我从未见过一款富有数学元素的游戏，能够这么美 | 科学人 | 果壳网 科技有意思
我从未见过一款富有数学元素的游戏，能够这么美
本文作者:娄大江
不知你是否曾沉浸于斐波那契螺旋线的迷幻？不知你是否曾迷失于彭罗斯三角的神秘？不知你是否曾陶醉于正多边形的优雅？
当这一切与《纪念碑谷 2》结合起来的时候，你会惊叹，原来一款富有数学元素的游戏也能让人如此喜爱。
《纪念碑谷 2》的设计风格简洁干净，没有冗余的装饰，每一个关卡都可以截图做成一张壁纸。其沿袭了一代中的视错觉、不可能几何等经典设计，而其添加的新元素——“树”的设计更是点睛之笔，令玩家难以忘怀。
那么除此之外，《纪念碑谷2》的画面里还隐藏着哪些玄机，让人对这个小世界欲罢不能呢？
不可能图形，谜题从此而来
《纪念碑谷》中的很多谜题设计都来源于不可能图形，这种视觉欺骗往往让人感到不可思议。最基础的，也是出现很多次的便是彭罗斯三角形。
彭罗斯三角形被称为“最纯粹形式的不可能”，它将三个不同角度的三角顶角整合为一个整体，因而本应是一个平面的面发生了扭转，而这样的三角形在三维世界是不可能存在的。
彭罗斯三角形，图片来源：GAOXIAOGIF.COM
纪念碑谷中的彭罗斯三角形
除了类似彭罗斯三角形的视觉错觉之外，还有一部分是利用“凹”与“凸”的错觉。因为“凹”与“凸”的相对明暗关系相同，因此人要依靠环境来判断究竟是凹还是凸。
几个顶角是凹还是凸？
当然，说到不可能图形就一定要提到埃舍尔。
早在二十世纪五十年代，荷兰画家埃舍尔就已经有了多幅表现视觉悖论的画作。他画得极其写实，因此造成的荒谬感就异常强烈。
在《纪念碑谷 2》中，萝尔的女儿独自乘船来到新大陆时，便遇到了这样一个谜题。
离开这个地方的门高高地挂在高塔上面，而破碎的路却不知通向何处，眼看着没有能帮助她升去高层的道具，殊不知沿着平面往前走，便已然到达了高层。
这副不可能的场景，在埃舍尔的作品《瀑布》中早有所体现。
埃舍尔《瀑布》（Waterfall, 1961），图片来自：http://www.mcescher.com/
这些悖论产生的原理都是相同的，即将三维物体投影到二维后产生的空间维度错觉。值得一提的是彭罗斯三角形在三维世界不可能存在，但在四维世界很容易就可以做到。正如莫比乌斯环、克莱因瓶。莫比乌斯环在二维世界不可能存在，需要在三维中扭曲；而克莱因瓶需要在四维扭曲，真正的克莱因瓶不存在交叉。
等角投影，迅速建立空间印象
《纪念碑谷2》的谜题多是建立在立体空间的，而有的游戏的建筑其实十分复杂，如何保证让玩家尽可能快地接受信息，从而建立起空间印象呢？这里就用到了一个制图学经常用到的方法——等角投影。
简单来说，等角投影是一种在二维空间中呈现三维物体的一种方法，这种方法的特点是保证角度正确，但是会产生形变。
彼得·艾森曼设计的Frank House等角投影图
最常见的应属墨卡托投影，这是制作地图普遍使用的投影方法。地球是一个球体，设想一个与地轴方向一致的与地球相切的圆柱，按照等角投影的方式把经纬线投到圆柱上。这样做的后果是越往两极，形变越大，拽得越开，但是点与点之间的长度比例都是正确的，即没有角度变形，但有严重的面积变形。把这个圆柱剪开，就形成了一张世界地图。也是因为严重的面积变形，本来很小的格陵兰岛因为靠近北极，地图上就变成了一个很大的岛。
墨卡托投影制作的世界地图，巨大的南极北极
当然了，《纪念碑谷2》运用的并不是墨卡托投影，而是建筑设计中更普遍的一种，将立体的建筑整个做了等角投影投射到画面上。正如上面所说的，这样做越靠近两端的地方就越会失真，仔细比对的话，《纪念碑谷2》的很多画面是不符合标准透视的，和地图一样，两头被拉大了。
《纪念碑谷2》透视VS真实透视，注意顶面底面，透视导致对边一定不平行
