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久期和凸性
现代投资组合理论与 投资分析――久期与凸性 久期与凸性 （Duration and Convexity)根据债券定价模型， 根据债券定价模型，人们开发出了有关债 券价格相对利率变化的灵敏度及其它很有 用的指标， 久期（ 用的指标，如久期（Duration）和凸性 ） （Convexity）。 ）。引言前面我们注意到，所有债券（证券） 前面我们注意到，所有债券（证券）都承担利率 风险，并且长期债券比短期债券对这些风险更为 风险， 敏感。前面的图和表均说明了这个问题。但是， 敏感。前面的图和表均说明了这个问题。但是， 这种说明和表达方式是不精确的。 这种说明和表达方式是不精确的。 首先，期限的度量， 首先，期限的度量，忽视了债券中间时期的现金 仅仅是关注到期时的最后支付， 流，仅仅是关注到期时的最后支付，利息支付 中间的现金流）对于利率风险是重要的， （中间的现金流）对于利率风险是重要的，而且 众所周知， 众所周知，票息高的债券比那些票息低的债券对 利率的敏感性要低。实质上， 利率的敏感性要低。实质上，通过更快的现金流 回报， 回报，持有高息票债券的投资者比持有低息票债 券的投资者可更快收回投资。上面的表2 券的投资者可更快收回投资。上面的表2就是一 个例证在上面的例子中，尽管三支债券的期限均相同， 在上面的例子中，尽管三支债券的期限均相同， 但三支债券表现出对利率变化不同的灵敏性。 但三支债券表现出对利率变化不同的灵敏性。按 这里的期限， 这里的期限，对三支债券对利率变化的相对灵敏 性的影响是有限的。 性的影响是有限的。 久期这个指标可以评价具有不同现金流方式的债 券的相对承担利率风险的成份， 券的相对承担利率风险的成份，因为它既考虑到 了期末的现金支付又考虑到了期间的现金支付情 它使债券定价定理5得以精确化 得以精确化）。 况（它使债券定价定理 得以精确化）。二、债券的平均生命期和久期1、债券平均 、债 券 价 值命期期310 12233 平均生命期2、债券久期图示：相同的例子 、债券久期图示：债 券 价 值现 金 1现 金 2现 金 30123久 期上图中，债券的生命期为 年 然而， 上图中，债券的生命期为2年。然而，一个更为精 确的现金流生命的度量，应考虑到现金流的现值。 确的现金流生命的度量，应考虑到现金流的现值。 在这种情况下， 在这种情况下，目标是用支付的现金流的现值给 每次支付加权， 每次支付加权，而不是简单地用未加处理的支付 额来计算平均时间。这种用每次支付的现值为每 额来计算平均时间。这种用每次支付的现值为每 次支付时间加权的度量被命名为久期d，如上图。 次支付时间加权的度量被命名为久期 ，如上图。 由于较早的支付比较晚的支付现值高， 由于较早的支付比较晚的支付现值高，因此久期 的期限将小与平均生命期。见上图。 的期限将小与平均生命期。见上图。债券久期的计算公式为： 债券久期的计算公式为：? C1 C3 (Cn + F ) ? C2 +2 +3 + ... + t d = ?1 /P 2 3 t ? (1 + k ) (1 + k ) (1 + k ) ? ? (1 + k )上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加 现金流入包括利息C和赎回本金 和赎回本金F， 权。现金流入包括利息 和赎回本金 ，并且时间加 权数是从1到 。最后，现金流对时间加权后求和， 权数是从 到t。最后，现金流对时间加权后求和，再 除以债券价格P（债券估值公式中的P）。 除以债券价格 （债券估值公式中的 ）。3、久期例子计算表 、（1）公式： ）公式：? C1 C3 ? C2 d = ?1 /P +2 +3 2 3 ? (1 + k ) (1 + k ) ? ? (1 + k )（2）债券 （折价债券）： ）债券A（折价债券）：? 0 0 1331 ? d = ?1 +2 +3 ? /
