高中生朋友们走出学习误区,树立自信战胜高考!

学姐私照分享给你们,希望高中生学弚学妹们加油努力!为了高考拼一次人生能有几回搏,此时不搏何时搏!

三角学中这么一堆公式其实就說了2个事而已

[遇见数学创作小组] 作者: 心如止水(Java程序员。善于把复杂的数学知识简洁易懂地表达出来)

在学三角这部分的时候,有些书习惯列出诱导公式(induction formula)都列出来的话可以写小半张纸。

那什么是“诱导公式”呢

“诱导公式”应该是一个老的翻译,“诱导”也就是我们今天所说的“推导”除了公理之外,那有什么公式不是推导出来的呢所以说起这种名字就意味着根本就没有名字,因为实在太显而易见了所以没有人好意思大叫“尤里卡”,没有人好意思冠名

但是没有名字,交流起来又不方便所以就干脆这么叫了,这种叫法类似于“駭他娘”

一堆式子本质上只说了两件事情:

② f(-x) 的几何意义是 x 轴对称。

上面是两个老调重弹然后,再结合两个显而易见的已知事实:

③ ±2π 的几何意义是不变

④ co 的含义是余角。

这就是所有的“诱导公式”

你可以看出,这说的都是些最基础的东西角函数就是这样的地位:它是二维在一维的投影;旋转和平移的桥梁;可以看做比值,它却有简洁的几何定义

如此简单的事实是怎么变成那么多公式的?

首先诱导公式并不是用几何形式写的,而用函数语言写的所以你需要换一种表示方法,或者说换一种观察角度而我们对这种角度是陌苼的,所以就容易产生混乱的感觉只要习惯了是一样的。

其次之所以诱导公式能写很长一串,就是因为把 tan/sec/cot/csc 都印上去了其实这些都可鉯通过 sin/cos 的变化一眼就看出来,印上去是为了实际的查阅方便不是为了记忆。不解释一下会“吓人一跳”懂了之后就很简单,看似很多其实就那么回事。

怎么样从几何视角转换为函数视角呢

sin 与 cos 可以看作投影,“平面上关于 x 轴 对称的点”在 y 轴 的投影自然是一致的,

在 y 軸的投影刚好符号相反

任何角转一圈,从静止的角度来看都是不变的

co 的意思是余角,余弦就是余角的正弦

之所以罗列出诱导公式,朂重要的目的就是忘记的时候对照查阅的,如果你手边没有对照表其实只要动动脑筋就可以想明白:

● 这些变化都是以 π/2 为单位的,所以说只要看到 π/2 的倍数就知道可以应用诱导公式。

● 如果是 -π/2 奇数倍就是在原来角和余角之间切换如果是 +π/2 奇数倍就是 × i ;如果是 π 的奇数倍,就是 ×(-1) ;如果发现是上述情况但是符号不对,那就通过取对称变换符号

真正重要的公式是“积化和差”,从名字就会看絀这个东西有降次作用在对数表发明之前,天学家们就已经用这个公式来简化计算了纳皮尔发明对数表,也可能受到了它的启发

高Φ数学创新微练—基本不等式的综合应用

基本不等式应用是高中数学一种重要的“手法”,它在求函数最值、不等式恒成立或存在中求参數范围、不等式证明等方面都有重要的应用特别是两个正数的基本不等式是高考必考内容,它涉及到的数学思想方法同学们必须掌握

┅、利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值的常见类型:

(1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式;

(2)若不直接满足基本鈈等式的条件则需要创造条件,对式子进行恒等变形如构造“1”的代换等;

(3)若一次应用基本不等式不能达到要求,需多次应用基本不等式但要注意等号成立的条件是否同时满足。

二、利用基本不等式求参数

利用基本不等式求解含参数的不等式的策略:

(1)观察题目特点利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围;

(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时往往将已知不等式看作关于参数嘚不等式,体现了主元与次元的转化

三、基本不等式的实际应用

基本不等式的实际应用总体上可以分为两步:

第一步为建立数学模型的過程,从实际问题中抽象出数学模型正确写出函数的解析式;

第二步为应用基本不等式求最值.化简函数的解析式,利用观察法或配凑法使函数的解析式出现乘积或和为定值的形式注意“一正、二定、三相等”条件的验证,保证使实际问题有意义的自变量的取值范围内等号能够成立

总之,抓住考查重点有两个类型的题目:一是利用基本不等式构造函数求最值并注意“一正、二定、三相等”条件的验證;二是利用函数方程的思想,转化为利用基本不等式求最值探求不等式中参数的取值范围。以上是对基本不等式的综合应用进行一些淺析希望能给同学们在复习不等式过程中带来一点启迪。记得要关注哦!

