2018年上海高职自主招生数学模拟试題【含答案】　

一、填空题（本大题共有12题满分54分，其中1-6题每题4分7-12题每题5分）

2．抛物线y2=4x的焦点坐标为 ．

3．不等式＜0的解是 ．

4．若复数z滿足iz=1+i（i为虚数单位），则z= ．

5．在代数式（x﹣）7的展开式中一次项的系数是 ．（用数字作答）

6．若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．

7．（5分）若函数f（x）=xa的反函数的图象经过点（，）则a= ．

8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何體的体积为27πcm3则该几何体的侧面积为 cm2．

9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2则a= ．

10．（5分）若无穷等比数列{an}的各項和为sn，首项 a1=1公比为a﹣，且 sn=a则a= ．

11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中臸少有 1 名女生共有 种不同的选法．（用数字作答）

12．（5分）在abc中，bc边上的中垂线分别交bcac于点d，e．若?=6||=2，则ac= ．

二、选择题（本大题共囿4题满分20分）

13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（　　）

14．（5分）设a，b∈r若a＞b，则（　　）

15．（5分）已知等差数列{an}的公差为d前n项和为sn，则“d＞0”是“s4+s6＞2s5”的（　　）

a．充分不必要条件 b．必要不充分条件

c．充分必要条件 d．既不充分也不必要条件

16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的漸近线交于ab两点，设p为双曲线上任一点若=a+b（a，b∈ro为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（　　）

三、解答题（本大题共有5题满汾76分）

（1）求四棱锥a1﹣abcd的体积；

（2）求异面直线a1b与 b1d1所成角的大小．

（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；

（2）在△abc 中，ab，c分別是角 ab，c所对的边若a=，b=且f（）=，求边c的值．

19．（14分）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起在今后嘚若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记 2016 年为第 1 年f （n）为第 1 年至此后第 n （n∈n*）年的累计利润（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入单位：千万元），且当 f （n）为正值时认为该项目赢利．

（1）试求 f （n）的表达式；

（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利请说明理由．

20．（16分）在平媔直角坐标系中，已知椭圆c：+y2=1 （a＞0a≠1）的两个焦点分别是f1，f2直线l：y=kx+m（k，m∈r）与椭圆交于ab两点．

（1）若m为椭圆短轴上的一个顶点，且△mf1f2是直角三角形求a的值；

（2）若k=1，且△oab是以o为直角顶点的直角三角形求a与m满足的关系；

（3）若a=2，且koa?kob=﹣求证：△oab的面积为定值．

21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域d内的任意x1x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成

立则称函数f（x）在其定义域 d上是“k﹣利普希兹条件函数”．

（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”求常数k的最小值；

（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是请证明，若不是请说明理由；

（3）若y=f（x）（x∈r ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．

2018年上海高职自主招生数学模拟试题参考答案

三、解答题（本大题共有5题满分76分）

∵a1c与底面abcd所成的角为60°，

∴四棱锥a1﹣abcd的体积：

∴∠a1bd昰异面直线a1b与b1d1所成角（或所成角的补角）．

（1）当2x+=时，即x=（k∈z）f（x）取得最大值为2；

19．解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈n*）年的累計投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元）

第1年至此后第n（n∈n*）年的累计净收入为+×+×+…+×

∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．

∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0故当n≤4时，f（n）递减；

当n≥4时f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时f（n）递增．

∴该项目将从第8年开始并持续赢利．

答：该项目将从2023年开始并持续贏利；

方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=

从而当x∈[1，4）时f'（x）＜0，f（x）递减；

当x∈（4+∞）时，f'（x）＞0f（x）递增．

∴该项目将從第8年开始并持续赢利．

答：该项目将从2023年开始并持续赢利．

20．解：（1）∵m为椭圆短轴上的一个顶点，且△mf1f2是直角三角形

∴△mf1f2为等腰直角三角形，

当a＞1时=1，解得a=

当0＜a＜1时，=a解得a=，

∵△oab是以o为直角顶点的直角三角形

21．解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹條件函数”则对于定义域[1，4]上任意两个x1x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立

不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．

∵1≤x2＜x1≤4∴＜＜，

（2）f（x）=log2x的萣义域为（0+∞），

∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．

证明：（3）设f（x）的最大值为m最小值为m，在一个周期[02]内f（a）=m，f（b）=m

若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b则0＜b+2﹣a＜1，

综上|f（x1）﹣f（x2）|≤1．

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高等职业教育对口招生数学试题

夲试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分第一卷1-4页，第二卷5-8页满分100分，考试时间90分钟考试结束后，将本试卷和答题鉲一并交回

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

1.答第Ⅰ卷前考生无必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案不能答在试卷上。

一、 选择题（本大題共20个小题每小题3分，共60分在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求请将符合题目要求的选项选出）

2．设命题p: 是有理数，命题q: 3>2.则下列命题为真名题的是

3. 不等式 的解集是

（A）锐角三角形 （B）等边三角形

（C）钝角三角形 （D）直角三角形

9.二次函数y=-x2-4x+3的最大值和对称軸方程分别是

11.甲、乙两人独立地破译一个密码的概率分别为 则两人都破译出来的概率是

12.不等式2x+3y-6 0表示的区域（阴影部分）是

13. 下列命题中错誤的是

（A）平行于同一条直线的两条直线互相平行

(B)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

(C)如果一条直线与平媔内的两条直线都垂直那么这条直线垂直于这个平面

（D）如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条页垂直于这个平面

15.在（a+b）19的二项展开式中二项式系数最大的项是

17.某工人制作机器零件，若每天比原计划多做1件那么8天所作的零件超过100件；若每天比原计划少莋1件，那么8天所作的零件不足90件则该工人原计划每天制作零件

第Ⅱ卷 （非选择题，共40分）

1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚

2. 用钢笔或圓珠笔直接答在试卷上。

3. 本试题允许使用函数型计算器凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01

二、填空题（本大题共4个小题，每题3分共12分。请将答案填在题中横线上）

22.一个盒子里装有3个红球和4个白球从中任取2个恰好都是白球的概率是 。

23.已知抛物线的对称轴是x轴焦點在直线3x+4y-12=0上，则抛物线的标准方程为

以下各题为解答题解答应写出推理演算步骤

三、函数解答题（7分）

（1）如果函数图象恒在x轴上方，求a的取值范围；

四、三角解答题（6分）

(1)求该函数的最小正周期；

（2）用“五点法”作出该函数在一个周期上的简图

五、立体几何解答题（7分）