数学分析第十二章有瑕点的反常積分怎么算自测题解答
数学分析第十二章有瑕点的反常积分怎么算自测题解答 一、判断题( √ )1. 若无穷积分收敛, 则无穷积分也收敛. ( × )2. . ( √ )3. 无穷积汾发散. ( × )4. 设是非负函数的瑕点,且,,则瑕积分 收敛. ( √ )5．在收敛的条件下可能发散. ( × )6. 若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛. 注：2. 当时0是被积函數的瑕点，且瑕积分发散. 4.
当是的瑕点时,判别瑕积分的敛散性要考虑极限. 二、选择题 (每小题2分, 共10分) １.下列结论或运算正确的是（ C ）. A. B. 由于是奇函数,故. C. D. 由于是偶函数,故. 注：无穷积分 ，均发散； 而，. ２.收敛是与都收敛的( A ). A.充要条件 B.必要条件 C.充分条件 D.无关条件 ３.下列广義积分中发散的是( D ). A. B. C. D.
是被积函数的瑕点. 由于 不存在故瑕积分发散,从而瑕积分发散. 3．. 解: 由, 有,,故无穷积分收敛. 注:由于,故不是的瑕点. 补充定义,则被积函数在区间连续. 4. . 解:是被积函数的瑕点, 分别考虑瑕积分与无穷积分, 由 , 有, , 故瑕积分收敛； 由, 有, , 故无穷积分收敛. 综上, 有瑕点的反常积分怎么算收敛. 5. . 解: 是被积函数()的瑕点， 分别考虑瑕积分与无穷积分.
（１）由 , 即有,． 于是当时,瑕积分发散； 当时,瑕积分收敛. （２）由, 有,,于是，无窮积分收敛. 综上, 有瑕点的反常积分怎么算当时收敛 当时发散． 6. . 解: 是被积函数()的瑕点， 分别考虑瑕积分与无穷积分. （１）由 , 即有,． 于是瑕积分当时发散；当时收敛. （２）, 于是，无穷积分当时发散；当时收敛. 综上, 有瑕点的反常积分怎么算发散． 六、证明:有瑕点的反常积分怎么算
（1）当时条件收敛(注:此时0不是被积函数的瑕点)； （2）当时绝对收敛； （3）当时发散. (8分) 证：(1) 当时, 由,知不是被积函数 的瑕点所以为无窮积分． 首先，证明无穷积分收敛．取，有１）在 区间单调减少且；２）即有界．由 狄利克雷判别法，无穷积分收敛从而无穷積分收敛． 其次，证明无穷积分发散．已知有，从而 ．
无穷积分收敛但无穷积分发散，故无穷积分发 散从而无穷积分发散． 于是，当时无穷积分条件收敛． （２）（３） 当时, 由,知是被积 函数的瑕点,所以要分别考虑无穷积分与瑕积分. 由于, 巳知无穷积分收敛(),故当时,无穷积分绝对收敛. 在区间，被积函数且有, 故当,即时,瑕积分绝对收敛；当,即时,瑕积分发散． 于是，有瑕点的反常積分怎么算当时绝对收敛当时发散. 3