这样的投影一定程度上克制了“近大远小”，使得本应是梯形的投影变成了长方形，于是就有了这样的魔幻效果：
但是这种有限的失真换取的是更加精确的表面与内部的视觉。因此玩家可以迅速建立空间影像帮助了解这个世界。
旋转对称与轴对称，手残也能画好符
《纪念碑谷2》的不同于一代的另一个巧妙设计是关卡之后通关的图形可以自己画。很多人甚至会为了画好这个图形重新打好几遍那个关卡。然而并不是所有人都是大触，《纪念碑谷2》怎样有信心把这样一个任务交给可能手残的玩家呢？这里就用到了大家都知道的旋转对称与轴对称。
哪怕单独的一个很丑很丑，线条仿佛触电抽搐，图形诡异，在对称成一圈之后就会变得和谐。就如同小的时候剪窗花，把红纸叠成好多叠，然后乱剪一通，打开看也依然赏心悦目。
旋转之所以能拥有这样的魔力，是因为它把你的瑕疵多次按照规律重复，这样瑕疵本身拥有了规律，成为了一种秩序所在。并且它与图案的剩下部分拥有同步的规律，也就可以融合进图形，即使你手残也可以放心大胆地画。
别看程序自动帮你轴对称很容易，现实生活中要想画出对称的事物其实很困难。不说复杂的花，单是正多边形的尺规作图，就要让数学学者们琢磨好一阵子。
尺规作图，是指用没有刻线的直尺与圆规作图。在所有有关正多边形尺规作图的故事当中，天才数学家高斯发明正十七边形作图方法是最有名的了。
正十七边形尺规作图方法
当然，这只是个传说，这个方法并不是高斯发现的，但是高斯确实在尺规作图领域有很大贡献，他证明了有哪些多边形可以被尺规作图——当且仅当边数是费马素数或者两个不同的费马素数的乘积，或者是这些数的2的乘幂倍时。
根据高斯的理论，正65537边形（内角和为°，对角线条，没错我不是在搓键盘）可以被尺规作图。德国数学家Johann Gustav Hermes花费了10年给出了具体的作法并于1894年发表。这是人类给出的最多条边的多边形作图方法。
坐标轴中间已经看不见的小点点就是正65537边形
如何成就点睛之笔？
《纪念碑谷2》最亮眼的亮点当属树的设计。在游戏中，树在光的照耀下就回成长，离开光会缩回，担当了动态机关的同时，带来的美感令人惊艳，这种美除了树与光本身之外，还来源于对比和跳脱。
《纪念碑谷2》的背景环境与一代一样多为几何形建筑，色彩都是“冰淇淋色”。即饱和度适中，不含高光，不贴材质，一切都以纯色呈现。另外建筑多为规则图形，且参考了建筑的解构主义与极简主义，线条规则清晰，几何美突出。
西班牙红墙，图片来自：Ricardo Bofill
而这棵树就不一样了，饱和度通常偏高的颜色，形状没有完全抽象成纯色立方体，而是略微写实地有了一些材质和不规则图形（树叶、树干）。且因为关卡设计，树在游戏中是即时变化的，这都和直来直去的背景形成了对比。
色彩对比，图片来自：http://www.tuicool.com/
即时变化的树
这样的对比让树成为了整个画面的点睛之笔，在视觉上有一个跳脱的点，让这个场景显得生机勃勃。
除了颜值担当之外，树还有一个独特的象征，它象征着女儿的成长与蜕变。走到果园的尽头，女儿走进树屋，树木随即生长，等到再次见到光明重新绽放之时，长大成人的女儿站在树的顶端，重新打量这个世界。在这个成长的故事里，处处阳光普照。
巧妙地运用数学让画面更加协调，达到应有的视觉效果，无形中给这个游戏加分不少。如果你在寻找一个没有负担轻松温馨，但同时充满惊喜、挑战常识的冒险，那么《纪念碑谷2》将是一个完美的选择。
如果你已经玩过这款游戏了，那么我想你一定已经感受到《纪念碑谷 2》中数学元素所带给你的迷幻、神秘和优雅了。
如果你还没有玩过，那么我想你正需要这款游戏，来带你摆脱对数学的偏见，感受到数学之美。（编辑：Lyroat）
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只玩過第一部,第二部還沒玩過.