) (1 .331 ) ? ? (1 . 10 ) ＝［（0）＋ （0）＋ （1000 ）］／1000 ＝3年 1 2 3（3）债券 （抵押债券）： ）债券B（抵押债券）：? 40 0 40 0 400 ? d = ?1 +2 +3 ? / ) (1 .331 ) ? ? (1 .10 ) ＝［（364）＋ （331）＋（301）］／1000 ＝( ) = 1.9 年 1 2 3（4）债券 （息票债券）： ）债券C（息票债券）：? 10 0 10 0 1100 ? d = ?1 +2 +3 ? / ) (1 .331) ? ? (1 .10 ) ＝［（90）＋（81）＋（827）］／1000 ＝( ) = 2.7 年 1 2 3注意：零息票折价债券的期限与久期相同， 注意：零息票折价债券的期限与久期相同， 这是因为全部的现金流均在持有期末收到。 这是因为全部的现金流均在持有期末收到。 另一方面， 另一方面，期间发生支付的债券其久期短 于期限。因此息票债券C的久期为 的久期为2.7年 于期限。因此息票债券 的久期为 年， 小于期限3年 债券B由于其平均现金流而 小于期限 年。债券 由于其平均现金流而 拥有更短的久期， 拥有更短的久期，为1.9年。 年第三节 久期和利率灵敏度问题的引出 作为一种度量投资者投资回收期的方法， 作为一种度量投资者投资回收期的方法，久 期同期限相比， 期同期限相比，其最明显的优势是度量债券价格 相对于到期收益率变化的灵敏度上： 相对于到期收益率变化的灵敏度上：久期使债券 定价定理2得以精确。通常认为， 定价定理2得以精确。通常认为，两支不同期限的 债券，其到期收益率变化1％，所带来的债券价格 债券，其到期收益率变化1％，所带来的债券价格 变化，期限较长的变化大于期限较短的变化。 变化，期限较长的变化大于期限较短的变化。然 如果债券的息票不同，上述结论则不正确。 而，如果债券的息票不同，上述结论则不正确。 在一般情况下， 在一般情况下，期限与价格灵敏度之间不存在一 种简单的关系， 种简单的关系，而久期却给出了一个更为接近的 方程。 方程。久期 × 到期收益率变化 价格变化百分比＝ 1＋到期收益率根据上表中的息票债券C 假定到期收益率从10 10％ 根据上表中的息票债券C，假定到期收益率从10％ 增长到11％。据此可得期望的价格变化 11％。据此可得期望的价格变化： 增长到11％。据此可得期望的价格变化：?P ?k 0 . 01 = ?d ( ) = ? 2 .7 ( ) = ? 2 .5 % P 1+ k 1 . 10注意：这个结果与前面表2 注意：这个结果与前面表2中计算出的实际价格下 2.6%相比较 其误差来自于这样一个事实： 相比较， 降2.6%相比较，其误差来自于这样一个事实：久期 得出的度量在利率变化幅度较小时很有效， 得出的度量在利率变化幅度较小时很有效，但一旦 利率变化较大时，就会失去其精确性。我们认为， 利率变化较大时，就会失去其精确性。我们认为， 利率在短期内变化100个基点是比较大幅度的变化， 100个基点是比较大幅度的变化 利率在短期内变化100个基点是比较大幅度的变化， 因而存在一定的误差。 因而存在一定的误差。二、久期、息票率和到期收益率 久期、下表给出了三种不同的到期收益率和四种不同息 票率条件下， 票率条件下，五种不同到期期限的债券的久期变 化。