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植树问题&？！【应用题·例及答】（十）〖例题·精解〗【数：第30篇】
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欣赏箫声：
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小学数学四年级下册课件
四年级上册：旋转与角&线与角
第52课时 植树问题1
&<img STYLE="TexT-ALiGn: WiDTH: 418 DispLAY: HeiGHT: 322px" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://s9.sinaimg.cn/middle/59ca1bb1xc2d197fd26a8&690" WIDTH="690" HEIGHT="533"
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典型应用题 —
植树问题学科王
四年级奥数－植树问题
四年级奥数 植树问题难题讲练
欢迎欣赏主题博文
四年级奥数专题之植树问题
1. 东方旅店共15层，每层楼梯有20个阶梯.如果某人每上一阶梯需要0.5秒，问他上到顶层需要多少时间？
2.一条路原有木电线杆46根，每两根之间相隔12米.现在要全部换成水泥电线杆，如果每两根电线杆之间间隔20米，需要多少根水泥杆？
3.一根木头锯成5段要付锯板费1元，6根木头，每根锯成4段，共要付锯板费多少元？
4. 小明坐在火车里看外面的电线杆，从第一根到第16根共花了半分钟，如果火车时速为72千米，每两根电线杆相隔多少米？
甲、乙两人在长300米的公路两旁栽树，每隔20米栽一棵柳树，在每相邻两棵柳树之间又栽上两棵梧桐树.已知甲比乙多栽树12棵，问甲、乙各栽树多少棵？
1. 2分20秒.提示：0.5&20&（15-1）=140（秒）.
2.28根.提示：12&（46-1）&20-1-28（根）.
3.4元5角.提示：10&（5-1）=2.5（角），2.5&3&6=45（角）=4元5角.
4. 40米.提示：.5&（16-1）=40（米）.
5. 甲栽52棵，乙栽40棵.
提示：柳树：（300&20+1）&2=32（棵）.
梧桐树：300&20&2&=60（棵）.
（32+60-12）&2=40（棵）.
<img STYLE="TexT-ALiGn: WiDTH: 579 DispLAY: HeiGHT: 178px" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://s13.sinaimg.cn/middle/59ca1bb1xc2d183eeaeac&690" WIDTH="690" HEIGHT="213"
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帮你作总结:关于“植树问题”的常用公式：
【含义】按相等的距离植树，在总距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，
要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。（棵距就是株距）
【数量关系】 线形植树 棵数＝总距离&棵距＋1
环形植树： 棵数＝总距离&棵距
方形植树：
棵数＝总距离&棵距－4
三角形植树：
棵数＝总距离&棵距－3
面积植树：
棵数＝面积&（棵距&行距）
&﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏
一、●在不封闭路线上的植树问题
&①两端都植树&&&&&&&&&
☆总距离＝ 株距& 间隔数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
间隔数＝棵数－1&&&
（棵数＝间隔数＋1）
&②两端都不植树&&&&&&
&☆总距离＝株距&间隔数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
间隔数＝棵数＋1&&&
（棵数＝间隔数－1）
&③一端植树一端不植树&&&&
&☆总距离＝株距&间隔数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
间隔数＝棵数
千万要注意：是一边植树问题？还是两边植树的问题？（例如：林荫道...）&&
二、●封闭路线上的植树问题&&
☆总距离＝株距&间隔数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&间隔数＝棵数
&&&&&&& 封闭图形植树：（包含）圆、三角形、正方形、长方形、正多边形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的间隔数（段数）。
&方形植树&&&&&
&棵数＝距离&棵距－4&三角形植树&&&&
棵数＝距离&棵距－3
公式说明：
方形植树的时候&&
也就是方形的四边&&
在算距离的时候& 每次顶点的那棵树都多算了一次&
有四个顶点&&
所以要减去4&&
同理三角形植树& 也是有三个顶点& 所以要减去3
三、●方阵问题：&&&&
四周实物数量＝（每边实物数量－1）&4&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
◇每边实物数量＝& 四周实物数量&4＋1
&方阵的基本特点: (1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;
四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]&4 每边人(或物)数=四周人(或物)数&4+1
(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数&每边人(或物)数 (4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）&空心方阵的层数&4
提示：横着排叫行（行数） 竖着排叫列（列数）
四、●面积植树：
棵数＝面积&（棵距&行距）
