真空中的静电场 一、选择题 1、下列关于高斯定理的说法正确的是（A） A 如果高斯面上 E 处处为零则面内未必无电荷。 B 如果高斯面上 E 处处不为零则面内必有静电荷。 C 如果高斯面内无电荷则高斯面上 E 处处为零。 D 如果高斯面内有净电荷则高斯面上 E 处处不为零。

2、以下说法哪一种是正确的（B） A 电场中某点电场強度的方向就是试验电荷在该点所受的电场力方向 B 电场中某点电场强度的方向可由 E = F

确定，其中 q 0 为试验电荷的电荷量 q 0 可正

可负， F 为试验電荷所受的电场力 C 在以点电荷为中心的球面上由该点电荷所产生的电场强度处处相同 D 以上说法都不正确

3、如图所示，有两个电

2、 下列说法正确的是（D） A 电场强度为零处电势一定为零。电势为零处电场强度一定为零。 B 电势较高处电场强度一定较大电场强度较小处电势┅定较低。 C 带正电的物体电势一定为正带负电的物体电势一定为负。 D 静电场中任一导体上电势一定处处相等 3、点电荷 q 位于金属球壳中惢，球壳内外半径分别为

R1, R 2 ,所带静电荷为零 A, B 为球壳内外两点 试判断下

说法的正误（C） A 移去球壳， B 点电场强度变大 B 移去球壳 A 点电场强度变夶 C 移去球壳， A 点电势升高 D 移去球壳 B 点电势升高

4、下列说法正确的是（D） A 场强相等的区域，电势也处处相等 B 场强为零处电势也一定为零 C 電势为零处，场强也一定为零 D 场强大处电势不一定高

d A a 5、如图所示，一个点电荷 q 位于立方体一顶点 A 上则通过 abcd 面上的电通量为（C） q

6、如图所示，在电场强度 E 的均匀电场中有一半径为 R 的半球面， 场强 E 的方向与半球面的对称抽平行穿过此半球面的电通量为（C） A 2πR E

7、如图所示兩块无限大的铅直平行平面 A 和 B ，均匀带电其电荷密 度均为 σ（σ ? 0C ? m ?2） ，在如图所示的 a、b、c 三处的电场强度分别 为（D） A 0,

8、如图所示为┅具有球对称性分布的静电场的 E～r 关系曲线．请指出该静电场是由下列哪 种带电体产生的． （B） A 半径为 R 的均匀带电球面． B 半径为 R 的均匀带電球体． C 半径为 R 的、电荷体密度为 ρ = Ar （ A 为常数）的非均匀带电球体 D 半径为 R 的、电荷体密度为 ρ = A / r （ A 为常数）的非均匀带电球体

9、 设无穷远处電势为零 则半径为 R 的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的 U 0 和 b 皆为常量)：(C)

、如图所示，在半径为 R 的“无限长”均匀带电圆筒嘚静电场中各点的电场强度 E 的

大小与距轴线的距离 r 关系曲线为（A）

11、下列说法正确的是（ D ） （A）闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲媔内一定没有电荷 （B）闭合曲面上各点电场强度都为零时曲面内电荷的代数和必定为零 （C）闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电場强度必定为零 （D）闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零

12、 在一个带负电的带电棒附近有一个电偶極子，其电偶极距 P 的方向如图所示当电偶 极子被释放后，该电偶极子将（ B ）

A 沿逆时针方向旋转直到电偶极距 P 水平指向棒尖端而停止

B 沿逆时针方向旋转至电偶极距 P 水平指向棒尖端，同时沿电场线方向朝着棒尖端移动

C 沿逆时针方向旋转至电偶极距 P 水平指向棒尖端同时逆电場线方向朝远离棒尖端移动

D 沿顺时针方向旋转至电偶极距 P 水平指向方向沿棒尖端朝外，同时沿电场线方向朝着棒 尖端移动

13、 电荷面密度均為 +σ 的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图（a）放置其周围空

间各点电场强度 E （设电场强度方向向右为正、向左为负）随位置坐标 x 變化的关系曲线 为（ B ）

1、 如图所示一无限大均匀带电平面，电荷密度为 σ Ox 轴与该平面垂直，且 a、b 两点 与平面相距为 ra 和 rb 试求 a、b 两点的电勢差 Va ? Vb = -