到期期限 6％ ％ 1 5 10 15 20 0.93 4.05 6.61 7.96 8.53 8％ ％ 0.92 3.91 6.23 7.46 8.05息 票 率 10％ ％ 0.92 3.78 5.95 7.13 7.74 12％ ％ 0.92 3.68 5.73 6.88 7.52 要求的收益率＝ ％（到期收益率） ％（到期收益率 要求的收益率＝12％（到期收益率）要求的收益率＝ ％（到期收益率） ％（到期收益率 要求的收益率＝14％（到期收益率） 1 5 10 15 20 0.92 3.98 6.33 7.37 7.65 0.92 3.83 5.95 6.91 7.24 0.91 3.71 5.68 6.59 6.98 0.91 3.60 5.46 6.37 6.80要求的收益率＝ ％（到期收益率） ％（到期收益率 要求的收益率＝16％（到期收益率） 1 5 10 15 20 0.91 3.91 6.05 6.80 6.86 0.91 3.76 5.68 6.38 6.51 0.90 3.63 5.41 6.09 6.30 0.90 3.53 5.20 5.89 6.15列出了在三种不同的票息率1 表5 - 5列出了在三种不同的票息率 2 %、1 4 % 列出了在三种不同的票息率 、 条件下不同期限债券的久期。 和1 6 %条件下不同期限债券的久期。注意：期限 条件下不同期限债券的久期 注意： 较长的债券通常比期限较短的债券拥有更大的久 期。 例如1 利率水平下， 年的债券票息为1 例如 4 %利率水平下，一只 0年的债券票息为 利率水平下 一只2 年的债券票息为 0 %，其久期为 . 9 8，同样条件下 0年债券久 ，其久期为6 ，同样条件下1 年债券久 期为5 8，5年债券久期为 7。 年债券久期为3 期为5 . 6 8，5年债券久期为3 . 7。 同时要注意， 同时要注意，高利率水平下的久期低于低利率水 平下的久期。 平下的久期。 例如： 年的债券在1 利率水平下， 例如： 2 0年的债券在 4 %利率水平下，久期为 年的债券在 利率水平下 6 . 9 8，而在 2 %利率水平下，久期为 . 7 4， 利率水平下， ，而在1 利率水平下 久期为7 ， 利率水平下久期为6 在1 6 %利率水平下久期为 . 3 0。 利率水平下久期为 。通过对久期的分析， 通过对久期的分析，与本章前面讨论到的证券的 风险因素相联系起来，以对本节做出总结， 风险因素相联系起来，以对本节做出总结，这将 是有指导意义的。 是有指导意义的。 我们注意到，在一个定价体制中， 我们注意到，在一个定价体制中，具有较大利率 风险的证券比具有较低利率风险的证券应有较高 的增溢或折现率。 的增溢或折现率。 本节的分析已经指出期限长的证券比期限短的证 券对于利率变化的灵敏性要高。 券对于利率变化的灵敏性要高。我们因此希望较 长期限的证券比较短期限的证券有着较大的折现 率以补偿其较大的风险（ 率以补偿其较大的风险（在其他风险因素相等条 件下） 件下）凸性分析（ 第四节 凸性分析（Convexity Analysis） ）如上节分析所指出， 如上节分析所指出，利率和债券价格可以通过久 期以一种线性关系联系起来。这种关系给出了一 期以一种线性关系联系起来。 个债券价格变化精确的近似值， 个债券价格变化精确的近似值，特别是在利率变 化很小的情况下。然而，当利率变化较大时， 化很小的情况下。然而，当利率变化较大时，这 种关系将失去其精确性。 种关系将失去其精确性。因为此时两者的实际关 系是一种曲线关系。由债券定价定理4可知 可知， 系是一种曲线关系。由债券定价定理 可知，债券 价格随利率下降而上升的数额要大于债券价格随 利率上升同样幅度而下降的数额。 利率上升同样幅度而下降的数额。由此可以说明 这种关系的曲线性。 这种关系的曲线性。这种价格反应的不对称性就 是著名的凸性理论： 是著名的凸性理论：债券价格随着利率变化而变化的关系接近于一条 凸函数而不是一条直线函数。 凸函数而不是一条直线函数。 