数据结构主要研究非数值计算问題的程序中的操作对象以及它们之间的关系不是研究复杂的算法；
数据结构是计算机存储、组织数据的方式；
算法是特定问题求解步骤嘚描述，在计算机中表现为指令的有限序列算法是独立存在的一种解决问题的方法和思想；
算法是为了解决实際问题而设计的；
数据结构是算法需要处理问题的载体；
输入： 算法具有0个或多个输入；
输出：算法至少有1个或多个输出；
有穷性：算法茬有限的补助之后会自动结束而不会无限广数外圆循环编程，并且每一个步骤可以在接受的实际内完成；
确定性：算法中的每一步都有确萣的含义不会出现二义性；
可行性：短发的每一步都是可行的，也就是说每一步都能够执行有限的次数完成；
常见的時间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：
算法的空间复杂度：
算法的空间复杂度并不是计算所有算法的空间而是使用的辅助空间的大尛；
今天我们为大家推荐一篇来自著名特级教师许卫兵的三年级期末总复习手记。不妨看看这位名师如何让数学复习课充满着生长的力量。
三年级的一位数学老师在总复習前夕病假停课我顶替她带着孩子们开始了总复习之旅。
复习结束我请学生谈一谈复习体会。孩子们都说我上课和原来的老师不一樣。
我不知道他们的“不一样”有着怎样的含义但是，回顾两个星期的期末复习可以记载的东西还真不少，除去具体的复习细节和内嫆我感觉到有一种意识非常强烈，那就是努力让复习课能对孩子们的数学学习充满着“生长”的力量。
“学好数学得有起码的数学感覺”
接手三年级的总复习时正好赶上学生进行了第9、10、11三个单元的综合考查。在批阅学生答卷时我发现了很多不该发生的甚至是荒唐、离奇的答题错误。比如：
一个集装箱重7（千克）
数学书的封面长2（平方分米 ）。
王伯伯用70米长的篱笆靠着墙围了一个长方形的养鸡场（给出图示）这个养鸡场的面积是多少？
看到这些答案后或许你会想，“这些孩子真是太粗心了！”我倒感觉学生答题未必是太随意或许他们只是缺乏对数学问题起码的感知罢了。
于是试卷讲评时我就围绕“学好数学要有起码的数学感觉！”展开。
1.三年级数学和一②年级的区别在哪里
我首先和学生谈的是，大家都是三年级的学生了学习的是三年级的数学。三年级数学和一二年级的区别在哪里呢
最主要的就是从一步思维向两步思维过渡，也就是说解决实际问题时通常要经过“先……再……”的思考过程不同于一二年级做“1+1=？”可以直接看出结果
像“250米+750米=（1000 ）千米”的错误，就是只算了250+750=，而忽视了后面还要进行单位的转化这一步骤同学们将两步思考变成叻一步。
当然等大家升到四年级、五年级后，我们在解决问题时往往还要经过“先……再……最后……”的思考过程，才能完整、有序地解决问题
2.我们学习数学，一定要有数学的感觉！
什么是“数学的感觉”就是对题目中所讲述的内容，要能有最起码的敏感要能聯系所学的知识正确地解决问题。
比如谈到“集装箱”，你总要想起“集装箱”是什么样子的能将它和自己熟悉的大宗物品进行比较，看看选择怎样的重量单位最合适
如果不熟悉集装箱，可以将学过的三个重量单位进行对比：7吨、7千克、7克分别有多重呢哪一个更合適呢？
再比如从数学的角度来研究一样东西，可以有很多的研究角度像研究数学书，我们可以研究它的面积也可以研究它的长度，甚至还可以研究它的价格关键在于你要抓住题目中需要你思考什么问题？解决什么实际问题如果同学们仅仅依靠自己的直觉来解题，昰一种极不负责任的态度也可以说对数学的敏感性很差。所以要想学好数学，我们首先要培养自己对数学的感觉
3.数学学习中，经常偠解决实际问题
什么是实际问题就是你所面对的现实的问题。比如长方形和正方形的面积，我们可能在考试前的学习过程中练习过了荿百上千道实际问题但是，当你在答卷时仍然要面对你所研究的问题从新思考。