<img STYLE="TexT-ALiGn: WiDTH: 509 DispLAY: HeiGHT: 381px" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://s14.sinaimg.cn/middle/59ca1bb1xc2d18decd87d&690" WIDTH="690" HEIGHT="521"
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<img STYLE="TexT-ALiGn: WiDTH: 572 DispLAY: HeiGHT: 407px" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://s1.sinaimg.cn/middle/59ca1bb1xc2d1a5e7e190&690" WIDTH="690" HEIGHT="493"
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<img STYLE="TexT-ALiGn: WiDTH: 538 DispLAY: HeiGHT: 491px" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://s14.sinaimg.cn/middle/59ca1bb1x79ff8cf" WIDTH="690" HEIGHT="631"
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图说公式之应用：
如& 类似方阵图（因博客不支持正方形）
中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数&每边人(或物)数
18&18＝？（人）
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小学数学之方阵问题
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方公式）。
核心公式：
1、方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）
2、方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数/4）+1
3、方阵外一层总人数比内一层总人数多2
4、去掉一行、一列总人数比内一层总人数多2&
（为什么？！）
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
又如： 类似方阵图（因博客不支持正方形）
空心方阵的总人(或物)数=[最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数]&空心方阵的层数&4
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空心方阵的总人(或物)数=[最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数]&空心方阵的层数&4
&&&空心方阵最外层●& 空心方阵最内层●
&& 空心方阵层数=6
空心方阵的总人(或物)数＝（18－6）&6&4＝?
<img STYLE="TexT-ALiGn: WiDTH: 663 DispLAY: HeiGHT: 617px" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://s1.sinaimg.cn/middle/59ca1bb1x79e1c06a" WIDTH="690" HEIGHT="644"
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第七讲植树问题
1、（1）小新把贝壳放在桌上，每5厘米放一颗，到20厘米处，可以放几颗？
（2）小新把7颗贝壳放在桌上，每两颗之间距离是5厘米，从第一颗到第七颗的距离是多少厘米？
（7－1）&5=30
（3）小新在桌上等距离地摆了8颗贝壳，已知第1颗到第8颗的距离为56厘米，求每两颗之间的距离是多少？
56&（8－1）=8
2、一个鱼塘周围长1800米，沿塘边每隔6米栽一棵杨树，需种几棵杨树？
3、一条走廊长21米，从走廊的一端每隔3米放一盆花。走廊的两边一共需要几盆花？
（21&3＋1）&2=16
4、学校两座教学楼之间的距离是40米，如果每隔5米种1棵树，共可以种多少棵树？
5、在一条长为48米的马路一旁栽树，如果每4米栽一棵，一共可以栽几棵？如果一共要栽9棵，那么每两棵之间应相隔多少米？
48&4＋1=13&&&&&&&&&&
48&（9－1）=6
6、一根木料长20米，把它锯成5米长的一段，如果每锯一次需要3分钟，一共需多少分钟？
（20&5－1）&3=9
7、一幢六层楼房，每层楼有14级楼梯，小明从底楼走到六楼，共走了多少级楼梯？
（6－1）&14=70
8、从1楼走到4楼共要走36级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶？
36&（4－1）=12&&&&&&&&&&&&&&&&&
（6－1）&12=60
9、时钟6点钟敲6下，10秒钟敲完，敲8下需要多少秒？
10&（6－1）=2&&&&&&&&&&&&&&&&&
（8－1）&2=14
10、科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟时针指向9。问：第一次记录时，时针指向几？
（12－1）&5=55&&&&&&&&&&&
55&12=4……7&&&&&&&&&&
11、一个木工锯一个长13米的木条。他先把一头损坏部分锯下1米，然后锯了5次，锯成许多一样长的短木条。求每根短木条长多少米？
（13－1）&（5＋1）=2
12、校门口摆一排菊花，一共9盆。再在每两盆菊花中间摆3盆桂花。共摆了几盆桂花？
（9－1）&3=24
13、一个老人在公路上散步，从第一根电线杆走到第12根用了11分，这个老人走了24分，走到第几根电线杆？
11&（12－1）=1 &&&&&
1&24＋1=25
14、一个圆形花圃周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，花圃周围各插了多少面红旗和黄旗？
15、A、B两人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？
（4－1）&（3－1）=1.5&&&&&
