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前 本书是非线性偏微分方程(或称非线性数学物理方程)理论的入门書.可供应用数 学、应用物理以及非线性科学相关方向的研究生作为教科书和参考书,也可供从事非 线性科学研究的科研人员和教师作为参考鼡书.非线性偏微分方程研究的热潮兴起于 20世纪60年代,至今只有三四十年的发展时间,相应于数学的其他分支,可谓是非常 年轻的学科.虽然国内外巳经有一批很好的著作出版,但其中有些起点偏高,初学者不 容易看懂.同时又因为非线性偏微分方程的研究属于交叉学科,物理学家、数学家和笁 程学科的科学家们都在研究和关注这个问题,但他们关注问题的角度不同,使得有些 著作专业倾向性很强,非本专业的人理解起来有难度.这种現状使初学非线性偏微分 方程理论的人门者感到很困难,往往为了某一个基本概念而多次跑图书馆查找许多资 料.为此我将自己在学习和教学Φ所积累的资料系统地整理出来,与大家分享,以利于 更多的初学者少走弯路,更早地步入非线性偏微分方程的殿堂.本书在编写的过程中 力争做箌概念清楚、推导严谨、说理透彻、逻辑性强.本书的目标是使具有大学数学、大 学物理基础的人可以读懂.在附录中尽可能简明地介绍一些輔助学习的知识,以帮助 读者更好地理解正文的内容 本书的研究对象是非线性偏微分方程,由于这些偏微分方程来源于物理和其他应用 学科,具囿鲜明的物理意义,因此又称为非线性数学物理方程大家知道,数学物理方程就 是物理学中的数学方程,包括代数方程、函数方程、常微分方程、偏微分方程、积分方程、微 分积分方程、差分方程,等等.通常在大学里开设的数学物理方程(或称数学物理方法)研 究线性偏微分方程及其解法,本书的重点是研究有物理背景的非线性偏微分方程的理论. 含有时空变量的非线性偏微分方程的数学形式通常可以表示为 P(t,x,u,u,u,,u,u,u,.)=0, 其中u=u(x,t)是系统的目標物理量,即未知函数;x表示空间坐标,有时可能是二维(x,y)、 三维(x,y,z)甚至是多维(x1,x2,…,xn)的;t是时间坐标(有时在建立数学模型时,经过了 坐标变换,因此可能是广義的时间坐标).u2,l1,um,un分别表示对坐标x和t的一阶和二阶 偏导数所谓非线性偏微分方程,是指在偏微分方程中含有未知函数和(或)未知函数导数的 高次项,洏不能写成如下线性形式(以两个自变量的二阶线性微分方程为例) Ⅱ非线性偏微分方程引论 0.3) 等等.这些方程的形式虽然简单,但是本质却与线性微分方程有很大的不同,比如,对于线 性方程而言解的唯一性、单值性、有界性和解的叠加原理等性质,对非线性方程均可能不 复存在.因此,非线性方程不存在普适性的理论和求解方法.但有许多非线性偏微分方程 都具有一类很有意义的解—孤立波解 非线性偏微分方程本身的物理背景囷孤立波解的特殊性质使非线性偏微分方程的求 解和孤立波理论作为非线性科学的一个分支,成为当前科学发展的前沿和热点问题. 个系统,如果输出与输入不成正比,则它就是非线性的例如弹簧的受力伸长(产生 位移),当位移较小时,力与位移成正比,力与位移的关系为线性关系,即 Hooke定律F kx,当位移很大时, Hooke定律失效,弹簧变为非线性振子;又如单摆,仅当其角位移很小 时,其行为才是线性的;而一个介电晶体,当其输入光强不再与输出光强成囸比时,就成为 非线性介电晶体.实际上,自然科学或社会科学几乎所有的已知系统,当输入足够大时,都 是非线性的.因此,非线性系统远比线性系统哆得多.可以说,客观世界本来就是非线性 的,线性只是一种近似.描述这些非线性系统行为的方程就可能是非线性偏微分方程.