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全部评论(24)
只玩過第一部,第二部還沒玩過.
没钱，没闲……
买了正版，值得推荐
先玩的2，通关了去玩1，发现1还比2更难点
玩过第一部
看着这文中的动图就觉得头大了，感觉就俺这智商，还是别去玩儿这游戏了，省得被这给游戏玩儿晕了。。。。。。
引用 的话: 不懂无限回廊...
我不看我不看，又一个游戏剧透！
——来自安卓用户。
3D打印可以打印出一个克莱因瓶么？
神作，无可比拟
引用 的话：我只是想说，图片有点大，电脑有点卡。。。还不如我三百块钱的二奶机
引用 的话：我只是想说，图片有点大，电脑有点卡。。。手机chrome崩溃了好几次。。。
请问可以转到纪念碑谷吧里吗？
图案不需要重新画1.在圆形形成之前松手可以重画;2.线条长度有上限，只保留最新画出来的长度。
没玩过1，2很快就通关了，画面很漂亮，就是简单了点。最喜欢每章结束去画符，不过最后一章手残画得不好看。
一看苹果的,一点都不完美
就等安卓的了
科技迟早会停滞。无法再前进。现在能追赶上尖端科学的人越来越少了，需要用半辈子来掌握旧知识，以后可能学会旧知识，人就行将就木了
安卓有了么
广告文发一篇可以理解，连发两篇就不对了啊喂！
22楼，人类是会制造工具的，运用旧知识会制造各种种样的工具把知识封装起来未来会用就行，未来人还可能分化成各方面专型，就是专长型人才所学的就只是某个方面，然后各专长相互合作，就好像工蜂，兵蜂各有各的活。
塞尔达的物理引擎就是参考这个游戏的
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纪念碑谷破解版
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《纪念碑谷》（Monument Valley）是游戏商ustwo games旗下的一款独立解谜游戏，游戏用Unity3D引擎制作而成。游戏在游戏中，通过探索隐藏小路、发现视力错觉以及击败神秘的乌鸦人来帮助沉默公主艾达走出纪念碑迷阵，引导艾达至碑谷。
小公主艾达因为好奇而盗走了王国的神圣几何，这一看似无害的行为却使得整个王国的人全部灭亡。
明白了自己错误的公主开始了一段归还神圣几何的旅途，请求宽恕和原谅。不过为时已晚，国土中民众的亡灵已经化为乌鸦人，在王国内四处徘徊，被束缚着，无法离开这片土地（游戏中乌鸦人沿着固定的路线行走）。游戏玩到后面，会发现公主艾达其实是乌鸦公主，也许因为某种力量（或者诅咒），她需要通过自己的力量，来让所有乌鸦人（也包括公主自己）得到解脱。完成了整个游戏的流程后，艾达公主终于得到了原谅，获得一个王冠，恢复了乌鸦公主的身份，带着所有的乌鸦们，一同离开这片土地。
艾达是一个沉默的公主，白色的圆锥帽，白色的摆裙是她的标志装束，她偷窃了宫中的纪念碑，为了忏悔，她决定将这些纪念碑归还，而玩家的任务就是操纵她走过各式各样具有特色且困难的走道，来到终点归还纪念碑。
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暗夜没有实体，是一个人形的蓝色图像。暗夜在第一关中出现，引导艾达走到前往下一关的传送台。此后几乎每关，暗夜都会出现，点击它，它会说一些神秘的话，似乎是在揭示游戏的剧情背景。如“朽骨暗夜候多时 沉默的公主 您已徘徊多远？”之类。
