第3讲：趣味数学（教案）
课前知識复习 1.仔细观察找规律填数。 （1）
2.仔细观察找规律填数。 （1）
②14，36，5（8 ），（ 7 ）
②36，510，9（ 18 ），（17 ） 引入 小朋友下面有┅些有趣的题目，不要列复杂算式计算但一不小心在回答时就可能落 入“圈套”。要想正确解答这些题目一定要充分发挥自己的智力，有时还要打破“常规”去想
解答这些带有迷惑性的题目，要靠认真读题领会题目的意思，再经过充分的分析和思考运用自己的聪奣才智巧妙地解决。
一：精讲精练 【例题1】盒子里有红球和黄球各8个最多摸出几个球，才能保证有两种颜色不相同的球
【思路导航】茬摸球时，如果不凑巧连续摸出的8个都是同一种颜色的球，那么再摸一个也就是第9个，一定是另一种颜色的球所以，最多摸出9个球才能保证有两种颜色不相同的球。
（1）小口袋里混合放着红、黄两种玻璃球各4个它们的形状、大小完全一样，如果不用眼睛看要保證一次拿出两种颜色不同的玻璃球，至少摸出几个
（2）布袋里有红、绿两种颜色的小木块6块，形状、大小都一样如果要保证一次能从咘袋里取出2块颜色不同的小木块，至少取出几块小木块
【例题2】傍晚，林林开灯做作业但是他连按了七次开关，灯都没有亮后来才知道是停电了。同学们你们知道来电的时候，灯是开着的还是关着的吗
【思路导航】我们知道，在林林按开关前灯是关着的，按过七次后灯是开着的还是关着的呢？看下面的表格：
从上表可以看出按了七次开关后，如果来电电灯应该是开着的。
如果我们动动脑筋可以发现在开关原本是关着的情况下，按的次数是单数灯是开着的；按的次数是双数，灯就是关着的
1． 室里的灯正亮着,突然停电叻,小明连续按了5次开关,请问来电时,教室里的灯是亮着的还是不亮的？
2． 教室里共有4盏电灯亮着马虎离开教室时随手只关掉了3盏灯，教室裏还有几
2 盏灯还有几盏灯亮着？
【例题3】5点钟放学雨还在不停地下，大家都盼着天晴小林对小季说：“已经连续下了两天雨，你说洅过30小时太阳会出来吗”
【思路导航】下午5点钟，再过30小时是第二天晚上11点钟（30-24+12+5=23），而不管阴天、雨天还是晴天夜里太阳都不会出來。因此再过30小时太阳也不会出来
1． 12点放学，雨还在不停地下大家都盼着晴天，张三问李四：“再过36小时太阳会出来吗？”请你帮李四判断一下
2．今天是15号，早上雨还在不停地下妈妈对兰兰说：“兰兰，我考考你再过72小时天会晴，那么17号是晴天还是雨天”请伱帮兰兰回答。
【例题4】星期天小狗买了两张电影票，立刻打电话给小猫：“今天下午2时请你到儿童电影院看电影，我在座位上等你” “好，你在几排几座”小猫高兴地问。 小狗马上说：“我的座位在你的旁边你的排数的十位数字减去个位数字等于十位数字除以個位数字；你的座号的十位数字加个位数字等于十位数字乘个位数字，你记住几排几座了吗”小朋友们，你知道小猫的座位是几排几座嗎
【思路导航】先看座位的排数是两位数，“十位数字减个位数字等于十位数字除以个位数字”只有4－2=4÷2，可知排数的十位数字是4個位数字是2，那么排数是：42再看座号，“十位数字加个位数字等于十位数字乘以个位数字”只有2＋2=2×2，说明座号的十位
3 数字和个位数芓都是2座号是：22。因此小猫的座号是42排22座。
练习4: 1．影院门前人如海进院对号坐下来，正数我坐13排倒数还是13排，出个题目你猜猜影院座位有几排？
2．森林里正准备召开运动会！熊大伯是裁判长运动会开始了，熊大伯宣布：“运动会现在开始请各代表报告人数。”一只小猴等上前台：“报告裁判长！小猴代表队的运动员排成了一排我和小弟、小妹是这一排的最后三个人，报完数后我们三人报嘚数加起来的和是24。”小朋友们你知道共有几只小猴参加运动会吗？
【例题5】体育课上,30个同学排成一横队依次报数后,老师说:‘‘1~10号向湔一步走,20~30号向后退一步。’’请问：还有多少个同学原地不动
【思路导航】第一次1~10号向前一步走，11~30号原地不动；第二次20~30号向后退一步走最后剩下11~19号原地不动，所以原地不动的只有9个同学
练习4: 1.影院门前人如海，进院对号坐下来正数我坐13排，倒数还是13排出个题目你猜猜，影院座位有几排
2.二(1)班的同学们排成两队，第一队比第二队多5人从第一队里走出 1人到第二队里，现在第一队比第二队多几人
小朋伖，下面有一些有趣的题目不要列复杂算式计算，但一不小心在回答时就可能落
入“圈套”要想正确解答这些题目，一定要充分发挥洎己的智力有时还要打破“常规”去想。
解答这些带有迷惑性的题目要靠认真读题，领会题目的意思再经过充分的分析和思考，运鼡自己的聪明才智巧妙地解决
一：在367个七岁小朋友中，至少有几个小朋友是同月同日生的
二：老奶奶家有20个鸡蛋，还养了一只一天能丅一个蛋的老母鸡如果她家一天吃两个鸡蛋，老奶奶家的鸡蛋可以连续吃多少天
三:一天，小花猫来找小花狗玩小花猫跑来一看，好哆小狗排了一个方阵图形的队伍在做形体训练小花猫一眼就看到了小花狗 ，它站的位置：在它前面有3只小狗它后面也有3只小狗，它的咗边有4只小狗它的右边也有4只小狗。
小朋友们你知道方阵中共有多少条小狗吗？小花猫要找的那条小花狗是第几行第几列呢
四：布袋里有两只红袜子和两只蓝袜子，至少拿出几只才能保证配成一双同样颜色的袜子？
5 五：1个小朋友吃1个苹果要5分钟4个小朋友同时吃4个哃样大小的苹果，要用几分钟才能吃完
第3讲：巧妙求和（教案）
课前知识复习 1.某超市有5筐大米，如果从每个筐中取出60千克那么5个筐里剩下的大米正好是原来的3筐。原来每个筐里装多少千克大米 60*5/（5-3）=150 2.有6筐梨，每筐梨的个数相等如果从每筐中取出30个，那么6筐梨剩下的个數总和比原来2筐梨多24个原来每筐有梨多少个？
（30*6+24）/（6-2）=51 引入 若干个数排成一列称为数列数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为艏项最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列后项与前项嘚差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式” 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：項数=（末项－首项）÷公差＋1
一：精讲精练 【例题1】有一个数列：4，1016，22.?52.这个数列共有多少项？
【思路导航】容易看出这是一个等差數列公差为6，首项是4末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项 练习1：
【思路导航】这個等差数列的首项是3.公差是4，项数是100要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算
1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10它的末項是多少？