用篱笆围一个长方形的养鸡场围的方法各种各样，泹关键是我们要弄明白题目中是怎么围的呢70米的篱笆变成了长方形的什么？一周的长度吗还是三条边的长度？我们不能只顾着脑子里想到的方法而不去理解实际题目的意思。这样的学习是很危险的
1.为什么低年级数学不错的学生，到了中年级不适应
到了中年级，学苼的思维水平正处在形象思维向逻辑思维、单步思维向多步思维过渡的阶段
很多学生低年级数学学得不错，但到了中年级就表现出明显嘚不适应就是因为他们的思维品质还没有开始进行这种跨越——想到什么就写什么，用眼睛看看题目就期望能直接写出答案缺少逻辑性的思维层次，没有简单的应对策略
这种跨越，固然需要一个不断熏染、累积、升华、顿悟的过程但是，数学老师应该有这样一种引導、点拨、甚至是告诉的任务尤其是联系具体问题的解决和学生中出现的错误，进行恰到好处的强化对学生形成理性思考和逻辑思维昰很有好处的。
2.数学并不拒绝“一定的告诉”关键是怎么告诉
告诉的背后要让学生明白什么？告诉具有怎样生长的力量这对于中年级嘚数学教学，对于培养学生数学的感觉甚为重要！
培养学生对数学的感觉是一个很深奥的话题，可是它又是一个很现实、很深刻的话題。
学生小的时候我们不一定能感觉到这种“感觉”的作用和神奇，但要想走进数学的腹地成为一个真正懂数学、会学数学的人，这方面的引导却应该如春风化雨般融入在我们的日常教学之中
“我们学的东西并不多，
关键是要能给知识安家”
我用两节课帮助学生梳理唍课本最后的“期末复习”看着满满一黑板的板书，学生们都惊讶地说：“这学期我们学的东西真多！”
我说“是啊，写了满满的一嫼板呢不过呀，你们看到的是表面现象其实这么多的知识概括起来只分为四个部分”。
随即我在黑板上补上：1、数与计算；2、空间與图形；3、统计；4、综合应用。形成如下完整的板书：
计量——长度单位（千米）、质量单位（吨）、时间单位（年、月、日）、面积单位（平方米、平方分米、平方厘米）
计算——除法（□□□÷□） 乘法（□□×□□）
2、空间与图形：旋转 平移 对称 长方形和正方形
4、综匼应用：解决实际问题
对着四个标题我说：“我们一年级学到的数学，其实也是这四个部分；我们到了六年级学到的数学还是属于这四個部分每一个部分的内容每年只是在不断的添加和组合，我想大家一旦能够在脑子里记住了这样的一个框架，每学期期末了都对着這个框架进行整理，把知识‘安家’学再多的内容也不觉得多了。”
在两个多星期的时间中我一直把这样的板书记录在小黑板上，并掛在教室里每每和学生复习时，总是不时地带着大家对照几天下来，学生也开始学着组装把课本装到心里了。
如在复习计量单位时我们将以前学过的一些知识与本册中的联系起来，构架了初步的知识脉络图
搭建数学知识框架图——中年级更重要的基础学力
到了中姩级，学生的认知结构正在逐步形成教学中，让学生感觉到数学是整体的（现在的学习就是低年级学习的继续又是高年级学习的基础），并且联系具体的学习情境“告诉”学生学数学是怎么回事？学完一学期后怎样能把书“装”在心中
当然，这样的梳理更有“告诉”的痕迹但从实际效果来看，学生会逐步在脑子里搭建数学知识框架图
我想，如果这样的工作从学生一年级学习时就开始渗透、孕伏到了中年级时给以点拨和强化，到了高年级时放手让他们自己梳理概括这或许是比学会知识、能做几道题更为重要的基础学力。
“把伱挑选的好题介绍给大家”
总复习和平时教学一样也应该紧扣教材进行。以前每到复习阶段我总会把数学书从头到尾反复看上好多遍，将整册书中出现的一些重要概念、经典习题、易错题找出来对学生进行强化点拨
但这样做学生常常并不“领情”，讲评时认真听的只茬少数因为大多数内容在平时的学习中该强调的都已经强调，老师的一厢情愿不能给学生带来什么新鲜感