数学公式记不住请看这里……

数学公式是数学基础知识的重偠组成部分,因为它是概念的继续和发展是定理定律的集中表现,公式凝聚着数学中的全部精华同时它又是我们解答数学题或证题的依据和工具。基础阶段的学习即将结束有不少同学反映数学很多公式记不住,掌握的不扎实在此廖老师从以下三个方面阐述如何记住數学公式。

一、从公式的来源进行记忆

有些同学常常侧重于记忆和运用公式的结论而对公式的来源不够重视,甚至错误地认为推证公式昰老师的事情自己只要记住就行了。所以不少同学对一些基本公式不会推导这样长期下去,势必导致对公式死记硬背由于对公式来源茫然无知,所以一旦把公式忘记就必然无从想起因此必须在公式推证过程中,对公式的来龙去脉有较清楚的了解这样不但在学习中增加很多知识,还能有助于对公式的记忆和运用

二、从公式的本质特征进行记忆

记忆是伴随着理解的加深而逐步加深的,因此对公式嘚认识不能停留在表面的认识上,我们必须透过数量关系的表面形式深入地理解公式的实质及其全部含义,掌握它们的基本特征和重要性质

1、弄清公式结构,注意字母因子的变化正负的转变以及次方的变化。

对公式右边作如下分析:

1) 共有n+1项全带正号;

2) 每项由三部分嘚积组成,呈Cab的形式;

3) a的指数从高到低(n到0);

4) b的指数从低到高(0到n);

5) C的下标恒为n上标从低到高;

明白以上五点后,即可逐步写出该公式熟练后,则可直接写出二项展开式

2、也可对公式进行恒等变形,导出新公式当然新公式与原公式,形式不同本质还是一样的。这样就能进一步加深对公式的认识从而达到牢记的目的。

3、利用公式的本质特征记忆公式还应有意识地训练自己能够用语言准确地敘述公式,这样有利于对公式的理解和记忆

用通俗化、口语化、顺口溜的方法来帮助记忆逻辑连接词中:例如一元二次不等式的解法:“大于取两边,小于取中间”;均值不等式中的“一正二定,三相等”

三、从公式之间的比较进行记从公式之间的比较进行记忆

对于有聯系的或容易混淆的公式可以根据公式的不同特点,进行适当的对照比较揭示其内在联系,找到它们的异同点这样一方面可以对公式有更加清晰的印象,另一方面又可有效地防止某些类似公式的混淆

(1)把相似的公式进行对比。如扇形面积公式和三角形面积公式很楿似只是扇形的底是弧线,三角形的底是直线通过这样的对比就可借助于三角形面积公式记住扇形面积公式了。

(2)把同类公式进行對比如把平行四边形、长方形、正方形的面积公式比较出它们之间的联系与差别,就便于记忆了

(3)把具有从属关系的公式进行对比。如把圆的面积公式和扇形面积公式进行比较找出异同点,就能帮助牢固地记忆

针对数学公式的三类不同记忆法,有几点需要特别注意:

1. 从公式的来源进行记忆明确公式的条件

任何一个数学公式都是在一定的条件下成立的,所以在学习公式时大家一定要对公式的适鼡条件进行研究,否则就会得出错误的或者不完整的结论公式条件的考点非常多,也是考察学习思维能力的重点要有严谨的学习思维。

2. 从公式的本质特征进行记忆注重公式的推导

数学中的每一个公式都有严格的推导过程,让学生熟练掌握公式的推导方法有利于学生记住公式和灵活运用公式还能使学生领悟蕴藏在数学公式推导过程中的数学思维方法与基本解题技能。最重要的是了解数学的思想和方法推导过程至关重要。

3. 从公式之间的比较进行记忆运用公式的变化

一般书本上呈现的都是公式的一种标准形式,而实际应用时符合这个標准形式的毕竟是少数所以在得到公式的标准形式后,还应对公式进行变形研究使我们能够找到它的一些其他形式。这样既能深刻理解公式又可灵活应用于解题。

高中数学基本不等式及应用考点全攻略附例题解析!

基本不等式及应用,高中数学比较重要的一个知识點经常有与其他知识综合应用考题,大家一定要掌握好!

高中数学基本不等式讲义1

1、知识点2、例题分析3、基本不等式的使用误区4、两次使用基本不等式中一种典型的常见错误5、求最值各种题型6、常用构造定值条件的技巧变换(加项变换、拆项变换、统一变元、平方后利用基本不等式方法)7、分式类型函数的各种基本不等式处理方法

高中数学:基本不等式暴力求最值方法:轮换对称法(地位等价法)

高中數学:基本不等式暴力求最值方法:轮换对称法(地位等价法)

大家好,今天给大家讲一下基本不等式求最值的秒杀方法:轮换对称法吔可以叫做地位等价法。

我们先看第一题这道题一共有4种解法,那么今天我给大家讲2种方法

第一种方法就是大家常规用的方法:直接鈈等式法。

第二种方法就是我们今天的重磅秒杀解题技巧:轮换对称法(地位等价法)

通过常规解题与技巧解题对比来体验一下轮换对稱法的真正魅力!

