一. 认识二阶线性微分方程

1. $$二阶线性微分方程定义：
   0 f(x)=0恒成立时称该方程为二阶线性齐次方程；
   0 f(x)??=0时，称该方程为二阶线性非齐次方程

2. $$

二. 二阶線性微分方程求解思路

${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$$$在形式上存在两个常数，符合高阶微分方程通解的规律 $$（即n阶微分方程的通解中存在n个常数）

${}_{}{}_{}{}^{}{}^{}0$

${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$不再符合高阶微分方程通解的规律$$

$$${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}^{}{}^{}0$

1. $$设有函数组y1?,y2?....yn?,（其中y是关于x的函数）?x∈I,${}_{}{}_{}{}_{}$如果存在一组不全为零的常数k1?,k2?...kn?,${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}0$${}_{}{}_{}{}_{}$则称函数组y1?,y2?....yn?在区间I上时线性相关的;
   

${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$【观察发现】当y1?,y2?线性无关时y=c1?y1?+c2?y2?始终存在两个常数，$$满足高阶微分方程通解的规律。

${}^{}{}^{}0$【提出问题(彡）】如何找到二阶线性齐次方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=0的两个线性无关的解

1. $$

   ${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$(1)y1?,y2?是一个函数组，若存在k∈R满足y1?=ky2?,${}_{}{}_{}$则y1?,y2?线性相关，否则线性无关${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}0$${}_{}{}_{}{}_{}$则函数组y1?,y2?....yn?线性相关。

   
   整体不相关→部分不相关.

${}^{}{}^{}0$【提出问题(四）】若已知二阶线性齐次方程y′′+P(x)y′+Q(x)y=0的┅个解能否找到与其线性无关的另一个解？

（使用与推导一阶线性非齐次方程相似的常数变易法进行求解）

${}_{}{}^{}{}^{}0$y2?=C(x)?y1?为y′′+P(x)y′+Q(x)y=0的另一个解(茬求证过程中始终认为C是关于x的函数

$$

${}^{}{}^{}0{}_{}$

0

0 ${}_{}$则方程另一个与y1?线性无关的特解:

对于给定的 n个 n-1次连续可微函数 f、...、 f，它们的朗斯基行列式 W(f, ..., f)为：

行列式的第 i行是 f、...、 f各函数的 i-1次导数组成这个行列式的 n阶方阵也称作这 n个函数的 基本矩阵。

在解线性微汾方程时朗斯基行列式可以用阿贝尔恒等式来计算。

朗斯基行列式可以用来确定一组函数在给定区间上的线性相关性

也就是说，如果茬某些点上 W(f, ..., f) 不等于零则 f、...、 f 线性无关

注意，若 W(f, ..., f)在区间 [ a, b] 上恒等于零函数组 不一定线性相关。

考虑 n阶线性微分方程：  

其中是区间 [ a, b] 上的连续函数并考虑f(t)=0，即 n阶齐次线性微分方程的情形：

对于一组给定的初始值：

方程 (1) 有唯一解如果初始值不定的话，(2) 的任一解加上仍然是 (1) 的解而对于 (2) ，任意 k个 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解因此 (2) 的解集构成一个线性空间，称为 (2) 的 解空间

如果 f、...、 f在一个区间 [ a, b] 上线性相关，则存在不全为零的系数使得对区间 [ a, b] 上的任意 t

因为“微分”是线性算子，所以这个等式可以“延伸”到n-1阶导数故有以下方程组：

将看作变量，则上式變为一个 n元齐次线性方程组由于这个方程有非零解，系数矩阵的行列式 W(f, ..., f)= 0

进一步可以证明， W(f, ..., f)要么在区间 [ a, b] 上恒等于零要么处处不为零（沒有零根）。于是可以证明 (2) 有 n个线性无关的解并且它们线性张成的空间就是 (2) 的解空间。所以 (2) 的解空间是一个 n维线性空间。 (2) 一组 n个线性無关的解称作它的一个