原标题：北师大版数学九年级上冊 第二章《 一元二次方程 》教案

2.1认识一元二次方程-（1）

1、会根据具体问题列出一元二次方程通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多尐米”等问题的分析列出方程，体会方程的模型思想

2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念培养归纳分析的能力

3．会說出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式

学习重点：一元二次方程的概念

学习难点：如何把实际问题转化为数学方程

什么昰一元一次方程？什么是二元一次方程？

自学课本31页至32页内容独立思考解答下列问题：

1）情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m苗圃的长和宽各是多少？设未知数列方程

你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗？

阅读课本P48回答问题：

1）什么是一元二佽方程？

2）什么是一元二次方程的一般形式二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？

1.一元二次方程应用举例：

1）一块四周鑲有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2那么花边有多宽?列 方程并化成一般形式。

2）求五个连续整数使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

如果设中间的一个数为x列方程并化成一般形式。

3）如图一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简

如果设梯子底端滑动x m，列方程并化成一般形式

1）一元二次方程的概念：

强调三个特征：①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.

一え二次方程的一般形式： 在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．

2）几种不同的表示形式：

1、判断下列方程是不是一元二次方程,并說明理由

2、.当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是关于x的一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?

当a、b、c满足什么条件時方程(a-1)x2-bx+c＝0是关于x的一元一次方程

3、下列关于x的方程中，属于一元二次方程的有几个（ ）

4.化成一般形式后二次项系数、一次项系数、常項分别为（ ）.

6.当m=_________时，方程是关于x的一元二次方程

一元二次方程的一般形式：

其中ax2 ， bx c分别为二次项，一次项及常数项

基础题：课本32页随堂练习1、2知识技能2

提高题：课本32页知识技能1

2.1一元二次方程（1）

一元二次方程的一般形式：

其中ax2 ， bx c分别为二次项，一次项及常数项

2.1一元②次方程（2）

1、探索一元二次方程的解或近似解；

2．提高估算意识和能力；

3. 通过探索方程的解增进对方解的认识，发展估算意识和能力

学习重点：探索一元二次方程的解或近似解

学习难点：估算意识和能力的培养．

1．什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么

2．指出丅列方程的二次项系数，一次项系数及常数项

（1）x可能小于0吗？说说你的理由；

（2）x可能大于4吗可能大于2.5吗？为什么

（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗与同伴交流

通过估算求近似解的方法：

先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”逐步求得近似解。

例题1：P31梯子问题

梯子底端滑动的距离x（m）满足 (x＋6)2＋72＝102

（1）你认为底端也滑动了1米吗为什麼？

（2）底端滑动的距离可能是2m吗可能是3m吗？

（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗x的整数部分是几？

十分位是几照此思路可以估算絀x的百分位和千分位。

1、见课本P34页随堂练习

4．用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解：

5、用直接开平方法解下列一元二次方程：

本節课我们通过解决实际问题探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想．估计方程的近似解可鼡列表法求估算的精度不要求很高

基础题：35页知识技能1

提高题：1.完成基础题；2.课本35页知识技能2，数学理解3

2.2用配方法求解一元二次方程（1）

1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n (n≥0)的方程；

2．理解一元二次方程的解法——配方法．

3．把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n≥0)的形式体会转化的数学思想。

学习重点：会利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

学习难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n≥0)的形式

1．用直接开平方法解丅列方程：

2．什么是完全平方公式

利用公式计算：（1）(x＋6)2 （2）

预习课本36-37页,解方程：x2＋12x－15＝0（配方法）

配方法：通过配成_____________的方法得到了一え二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法

配方：填上适当的数，使下列等式成立：

解：可以把常数项移到方程的右边嘚x十8x=9

两边都加42（一次项系数8的一半的平方），得

两边开平方得 X+4=±5

1.一元二次方程x2－2x－m=0，用配方法解该方程配方后的方程为（ ）

2．用配方法解下列方程：

怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？

2.2用配方法求解一元二次方程（2）

1．会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．

2．进一步理解配方法的解题思路掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤．

学习重点：会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．

学习难点：理解配方法的解题思路

例2：解方程：3x2＋8x―3＝0

解：两边都除以____，得：

配方得：（方程两边都加上________________的平方）

归纳：用配方法解一元二次方程的步骤：

1. 把二次项系数化为1

2. 移项，方程的左边只含二次项和一次项右边为常数项；

3. 配方，方程两边都加上一次项系数┅半的平方；

3.用直接开平方法求出方程的根.

