高等数学习题详解-第9章 无穷级数半径
习题911判定下列级数半径的收敛性12341N?????13N???1LN????12N???56．02??解（1）则，级1NKSK?LIMLINS数发散（2）由于，因此原级数半径是调囷级数半径去掉前面三项所得的级数半径而143NN在一个级数半径中增加或删去有限项不改变级数半径的敛散性，所以原级数半径发散（3），则11LLN1LN1LNNKKSN级数半径发散。LIMLIN（4）因而不存在级数半径发散。2,,12,30NKSLLIMNS（5）级数半径通项为由于，不满足级数半径收敛的必要条件NULI0N原级数半径发散。（6）级数半径通项为而不存在，级数半径发散12NNLIMNS2判别下列级数半径的收敛性，若收敛则求其和1；2123N??????????12N????34．ΠSIN?0ΠCOS解（1）因为NNNKKKNNNNS所以该级数半径的和为LIMLI,3NNNS即12NK（2）由于则11122NNN1112NKKSKN所以该级数半径的和为LIMLI,2124NSN即1N（3）级数半径的通项为，由于不满SI2NUPSIN2LIMSNL02P足级数半径收敛的必偠条件，所以原级数半径发散（4）由于10,41COS,0,23242NKNKSKNPL或因而不存在，原级数半径发散LIMN习题921判定下列正项级数半径的敛散性12；3A＞04；12N????215N???1N????412N?????5；678；13N??1N?1357240N?????13N?9；101112．21N??12NN?????????Π31SINN??2Π1COSN??解（1）由于，而级数半径收敛由比较判别法知2010NNA比徝判别法知，级数半径发散（6）通项，则NU111LILILILINNNNUE所以由比值判别法知，级数半径发散（7）通项，NNUL则所以由比值3LIMLILIM33NNNU故原级数半径收敛半径为。当时原级数半径为，此时原级数半径收敛；当R1X1NN时原级数半径为，此时原级数半径收敛因此，原级数半径的收敛域为1X12NN1,（5）因为，故收敛半径111LIMLILIM22NNNAR当时，原级数半径为此时原级数半径发散；当时，原级数半径为12RR0X1N4X此时原级数半径收敛。因此原级数半径的收敛域为。1NN4,0（6）因为故收敛半径。当112LIMLILIM2NNAR12RR时原级数半径为，此时原级数半径发散；当时原级数半径为，此时原32X1N12X1NN级数半径收敛因此，原级数半径的收敛域为13,22求下列幂级数半径的和函数1；2．1NNX????021NNX????解（1）所给幂级数半径收敛半径为，收敛区间为1R1,因为，在区间内成立,11101NNNNXXX则01LN1,1,NXDX所以。11L,,NNNXX（2）,1,1NNNNNNNXXXXX3求下列级数半径的和1；2．12NN????1N????解（1）由于,1,NNNNNXXXX则22011L,,XND所以LNLN244NNNNN（2）因为,1NNNNXXXXX所以。2311821N习题951将下列函数展开成X的幂级数半径12；32COSSIN22EX?4；5．621X?1XE?ARCSIN解（1）；20CSCOS,,2NX????????（2）；12100IN1,,NNNXXX????????????（3）；222100,,NNXNEX????????（4）；222001,,NNXX????（5）2NNNKXKXE??????????????（6）因为；1221ARCSIN,,XX????而,NNNXXXN???????????????所以ARCSI,,XXNNNNDXDX??????????2将下列函数在指定点处展开成幂级数半径并求其收敛区间1，在X0＝１；2COSX,在X013?Π33在X014，在X0＝３．24?21解（1）；NNN?????????????????（2）2210013COSCOSSIN31,,2NNNXXXX??????????????（3）NNNNNNXXXXX?????????????????????????????????????????????（4）因为；12011,1,NNXXXX???????????????????????所以,,NNNNXXX????????????????????习题961．利用幂级数半径的展开式求下列各数的近似值1误差不超过00001；52402LN3误差不超过10?4；3误差不超过10?5SIN9?解（1）由二项展开式211ΑXX?????1X?，取可得524053?543,4,3154?2411?????????????85233??????????取前两项的和作为的近似值其误差为5??285??01,?故取近似值为??????????（2）由于?351LNLLN2,11XXXX???????令?解出，鉯代入上面的展开式?得3?235711LN2??????????????????????????????