（16－1）&1.5＋1=11
16、大人上楼的速度比小孩快1倍，小孩从1楼到3楼需要3分钟，那么，大人从1楼到5楼要多少分钟？
3&（3－1）&2&（5－1）=3
17、某工地从一条直道的一端到另一端，每隔4米打了一个木桩，一共打了37个木桩。 现在要改成6米打一个木桩，那么，可以不拔出来的木桩共有多少个？
（37－1）&4&12＋1=13
18、有一根长180厘米的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将有记号的地方剪断，绳子共被剪成了几段？
180&3－1=59&&&&&&&
180&4－1=44&&&
180&12－1=14 59＋44－14＋1=90
19、在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时，自右至左每隔5厘米染上一个红点，然后，沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是4厘米的木棍有几根？
100&30=3……10&& 3&2＋1=7
.................................................................
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计算符号：＋－&&＝&&
（& ）[&& ]
}&& ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩
<img STYLE="TexT-ALiGn: WiDTH: 593 DispLAY: HeiGHT: 446px" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://s11.sinaimg.cn/middle/59ca1bb1x79e1c6c6b15a&690" WIDTH="592" HEIGHT="491"
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一点通：《知识网络》——分类记忆
【实践与综合应用】&&&
1、不封闭路线上的植树问题&&&&
注：解决植树问题一定要弄清楚三点
&&&&&&&&&&&&&&&
总距离：植树路线上的全长。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
株距：两棵树之间的距离。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
棵数：植树的总棵数。
&①两端都植树&&&
总距离（或路长）＝ 株距&
(棵数－1）&&&&&&&&&&&&&&&&
公式或等式变换为：总距离&株距＝间隔数&&&
棵数＝间隔数＋1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
◆上楼梯问题可以理解成在线段上两端都植树的问题
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
段数＝楼层－1
&②两端都不植树&&&&
总距离＝株距&（棵数 ＋1）
公式或等式变换为：棵数＝间隔数－1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
◆锯木头问题可以理解成在线段上两端都不植树的问题。锯的段数相&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
当于间隔数，锯的次数相当于棵数，锯的段数=次数＋1。
&③一端植树一端不植树&&&&&&
总距离＝株距&棵数&&
2、封闭路线上的植树问题&&&
&总距离＝株距&棵数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
棵数＝间隔数
&&&&&&&&&&&另一种表示：&&&&
棵数（间隔数）＝总距离&株距
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
总距离＝株距&棵数（间隔数）
封闭图形植树问题：& 圆&
三角形& 正方形&
长方形& 正多边形...。
3、方阵问题：四周实物数量＝（每边实物数量－1）&4
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
每边实物数量＝& 四周实物数量&4＋1
4、利用排列组合统计等知识解决生活中的实际问题
.................................................................
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一点通：帮你作总结（回顾总结）
一、●在不封闭路线上的植树问题
&①两端都植树&&&&&&&&&
☆总距离＝ 株距& (棵数 －1）
&&&&&&&&&&&
公式变形： ◇棵数＝ 总距离&
株距＋1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
株距＝ 总距离& (棵数 －1）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&②两端都不植树&&&&&&
&☆总距离＝株距&（棵数 ＋1）
&&&&&&&&&&&
公式变换：& ◇棵数＝ 总距离&
&③一端植树一端不植树&&&&
&☆总距离＝株距&棵数
&&&&&&&&&&&&&&
公式变化：& ◇棵数＝ 总距离&
二、●封闭路线上的植树问题&&
☆总距离＝株距&棵数
&&&&&&&&&&&&&&
公式变换：&&&&&
◇棵数＝ 总距离& 株距
&另一种表示：&&
棵数（间隔数）＝总距离&株距
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
总距离＝株距&棵数（间隔数）
三、●方阵问题：&&&&
四周实物数量＝（每边实物数量－1）&4
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
◇每边实物数量＝& 四周实物数量&4＋1
↑↑↑【●上面的公式要牢牢熟记】
.................................................................