认 识、研究并且利鼡非线性现象是科学发展的必然同时,随着计算机的发展,使许多过去人 工不可能做到的一些问题得以解决,因此,从某种意义上说,非线性科学也昰伴随着计算 机科学的发展而发展起来的 本书主要研究非线性偏微分方程的解法孤立子理论及其应用 数学上把具有下列性质的非线性偏微汾方程的解称为孤立波解 (1)向单方向传播的行波,即形式为g(x-at)或y(x+at)的解; (2)分布在空间的一个小区域内,即1mu→0(有时是lmux→0及 lim u>0等); →士∞ (3)波动形状不随时间演变洏发生变化; (4)孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞(一般又将具有这一性质 的孤立波叫孤立子) 常见的孤立波有以下四种:(1)钟型(图0.1(a),(2)反钟型(图0.1(b)),(3)扭结型 (kink)(图0.1(c))和(4)反扭结型(ante-kink)(图0.1(d)). 前言Ⅲ x 06 04 0.2 24 0.5 0.5 05 图0.1孤立波的四种类型 用数学方法研究实际问题的基本步骤是:首先将实际问题简化,形成物理模型;然后 將物理模型定量化,即建立数学模型—一非线性偏微分方程;再后便是求解这个偏微分方 程,找出满足偏微分方程,有时还需满足某些特定条件的解;最后是对所得结果进行分析, 用来解释自然现象或指导实践,即解决实际问题 从物理模型到数学模型大致要经过以下步骤:(1)建立空间和时间坐標系,不同的问 题选用不同的坐标系;(2)选择表征所研究物理过程的一个或几个物理量及其坐标,这是 非常重要的一步,有时表征物理量的选择就是建立一门新学科的起点;(3)找出(包括假 设、猜想和运用已有的知识)有关物理过程所遵循的定律,即物理公理或定理,这是问题的 难点,在大学数学物悝方程(法)中建立数学模型时,只是涉及了一些简单的物理过程,通 过它们来讲述将物理模型进行定量化处理的一般方法.对于复杂的物理过程,只昰写出数 学模型,不加推导.在本书中,我们将更加注重物理模型到数学模型的推导,因为研究数学 物理问题,不能抛开物理图像去单纯考虑数学问題,物理图像和几何图像常常扮演简单明 了而又能深刻认识数学问题的钥匙的角色 旦将物理模型建成数学模型后,就是寻求合适的方法来求解這个非线性偏微分方 程,这是本书研究的重点随着科学的不断发展,非线性偏微分方程的求解受到越来越多 的重视,从天文学、物理学、力学、哋球科学到生命科学和各类工程技术科学领域都出现大 量的非线性偏微分方程.尤其是在物理学的各个分支领域,如流体力学、非线性光学、等离 子体理论和量子场论中遇到的非线性偏微分方程,有很多都有孤立波形式的解.19世纪 Ⅳ-非线性偏微分方程引论 30年代英国科学家J.S. Russel最先注意到沝波中的非线性现象.20世纪60年代以来, 非线性科学得到了飞速发展,在非线性偏微分方程的求解方面也取得了许多成果.本书将 较详细地讨论其中┅些重要和典型的方法.由于非线性数学物理方程本身的复杂性,其求 解没有普适的方法,各种方法的基本思想都是通过变换或分解,将复杂的方程简化.而这 种变换和分解的形式也是多种多样的,有时还需要从数学上和物理上加以猜想和试探.这 种猜想和试探本身也许并不具有普遍意义,泹这种猜想和试探的思想却具有普遍意义,在 这里数学技巧和物理直观将尽可能得到完美体现 在这里向我所有引用资料的作者致谢和致敬,其Φ包括许多国外的作者.书中也包括 我和我的研究生的一些工作,同时向我的历届研究生同学们表示谢意.本书是在笔者为北 京邮电大学研究生開设的“应用偏微分方程”课程讲义的基础上整理完成的.感谢4轮教 学过程中选学过该课程的所有同学们,是他们的热情和求知欲激励我在这個领域不断探 索,努力实践;是他们不断地思考和颇有见地的问题,使本书的内容更加深刻和完善.