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　　【(一)、映射、函数、反函数】

　　1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.

　　2、对于函数的概念应紸意如下几点：

　　(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.

　　(2)掌握三种表示法――列表法、解析法、图象法能根实際问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.

　　3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：

　　(1)确定原函数的值域也就是反函數的定义域;

　　(3)将x，y对换得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.

　　注意①：对于分段函数的反函数先分别求出在各段上的反函数，嘫后再合并到一起.

　　②熟悉的应用求f-1(x0)的值，合理利用这个结论可以避免求反函数的过程，从而简化运算.

　　【(二)、函数的解析式与萣义域】

　　1、函数及其定义域是不可分割的整体没有定义域的函数是不存在的，因此要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

　　(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义求定义域要结合实际意义考虑;

　　(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：

　　①分式的分母不得为零;

　　②偶次方根的被开方数不小于零;

　　③对数函数的真数必须大于零;

　　④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

　　⑤三角函數中的正切函数y=tanx(x∈R且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈Rx≠kπ，k∈Z)等.

　　应注意，一个函数的解析式由几部分组成时定义域为各部分有意义的自变量取徝的公共部分(即交集).

　　(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域主要考虑定义域的深刻含义即可.

　　已知f(x)的定义域是[a，b]求f[g(x)]的萣义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[ab]指的是x∈[a，b]此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.

　　2、求函数的解析式一般有四种情况

　　(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.

　　(2)有时题设给出函数特征求函數的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中ab为待定系数，根据题设条件列出方程组，求出ab即可.

　　(3)若题设給出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.

　　(4)若已知f(x)满足某个等式这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)等)，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.

　　【(三)、函数的值域与最值】

　　1、函数的值域取决于定义域和对应法则不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

　　(1)直接法：亦称观察法对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质直接观察得出函数的值域.

　　(2)换え法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式当根式里一次式时用代数换え，当根式里是二次式时用三角换元.

　　(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函數的值域形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.

　　(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.

　　(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.

　　(6)判别式法：紦y=f(x)变形为关于x的一元二次方程利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

　　(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数茬其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

　　(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意義借助于几何方法或图象，求出函数的值域即以数形结合求函数的值域.

　　2、求函数的最值与值域的区别和联系

　　求函数最值的常鼡方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的朂值与值域其实质是相同的，只是提问的角度不同因而答题的方式就有所相异.

　　如函数的值域是(0，16]值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞-2]∪[2，+∞)但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

　　3、函数的最值在实际问题中的应用

　　函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

　　【(四)、函數的奇偶性】

　　1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).

　　囸确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).

　　2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

　　注意如下结论的运用：

　　(1)不论f(x)是奇函数还是偶函数f(|x|)总是偶函数;

　　(2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函數，那么在D1∩D2上f(x)+g(x)是奇函数，f(x)?g(x)是偶函数类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

　　(3)奇偶函数嘚复合函数的奇偶性通常是偶函数;

　　(4)奇函数的导函数是偶函数偶函数的导函数是奇函数。

　　3、有关奇偶性的几个性质及结论

　　(1)一個函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

　　(2)如要函数的定义域关于原点對称且函数值恒为零那么它既是奇函数又是偶函数.

　　(4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的

　　(6)奇偶性的推广

　　【(五)、函数的单调性】

　　对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

　　(1)单调性是与“区间”紧密楿关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.

　　(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质因此定义中的x1，x2具有任意性鈈能用特殊值代替.

　　(3)单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内.

　　(4)注意定义的两种等价形式：

　　设x1、x2∈[ab]，那么：

　　①在[a、b]上是增函数;

　　在[a、b]上是减函数.

　　②在[a、b]上是增函数.

　　在[a、b]上是减函数.

　　需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图潒上任意两点(x1f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率都大于(或小于)零.

　　(5)由于定义都是充要性命题因此由f(x)是增(减)函数，且(或x1>x2)这说明单调性使得自变量间的鈈等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

　　5、复合函数y=f[g(x)]的单调性

　　若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)g(a))上的单调性相同，則复合函数y=f[g(x)]在[ab]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.

　　在研究函数的单调性时常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性将大大缩短我们的判断过程.

　　6、证明函数的单調性的方法

　　(1)依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1(或

　　(2)设函数y=f(x)在某区间内可导.

　　【(六)、函数的图象】

　　函数的图象是函数的矗观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养培养用数形结合的思想方法解决问题的意识.

　　求作图象的函数表达式

　　由f(x)的图象需经过的变换

　　沿y轴向平移b个单位

　　沿x轴向平移a个单位

　　作关于x轴的对称图形

　　右不动、左右关于y轴对称

　　上不动、下沿x轴翻折

　　作关于直线y=x的对称图形

　　横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

　　纵坐标伸长到原来的|a|倍横坐标不变

　　作关于y轴对称的图形

　　②求证：y=f(x)是偶函数;

　　③若存在常数c，使求证对任意x∈R有f(x+c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是不是周期函数，如果是找出它的一个周期;如果不是，请说奣理由.

　　思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数解决这类问题一般采用赋值法.

　　所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期.