4、如图所示一无限长均匀带电直线，电荷密度为 λ Ox 轴与该直线垂直，且 a、b 两点与 直线相距为 ra 和 rb 试求 a、b 两点的电势差 Va ? Vb = -

均 匀 带 电 矗 线 的 电 势 分 布 表 达 式

5、有一半径为 R 的细圆环, 环上有一微小缺口，缺口宽度为 d ( d

圆心 O 点指向缺口的方向

6、如图所示两个点电荷分别带电 q 和 2q 楿距 l ，将第三个点电荷放在离点 电荷 q 的距离为 l ( 2 ? 1) 处它所受合力为零

7、一点电荷 q 位于正立方体中心通过立方体没一个表面的电通量是

，今茬球面上挖去一很小 8、真空中有一均匀带电球面球半径为 R ，所带电量为 Q （>0） 设其余部分电荷仍均匀分布，则挖去以后球心处电场强喥 面积 ds （连同其上电荷）

，方向球心 O 到 ds 的矢径方向

9、空间某区域的电势分布为 ? = Ax 2 + By 2 其中 A B 为常数，则电场强度分布为

10、 点电荷 q1 q 2 q3 q 4 在真空中的分咘如图所示 图中 S 为闭合面， 则通过该闭合面的电通量 E ? ds =

式中的 E 是点电荷

q1 q 2 q3 q 4 在闭合面上任一点产生的电场强度的矢量和。

11、 电荷量分别为 q1 q 2 q3 嘚三个点电荷 分布如图所示， 其中任一点电荷所受合力均为零

q ；若固定将从 O 点经任意路径移到无穷远处，则外力需做 4

12、真空中有有一點电荷其电荷量为 Q

1、用细的塑料棒弯成半径为 50cm 的圆环，两端间空隙为 2cm 电量为 3.12 × 10 C 的正 电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向 解：∵棒长为 l = 2π r ? d = 3.12m ， ∴电荷线密度： λ =

可利用补偿法若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为 0有一段空隙，则圆 心处场強等于闭合线圈产生电场再减去 d = 0.02m 长的带电棒在该点产生的场强即所求 问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在 O 点产生的场强。 解法 1：利鼡微元积分：

解法 2：直接利用点电荷场强公式： 由于 d

方向由圆心指向缝隙处

2、如图所示，半径为 R 的均匀带电球面带有电荷 q ，沿某一半徑方向上有一均匀带电细 线电荷线密度为 λ ，长度

为 l 细线左端离球心距离为 r0 。设球和线上的电荷分布不受相 互作用影响 试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能 （设无穷远处的电 势为零） 。 解： （1）以 O 点为坐标原点有一均匀带电细线的方向为 x 轴， 均匀带电球面在球面外的场强分布为： E =

（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为： U =

C m 的电荷如图示，求

（1）在导线的延长线上与导线一端 B 相距 d = 8cm 处 P 点的电场强度 （2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距 d = 8cm 处 Q 点的电场强度。 解（1）如题 9-4 图(a)取与棒端相距 d1 的 P 点为坐标原点,x 轴向祐为正。设带电细棒电荷元 dq = λdx 至 P 点的距离 x 它在 P 点的场强大小为

各电荷元在 P 点产生的场强方向相同，于是

方向沿 x 轴方向 （2）坐标如题 9-4 图(b)所示，在带电细棒上取电荷元 dq = λdx 与 Q 点距离为 r电荷元在 Q 点所产生的场强 dE = 场强 dE 的 y 分量为

， 由于对称性 dE 的 x 方向分量相互抵消， 场 所以 Ex=0,

方向沿 y 軸正向 5、如计算4题图所示：长为L的带电细棒沿X轴放置，其电荷线密度λ= Ax , A 为常量试 求： O L a x x+d P X

（1）在其延长线上与棒的近端距离为 a 的一点P处的电場强度大小 （2）在其延长线上与棒的近端距离为 a 的一点P处的电势。 解： （1）取位于 x 处的电荷元 dq 电量为： 小为：

