02013初等数论试卷及答案_百度文库
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02013初等数论试卷及答案
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若a≡b（modm)，a≡b（modn)，且（m,n)=1，则a≡b（modmn).
若a≡b（modm)且a≡b（modn)，则a≡b（modmn)？
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提问人：匿名网友
发布时间：
若a≡b(modm)，a≡b(modn)，且(m,n)=1，则a≡b(modmn).&&若a≡b(modm)且a≡b(modn)，则a≡b(modmn)？
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1一次方程组ax=b恰有一个解．&&一次同余式ax≡b(modm)恰有一个解？2(a，n)=1，则一次同余方程ax≡b(modn)有且仅有一个解．3(孙子定理)设n≥2，m1，m2，…，mn是两两互素的正整数，令M=m1m2…mn，，(i=1，2，…，n)，则同余方程组&&&&(1)&&有且只有解x=M1a1c1+M2a2c2+…+Mnancn(modM)，其中Miai=1(modmi)，i=1,2，…，n．&&若m1,m2，…，mn为任意正整数，M=m1m2…mn，，(i=1，2，…，n)，则同余方程组(1)有且仅有解x=M1a1c1+M2a2c2+…+Mnancn(modM)，其中Miai=1(modmi)，i=1，2，…，n?4p为素数，则，m≥1.&&若p为任意整数，则，m≥1?
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m取和时,32≡11(modm)与1000≡-1(modm)同时成立
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用费尔马小定理定理：若(a,b)=1,则a^b≡a(mod b) 在这个题目中,已知(a,m)=1,则a^m≡a(mod m),也就是a^(m-1)≡1(mod m),取k=m-1满足要求
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当前位置：&>&&>& > 3.1同余的概念及其基本性质
3.1同余的概念及其基本性质
3.1同余的概念及其基本性质1. 200247的十进位表示的末二位数字是
.2. 若a≡b(mod m),试证(a,m)=(b,m).3. 试证13|(5+4+2000).(提示：可取模13进行计算性证明)4. 下列同余式不成立的是(
)。A. 15≡(-1)(mod 7)
B. 150≡3(mod 7)C. 165≡4(mod 7)
D. 120≡1(mod 7)5. 用弃九法判别下列算式肯定错误的有(
B. 7560C. 56
D. 566. 求22002的末位数。n7. 求所有使2-1为7的倍数的正整数n。8. 设a是整数，(1)a≡0(mod9)(2)a≡2004(mod9)(3)a的十进位表示的各位数码字之和可被9整除(4)划去a的十进位表示中所有的数码字9，所得的新数被9整除以上各条件中，成为9|a的充要条件的共有（ C
B.2个C.3个
D.4个9. 3103被11除所得余数是__5_10. 设a是整数，下面同余式有可能成立的是(
)。A. a2≡2 (mod 4)C. a2≡5 (mod 11)
B. a2≡5 (mod 7)
D. a2≡6 (mod 13) 4m6n11．求()35被73除所得余数.12. 除所得的余数为___1__13. 求3×132005的个位数字.14. 如果a≡b(mod m)，c是任意整数，则下列错误的是（ A
）A．ac≡bc(mod mc) B．m|a-bC．(a,m)=(b,m) D．a=b+mt,t∈Z15. 若今天是星期二,则1010天后的那一天是星期__六__.16. 下列四个数中,个位数是3的是(
)A.32000 B.5324
C.56789 D.13131317. 求11+22+33+,,+52005被3除所得余数.18, 11与-10以下列(
)数为模时同余?
（ B ）A.2
D.5。19. 若ab≡ac(modm),则下列式子不一定成立的是(
)A.a2b2≡a2c2(modm)
B.m|a(b-c)C.2ab≡2ac(modm)
D.b≡c(modm) 20. 下列式子成立的是(
)A.15≡－1(mod7)
B.165≡2(mod7)C.523≡75(mod7)
D.(mod7) 21. 若今天是星期四，则1000天后的那一天是(
B.星期三C.星期二
D.星期五 22. 下列同余式中，正确的是（
C ）A．50≡29（mod 22）C．30≡105(mod 25) 4
B．40≡18(mod 20) D．38≡2(mod 19) 23. 设n为奇数，则n被4除的余数是（
D．316．任意10个连续整数中能被3整除的至少有（
D．4下列算式中错误的是（ B
）A．5＝963
B．9＝258C．8＝684
D．3＝59625．在不超过198的自然中，适合4n≡1(mod 5)的有（ B
D．101个26．设n为自然数，下列各数中与38n对于模8同余的是（ D
D．－72p-1设p为奇质数，证明：2p|(2－2).19983除以9的余数是（
D．0 证明：?若m|a-b,m为正整数，则下列不正确的是(
)。A. a≡b(mod m)
B. a=b+mt，t为整数C. b=a+mt，t为整数
D. a=b+m1×2×3+2×3×4+,,+n(n+1)(n+2)+,,+×2002被3除后的余数是__0____。 求除后的余数。n为正整数，则有360|192n-1。日是星期日，则500天后的那一天是（ A
）A.星期三C.星期四
B.星期二 D.星期五下列命题不一定成立的是（ C
）A.若a≡b(modm),c为整数，则ac=bc(modm)B.若a≡b(modm),c≡d(modm)，则ac≡bd(modm)C.若a≡b(modm),c≡d(modm)，则ab=cd(modm)D.若a≡b(modm),n为自然数，则an≡bn(modm)与100以7为模同余的最小正整数是___2________。设n为整数，求证：168|136n+167.下列关于同余式的性质中不成立的是（
）A. 若a?b?modm?，则a?b?modm?。B。若a?b?modm?，则a?b?modm? 2222C．若ad?bd?modm?且?d,m??1，则a?b?modm?。D．若a?bmodm乘积?，则a2?b2?modm?。 ?的个位上的数字是。设今天是星期天，明天是第一天，则第
天是星期六。A. 10
D. 10若a?b?modm?，d是a、b及m的任一正公约数，则下列同余式中不正确的是（
a?b?modd? B. a?b?mod??abm?nn??a?bmodm C.