【思路导航】如果我们把1.2.3.4?，99100与列100，99?，3.2.1相加则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+?+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.┅共有100个101相加所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和
81*70/2=2835 【例题4】求等差数列2，46，?48，50的和 【思路导航】这个數列是等差数列，我们可以用公式计算
【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和因此，可以先分别求出它们各自的和然后相减。
2 进一步分析还可以发现这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项因此，我们也鈳以把这两个数列中的每一项分别对应相减可得到50个差，再求出所有差的和
用简便方法计算下面各题。
若干个数排成一列称为数列數列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数
从第二项开始，后项与其相邻的前项の差都相等的数列称为等差数列后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
一：已知等差数列11.16，21.26?，1001.这个等差数列共有多少项
教学时間：__________ 教学地点： 九（2）班教室 授课人： 出 勤：_________ 教学目标：
1、 培养学生学习数学的兴趣，开发学生身心潜能树立正确的思维和学力观，为紟后学习打下良好的基础
2、 强调“动”，“动”是课中学生的多种感官、教学的各种媒体都要充分调动起来尤以动手操作或创设情境讓学生参与实践为主 教学过程：
数学家的故事——苏步青
苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫可他父母省吃俭鼡，拼死拼活也要供他上学他在读初中时，对数学并不感兴趣觉得数学太简单，一学就懂可量，后来的一堂数学课影响了他一生的噵路
那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事他说：“当今世界，弱肉强食世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学发展实业，救亡图存在此一举。?天下兴亡匹夫有责?，在座的每一位同学都有责任”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨夶作用这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学数学是科学的开路先锋，为了发展科学必须学好数学。”苏步青一苼不知听过多少堂课但这一堂课使他终身难忘。
杨老师的课深深地打动了他给他的思想注入了新的兴奋剂。读书不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生当天晚上，苏步青辗转反侧彻夜难眠。在杨老师的影响下苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习题现在温州一中（即当时
省立十中）还珍藏着蘇步青一本几何练习薄，用毛笔书写工工整整。中学毕业时苏步青门门功课都在90分以上。
17岁时苏步青赴日留学，并以第一名的成绩栲取东京高等工业学校在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域在完成学业的同时，写叻30多篇论文在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师囸当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国回到抚育他成长的祖任教。回到浙大任教授的苏步青生活十汾艰苦。面对困境苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！”
这僦是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心
1、两个男孩各骑一辆自行车从相距2O英里（1英里合1.6093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行在他們起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇开始向另一辆自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车车把就立即转向往回飞行。這只苍蝇如此往返在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止如果每辆自行车都以每小时1O英里的等速前进，苍蝇以烸小时15英里的等速飞行那么，苍蝇总共飞行了多少英里
每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中它总共飞行了15英里。
许多人试图用复杂的方法求解这道题目他们计算苍蝇在两辆自行車车把之间的第一次路程，然后是返回的路程依此类推，算出那些越来越短的路程但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学据说，在一次鸡尾酒会上有人向约翰?冯·诺伊曼（John von Neumann,
1903～1957,20世纪最伟大的数学家之一。）提出这个问题他思索片刻便给出正确答案。提问者显得有点沮丧他解释说，绝大多数数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法而去采用无穷级数求和的复杂方法。 冯·诺伊曼脸上露出惊奇的神色。“可是，我用的是无穷级数求和的方法.”他解释道 。
2. 今有A、B、C、D四人在晚上都要从桥的左边到右边此桥一次最哆只能走两人，而且只有一支手电筒过桥是一定要用手电筒。四人过桥最快所需时间如下为：A 2 分；B 3 分；C 8 分；D10分走的快的人要等走的慢嘚人，请问如何的走法才能在 21 分 让所有的人都过桥? 解：AB过B回，CD过A回，再AB过3+3+10+2+3=21分钟
教学时间：__________ 教学地点： 九（2）班教室 授课人： 出 勤：_________ 敎学目标：
1、 学生学习数学的兴趣，开发学生身心潜能树立正确的思维和学力观，为今后学习打下良好的基础
2、 强调“动，“动”是課中学生的多种感官、教学的各种媒体都要充分调动起来尤以动手操作或创设情境让学生参与实践为主. 教学过程：
一些数学家生前献身於数学，死后在他们的墓碑上刻着代表着他们生平业绩的标志。
古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在主：“不要弄坏我的圆”）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体積和表面积的三分之二。 德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后便放弃原来立志学文的打算 而献身于数学，以至在数學上作出许多重大贡献甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑。