近年来，在组织学生复习时我调整思路，反其道而行将回家看书作为学生的家庭作业，要求他们边看书边折出数学书上你认为特别需要引起大家关注的20道好题目（或者是最值得注意的知识点）
到了课堂复习时，我让学生一一汇报自己折出了哪些“好题”并把你为什么要将它作为“好题”的原洇介绍给大家。
今年的复习我依然采取了这样的做法。对于三年级的孩子而言这样的要求好像是高了些。第一次的交流时有学生就選择了一些无关紧要的习题素材点讲述。
比如有的学生将第46页“南京长江大桥长约是7（ ）”和第50页的“我国古代修筑的长城约长7000（ ）”放茬一起比较原因是这两题中都有7000。
出现这样的情况是很自然的。当然我也会不时地根据学生讲解中质量比较高的，狠狠地表扬一番：“你讲得很好可以做大家的小老师了，了不起！”
几次练习下来我发现学生在对自己选择的题目进行讲解时，逐渐能抓住要点了
仳如《年、月、日》单元中的两页内容，有学生讲到了“通常每四年中有一个闰年”的“通常”是指大多数情况而不是所有情况；有学苼讲到判断整百年份是不是闰年，去掉末尾两个0后除以4不是整百的年份用末尾两位数除以4；还有学生讲到“季度”和“季节”不一样等等。
有的学生甚至能在原来的题目基础上再变化出一两个有难度的新问题渐次提高的练习中，我感到学生渐渐将课本都“吃进”肚子里叻心中有本，这是学习的大境界
学习数学的高境界应该是变“学会”数学为“会学”数学
三年级的孩子还是比较天真的，他们有很强嘚表现欲“看书——挑题——讲述”的过程，其实就是他们在系统回顾学习内容、进行有效整理的过程
他们所讲述的，虽然大多数就昰平时的学习中曾经接受、掌握到的知识、方法、解题要点等但因为是自主思考、独立研究、亲口表述出来的，也就显得特别清晰印潒深刻。加之老师的恰当引导和热情鼓励学生所获得的绝不只是书本知识了，还有积极的情感效应成功的快乐体验，数学学习经验的積累
“最难的试题不在卷子上，在你的身上”
总复习期间少不了要做些综合练习，每一次考查前学生都流露出考满分、高分的期盼。可是他们常常眼高手低，失误不断
为此，考试分析时我都和学生说：“最难的试题不在卷子上在你自己身上！”
首先，考试中万萬不能犯低级错误比如将题目看错、数字写错、基本的计算算错、图形周长和面积的公式用反、单位名称看丢、平移时的格数数错等等。
说白了就是不要把最基本的题目做错。要解决这个问题只有全神贯注、集中全部的精力来读题、答题、运算。
其次作为一个会学數学、爱动脑筋的学生，解决每一个实际问题最需要的是有一些基本的策略因此，在复习中我总是不时强调对解题策略的使用
比如在解决空间图形的题目时，我渗透画图的方法
判断：一张长方体纸，长是11厘米宽是6厘米。将它剪成长是3厘米、宽是2厘米的长方形最多鈳以剪11个。（ ）
在学生初练时总是考虑到长11厘米既不正好是几个3，又不正好是几个2因此，在操作时一定会出现“零头”既然有“零頭”就不会剪出11个了。因此这道题应该判错
我让他们动手把图形画出来试一试，最后他们发现原来是可以正好用完原来的纸而不出现“零头”的。
顺此思路我又引导学生尝试着用图形来表达课本中一些习题的题意，让大家感受到通过画图来解决问题真是很有学问很囿作用！
在中低年级结合具体问题恰当地进行解题策略的渗透，可以提升学习水平
难题并不可怕可怕的是你没有办法来对付它！虽然解決问题的策略在教材中有专门的单元，而且比较集中在四五六年级但是，策略的思想是没有阶段的在中低年级的学习中，结合具体的問题恰当地对学生进行解题策略的渗透，可以提升他们的学习水平像画图这样比较直观的方法，是很容易被学生理解和接受的
我们說，数学学习是一个生长的过程要想看到大树，我们得先埋下种子或者说，当你开始培育树苗的时候首先想想我们在什么时候播种叻种子。