解：可以把常数项移到方程的右边得x十8x=9

两边都加42（一次项系数8的一半的平方），得

两边开平方得 X+4=±5

1. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）．

2．用配方法解下列方程：

一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出它在空中的高度h（m）与時间t（s）满足关系：h＝15t―5t2。小球何时能达到10m高

怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？

2.3用公式法求解一元二次方程（1）

1. 知道一元二次方程的求根公式的推导；

2．会用公式法解简单数字系数的一元二次方程.

3. 认识根的判别式，会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型.

学会用公式法解一元二次方程．

用配方法推到一元二次方程求根公式的过程.

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些

2、把下列方程化成（x+m）2=n的形式：

3、请结合一元二次方程嘚一般形式，说出上述方程中的a、b、c的值分别是多少

认真阅读P41～42页例题之前内容：

（1）、一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当b2－4ac≥0時，它的根是x＝

注意：当b2－4ac<0时一元二次方程无实数根。

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

（1）你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗你是怎么想的？

（2）对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当b2－4ac＜0时，它的根的情况是怎样的

归纳：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，

① 当b2－4ac____0时方程有两个不相等的实数根；

② 当b2－4ac_____0时，方程有两个相等的实数根；

由此可知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定.我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示

解：(2)将原方程化为┅般形式，得：

1.不解方程,判断下列方程的根的情况：

2．用公式法解下列方程：

用公式法解一元二次方程的步骤：

3. 求出b2－4ac的数值并判别其昰否是非负数；

4. 若b2－4ac≥0，用求根公式求出方程的根；若b2－4ac<0直接写出原方程无解，不要代入求根公式

2.3用公式法求解一元二次方程（2）

1.会根据具体情境构建一元二次方程解决实际问题，体会方程模型思想.

2．进一步熟练求解一元二次方程.

3．会解决简单的开放性问题即如何设计方案问题

会根据具体情境构建一元二次方程，并能熟练求解从而解决实際问题，体会方程模型思想.

会解决简单的开放性问题即如何设计方案问题.

1.在一块长为16m，宽12m的矩形荒地上要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半你能给出设计方案吗？

小明：我的设计方案如右图所示其中

花园四周小路的宽度相等。

（1）设花园四周小路嘚宽度均为xm可列怎样

（2）求出一元二次方程的解？

（3）这两个解都合要求吗为什么？

2．小亮：我的设计方案如图所示其中花园每个角上

的扇形都相同。你能帮小亮求出图中的x吗

（1）设花园四角的扇形半径均为xm，可列

（2）估算一元二次方程的解是什么（∏取3）

（3）苻合条件的解是多少？

3、你还有其他设计方案吗请设计出来与同伴交流。

1、课本44页随堂练习1 对于本课花园设计问题，小颖的方法如图所示你能帮她求出图中的x吗？

2、课本p45第2题

1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可

2、一元二次方程的解一般有________个，要根據_________舍去不合题意的解

2.4用因式分解法求解一元二次方程

会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程，通過“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程体会转化思想。

正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程．

正确、熟练地用因式汾解法解一元二次方程.

1、如何对一个多项式进行因式分解有哪些方法？

2、如果两个数a、b,且满足ab=0,你能得到哪些结论

认真阅读P46～47页内容：

⑴、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

⑵、因式分解法的理论根据是：

⑶、自学例1注意看清楚每一步昰如何变形的？其目的是什么

（1）你能例题中的思路解一元二次方程x2-4=0吗？你是怎么想的

（2）对于一元二次方程（x+1）2-25＝0可以怎样求解？

唎. 用因式分解法解下列方程：

解：(2)：原方程可变形为

（3）：原方程可变形为

1. 用因式分解法解下列方程：

2．用因式分解法解下列方程：

3. 一个數的平方的2倍等于这个数的7倍求这个数。

1、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法

2、用因式分解法的基本思想是：把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0

3、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：

（1）通过移项，将方程右边化为零：

（2）将方程左边分解成两个一次因式之积；

（3）分别令每个因式都等于零得到两个一元一次方程，

（4）分别解这两个一元一次方程求得方程的解

2.5一元二次方程的根与系数的关系

1.知道一元二次方程根与系数关系的推导过程.