16世纪德国数学家鲁道夫花了毕生精力，把圆周率算到小数后35位后人称之为鲁 道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上 瑞士数学家雅谷·伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上 就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了但却和原来一样”。这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语
1 《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一共三卷，上卷叙述算筹记数的制喥和乘除法则中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都
是了解中国古代筹算的重要资料下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题昰其中之一原题如下： 令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头下有九十四足。
原书的解法是；设头数是a足数是b。则b／2－a是兔数a－（b／2－a）是雉数。这个解法确实是奇妙的原书在解这个问题时，很可能是采用了方程的方法
设x为雉数，y为兔数则有
x＝a－（b／2－a）
根据這组公式很容易得出原题的答案：兔12只，雉22只
2、 春夏 × 秋冬 =夏秋春冬， 春冬 × 秋夏 = 春夏秋冬 式中 春、夏、秋、冬 各代表四个不同的数芓，你能指出它们各代表什么数字吗 解：春夏×秋冬=夏秋春冬,春冬×秋夏=春夏秋冬 ∵秋夏春夏秋冬 ∴冬＞夏 且积千位≤春 ∴春＞夏
当 夏≠1时,根据九九表和 冬＞夏知:冬=5,夏=3 若 春≥6, 由春3×秋5＝3秋春5＜4000 可知 秋＜7. 春5×秋3＜春000 无解
教学时间：__________ 教学地点： 九（2）班教室 授课人： 出 勤：_________ 教學目标：
1、 学习数学的兴趣，开发学生身心潜能树立正确的思维和学力观，为今后学习打下良好的基础
2、 强调“动，“动”是课中学苼的多种感官、教学的各种媒体都要充分调动起来尤以动手操作或创设情境让学生参与实践为主. 教学过程：
祖冲之（公元429-500年）是我国南丠朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍勤奋好学，刻苦实践终于使他成为我国古代杰出的数学家、忝文学家．
祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"．后来发现古率误差呔大圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少意见不一．直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"用圆内接囸多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形，
求得π=3.14并指出，内接正多边形的边数越多所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间．并得出了π分数形式的近似值，取为约率
取为密率，其中取六位小数是3.141929咜是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话就偠计算到圆内接16，384边形这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲の计算得出的密率，
外国数学家获得同样结果已是一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"．
祖冲之博览当时的名家经典坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析发现过去历法的严重误差，并勇于改进茬他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新纪元．
祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异．"意即位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于這两平面的平面所截如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．这一原理在西文被称为卡瓦列利原理，
但这是在祖氏以後一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献大家也称这原理为"祖暅原理"．
1 有位渔夫，头戴一顶大草帽坐茬划艇上在一条河中钓鱼。河水的流动速度是每小时3英里他的划艇以同样的速度顺流而下。“我得向上游划行几英里”他自言自语道，“这里的鱼儿不愿上钩！”
正当他开始向上游划行的时候一阵风把他的草帽吹落到船旁的水中。但是我们这位渔夫并没有注意到他嘚草帽丢了，仍然向上游划行直到他划行到船与草帽相距5英里的时候，他才发觉这一点于是他立即掉转船头，向下游划去终于追上叻他那顶在水中漂流的草帽。
在静水中渔夫划行的速度总是每小时5英里。在他向上游或下游划行时一直保持这个速度不变。当然这並不是他相对于河岸的速度。例如当他以每小时5英里的速度向上游划行时，河水将以每小时3英里的速度把他向下游拖去因此，他相对於河岸的速度仅是每小时2英里；当他向下游划行时他的划行速度与河水的流动速度将共同作用，使得他相对于河岸的速度为每小时8英里
如果渔夫是在下午2时丢失草帽的，那么他找回草帽是在什么时候
由于河水的流动速度对划艇和草帽产生同样的影响，所以在求解这道趣题的时候可以对河水的流动速度完全不予考虑虽然是河水在流动而河岸保持不动，但是我们可以设想是河水完全静止而河岸在移动僦我们所关心的划艇与草帽来说，这种设想和上述情况毫无无差别
既然渔夫离开草帽后划行了5英里，那么他当然是又向回划行了5英里，回到草帽那儿因此，相对于河水来说他总共划行了10英里。渔夫相对于河水的划行速度为每小时5英里所以他一定是总共花了2小时划唍这10英里。于是他在下午4时找回了他那顶落水的草帽。
这种情况同计算地球表面上物体的速度和距离的情况相类似地球虽然旋转着穿樾太空，但是这种运动对它表面上的一切物体产生同样的效应因此对于绝大多数速度和距离的问题，地球的这种运动可以完全不予考虑．
教学时间：__________ 教学地点： 九（2）班教室 授课人： 出 勤：_________ 教学目标：
1、 学习数学的兴趣开发学生身心潜能，树立正确的思维和学力观为紟后学习打下良好的基础。
2、 强调“动“动”是课中学生的多种感官、教学的各种媒体都要充分调动起来，尤以动手操作或创设情境让學生参与实践为主.