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&.................................................................
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●小学数学四年级&
【P:117页】—— 数学广角
1、同学在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽）。一共需要多少
【先分析】& 即是一个：不封闭路线上的植树问题（两端都植树）
&&&&&&&&&&&&&&&&&
应该用的公式：路长＝ 株距& (棵数 －1）..........（1）
&&&&&&&&&&&
公式或等式变换为：棵数＝路长&株距＋1.................（2）
根据（2）列出综合算式：100&5＋1＝21（棵） 答：一共需要21棵树苗。
验算：把21代入（1）式& 即可。
.................................
& ◆做一做：园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵.从第一棵到最
后一棵的距离有多远？
根据上题（1）列出综合算式：6& (36 －1)＝210（米）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：从第一棵到最后一棵的距离有210米远。
2、大象馆和猩猩馆相距60米。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树，相邻两棵树之间的
距离是3米。一共要栽几棵树？
【先分析】& 即是一个：&
不封闭路线上的植树问题（两端都不植树）
&&&&&&&&&&&
应该用的公式：路长＝株距&（棵数 ＋1）............（1）
公式或等式变换为：&&
棵数＝路长&株距－1................（2）
根据上题（1）列出综合算式：60&3 －1＝19（棵）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
两旁栽树& 19&2＝38（棵）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：一共要栽38棵树。
验算：把21代入（1）式& 即可。
<img STYLE="TexT-ALiGn: DispLAY: block" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://s13.sinaimg.cn/middle/59ca1bb1x79e1c51257fc&690" WIDTH="484" HEIGHT="690"
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【P：119页】& 做一做
1、在一条全长2千米的的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50米安一坐。一共
要安装多少座路灯？
【先分析】& 是一个类似：不封闭路线上的植树问题（即：两端都植树的问题）
&&&&&&&&&&&&&&&&&
应该用的公式：路长＝ 株距& (棵数 －1）..........（1）
&&&&&&&&&&&
公式或等式变换为：棵数＝路长&株距＋1.................（2）
根据（2）列出综合算式：＝41（座）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
街道两旁：41&2＝82（座）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：一共要安装82座路灯。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
验算：把21代入（1）式& 即可。
2、一根木头长10米，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少
【先分析】& 是一个类似：不封闭路线上的植树问题（即：两端都不植树的问题）
根据题意列出综合算式：5段需要4锯
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
8&4＝32（分钟）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：锯完一共要花了32分钟。
【P:121页】做一做
1、48名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数都相等。四个顶点都有
人，每边各有几名学生？（书上有插图）
【先分析】& 是一个类似：封闭路线上的植树问题
根据题意列出综合算式：（48&4－1）+2＝13（人）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：每边各有13名学生。
2、要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有4盆花，可以怎样摆放？最少需要几
盆花？（书上有插图）
& 【先分析】&
是一个类似：封闭路线上的植树问题
有几种摆放方法& （略）
最少摆法：根据题意列出综合算式：2&5+5＝15（盆）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：最少需要15盆花。
3、为迎接六一儿童节，学校举行团体操表演。四年级学生排成下面方阵，最外层每边站
15人，最外层一共有多少学生？整个方阵一共有多少名学生？（书上有插图）
【先分析】& 是一个类似：方阵问题& 两个问号？
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
四周实物数量＝（每边实物数量－1）&4
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
◇每边实物数量＝& 四周实物数量&4＋1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
最外层一共有多少学生：13&4+4＝56（人）
&&&&&&&&&&&&&&
整个方阵一共有多少名学生：15&15＝225（人）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
.................................................................