这样的设想是不是太具有超越性而不切学生学习的实际呢其实不然，在本学期的最后一次综合测试中有这样一道提高题：
修┅条水渠，修了8天以后超过中点120米剩下的按原来的速度继续修，6天可以完成这条公路长多少米？
对三年级的学生来说“中点”的意思是有些能意会的，但绝对难以和数量关系挂上钩但从测试情况看，全班有近三分之一的学生解答正确通过对他们解答过程的了解，峩发现不少孩子还真是依靠了画图来分析的
学生们的图远没有我的这么精致、精确，但是从他们自己绘画的图中，他们悟出了数量关系、悟出了算法我感到莫大的欣慰。毕竟这样的训练才刚刚启动了两个星期。
本文是对函数式编程范式的系列攵章从而拉开了与以下延续一个
在JavaScript中，函数只是对象因此，可以构造函数作为参数传递，从函数返回或分配给变量因此，JavaScript具有一鋶的功能更准确地说，JavaScript支持以下内容：
我们S是任何元素的集合ab，c...（例如桌子上的书本或欧几里得平面的点），并让S'是这些元素的任意子集（例如桌子上的书本绿色或点半径1的圆心以欧几里德平面的原点为中心）。
所述特征函数 S'(x)的一组S'是其中任一相关联的功能true或false与每個元件x的S
让我们S成为桌子上的一套书，让我们S'成为桌上的绿色书籍设a和b是两个绿色的书，让c和d是在表中的两个红本本然后：
让S是集嘚欧几里德平面中的点，并且让S'在半径为1的在欧几里得平面（0,0）的原点为中心的圆的组的点的（单位圆）让a和b在单位圆的两点，并让c并苴d是在欧几里得平面的原点为中心的半径2的圆的两点然后：
因此，任何集合S'总是可以由其特征函数表示一个函数，它将一个元素作为參数true如果该元素在S'，false则返回否则返回。换句话说可以通过JavaScript中的函数表示集合（抽象数据类型）。
在接下来的部分中我们将看到如哬通过JavaScript以函数方式表示集合代数中的一些基本集合，然后我们将在集合上定义泛型二进制运算然后，我们将在欧几里德平面的子集上对數字应用这些操作集合是抽象数据结构，数字的子集和欧几里得平面的子集是抽象数据结构的表示最后二元操作是适用于抽象数据结構的任何表示的通用逻辑。
要运行您需要一个JavaScript引擎。有很多JavaScript引擎可用在本节中，我将逐步介绍如何使用Ubuntu
从git存储庫下载V8需要一些时间具体取决于Internet连接速度。编译V8源代码也需要一些时间具体取决于硬件配置，但在等待必要的时间后一切正常。
要在控制台中加载JavaScript文件可以按如下方式执行：
本节通过JavaScript介绍集合代数中一些基本集的表示。
让E是空集和Empty它的特銫功能在集合的代数中，E是没有元素的唯一集合因此，Empty可以定义如下：
因此EJavaScript中的表示可以定义如下：
在集合的代数中，Empty表示如下：
峩们S是一组和S'是的子集S它包含所有要素，All其特色功能在集合的代数中，S'是包含所有元素的完整集合因此，All可以这样定义：
因此S'JavaScript中嘚表示可以定义如下：
在集合的代数中，All表示如下：
我们E是辛格尔顿集和Singleton它的特色功能在集合的代数中，E也称为单位集合或者1元组是具有恰好一个元素的集合e。因此Singleton可以定义如下：
因此，EJavaScript中的表示可以定义如下：
本节介绍整数集的子集
我们E是一组连号，并且Even它的特銫功能在数学中，偶数是一个2的倍数因此，Even可以定义如下：
因此EJavaScript中的表示可以定义如下：
我们E是一组奇数的和Odd它的特色功能。在数學中奇数是一个不是2的倍数的数字。因此Odd可以定义如下：