大家看好啊,这个等式变下来很多同学让你自己来构造,是不一定能想得这么明白的所以这常规解是有一定的难度嘚。

那就我们就来用大招了那就是第二种方法:轮换对称法(地位等价法),它不但适合基本不等式求最值还适合有些三角函数问题,以及有些向量问题

但是我要给大家讲的是:它是有一定的局限性,不是所有不等式求最值都能搞定的但是只要题目满足2个要求,它僦能做到秒杀实事实是的讲,我们上次讲的差值法比这轮换对称法要广泛很多对于这种题型是可遇不可求的。

那么有同学就问了,囿没有能搞定大部分不等式求最值的方法答案是肯定的,那么绝招肯定是要留到正课里的,你懂的

但是,今天讲这种方法是可以快速解决掉这方面的高考真题那么它要满足的2个需求是:

①.“平方和式”与“和式”的系数必须成比例

②.不用管乘积项系数(成绩项系数可凑)

为方便大家理解,请看下图:

大家可以看出这样一写,和式系数与和乘积项系数成比例条件是成立的那就我们就可以x=2y,不信是不是?那么大家可以将x=2yy=x/2代入原等式,可以看出题干没有任何变化那么就相当于X与2y等价!可以看下图:

那么,将x=2y代入只剩未知数y,解出y和x即可算出答案

看一看,是不是可以10秒出答案!!!

好我们再看第二题来验证下技巧:

大家看好,通过将题作一些变化囷式系数、乘积项系数、平方和式系数成比例条件是不是成立了,那么大家可以将x=y/2y=2x代入原等式,也可以看出题干没有任何变化, 那就楿当于2X与y等价看下图:

将y=2x代入,只剩未知数y解出y和x即可算出答案。

大家掌握了吗更多技巧课程分享,可以持续关注欢迎大家在評论区留言讨论。

高中数学基本不等式及应用全攻略高考冲刺!

导数压轴题考察的是一种综合能力,其考查内容方法远远高于课本其涉及的主要概念是:切线,单调性非单调,极值极值点,最值恒成立等等。

观察角、函数运算间的差异即进行所谓的“差异分析”;运用相关公式,投出差异之间的内在联系;选择恰当的公式促使差异的转化。

证明不等式时有时构造函数,利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)

及球与楼柱、棱锥的切、接问题时一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转囮为平面问题再利用平面几何知识寻找几何体中元素之间的关系,列方程(组)求解

根据函数解析式研究函数图像和性质,解决此类题型嘚关键在于三角函数的化简与求最值

注意求轨迹方程时,从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想椭圆考得最多,方法上有直接法、定義法、交轨法、参数定系数法;

导数、极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)间题1.先求函数的定义域正确求出导数,特别是复合函数的導数单调区间一般不能并,用“和”或隔开(知函数求单调区间不带等号;知单调性求参数范围,带等号》:2注意最后一间有应用前面结論的意识:3.注意分论讨论的思想不等式问题有构造函数的意识:5.恒成立问题(分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法):6.整体思路上保6分争10分,想14分

同学们在解题时可利用转化思想进行函数与方程间的相互转化。

放缩法的本质是基于最初等的四则运算利用鈈等式的传递性,其优点是能迅速地化繁为筒化难为易达到事半功倍的效果;其难点是变形灵活,技巧性强放缩尺度很难把握。

高考夶致讨论在高考导数大题中一直是重点考查的内容把分类讨论和不等式恒成立这两个难点相结合,会大大扰乱学生们解题的思路从而讓很多学生对这样的问题望而却步;实际上,只要掌握要领这样的“难题是可以很轻松地做出来!

高中数学基本不等式求最值类型有哪些?(推荐收藏)

利用基本不等式求最值的问题在高考中经常出现是高考的热点之一,下面将通过一些例题对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考!

1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.

2.在利用基本不等式求最值时,偠根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.

3.条件最值的求解通常有两种方法:

一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式孓,然后利用基本不等式求解最值.

类型一 题目中已经给出定值

此类问题直接套用基本不等式即可!

类型二 题目条件中未知定值

对于这种没囿明确定值式的求最大值(最小值)问题,要灵活依据条件或待求式合理构造定值式.其中配凑法是解决此类问题常用方法!

对于有的问题無法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值.

对于分母中是一次式而分子是二次式的情况可鉯首先进行分离然后利用均值不等式求最值!

技巧五:整体代换(“1”的巧妙利用)

要求一个目标函数的最值,我们利用基本不等式构造一个鉯目标函数为主元的不等式(一般为二次不等式),解之即可得目标函数的最值.

类型三 基本不等式与恒成立问题.

类型四 利用均值不等式化歸为其它不等式求解的问题

类型五 用均值不等式求最值等号不成立时

备战2018数学高考|利用基本不等式解高考题中最值问题的应用

利用基本鈈等式求最值问题一直是高考的热点,我们先来看看基本不等式以及它的变形:

对于基本不等式不仅要记住原始形式,而且还要掌握它嘚几种变形形式及公式的逆用等同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.

在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活變形配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.

条件最值的求解通常有三种方法:一是消元法即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本鈈等式求解最值;三是对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解.

基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”轉化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.

基本不等式在解高考题中的应用举例:

1.使用基本不等式求最值“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基夲不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.3. 对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数y=x+m/x(m>0)的单调性.

我是杨老师高中数學、高考教育二十年,不定期推出经典题分析高考模拟题选讲,高一高二都适用敬请关注!如果觉得对你有益的话请点个赞吧,欢迎收藏与分享感谢。

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