下图对一个10年期零息票到期收益率为 年期零息票到期收益率为10％ 下图对一个 年期零息票到期收益率为 ％的债 券的已得价格变化和以久期为基础对债券价格变 化的预期相比较， 化的预期相比较，说明了凸性对价格收益关系的 影响。 影响。债券价值 （美元） 美元）凸性曲线（价格变化对利率变化的实际关系） 凸性曲线（价格变化对利率变化的实际关系）650 600 550 500 450 400 350 300508 463 422 386 322 2957图58910111213利率% 利率利率变化对债券价值影响关系图示如前所述，零息票债券的久期与其期限相同。 如前所述，零息票债券的久期与其期限相同。因 此图中债券的久期与期限一样也是10年 此图中债券的久期与期限一样也是 年，而且其 变化关系是一条直线， 变化关系是一条直线，这条直线是当前到期收益 率为10％时价格变化曲线的切线。 率为 ％时价格变化曲线的切线。 注意：在利率高于或低于10％时，以久期为基础 注意：在利率高于或低于 ％ 的估计与由利率导出的债券价格之间存在一定差 利率偏离10％越远差异越大。 异，利率偏离 ％越远差异越大。这是因为当利 率不是10％ 率不是 ％时，估计的直线将在债券价格变化的 曲线之下。 曲线之下。二、凸性调整为了调整因凸性现象而产生的对债券价格变化 预期的误差， 预期的误差，我们可以增加一个凸性项来表示 基础的久期利率灵敏度公式。 基础的久期利率灵敏度公式。下式就是除久期 将凸性因素考虑在内了。 外，将凸性因素考虑在内了。?P ?k ?k 2 = ?d ( ) + cv ( ) P 1+ k 1+ k注意：这个等式是一个二次方程， 注意：这个等式是一个二次方程，它能使我们更 充分地表现债券价格与利率之间的关系。 充分地表现债券价格与利率之间的关系。公式中 的第一项与久期有关，其表现了直线的斜率， 的第一项与久期有关，其表现了直线的斜率，并 给出了利率变化的一阶影响。余项与凸性有关， 给出了利率变化的一阶影响。余项与凸性有关， 是一个二次项， 是一个二次项，表现了线的曲度并反应了利率变 化的二阶影响。从数学上讲， 化的二阶影响。从数学上讲，久期项是债券价格 DD利率关系对利率变化的一阶导数，而凸性项 利率关系对利率变化的一阶导数， 利率关系对利率变化的一阶导数 是对利率变化的二阶导数。 是对利率变化的二阶导数。久期的公式前面已有 定义，凸性的定义公式如下： 定义，凸性的定义公式如下：1 cv = ( ) 2∑Tt =1t ( t + 1) C t t (1 + k ) P0同久期的计算相似， 同久期的计算相似，导出凸性价值其实是用时间 因素t(t+1)给现金流（息票和面值）加权，即上面 给现金流（ 因素 给现金流 息票和面值）加权， 公式中的分子， 公式中的分子，这个值再除以债券当前价格或现 整个表达式再乘以1/2加以标准化 加以标准化。 值。整个表达式再乘以 加以标准化。 举例：一支利率为10％的零息票债券。假设利率 举例：一支利率为10％的零息票债券。 10 10％现在下降到9％，即100个基点 个基点。 由10％现在下降到9％，即100个基点。随着利率 下降，债券价格由到期收益率10 时的386 10％ 386美元上 下降，债券价格由到期收益率10％时的386美元上 升到了到期收益率为9 时的422美元， 422美元 升到了到期收益率为9％时的422美元，价格上升 9.33%。 了9.33%。首先，计算利率变化引起的与久期有关的影响。 首先，计算利率变化引起的与久期有关的影响。?P ?k 9% ? 10% ? 0.01 = ?d ( ) = ?(10)( ) = ?(10)( ) = 0.0909 或9.09％ P 1+ k 1 + 10% 1.10这里的价格变化为9.09%，小于所导出的9.33% 这里的价格变化为9.09%，小于所导出的9.33% 9.09% 的变化幅度。