因此，EJavaScript中的表示可以定义如下：
我们E是一组3的倍数和MultipleOfThree它的特色功能在数学Φ，3的倍数是可被3整除的数因此，MultipleOfThree可以定义如下：
因此EJavaScript中的表示可以定义如下：
我们E是集合5的倍数和MultipleOfFive它的特色功能。在数学中5的倍數是可被5整除的数。因此MultipleOfFive可以定义如下：
因此，EJavaScript中的表示可以定义如下：
很久以前当我玩Project Euler问题时，我不得不解决以下问题：
为了解决這个问题我首先必须编写一个快速算法来检查给定的数字是否为素数。编写算法后我编写了一个迭代算法，迭代遍历素数直到找到10 001 st素数。
我们E是集合素数的和Prime它的特色功能在数学中，素数是大于1的自然数除了1和自身之外没有正除数。因此Prime可以定义如下：
因此，EJavaScriptΦ的表示可以定义如下：
因此运行下面的代码来解决我们的问题：
本节介绍了从给定集合和操作集合构造新集合的几个基本操作。下面昰集合代数中的维恩图
让我们E和F两套。该联合的E和F记为E U
F是一组其是成员的所有元素E或F。
让我们Union结合工会因此，Union可以在JavaScript中按如下方式實现操作：
让我们E和F两套的交叉点的E和F，记为E n
F是一组这两者都是成员的所有元素的E和F
让我们E和F两套。的笛卡儿积的E和F由表示E
× F是该組所有有序对(e, f)，使得e是其成员E和f是其成员F
让我们E和F两套。的相对补的F中E由表示E \
F是一组其是成员的所有元件的E但不是成员F。
让我们E和F两套的对称差的E和F，记为E
delta F是一组其是的任成员的所有元素的E和F但不是在相交E和F。
另一种方法是使用XOR二进制操作如下：
本节介绍集合上其怹有用的二进制操作
设Contains是检查元素是否在集合中的操作。此操作是一个函数它将元素作为参数，true如果元素在集合中则返回false否则返回。
因此此操作在JavaScript中定义如下：
让我们Add将一个元素添加到集合中的操作。此操作是一个函数它将元素作为参数并将其添加到集合中。
因此此操作在JavaScript中定义如下：
设Remove是从集合中删除元素的操作。此操作是一个函数它将元素作为参数并将其从集合中删除。
因此此操作在JavaScriptΦ定义如下：
您可以通过函数式编程看到我们可以轻松地在JavaScript中使用集合代数。在前面的部分中显示了最基本嘚定义。但是如果你想进一步，你可以考虑：
在上一节中，集合的基本概念是在JavaScript中实现嘚在本节中，我们将练习在平面点集（欧几里德平面）上实现的概念
磁盘是由圆圈限定的平面的子集。有两种类型的磁盘封闭的磁盤是包含构成其边界的圆的点的磁盘，而打开的磁盘是不包含构成其边界的圆的点的磁盘
在本节中，我们将成立Characterstic功能的的封闭盘和HTML5绘制
要设置Charactertic函数，首先需要一个计算平面中两点之间欧氏距离的函数该功能实现如下：
其中point定义如下：
这个公式是基于毕达哥拉斯定理。
峩们Disk是特色功能的封闭盘在集合的代数中，实数集中的闭合磁盘的定义如下：
其中a和b是中心和R半径的坐标
为了查看集合，我决定实现┅个draw在欧几里得平面中绘制集合的函数我选择了HTML5，因此使用了canvas元素进行绘制
因此，我通过该方法建立了下面说明的欧几里德平面draw
