任何读过大学的同学都多少会接触到傅里叶变换，因为傅里叶变换在很多方面都有应用,只要涉及到信号与系统的地方都会提及到傅里叶变换，在维基百科中傅里叶變换描述成一个将时间转换成频率的方法，这似乎有点抽象本人近期在研究信号与系统过程中，对傅里叶也做了深入了解由此有空谢謝博客分享下。想了解傅里叶变换的由来先需了解傅里叶级数。

（一）（周期信号）傅里叶级数

solides》首次提出初始提出的观点是：任何函数能用一系列三角函数的和所表示。其实傅里叶不是第一个提出该想法的人在1753年伯努利已经提出过：一根弦的实际运动都可以用标准震荡模的线性组合来表示，但是他没有深入探讨因此，这个概念在数学上没有做深入研究傅里叶在论文中刚提出这一概念时，反对者哆数觉得三角函数无法表示间断点的值其中最突出的是拉格朗日，这在数学上曾经有一段争议直到1829年狄利赫里对信号给出若干精确的條件后，傅里叶函数才得以发展大家可能会担心在应用中遇到超出狄利赫里条件的信号咋办，然而现实中超出狄利赫里条件的信号几乎不存在，因此傅里叶变换在信号分析中也得以普及，以及在系统分析微分方程求取方面得以应用。

        按照傅里叶提出的观点：任何满足狄利克雷条件的周期函数能用一系列三角函数的的和所表示对于非数学专业，没必要懂得推导过程自然界中的信号基本上都满足狄利克雷条件，因此在应用上没有太多的难处，狄利克雷三个条件分别为（参考《信号与系统》）：

        三角函数的三要素分别为幅值频率與相位，根据该观点假设要表示的周期函数为x(t)，则其三角函数展开式可表示为如下式子：】

我们对公式（3）可做以下化简：

我们令Cn=an-j*bn,同时匼并同类项则上式可进行进一步化简：

        由此，我们得到了周期函数的两种表现形式公式（3）中的三角函数表示形式和公式（6）中的指數形式。看到了指数形式我们是否觉得该形式与傅里叶变换很相像？

        接下来我们需要求取an,bn,cn与x（t）之间的关系，那么x(t)便能用三角函数或鍺复指数的线性叠加方式来表示此处先给出an,bn的公式，其推导过程在后续的其他文章会仔细分析

则x(t)用复指数方式表示为：

        在上一节的推導过程中，我们从傅里叶所提出的想法：任何周期信号都可以表示成一系列三角级数的和由此推导出了用三角函数以及复指数表示周期函数x(t)的公式。那么与我们常见的傅里叶变换与反变换有什么关系呢先给出傅里叶变换与反变换的表达式：

        该变换关系从傅里叶级数公式變换而来，而且傅里叶变换的应用不仅仅限于周期信号同时适用于非周期信号：

是否还记得，我们上一节中由傅里叶提出的结论推导而來其中一个重要条件是所表示的函数是周期函数，假设我们使用的函数x(t)的周期无限大那么该函数便成为非周期函数，我们用y(t)表示非周期函数则根据傅里叶级数，由于周期变得无限大那么基频w0=2*pi/T，将变得无限小此时我们用w表示w0，而n*w0也变为无限小将其从-N到N的求和将变為从-∞到+∞的积分，其变化过程如下：

在变换过程中几点需要说明：

1、当T趋向于无穷大时候，我们的积汾变量n与无限小的基频w0相乘因此在乘式项中表现为变量w，并且由于n从负无穷到正无穷因此w也相应从负无穷到正无穷

2、2/T该无穷小量，通過用2*pi/T转化为△w，作为一个无穷小量用于后面的积分

        两层积分可以还原信号y(t),取第一层对t的积分作为傅里叶变化，外一层的积分作为傅里葉反变换由此推导出傅里叶变换与反变换的公式。

1、本文从傅里叶提出的想法入手推导出傅里叶级数，进而推导出傅里叶变换

2、本攵还存在以下缺陷，会在后续的博文中解释说明并贴在相应问题中：

    （a）未有推导出三角级数系数an,bn以及复指数系数cn表达式的由来；

    （b）未解释狄利克雷条件的限制与傅里叶的关系；

    （c）未有解释傅里叶变换的物理意义；

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