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【P:122页】——
练习二十&&
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩&&
1.广场上的大钟5时敲响5下，8秒钟敲完。12时敲响12下，需要多长时间？【先分析】
&①5时敲响5下&
是一个类似：不封闭路线上的植树问题（即：两端都植树的问题）
&②12时敲响12下&
也是一个类似：不封闭路线上的植树问题（即：两端都植树的问题）
根据题意列出综合算式：8&4&11＝22（秒）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：需要22秒。& 验算：略
2、5路公共汽车行驶路线全长12千米，相邻两站的距离是1千米。一共有几个车站？【先分析】是一个类似：不封闭路线上的植树问题（即：两端都植树的问题）
根据题意列出综合算式：12&1+1＝13（站）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：一共有13个车站。验算：略
3、从王村到李村一共设有16根高压电线杆，相邻两根的距离平均是200米。王村到李
村大约有多远？【先分析】是一个类似：不封闭路线上的植树问题（即：两端都植树的问题）
根据题意列出综合算式：200&（16-1）＝3000（米）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：王村到李村大约有3000米。验算：略
4、圆形滑冰场的周长是150米。如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯，一共需要装几
【先分析】 是一个类似：封闭路线上的植树问题&&
公式为：路长＝株距&棵数
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
公式或等式变换为：棵数＝路长&株距
&&&&&&&&&&&&
根据题意列出综合算式：150&15＝10（盏）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：一共需要装10盏灯。验算：略
5、笔直的跑道一旁插着51面小旗，它们的间隔是2米。现在要改成只插26面小旗，间
隔应改为多少米？
【先分析】 是一个类似：两端都植树 的问题
根据题意列出综合算式：[2&（51－1）]&（26－1）＝4（米）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：间隔应改为4米。验算：略
6、学校门前摆放了一个方阵花坛。这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆放
了多少盆花？&&&
【先分析】是一个类似：封闭路线上的植树问题
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
根据题意列出综合算式：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
方法一：（8－1）&4＝28（盆）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
方法二：（8－2）&4＋4＝28（盆）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：最外层共摆放了28盆花。验算：略
7、一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人......照这样，10
张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38人，需要并多少张桌子才能坐下？
【先分析】 是一个类似：递进问题？？
&&&&&&&&&&
1& ＋ [（ 38－6）&4]＝9（张）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
答：需要并9张桌子才能坐下。验算：略
.................................................................
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<img STYLE="TexT-ALiGn: WiDTH: 612 DispLAY: HeiGHT: 571px" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://s1.sinaimg.cn/middle/59ca1bb1x79e1c06a" WIDTH="690" HEIGHT="644"
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<img STYLE="TexT-ALiGn: WiDTH: 620 DispLAY: HeiGHT: 428px" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://s8.sinaimg.cn/middle/59ca1bb1xc2d0" WIDTH="690" HEIGHT="477"
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九、 植树问题
&【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，
要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。
【数量关系】 线形植树 棵数＝距离&棵距＋1
环形植树 棵数＝距离&棵距
棵数＝距离&棵距－4
三角形植树
棵数＝距离&棵距－3
面积植树棵数＝面积&（棵距&行距）
【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。
例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？
解 136&2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽69棵垂柳。
例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树
解 400&4＝100（棵）
答：一共能栽100棵白杨树。
一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少
个照明灯？
解 220&4&8－4＝110－4＝106（个）
答：一共可以安装106个照明灯。
例4 给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和
40厘米，问至少需要多少块地板砖？
解 96&（0.6&0.4）＝96&0.24＝400（块）
答：至少需要400块地板砖。
...........................................................
例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电
杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？
解 （1）桥的一边有多少个电杆？ 500&50＋1＝11（个）
（2）桥的两边有多少个电杆？ 11&2＝22（个）
（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22&2＝44（盏）
答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。
.................................................................
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↓↓↓【下面的公式及问题一般掌握，不用死记硬背】
关于“沿线段植树”的另一种解读
植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种
数量关系的应用题，叫做植树问题。
解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树
周长植树，然后按基本公式进行计算。
解题规律：沿线段植树
棵树=段数+1 棵树=总路程&株距+1
株距=总路程&（棵树-1） 总路程=株距&（棵树-1）
沿周长植树
棵树=总路程&株距
株距=总路程&棵树
总路程=株距&棵树
例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米。后来全部改装，只埋
了201根。求改装后每相邻两根的间距。分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为
50 &（ 301-1 ）&
（201-1 ） =75 （米）
...............................................................