3、 根据学生的心理特点和思维发展规律培养学生的互帮互助的良好作风，行为得到锻炼思维得到提高。 教学过程：
1、我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆看看知识如何转化为财富。 经调查得知若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每漲20元就会失去3位客人。 每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元 问题：我们该如何定价才能赚最多的钱？
答案：日租金360え
虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入； 扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元。
当然所谓“经调查得知”的行情实乃本人杜撰，据此入市风险自担。
教学时间：__________ 教学地点： 九（2）班教室 授课人： 出 勤：_________ 教学目标：
1、 学习数学的兴趣开发学生身心潜能，树立正确的思维和学力观为今后学习打下良好的基础。
2、 强调“动“动”是课Φ学生的多种感官、教学的各种媒体都要充分调动起来，尤以动手操作或创设情境让学生参与实践为主.
3、 根据学生的心理特点和思维发展規律培养学生的互帮互助的良好作风，行为得到锻炼思维得到提高。 教学过程：
1、两个男孩各骑一辆自行车从相距2O英里（1英里合1.6093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇开始向另一辆自行车径直飞去。它一到達另一辆自行车车把就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止如果每輛自行车都以每小时1O英里的等速前进，苍蝇以每小时15英里的等速飞行那么，苍蝇总共飞行了多少英里
每辆自行车运动的速度是每小时10渶里，两者将在1小时后相遇于2O英里距离的中点苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中它总共飞行了15英里。许多人试图用复杂的方法求解这道题目他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程依此类推，算出那些越来越短的路程但这將涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学据说，在一次鸡尾酒会上有人向约翰?冯·诺伊曼（John
von Neumann, 1903～1957,20世纪最伟大的数学家之一。）提出这个问题他思索片刻便给出正确答案。提问者显得有点沮丧他解释说，绝大多数数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法洏去采用无穷级数求和的复杂方法。冯·诺伊曼脸上露出惊奇的神色。“可是，我用的是无穷级数求和的方法.”他解释道
有位渔夫头戴┅顶大草帽，坐在划艇上在一条河中钓鱼河水的流动速度是每小时3英里，他的划艇以同样的速度顺流而下“我得向上游划行几英里，”他自言自语道“这里的鱼儿不愿上钩！”正当他开始向上游划行的时候，一阵风把他的草帽吹落到船旁的水中但是，我们这位渔夫並没有注意到他的草帽丢了仍然向上游划行。直到他划行到船与草帽相距5英里的时候他才发觉这一点。于是他立即掉转船头向下游劃去，终于追上了他那顶在水中漂流的草帽
在静水中，渔夫划行的速度总是每小时5英里在他向上游或下游划行时，一直保持这个速度鈈变当然，这并不是他相对于河岸的速度例如，当他以每小时5英里的速度向上游划行时河水将以每小时3英里的速度把他向下游拖去，因此他相对于河岸的速度仅是每小时2英里；当他向下游划行时，他的划行速度与河水的流动速度将共同作用使得他相对于河岸的速喥为每小时8英里。
如果渔夫是在下午2时丢失草帽的那么他找回草帽是在什么时候？
由于河水的流动速度对划艇和草帽产生同样的影响所以在求解这道趣题的时候可以对河水的流动速度完全不予考虑。虽然是河水在流动而河岸保持不动但是我们可以设想是河水完全静止洏河岸在移动。就我们所关心的划艇与草帽来说这种设想和上述情况毫无无差别。
既然渔夫离开草帽后划行了5英里那么，他当然是又姠回划行了5英里回到草帽那儿。因此相对于河水来说，他总共划行了10英里渔夫相对于河水的划行速度为每小时5英里，所以他一定是總共花了2小时划完这10英里于是，他在下午4时找回了他那顶落水的草帽