这个未预料出的9.33% 9.33%的变化幅度。这个未预料出的9.33%9.09%=0.24%的变化就表现了凸性的影响 的变化就表现了凸性的影响。 9.09%=0.24%的变化就表现了凸性的影响。即：t (t + 1)CT 1 10 (11)(1000 ) ∑ (1 + k )T ( 2 ) (1.10)10 1 t =1 cv = ( ) = = 55 2 P0 386T把凸性估计和利率变化结合起来， 把凸性估计和利率变化结合起来，我们得到一个 与凸性有关的债券价格变化估计量： 与凸性有关的债券价格变化估计量：?k 2 ? 0 . 01 2 cv ( ) = 55 ( ) = 0 . 0045 1+ k 1 . 10将凸性调整与上面讨论过的公式中以久期为基础 的估计联在一起， 的估计联在一起，我们得到一个债券价格变化的 总的估计： 总的估计：?P ?k ?k 2 价格变化＝ ) + cv ( ) = ?d ( 1+ k 1+ k P ＝ 0.0909 + 0.0045 = 0.0954 或 9.54%三、凸性的决定因素：票息和期限 凸性的决定因素：一个例子：假设一个债券的到期收益率为 ％。 一个例子：假设一个债券的到期收益率为10％。 下表给出了随着债券期限变化和息票变化对凸性 的影响。 的影响。 凸性的决定因素： 凸性的决定因素：票息和期限期 限 票息 0 5年 年 10年 年 20年 年 15 55 210 票息 10％ ％ 7.3% 12.3% 31.2%从表中看出：（ ）长生命期的债券（ 从表中看出：（1）长生命期的债券（如前面的 ：（ 永续年金图形） 永续年金图形）与息票利率变化之间的关系具有 明显的凸性性质；（ ；（2）短期债券（如前面的3年 明显的凸性性质；（ ）短期债券（如前面的 年 期债券）的价格－利率关系几乎是一条直线， 期债券）的价格－利率关系几乎是一条直线，只 有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小。（ 。（3） 有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小。（ ） 凸性随着票息的降低而增大， 凸性随着票息的降低而增大，随着票息的上升而 降低。（ 。（4） 降低。（ ）低利率水平下的凸性大于高利率水平 下的凸性。（ 。（5） 下的凸性。（ ）债券价格与利率关系在曲线的低 利率部分更加弯曲。 利率部分更加弯曲。四、凸性分析的应用 在定位一个有关期限的投资组合时， 在定位一个有关期限的投资组合时，债券 经理们习惯上采用三种方法： 经理们习惯上采用三种方法： （1）期限集中法； ）期限集中法； （2）梯形法； ）梯形法； （3）杠铃法。 ）杠铃法。 当经理们对利率有确定的看法时， 当经理们对利率有确定的看法时，使用期 限集中投资组合。 限集中投资组合。 期限集中投资组合，即子弹型组合。 期限集中投资组合，即子弹型组合。就是 集中投资中等期限的债券，由于中间突出， 集中投资中等期限的债券，由于中间突出， 所以叫子弹型。 所以叫子弹型。什么是梯形投资法？梯形投资法是什么意思？ 什么是梯形投资法？梯形投资法是什么意思？ 梯形投资法，又称等期投资法， 梯形投资法，又称等期投资法，就是每隔一段时 在国债发行市场认购一批相同期限的债券， 间，在国债发行市场认购一批相同期限的债券， 每一段时间都如此,接连不断，这样，投资者在以 每一段时间都如此 接连不断，这样， 接连不断 后的每段时间都可以稳定地获得一笔本息收入。 后的每段时间都可以稳定地获得一笔本息收入。 梯形投资法就是将全部投资资金平均投放在各种 期限的证券上的一种组合方式。 期限的证券上的一种组合方式。