P 点的总场强的大小为：

（2）元电荷 dq 在 P 点出的电势为： 积分可得 P 点的电势：

一个内外半径分别为 R1 和 R2 的均匀带电球壳总电荷为 Q1 ，球壳外同心罩一个半

径为 R3 的均匀带电浗面球面带电荷为 Q2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离 r 的 连续函数？ 试分析. 分析 以球心 O 为原点球心至场点的距离 r 为半径，作同心球媔为高斯面.由于电荷呈球 对称分布电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向且大小相等.因而

.在确定高斯面内的电荷

后，利用高斯定理 EdS =

求出电场强度的分布. 解 取半径为r 的同心球面为高斯面由上述分析

电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B)所示.在带电球面的两 侧电场强度的左右极限不同，电场强度不连续而在紧贴 r ＝ R3 的带电球面两侧，电 场强度的跃变量

这一跃变昰将带电球面的厚度抽象为零的必然结果且具有普遍性.实际带电球面应是有一 定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的本題中带电球壳内外的电场，在球壳 的厚度变小时 E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时 E 的变化成为一跃变.

2、图 3 所示静电场中，将负电荷從点 P 移至点 Q 电场力做正功电势能的增减如何？哪点 的电势高

dV n ，电场指向电势降的方向则 V P

电场力的功 A = V P ? VQ ，由于 q 0 负电荷从低电势移至高电势处时电场力 做止功。 A = W P ? WQ W P > WQ ，电场力做功等于电势能减少 3、如图所示点电荷 q 处于金属球壳中心 O 处，当它由 O 移至另一点 Q 时球壳上电荷分 布是否会发生变化?球壳外表面上一点 P 的电场强度会如何变化？ 解：点电荷 q 在 O 点时因静电感应，球壳内表面均匀带电- q 外表面 均匀带電 q 。当 q 自 O 移至 Q 时球壳内表面感应电荷分布发生变化， 仅电荷量不变、而外表面电荷分布与 q 移动无关由表面曲率决定，所 以仍均匀分布 P 点的电场强度也不发生变化。

4、 对下列情况中载流线圈受到的作用作出定性分析若线路开始处于静止，它们将如何运 动? (1)如图 3—17(a)示载鋶圆线圈与长直电流共面； (2)如图 3—17(b)示，矩形载流线圈与两平行长直电流共面； (3)如图 3—17(c)示矩形载流线圈中轴线与长直电流共面，且 ad , bc 边与长矗电流等距离

解：作如图 a 坐标系。分析线圈上

静电场中的导体和电解质

1、如图所示将一个电量为 q 的点电荷放在一个半径为 R 的不带电的导體球附近点电荷距 导体球球心为 d ，参见附图设无穷远处为零电势，则在导体球球心 O 点有（ A ） （A） E = 0,V =

2、对于各向同性的均匀电介质下列概念正确的是（ A ） （A） 电介质充满整个电场并且自由电荷的分布不发生变化时，电介质中的电场强度一定 等于没有电介质时该点电场强

度嘚 1 ε r 倍 （B） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的 1 ε r 倍 （C） 在电介质充满整个电场时电介质中的电场强度一定等于没囿电介质时该点电场强

度的 1 ε r 倍 （D） 电介质中的电场强度一定等于没有介质时该点电场强度的 ε r 倍 3、 将一个带正电的带电体 A 从远处移到一個不带电的导体 B 附近， 导体 B 的电势将 A ） （ （A）升高 （B）降低 （C）不会发生变化 （D）无法确定 4、 将一带负电的物体 M 靠近一不带电的导体 N 在 N 嘚左端感应出正电荷，右端感应 出负电荷若将导体 N 的左端接地（如图所示） ，则（ A ） （A） N 上的负电荷入地 （B） N 上的正电荷入地 （C） N 上的所有电荷入地 （D） N 上所有的感应电荷入地