仅一句话“提供新的章节”，新的章节名叫《被遗忘的海岸》，一共由8个新关卡（深坑、毒蛇之湖、小偷、静谧庭院、迷失瀑布、幻想城堡、密牢、夜曲）组成。我们的艾达公主要前往与原版完全不同的神奇场景展开新的冒险，但是这次玩家不需要按照顺序从1至8进行游戏，而是可以在网状分布的结构中自由选择前7关，前7关完成后最终关才会出现。
难度评级：1是附录里最简单的一关，可能是开发商给每一个玩家一个重温的机会，此关卡最大的特色就路途上会出现很多次道路崩塌或道路断裂，影响玩家早已预设好的路径，这时就要看玩家随机应变的能力咯。
难度评级：4
小编的眼中这一关是最难通过的，这一关是通过道路扭曲把艾达送上不同面上的道路从而到终点，小编有两次侥幸过关，但之后完全把这关的通关方法给忘记了，真是名副其实的毒蛇，还会扭曲，真是令人叹为观止呢！
难度评级：3
这一关跟上一关相比起来真是简单多了。只不过每一个玩家都有吓一跳的时候，就是游戏刚开始那一会儿，一个乌鸦坐在一个门栏上，相信大多数玩家最初玩的时候都会在小人按下按钮后快速打算进入另一边的门中，但是会出现这样一幕，艾达一旦离开，按钮松开，乌鸦人坐的门栏立即转过来，把艾达和乌鸦人都撞飞了，这可是猝不及防哦！而艾达再次醒来时，她却发现――我的帽子不见了！这就是着一关的最大特色，在艾达到终点后还不够。要把帽子找回来才可以。
难度评级：4。
这一关其实很普通，但是却多次利用了水来过关，要好好操纵水才可以。如果是热爱研究空间的人，会发现这一关的设计跟一幅画有很大的关系――埃舍尔的《瀑布》其实玩这一关最重要的是欣赏，特别是最后的水源回流，最美丽了！
难度评级：3
小编眼里，这一关也很难，只不过稍微比第二关简单一些，。这一关里面出现了两次通过让图腾支撑着路障从而使艾达过关的情景，但是为了艾达，图腾牺牲了自己――身体的四个方块分裂了！小编也猜测，正是因为这一关的图腾身体分裂，是使得第八关成为隐藏关的一个原因，第八关要通过前几关才能开启。因为如果第八关没有隐藏，那么会有人先玩第八关，第八关中又有图腾身体的碎片，玩家怎么会知道这些碎片怎么来的呢？
难度评级：2
这一关非常简单，玩家只需要掌握空间的交错和同一个空间面路线就很容易过关了，但这一关所使用的最多的方法就是旋转，玩家千万要把路线看清楚，一旦旋转错了可能就走进了死胡同。
难度评级：3
这一关玩的小编是眼花缭乱，进一个门后出来这个门就到了另一个地方，看着这个地方的外观可不是这样啊！这关总共玩下来也大概有将近10个地方了，在一个长方体中，这真是太神奇了。不过说实在的还真是不容易通关。不过最后通过旋转长大的那一棵树还真是很舒心的。真是太美了。
难度评级：5
这一关是所有关卡中最难的啦！这一关的名字真是耐人寻味。这一关中最重要的就是收集图腾的身体的四个碎片，来启动天梯从而到达终点。这一关没什么好说的，还是让每个玩家自己去寻找方法。
正式版10关卡+新篇章8关卡，解锁所有关卡！
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