具体的做法是买 入市场上各种期限的证券， 入市场上各种期限的证券，每种期限购买数量相 当期限最短的证券到期后， 等，当期限最短的证券到期后，用所兑现的资金 再购买新发的证券，这样循环往复， 再购买新发的证券，这样循环往复，投资者始终 持有各种到期日证券， 持有各种到期日证券，并且各种到期日的数量都 是相等的。这种情况反映在图形上， 是相等的。这种情况反映在图形上，形似间距相 等的阶梯，故称“梯形投资法” 等的阶梯，故称“梯形投资法”。这种方法的特 点是计算简单，收益稳定，便于管理， 点是计算简单，收益稳定，便于管理，但不便于 根据市场利率变动转换证券。 根据市场利率变动转换证券。杠铃投资法是将证券投资资金集中投放在短期证 杠铃投资法是将证券投资资金集中投放在短期证 是将证券 券与长期证券两类证券上，并随市场利率 利率变动不 券与长期证券两类证券上，并随市场利率变动不 断调整资金在两者之间的分配，以保持证券头寸 断调整资金在两者之间的分配，以保持证券头寸 的一种投资组合方法。 的一种投资组合方法。 大家应该都看见过杠铃， 大家应该都看见过杠铃，闭上眼设想一下杠铃的 模样，是不是两头大、中间细。 债券投资中也 模样，是不是两头大、中间细。在债券投资中也 有一种叫杠铃型投资的方法， 有一种叫杠铃型投资的方法，这种投资模型是集 中将资金投资于债券的两个极端： 中将资金投资于债券的两个极端：为了保证债券 的流动性而投资于短期债券， 的流动性而投资于短期债券，为确保债券的收益 性而持有长期债券，不买入中期债券。 性而持有长期债券，不买入中期债券。 投资者可根据自己的流动性要求确定长期、 投资者可根据自己的流动性要求确定长期、短期 债券的持有比例。对流动性的要求高， 债券的持有比例。对流动性的要求高，可提高短 期债券的合理比例；要求低， 期债券的合理比例；要求低，则降低短期债券的 持有比率。 持有比率。投资者也可以根据市场利率水平的变化而变更长、 投资者也可以根据市场利率水平的变化而变更长、 短期债券的持有比例。当市场利率水平上升时， 短期债券的持有比例。当市场利率水平上升时， 可提高长期债券的持有比率；利率水平下降时， 可提高长期债券的持有比率；利率水平下降时， 可降低长期债券的持有比例。 可降低长期债券的持有比例。 杠铃投资法具体操作方法是： 体操作方法是 杠铃投资法具体操作方法是：当长期利率看跌引 起长期证券价格看涨时，即卖出部分短期证券， 起长期证券价格看涨时，即卖出部分短期证券， 买进长期证券； 买进长期证券；当长期利率看涨引起长期证券看 跌时， 购回短期证券。同理， 跌时，即将长期证券卖出 ，购回短期证券。同理， 短期市场利率的升降也可决定长短期证券的进出。 短期市场利率的升降也可决定长短期证券的进出。 这种方法的关键在于对市场长、短期利率变化的 这种方法的关键在于对市场长、 准确预测 预测。 准确预测。 杠铃投资法必须建立在准确预测基础上， 杠铃投资法必须建立在准确预测基础上，需要对 市场上各种期限和类型的债券进行大量的观察和 预测并作出反映，因此， 预测并作出反映，因此，投资者要耗费大量人力 和物力，对于小投资者来说，往往得不偿失。 和物力，对于小投资者来说，往往得不偿失。例如，当一个经理预期利率将下降时， 例如，当一个经理预期利率将下降时，他 将集中长期限的债券， 将集中长期限的债券，因为这种债券价格 上涨最多。相反，当预期利率上升时， 上涨最多。相反，当预期利率上升时，将 集中短期限债券以防止债券价格下降。 集中短期限债券以防止债券价格下降。到期年限1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 合计15年梯形 年梯形
$10年梯形 年梯形
200000050-50杠铃 杠铃
0070-30杠铃 杠铃