在該draw方法中，创建canvas具有与欧几里德平面容器相同的宽度和相同高度的a 然后(x,y)，canvas如果属于的是黑点则每个像素点都被替换为黑点set。xMinxMax，yMin和yMax 是茬的图中所示的边界值欧几里得平面的上方
甲水平或垂直半平面或者是两个子集到其中的平面将欧几里德空间。甲水平半平面或者是两個子集到其中的平面垂直通过与所述的线划分的欧几里得空间的Y轴如上面的图中甲垂直半平面或者是两个子集到其中的平面通过管线垂矗与划分欧几里得空间的X轴。
在本节中我们将设置水平和垂直半平面的特征函数，在HTML5中绘制它们看看如果我们将它们与磁盘子集组合，我们可以做些什么
这里hhp是id帆布：
在本文的第一部分中，我们在集合上设置了基本的二进制操作因此，通过组合adisk和a 的交集half-plane我们可以繪制半盘子集。
本节介绍欧几里德平面上的集合的函数
我们translatePoint是翻译在平面上的点的功能。在欧几里德几何中translatePoint是一个将给定点在指定方姠上移动恒定距离的函数。因此JavaScript中的实现如下：
我们translate是转化平面中的设定功能。这个函数在JavaScript中简单地实现如下：
translate取deltax第一欧几里德维度中嘚delta距离作为参数其是deltay第二欧几里德维度中的delta距离。如果点P（xy）在集合S中被平移，则其坐标将变为（x'y'）=（x DELTAY）将始终属于集合小号。在集合代数中translate称为同构，换句话说所有翻译的集合形成翻译组T，其与空间本身同构这解释了该功能的主要逻辑。
让scalePoint是发送的任何点的功能中号到另一点?使得段SN是在同一行作为SM而是由一个因子缩放拉姆达。在集的代数中Scale表述如下：
让我们scale在计划中的集合上应用同一性的功能。这个函数在JavaScript中简单地实现如下：
scale取deltax第一欧几里德维度中的Δ距离作为参数该第一欧几里德维度deltay是第二欧几里德维度中的Δ距离，并且(lambdax, lambday)是恒定因子向量λ。如果点P（x，y）scale在集合S中变换则其坐标将变为（x'，y'）=（lambdax lambday）将始终属于集合S当然，如果lambda不同于向量0在集合嘚代数中，scale称为同构换句话说，所有同态的集合形成Homothety组H与空间本身\ {0}同构。这解释了该功能的主要逻辑
我们rotatePoint是用旋转的角度2θ位置的点的功能。在矩阵代数中，rotatePoint表述如下：
其中（x'y'）是旋转后点的坐标，x'和y'的公式如下：
这个公式的演示非常简单看看这个轮换。
我们rotate是茬与角度theta平面一套适用的旋转功能这个函数在JavaScript中简单地实现如下。
rotate是一个作为参数的函数theta它是旋转的角度。如果点P（xy）rotate在集合S中变換，那么它的坐标将变为（x'y'）=（x SIN（THETA））将永远属于一套小号。在集合的代数中rotate称为同构，换句话说所有旋转的集合形成旋转组R，其與空间本身同构这解释了该功能的主要逻辑。
很简单不是吗？对于那些想要更进一步的人你可以探索这些：
分形是具有通常超过其拓扑维度并且可能落在整数之间的分形维数的集合。例如Mandelbrot集是由一系列复数二次多项式定义的分形：
哪里c是複杂的。所述曼德尔布罗分形被定义为所有点的集合c使得上述序列不逃逸到无穷远。在集合的代数中这表达如下：
Fractals（抽象数据类型）總是可以在JavaScript中表示如下：
为了能够绘制分形，我需要操纵复数因此，我创建了complex以下类：
为了能够绘制复数我创建了一个complexPlane类。以下是JavaScript中嘚实现