特别 要感谢第一次选学这门课的一些同学:王鑫、徐淑奖、叶鹏、李华英和李娟等,是他们将讲 义的原稿输入电脑.笔者衷心感谢清华大学出版社的支持与帮助. 非线性偏微分方程作为学科,发展的时间不长,但涉及的内容非常广泛,由于作者水 平有限,不足乃至错误在所难免,再次恳请各位师友和读者赐教 郭玉翠 2007年9月 目 录 第1章典型方程忣其孤立波解… ·····。 1.1历史回顾 ………………1 1.2孤立波—非线性会聚和色散现象的巧妙平衡 1.2.1波动中的非线性会聚现象… 1.2.2波动中的色散 ·。 1.2.3两种效应的平衡—KdV方程的解释 鲁自··非··.鲁鲁· 1.3KdV方程及其孤立波解 3.1KdV方程的导出 1.3.2KdV方程的孤立波解… Burgers方程的孤立波解 6.3Hopf-Cole变换 第2章反演散射方法与多孤立波解 ····鲁鲁,.鲁非·。非。。·鲁 45 2.1散射与反散射问题… ······.··.·········。··普···。············.· 2.1.1单孤立子解… 46 MⅥ非线性偏微分方程引论 2.1.2双孤立子解 。鲁鲁·。·垂垂··垂春鲁·非·非···鲁非鲁 47 2.2散射数据随时间的演化……………………………………53 2.3反散射法解KdV方程的具体过程反演定理的证明 ∴…58 2.4KdV方程的n孤立子解 ……66 2.4.1单孤立子解… 66 2.4.2双孤立子解 68 2.4.3n孤立子解 71 2.5反演散射方法的推广 79 2.5.1Iax方程 鲁鲁魯非 79 2.5.2AKNS方法… .音·音香鲁·鲁鲁 81 Painleve分析 ………143 第5章相似变换与相似解 146 5.1群的概念及其在微分方程中的应用简介 147 5.1.1微分方程的不变群 鲁非非 147 5.1.2无穷小的延拓变换… 152 5.1.3微分方程的不变性… ……………154 5.2偏微分方程的经典Le群变换法 …………∴…∴155 5.3非经典无穷小变换方法 ·着音。。·非 ●鲁鲁音自喑 ……………168 5.4求相似解的直接方法(CK方法)… 174 第6章特殊变换法求解非线性偏微分方程 ··●·。。·鲁。 鲁鲁垂。b,● 186 6.1 Hirota双线性方法 ··········· ……………186 6.1.1 Hirota双线性变换的相关概念与性质 ●·垂垂 186 6.1.2 Hirota双线性方法的具体步骤… 187 6.2 Fisher方程的精确解 ……234 附录A椭圆函数与椭圆方程 38 A1椭圆函数 238 Ⅷ非線性偏微分方程引论 A1.1问题的提出 238 A1.2椭圆积分的定义 ●非垂 239 A1.3椭圆函数… 240 A1.4椭圆函数的性质 240 A2 Jacobi椭圆函数与椭圆方程 243 附录B首次积分与一阶偏微分方程 246 B1一階常微分方程组的首次积分 ………………………246 B1.1首次积分的定义 246 B1.2首次积分的性质和存在性 248 B2一阶线性偏微分方程的解法 255 B2.1一阶线性齐次偏微分方程 255 B2.2一阶拟线性偏微分方程 ∴258 附录C与波动相关的概念和术语… .·。.···。·非·自·自·b·垂 …261 C1基本概念 ∴…261 C2线性波与非线性波 263 C3色散波 264 C4线性波和非线性波的色散 267 C4.1线性波的色散 ……………267 C4.2非线性波的色散 。.··。·●··。····音..·鲁非······鲁鲁鲁,···,·········· 271 附录D微擾方法简介 ……………………………273 附录E超几何函数与超几何级数… ······· 274 参考文献