00$梯形和杠铃投资组合在上表中得以说明。 梯形和杠铃投资组合在上表中得以说明。 注意， 年和 年和10年期的梯形投资组合收入被均匀 注意，15年和 年期的梯形投资组合收入被均匀 分割，每年收到和被投资的现金数值都相同。 分割，每年收到和被投资的现金数值都相同。这 种期限结构使得在利率周期内每年得到平均的回 并暗示投资组合经理没做利率预测。 报，并暗示投资组合经理没做利率预测。 相比之下，杠铃形的投资组合中，既有短期债券， 相比之下，杠铃形的投资组合中，既有短期债券， 又有长期债券，却没有投资于中间期限的债券， 又有长期债券，却没有投资于中间期限的债券， 如表中所示。 如表中所示。杠铃形投资组合如人们所料那样比 梯形投资组合流动性好， 梯形投资组合流动性好，这是因为比较侧重于短 期债券。而且收益曲线向上倾斜时回报较多， 期债券。而且收益曲线向上倾斜时回报较多，也 因为更多的基金投资于长期债券。 因为更多的基金投资于长期债券。当收益率曲线扁平时， 当收益率曲线扁平时，杠铃形结构具有特 别的吸引力。通过侧重于期限的两个极端， 别的吸引力。通过侧重于期限的两个极端， 长期和短期， 长期和短期，使其回报有可能超过梯形投 资组合或者集中于中间期限的债券。 资组合或者集中于中间期限的债券。这种 提高回报可能性的原因之一就是凸性， 提高回报可能性的原因之一就是凸性，凸 性对于长期债券最为明显。 性对于长期债券最为明显。为进一步说明， 为进一步说明，我们比较两个具有同样久 期如5年 但组成部分不同的投资组合。 期如 年，但组成部分不同的投资组合。一 种是只买5年期债券 即集中的投资组合。 年期债券， 种是只买 年期债券，即集中的投资组合。 另一种，把投资的一半用于购买国库券， 另一种，把投资的一半用于购买国库券， 另一半用于长期债券（ 年期债券），这 年期债券）， 另一半用于长期债券（10年期债券），这 种投资产生了一个久期为5年的杠铃形投资 种投资产生了一个久期为 年的杠铃形投资 组合（ × 久期 久期+0.5×10年久期）。 年久期）。 组合（0.5×0久期 × 年久期
上图中实线表示了久期在0-10年范围内变动时， 年范围内变动时， 上图中实线表示了久期在 年范围内变动时 价格的反应。假设所有债券到期收益率下降100 价格的反应。假设所有债券到期收益率下降 个基点， 年期债券或集中化的投资组合的价值为 个基点，5年期债券或集中化的投资组合的价值为 105.09。同时长期债券价格上升为 。同时长期债券价格上升为110.88，短期 ， 债券仍为100。 债券仍为 。 因此， 因此，杠铃形投资组合价值为 110.88×50%+100×50%=105.44，是两个端点 × × ， 的中值。这两种投资组合价值的差异（ 的中值。这两种投资组合价值的差异（105..35）就是由凸性造成的。 ）就是由凸性造成的。 这个差异值就是来自于杠铃形投资组合的利润， 这个差异值就是来自于杠铃形投资组合的利润， 即当利率下降是杠铃形投资组合比集中的投资组 合所多具有的绩效。正常条件下， 合所多具有的绩效。正常条件下，当收益曲线向 上倾斜时， 个基点的差异， 上倾斜时，这35个基点的差异，被短期债券的损 个基点的差异 失所掩盖。但当收益曲线平坦时， 失所掩盖。但当收益曲线平坦时，图形的贡献将 赋予杠铃形投资组合全部的优势。 赋予杠铃形投资组合全部的优势。当然反过来也对：预期利率上升时杠铃形投资组 当然反过来也对： 合不被看好。 合不被看好。集中化投资组合比久期相同的杠铃 形投资组合价格下跌幅度小。 形投资组合价格下跌幅度小。因此在决定投资组 合结构之前， 合结构之前，预期利率变化趋势对于投资组合经 理来说很重要。 理来说很重要。
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