??modm? ?d?dd同余方程5x≡13(mod43)的解是_____.下列式子成立的是（
）A. 13?2?mod3?
B. ?2?2?mod8? C. 6?20?mod7?
D. 25??6?mod3? 2日是星期二，则日是（
）A. 星期五 B. 星期六 C. 星期日
D.星期一证明：无论a取哪一个整数，恒有a?a?1??2?mod3?。 2与“n?7?mod8?”表述形式不能等价的是（
）A. n?7?8k，k是整数
B. n被8除余7
n－7被8整除
D. n－8被7整除 下列式子不能成立的是（
）A. 31??11?mod21? B. 11?1?mod3? C. 8?7?85?mod10?
D. 199?2?mod9? 2日是星期六，则日是（
）A. 星期四B. 星期五C. 星期六
D.星期三3100的十进制表示中的个位数字是。32n?1被8除的余数是
。下列命题不一定成立的是（
）A．若a≡b(modm), c≡d(modm), 则a-c≡b-d(modm)
B．若a≡b(modm), n≥2, 则an≡bn(modm)C．若ac≡bc(modm), 则有a≡b(modm)
D．若ak≡bk≡(modmk), 则a≡b(modm) 3100的十进位表示中个位数字是（
D．971001被17除的余数是（
D．10任意12个连续整数中能被4除余2 的数有
D．5下列命题不一定成立的是（
）A．若a≡b(modm), 则b≡a (modm) B．若a≡b(modm), 则－a≡－b(modm)C．若a≡b (modm), 则有b≡－a (modm)
D．若a≡b (modmk), b≡c (modm),则a≡c (modm) 设n为正整数，证明：15|(24n－1).与“n?5?mod7?”表述形式不能等价的是（
）A. n?5?7k，k是整数
B. n被7除余5
n－5被7整除
D. n－7被5整除 －10与11在以下哪个数为模时同余？（
D．10a≡b(modq)，c≡d (modq),则有（
）A．a＋c≡bd (modq) B．a c≡b＋d (modq ),C．a＋c≡b＋d (modq ),
D．a b≡c d (modq ) 32575对模13同余的最小正整数是。131000的十进位表示中个位数字是下列同余式正确的是（
）A．1652（mod 7）
B．2873（mod 13）
C．9827（mod 11）
D．796-3（mod 17）21．一个非负整数的立方除以7，余数中不可能出现以下哪个数？（） A．0
C．6D．7若今天是星期四，1000天后的那天是（ ）A．星期四
D．星期三1000对模7同余的最小正整数是31000的十进位表示中个位数字是。设a,b,c是整数，m为正整数，a bc≡0 (modm),则（
）成立。A．ma或mb或mc
B．mab或mbc或macC．?m,a??1时，mbc
D．mb时，mac。 百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
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若d是使a^d≡1（modm）成立的最小正整数,而且存在整数n使a^n≡1（modm）,证明d整除n.我是这么想的：用反证法.假设d不能整除n,则有n=dq+r,0≤r＜d,于是1≡a^n=a^（dq+r）=a^dq×a^r（modm）但是我到这里就不会证了,我也看不出有何矛盾,我觉得最主要的是如何去用d是使a^d≡1（modm）成立的最小正整数这个条件.再有解答者请看看我对问题的追问，这是我的主要疑问，只要解释追问中的内容，能让我明白的一定给分。
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1≡a^n≡a^（dq+r）≡(a^d)^q×a^r≡1^q×a^r≡a^r（modm）即1≡a^r（modm）而d是使a^d≡1（modm）成立的最小正整数,且r
(a^d)^q×a^r≡1^q×a^r，请解释这一步的依据是什么，谢谢。。。。。。
(a^d)^q×a^r=(a^d-1 +1)^q×a^r=(km+1)^q ×a^r同余a^r
再不明白，(km+1)^q用二项式展开，其中只有1不是m的倍数，所以除以m余数＝1
我有几个疑问，这几个疑问可能是我不明白的原因吧
首先你的式子中1≡a^n是什么意思，我从来没有见过，我见过1≡a^n（modm），读作1和a^n关于（模）同余，但是你的式子中(a^d)^q×a^r=(a^d-1 +1)^q×a^r=(km+1)^q ×a^r同余a^r前面的一个等号我能理解是代数变形，后面的一个式子中(km+1)^q ×a^r我也能理解，但是你为什么要在后面加上同余a^r，另外二项式展开是什么，我不知道，希望你能一一详细解释，谢谢，我一定给你加分的。
一、1≡a^n≡.....≡a^r（modm）,最后边不是有“（mod　m）”吗？
连续地用≡，只需要在最后附上“（mod　m）”
表示“≡”两端的表达式除以m余数都相同
例：1≡4≡7≡10(mod 3)表示这些数除以3余数相等(=1)
(km+1)^q除以m的余数是1,所以(km+1)^q ×a^r除以m余数与a^r相同（即可以用同余≡表示二者的同余关系）
例（56780+1）^12345 *×a^r除以10的余数与×a^r是相同的
二项式展开(自己找资料看看，网上查也应该有)：
(a+b)^n=a^n+...+nab^(n-1)+b^n
(a+b)^2=a^2+...+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+...+3ab^2+b^3
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