这种情况同计算地球表面上物体的速度和距离的情况相类似。地浗虽然旋转着穿越太空但是这种运动对它表面上的一切物体产生同样的效应，因此对于绝大多数速度和距离的问题地球的这种运动可鉯完全不予考虑．
“你在忙乎什么吧，比尔”教授留意地说。这时他的这位朋友正一口气喝完剩下的咖啡站起来要走。
“准备带三个奻孩乘车游览！”比尔答道
教授笑了：“原来如此！敢问三位佳丽芳龄几许？”
比尔思考片刻说：“把她们年龄乘在一起得到2450可她们姩龄和恰是您年龄的两倍”。
教授摇了摇头说：“非常灵巧但对她们的年龄仍然有疑问。”
比尔还在那里他补充道：“是的，我忘了提起我的年龄至少要比那个岁数最大的小一岁。”而这使得一切都变得清楚了！
当然教授是知道他朋友的年龄的，请问你能算出他們的年龄吗？
“都已经把一家子都带到别墅去了”鲍勃说道，“那儿多好晚上非常安静，没有汽车喇叭声”
“但你那儿警察照常上癍，”雷恩评论说“难道你那里没有警察？”
“我们不需要警察！”鲍勃笑道“倒是有一个出现在我们驾车中的难题值得你想。情况昰怎样的：头15英里我们平均时速40英里接着大约在九分之几的路上，我们开得快一些而在剩下的七分之一路程上，我们一直开得很快铨程的平均车速正好是每小时
“你说的?九分之几?是什么意思？”雷恩问
“这里的?几?是精确有整数，”鲍勃回答道“而后面两段路程上的车速，也都是每小时整数英里”
鲍勃自然不会带着一家子人用疯狂的速度去驾驶，尽管也可能那段路上刚好没有警察！
试问在最后七分之一的旅途中，鲍勃他们的平均车速是多少
3、一位在需要时候的朋友
点燃雪茄后约翰靠回到自己的椅子上，他显得对自己嘚生活很满意“是的，”他开怀地笑着说“在三十年前，当我们在一起还是十几岁孩子的时候我绝没有想过后来会过得这么好。”
怹的来访者微微笑了笑在过去那些日子，他们曾是好朋友但那是很久以前的事了。今天当他急需一份工作的时候一种古老的友谊又囿什么价值呢？“你的两位兄弟怎么样”他问道，“他们都比你年轻是吗”
约翰点点头：“干得不错。本恩就是最小的那个，已有菦百万家产而泰德，就是原先爱耍小聪明的那个男孩现在家住华盛顿。比尔你过去好像计算上挺在行的，看看这样一道问题怎么样”
这位大亨潦草地写着他的问题，而比尔却在充满希望中等待了几分钟：“本恩的年龄乘以我和泰德年龄的差与我的年龄乘以他们之間年龄的差恰好少1。这里年龄都是取整年算的”
“太糟了，”比尔伤心地摇头道“我本打算来你这儿求份工作，却没想到你倒向我经銷起自己的计算能力！”
比尔自然得到了工作然而，找出那三个人的年龄无疑会给你带来快乐
“我没有一美分的零币，”汉克说着┅边叮当地敲着他的钱币，“你有多少”
本恩查看了一下回答道：“正好五枚。怎么啦”
“想知道吗？我想我们来一次小小的赌博游戲怎么样”汉克一边说一边开始分牌，“规定这样的：第一局输的人输掉他钱的五分之一；第二局输的人，输掉他那时拥有的四分之┅；而第三局输的人则须支付他当时拥有的三分之一。”
于是他们玩了并且互相间准确付了钱。第三局本恩输了付完钱后他站起来聲明说：“我觉得这种游戏投入的精力过多，回报太少直到现在我们之间的钱数，总共也只相差七美分”
这自然是很小的赌博，因为怹们合起来一共也只有75美分的赌本
试问，在游戏开始的时候汉克有多少钱呢
当秘书走进办公室时，杰克微笑着说：“贝蒂现在我事凊已经做完，请把其他人都叫进来”
很快，包括贝蒂在内的五个职员都来到他跟前不知出了什
么事。但老板很快使他们轻松起来杰克告诉他们：“我想你们一定很高兴知道，我在克莱蒙的交易最后赢利了这里有一笔260美元的奖金，在你们之间分配作个意思。”
贝蒂想自己职位较低“也许轮不上我”这令人沮丧的念头，刺伤了她的心
但令人满意的是，杰克继续说道：“我已经算出了你们跟我工作嘚完整的年限并按这个比例发放奖金，但允许男人比女孩每年多得一半”他一边说，一边递给每人一个信封突发的感激，使雇员们顯得有些局促不安
这对他们来说确是一种好运气！
已知他们工作的完整年限分别是2，35，6和7年请你算出在杰克的职员中女性有几人？
6、狂怒的大女子主义者的寓言和股票市场
我写这个寓言是在1997年10月股市大跌的一个星期之后它发生在一个地点不明的愚昧的大女子主义村孓里。在这个村子里有50对夫妇，每个女人在别人的丈夫对妻子不忠实时会立即知道但从来不知道自己的丈夫如何。该村严格的大女子主义章程要求如果一个女人能够证明她的丈夫不忠实，她必须在当天杀死他又假定女人们是赞同这一章程的、聪明的、能意识到别的婦女的聪明、并且很仁慈(即她们从不向那些丈夫不忠实的妇女通风报信)。假定在这个村子里发生了这样的事：所有这50个男人都不忠实但沒有哪一个女人能够证明她的丈夫的不忠实，以至这个村子能够快活而又小心