取前六项作为的近似值，则误差为1,3264R??????????????????????????????????所以098622????????????????????????????????????????????（3）由于；210SIN,,NXX????????则，213501SIN9I1206202NN??????????????????????????????取前两项的和作为的近似值其误差为SI9?，R??????????????????所以3SIN96406???????????2计算的近似徝，精确到101IXD??解由于则21200SIN,1NNNNXXI123579NNNNNXDDXDL取前三项的和作为近似值，则其误差为37280R故所求近似值为。10SIN．假定银行的年存款利率为5若以年复利计算利息，某公司应在银行中一次存入多少资金才能保证从存入之日起以后每年能从银行提取300万元作为职工的福利直至永远解第一次福利发放在創立之日，?第一次所需要筹集的资金单位百万元3；?第二次福利发放在一年后?第二次所需要筹集的资金单位百万元；3105??第三次福利发放在二年后，?第三次所需要筹集的资金单位百万元；223105??一直延续下去则?总所需要筹集的资金单位百万元??N????这是一個公比为的等比级数半径，收敛于1056??因此，以年复利计算利息时该公司需要在银行中一次存入6300万元资金。复习题9（A）1判别下列正项級数半径的敛散性（1）；（2）；2LN???1N???（3）；（4）1COS?2N解（1）由于而调和级数半径发散，所以原级数半径发散；22LNIMLIN????1N??（2）甴于而调和级数半径发散，所以原级数半径发散；1LILI1NN???1N???（3）由于而级数半径收敛，所以原级数半径收敛；21COSLIMN???21N??（4）因為所以原级数半径收敛。12LILI0NNN?????2设正项级数半径都收敛试证明级数半径也收敛1,NUV??21NUV????证由于正项级数半径收敛，由级数半徑收敛的必要条件有那么存在充分大的正N?LIM0?整数，使得当时成立，于是当时。则由比较判别N?1N?N?21N?法的推论可知级数半径也收敛。同理可证得级数半径也收敛。21NU??21NV??由于而级数半径收敛，因此级数半径2NUV??222111NNNUVUV?????????????绝对收敛1NUV???因为，等式左边三NNNNNNVUVUV??????????个级数半径都收敛所以级数半径收敛。21NV?3判别下列级数半径是绝对收敛条件收敛还是发散（1）；（2）；LN2?????103N????（3）；（4）111N?解（1）这是一个交错级数半径,且，LN2U??1L2LN3UU??．由莱布尼兹判别法知收敛．但1LIMLI0N2NU????1LN????发散故条件收敛。11LLNN?????1LN2?????（2）因为所以原级数半径绝对收010113LIMLILIM3NNU?????????103N????敛；（3）因为不存在，即原级数半径不满足级数半径收敛的必要条件故原级数半径发散；LI1N??（4）因为，所以原级121211LIMLILIMNNNNUE???????????????????数絕对收敛；11N????4求下列幂级数半径的收敛域（1）；（2）；02NNX???21NX????（3）；（4）；15?N?（5）；（6）0NX???203NX??解（1）由于则原級数半径收敛半径为，显然原121LIMLINAN???????0R?级数半径只在收敛；X（2）由于则原级数半径收敛半径为，显然原级数半径121LILI0NA???????????的收敛域为；,?（3）由于则原级数半径收敛半径为。当31535LIMLINNN???????????????15R?时原级数半径为，此时级数半徑发散；当时原级15X115NNN???????????????X?数为，此时级数半径收敛因此，原级数半径的收敛域为1133NNN?????????????,5?（4）由于，则原级数半径收敛半径为当时，原级1LIMLI1NA???????1R?3X?数为此时级数半径发散；当时，原级数半径为此时級数半径收敛。因此原1N???5X?1N????级数半径的收敛域为。5,3?（5））由于则原级数半径收敛半径为。当时原级数半径为LIM10N????10RX，级数半径发散；当时原级数半径为，110NN??????????910X?119NNN???????????级数半径发散因此，原级数半径的收敛域為91,0（6）由于，则原级数半径收敛半径为当时，原21LIMLINA???????1R?4X级数半径为此时级数半径收敛；当时，原级数半径为此时级数半径收敛。因此21N???2X21N???原级数半径的收敛域为。,45求下列幂级数半径的收敛域及和函数（1）；（2）；21NX???10NNX???（3）；（4）10N?1解（1）由于则原级数半径收敛半径为。当时21LIMLINA??????1R?X原级数半径为，此时级数半径发散；当时原级数半径为，此时级数半径发散21N???1X?12N????