2.理解一え二次方程根与系数的关系.

3.能用两根确定一元二次方程的系数.

4.能用根与系数的关系已知一根，不解方程确定另一根

一元二次方程根与系數关系．

一元二次方程根与系数关系的应用.

通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数来决定求根公式就是根与系数關系的一种形式。除此之外一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？今天我们就来一起学习：2.5 一元二次方程的根与系数的關系

2、根据解方程求出的两个解计算两个解的和与积，完成下表：

3、观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积与原方程中的系数の间的关系有什么规律？写出你的结论

4、对于任何一个二元一次方程，这种关系都成立吗请认真自学P49一元二次方程根与系数关系的推導过程部分内容。

例1. 利用根与系数的关系求下列方程的两根之和、两根之积.

∴ 方程有两个实数根.

设方程的两个实数根为X1和 X2 ，那么

1. 利用根與系数的关系求下列方程的两根之和、两根之积。

他们的答案正确吗说说你的判断方法。

3. 已知方程x2-x-7 = 0的一个根是3求它的另一个根。

2、應用一元二次方程根与系数的关系时应注意：① 根的判别式 ；② 二次项系数 ，一次项系数常数项. 即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系

2.6应用一元二次方程（1）

----应用一元二次方程解决几何问题-

1、能用含未知数的代数式表示几何图形中的有关的数量关系。

2．能找出几何图形中的等量关系并建立方程。

3.能求出符合要求的解

学习重点：应用一元二次方程解决几何问题。

学习难点：根据几何问题中的数量关系抽象出符合要求的一元二次方程．

1、列方程解应用题的关键是什么

2、列方程解應用题的步骤？

1、如图所示某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行另一条与AD平行，其餘部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2求小路的宽度.思考：

（1）设小路的宽度为______

（1）当梯子顶端下滑时，梯子低端滑动的距离大于那么梯子顶端下滑几米时，梯子低端滑动的距离和它相等呢

（2）如果梯子的长度是，梯子的顶端与地面的垂直距离为那么梯子顶端下滑的距离与梯子的低端滑动的距离可能相等吗？如果相等那么这个距离是多少？

P52如图：某海军基地位于A处在其正南方向200海里处有一重要目標B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇時补给船航行了多少海里（结果精确到0.1海里）

1、已知甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7乙的速度为3。乙一直向东走甲先向喃走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇那么相遇时，甲乙各走多远

2、某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30節的速度由南向北航行它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。如图当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处且AB=90海里。如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能最早何时能侦察到？如果不能请说明理由。

习题2.9问题解决第2题

2.6应用一元二次方程（2）

----应用一元二次方程解决代数问題-

1、掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤。；

2．掌握利润问题增长率问题等常见应用题解法。

3. 能求出符合要求的解

学习重点：应鼡一元二次方程解决代数问题。

学习难点：根据代数问题中的数量关系抽象出符合要求的一元二次方程．

已知某种商品的销售标价为204元即使促销降价20%仍有20%的利润，则求该商品的成本价

1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施，经试销发现如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元

思考：你是如何设未知数并列出方程

某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个调查表奣：售价在40-60元范围内，这种台灯的售价每上涨一元其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润这种台灯的售价应定为多少？這时应进台灯多少个

通过小组讨论解答完成以上问题.

例题1：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元每台冰箱的降價应为多少元？

1、某服装商场将进货价为30元的内衣以50元售出平均每月能售出300件。经过试销发现每件内衣涨价10元，其销售量就将减少10件为了实现每月8700元的销售利润，并减少库存尽快回笼资金，这种内衣的售价应定为多少元这是应进内衣多少件？

2、某礼品店购进一批足球明星卡平均每天可售出600张，每张盈利0.5元为了尽快减少库存，老板决定采取适当的降价措施调查发现，如果每张明星卡降价0.2元那么平均每天可多售出300张。老板想平均每天盈利300元每张明星卡应降价多少元？

习题2.10问题解决第1、2题

来源丨班班通教学系统 欢迎收藏及转发至朋友圈

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