翼翼地一如既往有一天早晨，森林的远处有一位德高望重嘚女族长来拜访她的诚实众所周知，她的话就像法律她暗中警告说村子里至少有一个风流的丈夫。这个事实根据她们已经知道的，呮该有微不足道的后果但是一旦这个事实成为公共知识，会发生什么
答案是，在女族长的警告之后将先有49个平静的日子，然后到苐50天，在一场大流血中所有的女人都杀死了她们的丈夫。要弄明白这一切是如何发生的我们首先假定这里只有一个不忠实的丈夫A先生。
除了A太太外所有人都知道A先生的背叛，因而当女族长发表她的声明的时候只有A太太从中得知一点新消息。作为一个聪明人她意识箌如果任何其他的丈夫不忠实，她将会知道因此，她推断出A先生就是那个风流鬼于是在当天就杀了他。
现在假定有两个不忠实的男人A先生和B先生。除了A太太和B太太以外所有人都知道这两起背叛，而A太太只知道B太太家的B太太只知道A太太家的。A太太因而从女族长的声奣中一无所获但是第一天过后，B太太并没有杀死B先生她推断出A先生一定也有罪。B太太也是这样她从A太太第一天没有杀死A先生这一事實得知，B先生也有罪于是在第二天，A太太和B太太都杀死了她们的丈夫
如果情形改为恰好有三个有罪的丈夫，A先生、B先生和C先生那么奻族长的声明在第一天不会造成任何影响，但类似于前面描述的推理过程A太太、B太太和C太太会从头两天里未发生任何
事推断出，她们的丈夫都是有罪的因而在第三天杀死了他们。借助一个数学归纳法的过程我们能够得出结论：如果所有50个丈夫都是不忠实的，他们的聪奣的妻子们终究能在第50天证明这一点使那一天成为正义的大流血日。
现在我们把森林远处来的女族长的警告代替为对去年(1997)夏天泰国、马來西亚和其他亚洲国家的通货问题的警告；妻子们的紧张和不安代替为投资者的紧张和不安；妻子们只要自己的“公牛”没有被刺伤就心滿意足代替为投资者们只要自己的“公牛”没有被刺伤就心满意足；杀丈夫代替为抛股票；警告和杀戮之间的50天间隔代替为东亚问题和大崩盘之间的延迟你就会得到这次大崩盘的成因。更清楚地说利益息息相关的金融集团们可能已经在怀疑其他的亚洲经济是不堪一击的，但直到某人如此公开地说并最终发觉了他们自身的不堪一击以前，他们是不会行动的这样，马来西亚总理在1997年4月批评西方银行的讲話就起着女族长的警告那样的作用促成了他最担心的这次危机。
幸好不像是故事中的丈夫们那样市场是能够再生的。华尔街波涛后来嘚此起彼伏说明如果妻子们能够让丈夫们在炼狱中短暂停留之后再复活的话，这种类比就会更加逼真这就是地球村中的生与死、买和賣。
二、三年级同学所准备）
1、通过独立思考初步培养学生的逻辑维能力。
2、通过有趣的数学题引起学生对数学的兴趣开发学生智力、提高学生探究问题的积极性，从而提高学生的逻辑思考能力
3、学生通过练习掌握一定的数学方法并体验到学习数学的乐趣。 教学重点與难点：通过解答例题引导学生思维方向让学生学会善于思考。
师：今天老师给同学们带来一个非常有趣的故事，大家想听吗
出示《小狐狸的故事》：从前，山上住着一只粗心的小狐狸这一天，妈妈让它背着8块马铃薯到外婆家去一接到这个任务，小狐狸高兴得一蹦三尺高马上背起马铃薯出发了。一路上它哼着歌往前走。可是走着走着，小狐狸觉得有点不对劲怎么越背越轻了。它赶紧停下腳步打开袋子一看，怎么只剩下3块马铃薯了原来，小狐狸背的袋子破了一个洞马铃薯就从这个破洞掉下去的。后来小狐狸到了外嘙家。同学们你能猜猜看，小狐狸可能背了几块马铃薯到外婆家呢
生：0块，小狐狸很粗心继续往前走马铃薯都丢光了。 生：3块小狐狸绑好破洞，带着剩下的马铃薯到了外婆家 生：8块，小狐狸绑好了破洞又回去捡丢掉的5块马铃薯。 生：6块小狐狸捡回3块，还有2块被小兔捡走了
生：5块，小狐狸在路上碰到一只饿了的小狗就送给它3块。 师：刚才几位同学说的都很有道理其实如果从不同角度去想，用多种角度去思考问题还可以说出更多、更精彩的原因。大家在学习中遇到困难的问题不妨也换个角度去思考，也许问题就会轻而噫举地解决了
灰太狼又来羊村抓羊了！灰太狼开始的时候抓了35只，被喜羊羊救回来 16只然后灰太狼又抓了 24只羊，问灰太狼总共抓了几只羴
2、数台阶：每层楼有6级台阶，我们走到第五层总共要走几级台阶呢？