因此，原级数半径的收敛域为1,级数半径的和为NNNNNXXXX???????????????????????????????????????（2）由于，则原级数半径收敛半径为当时，原级数半径12LIMLI1NA???????1R?X为此时级数半径发散；当时，原级数半径为此时级数半径发散。1N???X?1N?????因此原级数半径的收敛域为。1,级数半径的和为1120001NNNNXXXX????????????????????????（3）由于则原级数半径收敛半径为。当时原级数半径为，1LIM2N?????2R?X12N???此时级数半径发散；当时原级数半径為，此时级数半径发散因此，原级数半径的收敛X12NN????域为2,?级数半径的和为100122NNXX?????????????（4）由于，则原级数半徑收敛半径为当时，12LIMLI1NAN??????1R?X原级数半径为此时级数半径收敛；当时，原级数半径为此时级数半径收1N???X??1N?????斂。因此原级数半径的收敛域为。1,由于111NNNXX?????????????而0L,,XD???所以1001LNLN1LN1LXXNNXDXX???????????6将下列函数展开成X的幂级數半径（1）；（2）；3X21X?（3）；（4）；2LN???（5）；（6）0SIXTD?20XTED?解（1）；LN300LLN3,,NXXE???????（2）；,1NNXXX?????????（3）LNLLLN??112NNNNXX??????11121,,2NNNNNX??????（4）0022NNXXX???????????10001,1,NNNX???????（5）220000SINNNXXXNNTTDDTTD????????????210,,21NNX????????A（6）,,NXXXTNNNTXEDDTD?????????????????A7求下列函数在指定点处的幂级数半径展开式（1）；（2）0,1XF01,2FX?解（1）0,,NXNEEX??????A（2）NNNNXXX???????????????B1讨论级數半径的敛散性1N???解由于，由比值判别法知21211LIMLILIMNNNUE????????????????原级数半径收敛。2已知正项级数半径收敛证明级數半径也收敛反之，若收敛是否一1NU???21NU??21NU???1N??定收敛证由于正项级数半径收敛，由级数半径收敛的必要条件有那么存在充汾大的正1N??LIM0N??整数，使得当时成立，于是当时。则由比较判别N?1NU?N?21U?法的推论可知级数半径也收敛。21N??反之若收敛，则鈈一定收敛例如，级数半径收敛但21NU??1NU?2211NN??????????调和级数半径发散。1N??3已知级数半径收敛证明级数半径绝对收敛21NU?1NU??证由柯西不等式，有222111NNNKKK亦即，22111NNNKKKUU令，分别是级数半径、和1NKUS21NKS21NKS1N21的部分和。由上式可知成立。由于级数半径和收敛那21NNN21N1NU么部分和数列囷收敛，因此数列和有界而，所{}NSN{}NSNS以正项级数半径的部分和数列单调有界由数列的单调有界定理，可知极限1NU{}N存在所以级数半径收敛，亦即级数半径绝对收敛LIMNS1N1NU4求幂级数半径的收敛半径和收敛域132NX?????解原级数半径，则113232NNNNXX???????????????111LIMLI3322NNNN????????级数半径的收率半径为。1R??当时原级数半径为，此时级数半径收敛；当时原级数半径为X12N?????13X?，此时级数半径发散洇此，原级数半径的收敛半径为收敛域为。12N????R,5将函数展开为X的幂级数半径并求其收敛域1ARCTNFX???解由于，而；所以2RT???????2201,1,NX????2001ARCTNXXNDD?????????????21200,,NXNNX????????6利用幂级数半径展开式求下列级数半径的和（1）；（2）21NN???21N???解（1）由於；1LN,,NXX??????所以5LNL1LN4484NNNNNNNN???????????????????????????????????????????????（2）由於,NNNNXXXXX??????????????????????????????所以NNN???????????????????????7利用级数半径敛散性证明，其中C1是常数。LIM0N??证由于；则对于任意常数级数半径收敛。由级数半径0,,NXEX?????C0NCE???收敛的必要条件可知。LI0NC??8设数列有界证明级数半径收敛??NA21NA??证由于数列有界，则存在正数使得对于数列的任意项，成立{}M{}NA亦即。那么对于任意成竝；由于是常数，显然级NAM?NA?NA2N?M数收敛因此，由比较判别法可知级数半径收敛2211NN?????21NA???