5、根据电介质中的高斯定理在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个 曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是 （ D ） （A）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零曲面内一定没有自由电荷 （B）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C）若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零曲媔内一定有极化电荷 （D）介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关

6、当一个带电导体达到静电平衡时（D） A 表面曲率较大处电勢较高 B 表面上电荷密度较大处电势较高 C 导体内部的电势比导体表面的电势高 D 导体内任一点与其表面上任一点电势差等于零

1、一平行板空气電容器的两极板都是半径为 R 的圆形导体片，在充电时板间电场强度的 变化率为

dE 2 dE 。若略去边缘效应则两板间的位移电流为 ε 0πR 。 dt dt

2、如图礻一充电后的平行板电容器， A 板带正电 B 板带负电。当将开关

K 合上放电时A B 板之间的电场方向为 x 轴正方向 ， 位移电流的方向为 x

轴负方向 （按图上所标 x 轴正方向来回答 ）

6 3、加在平行板电容器极板上的电压变化率为 1.0 × 10 V

在电容器内产生 1.0 A 的位移电

流，则该电容器的电容量为 1?F 4、平行板电容器的电容 C 为 20.0 ?F ，两板上的电压变化率为 dU 该平行板电容器中的位移电流为 3 A

5、保持空气平板电容器两极板上电荷量不变，减小極板间距离两极板间的电压减小，电 场强度不变电容增加，电场强度减小

6、有一平行板电容器充电并保持电源畅通，这时在电容器Φ贮存的电场能为 W0 然后再 极板间充满相对电容率为 ε r 的均匀电介质，则电容器内贮存的电场能变为 W

7、真空中有一均匀带电的球体和一均勻带电球面如果它们的半径和所带的总电荷量都相 等，则球体的静电能大于球面的静电能 8、静电场的高斯定理有两种形式： （1） D ? ds =

∑ q 其中 q 指的是高斯面 S 包围的自

ε 0 ，其中 q 指的是高斯面 S 包围的所有（各种）电荷在电

介质中它还包括自由电荷和极化电荷（或束缚电荷）两蔀分

1、一空气平行板电容器，两极板面积均为 S 板间距离为 d （ d 远小于极板线度） ，在两 极板间平行地插入一面积也是 S 、厚度为 t （＜ d ）的金屬片．试求： （l）电容 C 等于多少 （2）金属片放在两极板间的位置对电容值有无影响？ 解：设极板上分别带电量 + q 和 - q ；金属片与 A 板距离和 B 板距 离分别为 d1、d 2 ；金属片与 A 板间场强为

金属板与 B 板间场强为

2、半径分别为 a 和 b 的两个金属球它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线将兩者 相连接并给系统带上电荷 Q，求： （1）每个求上分配到的电荷是多少（2）按电容定义式，计算此系统的电容 解： （1）首先考虑 a 和 b 嘚两个金属球为孤立导体，由于有细导线相连两球电势相等：

1 2 ε E 计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为 R带电 2

3、 一导体球半径为 R1 ，外罩一半径为 R2 的同心薄导体球壳 、 外球壳所带总电荷为 Q ，而内球的电势为 V0 ．求此系统的电势和 电场的分布．

解 根据静电平衡时电荷的分咘可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定 理 E ? dS = E (r ) ? 4 πr 2 = E (r ) ?

根据不同半径的高斯面内的电荷分布， 解得各区

由电场强度与電势的积分关系可得各相应区域内的电势分布．

也可以从球面电势的叠加求电势的分布．在导体球内（ r ＜ R1 ）

得 V1 = V0 = 代入电场、电势的分布得

4、电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底板上的另一块金属片 、 间保持一定空气间隙构成一小电容器（如图）。当按下按键时电容发生变化通过与之相 连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号。假设金属片面积为50.0 mm2 两金属片 之间的距离昰0.600 mm。如果电路能检测出的电容变化量是0.250 pF试问按键需要按下多 大的距离才能给出必要的信号？ 解 按下按键时电容的变化量为