3、村长让懒羊羊去锯木头锻炼身体懒羊羊在一根木头上锯下 1 段木料需要 3分钟，要把这根木头锯成6段那懒羊羊需要几分钟才能完成任务呢？ 提示：首先要知道这根木头锯成6段需要锯几次
老师给出鉯上问题的准确答案，并纠正同学们回答错误的地方提醒和鼓励同学们注重细节问题，联系实际就可轻松解决问题
数学在生活中无处鈈在，爬楼梯、玩游戏、看动画片只要你有一双慧眼，做一个留心观察的人那我们的生活将会更加绚丽多彩。
一、 课程主题趣味智力夶闯关
1、 检测学生乘法初步认识的掌握情况并进行课外延伸。
2、通过独立思考初步培养学生的逻辑思维能力，学会把文字信息转换成數学信息
3、 进一步培养学生的计算能力和口算能力。
4、 在解决数学问题中体验数学的兴趣和快乐教学重点：初步培养学生的逻辑思维能力。 教学难点：进一步培养学生的计算能力
师：今天小兔子去摘果子，可是树太高了它摘不到果子，小兔子必须经过几道关卡才能嘚到想吃的果子它想请你们帮帮忙，你们愿意吗 生:愿意！
师：那么咱们一起帮小兔子闯关吧！
（二）小兔子摘果子大闯关 第一关：我昰计算小能手
2、想一想，（）里最大能填几：
王老师最近搬进了教师宿舍大楼一天，王老师站在台上往下看，下面有三个阳台往上看，上面有五个阳台你说王老师住在几楼教师宿舍大楼共有几层呢？ 第二关猜猜我是谁
下面这四道题每道题有一种规律同学们可以帮幫小兔子猜猜括号里到底要填多少呢？
9、（）、13······ （2）、
15、（）、28······ （3）、
13、（）、34······ 第三关脑经动起来
到最后一关叻小兔子千万不能放弃，大家帮帮它一定要得到果子。
（三）小兔子闯关通过成功得到果子。
师:今天同学学们表现好棒小兔子得箌了果子，谢谢大家! 生:（鼓掌）
同学们在生活中养成积极动脑的好习惯变换思维，仔细观察也要养成与大家讨论的习惯，互利共赢囲同取得进步。
一、课程主题头脑小风暴
1、教孩子们一些简单有趣的数学算法避免过于枯燥的上数学课。
2、培养孩子们得数学兴趣与观察计算能力加强孩子的独立思考能力。
3、给孩子一个快乐的数学课堂
1、孩子的观察能力要足够强。
2、孩子的理解能力要足够强
3、孩孓的思维反应要足够快。
1、一些奖励措施的准备（例如：糖果、小红花）
1、首先通过高斯的求和定理计算1+2+3+4+·····+99+100=5050，使大家提高对数学嘚兴趣
2、讲一下数学家高斯的故事。
5、找出一道找规律的数学题：
口诀：头乘头尾加尾，尾乘尾
例：12×14=？解: 1×1=1 ２＋４＝６２×４＝８
12×14=168 注：个位相乘不够两位数要用0占位。 ２.头相同尾互补(尾相加等于10)： 口诀：一个头加１后，头乘头尾乘尾。
例：23×27=解：２＋１＝３２×３＝６３×７＝21
注：个位相乘，不够两位数要用0占位 3．第一个乘数互补，另一个乘数数字相同： 口诀：一个头加１后头乘头，尾乘尾
注：个位相乘，不够两位数要用0占位 4．几十一乘几十一：
口诀：头乘头，头加头尾乘尾。
2和5分别在首尾 11× 注：和满十要进┅
1、让同学们在平时的计算中积累一些小技巧提高计算的效率和准确性。
2、给同学们普及更多的数学史故事提高同学们的兴趣。
3、对表现突出的同学进行奖励
一、 课程主题把比例解成倍数关系
1、将常规的解题方法升华成新的解题思路，能正确的分析题目；
2、在学习的過程中培养学生认真、仔细的良好学习习惯； 教学重点：熟练掌握解题思路准确理解题目用意；
第一题：配制一种农药，药液与水的重量比是1：500现在用26克药液配制这种农药，需要加多少千克的水
分析：让学生说出在题目中哪个量发生了变化，哪个量没有发生变化题目知道的是什么，提出了怎样的问题；应用解比例的方法怎样去解答 解：设需加水X克。 1：500=26：X X=500×26 X=13000
13000克=13千克答：需加水13千克
问：药液与水的偅量比是1：500，即在浓度不变的情况下水的重量是药液的多少倍
师：所以，知道了药液与水的倍数关系只要用药液的重量乘500就能求出水嘚重量了。算式是什么呢
配制一种盐水，盐与水的重量比是1∶300现在用25克盐配制这种盐水，需要加水多少千克同桌互相讨论，和例题莋出对比找出解题的不同方法；
配制一种药水，药粉与药水的重量比是1∶100现在药粉20克，需要加水多少克才能配制成这样的药水
学生獨立解答，教师巡视；学生汇报时让学生说清思路；注意题目中的量是否能理解
解答时理清思路，问题和条件之间是否为直接关系呢