例题：一个三角形广场，三条边分别长126米、156米、210米，要在三条边上插彩旗，每6米
插一面，三个三角上个插一面，一面，三个角上个差一面，一共需多少面彩旗？
(126+156+210)&6-3+3&&&&&&&&
为什么？？？
.................................................................
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四年级植树问题试题
1、园林工人沿公路一侧植树，每隔
6米种一棵，一共种了36棵。从第一棵到最后一棵的距离有多远？
&2、学校运动会要举行入场式，要求每班24名同学上场，排4路纵队，前后每两人间隔1米，每班队伍长几米？&
3、每班的队伍长5米，全校有24个班，每两个班间隔3米，全校的入场式队伍共长多少米？
&4、小明坐在火车里看外面的电线杆，从第一根到第16根共花了半分钟，如果火车时速为72千米，每两根电线杆相隔多少米？
&5、某公园南侧长500米，从两端每隔20米种一棵樱树，在樱树中间每隔4米种一棵柳树。（1）&&&
樱树共种几棵？（2）&&&
柳树有多少棵？&
&6、将长5米的木料，从一头开始，按30厘米一段和20厘米一段的长度交替截下来，每截一次要10分，中间要停4分，全部截完一共要几分？
&7、．将长12厘米的纸条连接起来（重叠处为5毫米）。
5张纸条接起来，长多少厘米？&
要使全长为1.04米，需要多少张纸条？
&8、在长40米的走廊的墙上，要挂宽度为50厘米的镜框8个，宽度为80厘米的镜框6个。要求两头与镜框的距离，镜框与镜框间的距离都相等，间距应是几厘米？
&9、一条路原有木电线杆46根，每两根之间相隔12米.现在要全部换成水泥电线杆，如果每两根电线杆之间间隔20米，需要多少根水泥杆？
&10、.一根木头锯成5段要付锯板费1元，6根木头，每根锯成4段，共要付锯板费多少元？
&11、甲、乙两人在长300米的公路两旁栽树，每隔20米栽一棵柳树，在每相邻两棵柳树之间又栽上两棵梧桐树.已知甲比乙多栽树12棵，问甲、乙各栽树多少棵？
&12、东方旅店共15层，每层楼梯有20个阶梯.如果某人每上一阶梯需要0.5秒，问他上到顶层需要多少时间？
13、某一淡水湖的周长1350米,在湖边每隔9米种柳树一株,在两株柳树中间种植2株夹枝桃,可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?
14、光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式,他们每5人一行,前后每行间隔为2米,主席台长42米,他们以每分钟45米的速度通过主席台,需要多少分钟?
15、一个木工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段,每锯断一次要用5分钟,共需多少分钟?
.................................................................
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第52课时 植树问题1
第52课时 植树问题1
课本第117～118页例1，第122页练习二十第1～3题。
通过生活中的事例，初步体会解决植树问题的思想方法。
植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵，等等，它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。
例1，在校园里的一条小路一边植树，这是关于一条线段的植树问题。
<img src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://www.pep.com.cn/xxsx/xxsxxs/xstbxx/xsxs4b/xsxsxsx/0456429.jpg" WIDTH="228" HEIGHT="313" V:SHAPES="图片_x" OLDSRC="W.jpg"
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用四幅图来展示同学们探索解决问题的讨论过程。
图一：一个男生说出他自己的想法，而一个女生对他的想法有异议，引发孩子思考。
图二：从简单的情况入手解决复杂的问题――这是解决问题常用的方法。画线段图，把一条线段平均分成4段，加上两个端点，一共有5个点，也就是要栽5棵树。植树问题不能简单的用除法来解决。
图三：启发孩子透过现象发现规律，也就是栽树的棵数要比间隔数多1。