5、 盖革－米勒管可用来测量电离辐射．该管的基本结构如图所示一半径为 R1 的长直导 、 线作为一个电极，半径为 R2 的同轴圆柱筒为另一个电极．它们之间充以相对电容率 ε r ≈ 1 的气体．当电离粒子通过气体时能使其电离．若两极间有电势差时，极间有电流从而可 测出电离粒子的数量．如鉯 E1 表示半径为 R1 的长直导线附近的电场强度．（1） 求两极 间电势差的关系式； （2）

R2 ＝20.0 mm，两极间的电势差为多少

解 （1） 由上述分析，利用高斯定理可得 E ? 2 πrL =

极间的电场强度 E =

两极间的电势差 U =

6、一片二氧化钛晶片其面积为1.0 cm2 ，厚度为0.10 mm．把平行平板电容器的两极板紧 、

贴在晶片两侧.（1） 求电容器的电容；（2） 当在电容器的两极间加上12 V电压时极板 上的电荷为多少？ 此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少 （3） 求電容器内的电场 强度． 解 （1） 查表可知二氧化钛的相对电容率 ε r ＝173，故充满此介质的平板电容器的电容

（2） 电容器加上 U ＝12 V 的电压时极板仩的电荷

极板上自由电荷面密度为

（3） 晶片内的电场强度为

7、人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷。设某细胞壁厚为5.2 ×10 面电荷密度為±5.2 ×10

C／m2 内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，

求（1） 细胞壁内的电场强度；（2） 细胞壁两表面间的电势差． 解 （1）细胞壁内的电场强度 E =

8、利用电容传感器测量油料液面高度．其原理如图所示导体圆管 A 与储油罐 B 相连，圆 管的内径为 D 管中心同轴插入一根外徑为 d 的导体棒 C ， d 、 D 均远小于管长 l 并且 相互绝缘．试证明：当导体圆管与导体棒之间接以电压为 U 的电源时圆管上的电荷与液 面高度成正比（油料的相对电容率为 ε r ）． 证 由分析知，导体 A 、 C 构成一组柱形电容器它们的电容分别为

即导体管上所带电荷 Q 与液面高度X 成正比， 油罐與电容器联通． 两液面等高 测出电荷 Q 即可确定油罐的液面高度．

9、平行板电容器的极板面积为 S，极板间距 离为 d 现将厚度为 d / 3 的同样大小嘚金属板沿 与原两板平行的方向插入电容器中。求金属板插入 前后电容器电容的变化

ε S C0 = 0 解：插入前电容器的电容为： d

金属板插入后，设金属板的上下面与原电容器的极板间的距离分别为 x1 和 x2 依题意应 有：

金属板的上下两个面与电容器原极板间形成的两个新电容器的电容分別为：

这两个电容应被金属板所串联，所以总电容为：

则金属板插入前后电容器电容的变化为：

1、为了实时检测纺织品、纸张等

材料的厚喥（待测材料可视作相对电容率为 ε r 的电介质） 通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中 A B 为平板电容器的导体极板， d 0 为两極板间的距离．试说明检测原理并推出直接测量量电容 C 与间接测量量厚度 d 之间 的函数关系．如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又將如何 解 由分析可知，该装置的电容为

则介质的厚度为 d =

如果待测材料是金属导体其等效电容为 C = 导体材料的厚度 d = d 0 ? =

实时地测量 A B 间的电容量 C ，根据上述关系式就可 以间接地测出材料的厚度．通常智能化的仪表可以实时

地显示出待测材料的厚度．

空间存在着平行于 x 轴方向的静电場其电势 j 随 x 的分布如图所示， A 、 一个带电粒子在电场中仅在电场力作用下从 M 点由静止开始沿 x 轴向右运动则下列判断中正确的是

A ． 粒子┅定带正电

B ． 粒子从 M 向 O 运动过程中所受电场力均匀增大

C ． 粒子一定能通过 N 点

D ． 粒子从 M 向 O 运动过程电势能逐渐增加