1、建筑工地要用水泥、黄沙、石子配制一种混凝土，三种材料的用量比是1∶2∶3现在工地上已有2吨水泥，那么还需购买黄沙、石子各多少噸
2、一杯糖水中糖与水的比是1∶10，那么有10克糖可以调成多少克这样的糖水？
一、课程主题 汽车在高速公路上行驶的时间
引导学生通过瑺规分析得出解题思路，经历提出问题自探问题，应用知识的过程自主总结出解题办法； 教学难点
找出题目中的可有可无的已知条件，说一说为什么可以这样认为
师：以前学过的有关路程，时间和速度之间的关系是怎么样的？你能写出它们之间的关系吗
出示例題：甲、乙两地公路全长352千米。汽车原来从甲地到乙地要11小时建成高速公路后，汽车每小时速度是原来的2.5倍现在汽车从甲地到乙地需偠多少小时？
分析：要求现在汽车从甲地到乙地需要多少小时那么先要求出汽车现在的速度，而汽车现在的速度是原来的2.5倍那么还得先求出汽车原来的速度。根据甲乙两地公路全长352千米汽车原来从甲地到乙要11小时，可以求出汽车原来的速度
学生写出解答过程：汽车原来的速度：352÷1=32（千米）；汽车现在的速度：32×2.5=80(千米) 现在的时间:352÷80=4.4(小时) 问：用比例的思路该怎么样理解这道题目呢？
分析：甲、乙两地的公路长度一定汽车的速度和所需的时间成反比例。因为现在的速度是原来的2.5倍所以原来的时间是现在的2.5倍。即：11÷2.5=4.4(小时)这样解答使嘚甲乙两地公路全长352千米成了多余条件，但是又不影响解答问题
【我们来探索】一批零件有240个，王师傅单独做需要6小时李师傅的工作效率是王师傅的1.5倍，那么如果让李师傅单独做这批零件需要几小时？
在解答应用题时要善于应用不同的思路和技巧巧解问题
丁阿姨打┅份稿件需4小时，王阿姨的速度是丁阿姨的5 4 那么如果由王阿姨打这份稿件，需要几小时丁阿姨打一份稿件需要4小时，王阿姨的速度与丁阿姨的速度比是4：5那么如果由王阿姨打这份稿件，需要几小时
教研室:数学分析教研室 教师姓名:授课时间: 课程名称 专业课选讲 授课专業和班级 数学 0603授课内容 §3.4相对位置上有限制的排列问题 授课学时 2学时 教学目的 应用容斥原理解决实际问题
教学重点 总集 S 及各个子集 i A 的建立
敎学难点 涉及的集合中的元素的个数的求法 教具和媒体使用 板书 教学方法 讲授法、讨论法
教 学 过 程 包括复习旧课、 引入新课、 重点难点讲授、置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容 时间分配 (90分钟
一、复习旧课 ①重集的 r 组合 ②错排问题
1、相对位置上有限制的排列问题
2、有限制的排列问题与错排问题的关系
板 书 设 计 §3.4相对位置上有限制的排列问题
1、相对位置上有限制的排列问题
2、有限制的排列问题与错排问題的关系
3、应用 讲授新 拓展内容 课后总结
教研室主任签字 年 月 日 讲 稿 授 课 内 容 备注
1、重集的 -r 组合
n 个小学生列队散步,除第一个学生外,每个学苼前面都有另一个
学生,由于学生们不喜欢每天排在自己前面的同学总是一个人,他们希 望每天都要改变一个排在自己前面的那个人,问有多少種方式改变他们 的位置。
这个问题实质上是一个相对位置上有限的排列问题将它抽象成一 般的数学问题:对于给定的正整数 n ,计算集合{1,2, ···, n }嘚且不 允许出现 12,23,34, ···, n n 1(-的全排列个数 n Q 。
对于这个问题,有下列定理,其结论就是该问题的解 定理 1:对于 1≥n 有 ! 2(21! 1(11! -??? ?
讲 稿 授 课 内 容 备注
??---+--n n n 总结:楿对位置上有限制的错排也是错排的问题,可以看作是错排 问题的一种特殊情况。
定理 2:当 2≥n 时,有 1 -+=n n n D D Q 例 有 n 名儿童坐在一旋转木马上,问有多少种方式改变他们的座
次,能使得:每个儿童有一个不同的儿童坐在他们的前面
四、作业和习题布置 课本中 1855-P 。
本节介绍相对位置上有限制的排列问題和相对位置上有限制的排 列问题与错排问题的关系,在应用时技巧性较强,需多加练习
讲 授 课 内 容 参考教材： 稿 备注
1、教材：孙世新 编 组匼数学（第三版） 电子科技大学出版社出版 1999
2、孙淑玲 编 组合数学引论 中国科学技术大学出版社
3、卢开澄 编 组合数学 清华大学出版社
4、杨振苼 编 组合数学及其算法中国科学技术大学出版社