图四：应用发现的规律来解决前面的植树问题：100米长的小路，按5米可以平均分成20段，也就是共有20个间隔，而栽树的棵数比间隔数多1，因此一共要准备21棵树苗。
让孩子经历整个分析、思考、解决问题过程，并从中学习一些解决问题的方法和策略，即遇到问题时，可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以用比较简单的例子来验证，并且可以从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。
例1，读题，把一条小路想像成一条线段，想像出植树后的情景。
让孩子尝试列式计算。有的孩子列式是100&5＋1＝21（棵）；有的孩子列式是100&5＝20（棵）。并思考：怎样检验这个结果是否正确？
引导孩子用比较简单的例子来验证较为复杂的问题，并归纳出规律：
1．推算法。假设路长正好5米，要栽2棵树；路长10米，要栽3棵树；路长15米，要栽4棵树；路长20米，要栽5棵树。5&5≠2，10&5≠3，15&5≠4，20&5≠5。
想一想：如何改写使算式成立？5&5＋1＝2，10&5＋1＝3，15&5＋1＝4，20&5＋1＝5。
让孩子找出算式中共同之处，归纳出结论：栽树的棵数比间隔数多1，即距离&间距＋1＝棵数。
2．画图法。把推算法中各种假设用线段图表示出来，如假设路20米，栽几棵树呢？画出线段图，如下图：
<img ALT="http://www.pep.com.cn/oldimages/pic_299505.jpg" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://www.pep.com.cn/xxsx/xxsxxs/xstbxx/xsxs4b/xsxsxsx/0455765.jpg" WIDTH="276" HEIGHT="16" V:SHAPES="图片_x" OLDSRC="W.jpg"
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把一条线段平均分成4份，有4个间隔和5个端点。在这条线段上栽树，要栽5棵树，栽树的棵数正好是线段的端点数。之后，探索栽树的棵数和间隔数之间的规律。
3．观察法。让孩子直接用直尺进行观察，直尺上1厘米的距离有2条长刻度线，把这1厘米当作5米就是栽2棵；2厘米的距离有3条长刻度线，相当于10米栽3棵；3厘米的距离有4条长刻度线，相当于15米栽4棵；4厘米的距离有5条长刻度线，相当于20米栽5棵；
归纳总结：刻度线数比厘米数多1，所以栽树的棵数比间隔数多1，即距离&间距＋1＝棵数。
最后，让孩子根据发现的规律来解决前面提出的问题：100米长的小路，按5米可以分成20个间隔，两端都要栽树的话，就要准备21棵树苗。列式是100&5＋1＝21（棵），有的孩子证明了他原先的猜测是正确的，让孩子进行自我激励。
对于猜测出20棵的孩子，让孩子进行批判性思考：已经求出间隔数，在这道题中，间隔数与栽树的棵数相差1。再改编题目，使其正确，即“每隔5米栽一棵（其中一端不栽树）”。对于不正确的思路，不要一概否定，不要一棍子打死。在原有的基础进行修改，才是有效的学习、高效的学习。
阅读课文，“两端要栽”下划线，补白课文，删除“……”替换为“多1”，与右图“栽21棵”连线，注“100&5＋1＝21（棵）”。
“做一做”
，关于一条线段且两端都要栽树的植树问题。
<img src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://www.pep.com.cn/xxsx/xxsxxs/xstbxx/xsxs4b/xsxsxsx/0452237.jpg" WIDTH="300" HEIGHT="38" V:SHAPES="_x" OLDSRC="W.jpg"
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可以让孩子直接根据前面发现的规律来解决。一共种了36棵树，那么就有35个间隔，一个间隔6米，总长就是（36－1）&6=210（米）。
也可以让孩子先从简单的情况入手，比如每隔6米种一棵树，2棵之间相距多远？3棵呢？4棵5棵呢？然后发现相距的长度和栽树的棵数之间的关系，再利用规律来解决问题。
<img src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://www.pep.com.cn/xxsx/xxsxxs/xstbxx/xsxs4b/xsxsxsx/0618270.jpg" WIDTH="268" HEIGHT="79" V:SHAPES="_x" OLDSRC="W.jpg"
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第1题，敲钟的用时问题。理解“大钟敲响5下”共有4个间隔，所以每个间隔时间是2秒，列式是8&（5－1）＝2（秒）；推理“12时敲响12下”共有11个间隔，所用时间是22秒，列式是（12－1）&2＝22（秒）。
<img src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://www.pep.com.cn/xxsx/xxsxxs/xstbxx/xsxs4b/xsxsxsx/0616665.jpg" WIDTH="267" HEIGHT="105" V:SHAPES="_x" OLDSRC="W.jpg"
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第2题，读题，想像情境：共有12个间隔，而两端都有车站，也就是公共汽车的起点站和终点站，因此共有13个车站，列式是12&1＋1＝（13）。
<img src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://www.pep.com.cn/xxsx/xxsxxs/xstbxx/xsxs4b/xsxsxsx/0612386.jpg" WIDTH="290" HEIGHT="39" V:SHAPES="_x" OLDSRC="W.jpg"
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第3题，计量，想像情境：
16根电线杆中间有15个间隔，所以总长为200&（16－1）=3000（米）。
最后，与例1进行比较：我们可以把“敲钟一下、一个车站、一根电线杆”看作“栽一棵树”，所以这些个问题统称
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小学四年级奥数植树问题
植树问题公式：直线植树： 距离/间隔 +1 = 棵数&&
四周植树： 距离/间隔 = 棵数&& 楼间植树：单边植树距离/间隔
-1=棵树&& 双边植树 （ 距离/间隔
-1）*2=棵树
3.一根木头锯成5段要付锯板费1元，6根木头，每根锯成4段，共要付锯板费多少元？
4.甲、乙两人在长300米的公路两旁栽树，每隔20米栽一棵柳树，在每相邻两棵柳树之间又栽上两棵梧桐树.已知甲比乙多栽树12棵，问甲、乙各栽树多少棵？
5.东方旅店共15层，每层楼梯有20个阶梯.如果某人每上一阶梯需要0.5秒，问他上到顶层需要多少时间？
植树问题& 植树问题公式：直线植树： 距离/间隔 +1 =
棵数&& 四周植树： 距离/间隔 =
棵数&& 楼间植树：单边植树 距离/间隔
-1=棵树&& 双边植树 （ 距离/间隔
-1）*2=棵树&&
关于《植树问题》&&
《植树问题》这节课现在的案例很多，但因为这是一堂发展学生思维能力的课，所以怎样的教学目标定位才是适合学生的发展的，应该说是很难把握的。其次是第一节课要学生学到什么？是掌握其中一点（棵数=段数+1），还是在此基础上，让学生对这一问题有一个整体的把握，即既要理解+1的原因，又要理解—1的原因，和不加不减的原因。&&
宋晶晶老师结合多种版本的案例，给我们演绎了一堂精彩的数学课，我觉得她在了解学生的基础上，使相当一部分学生在原有的知识基础上，对植树问题的原因理解的更透彻了。&&
这节课的主要过程是通过生活中的例子，引导学生通过画图等，体验段数和棵数之间的关系，得出结论，再通过举例使学生联系生活，对生活中的例子进行辨析，在辨析中进一步理解+1的原因。最后通过闯关活动，激励学生去攻克一个又一个难关（3个变化题），使全体学生都能积极思考，从中进一步理解植树问题的内涵。在交流、反馈中，还引导学生应用一一对应的思想去思考验证，对中下学生的体验和理解帮助很大。&&
我觉得宋老师这堂课是成功的，是适合她的班级的，但换到其他班级，不一定适合，如果学生一点基础都没有，练习的难度要降低，才能取得理想的效果。&&
关于《植树问题》的两点思考：&&
不巧的很，仙桃市小学数学优秀青年骨干教师网络教研中心培训会暨重学新课标演讲会与仙桃市2007春季学期备考会重叠了。因此，虽然中途赶来，但还是没有完整地听完《植树问题》这节课，遗憾之余（事实上，寥寥几分钟，执教教师的机智、艺术还是给我留下了很深的印象），只能简短地谈谈自己对《植树问题》的几点思考。&&
说是对《植树问题》的几点思考，不如说对建立模型的几点思考更准确。&&
笔者以为，目前在模型的建立上面，有几点误区：&&
一、重形象直观，轻抽象概括。以《植树问题》为例，两端都栽树，很多老师喜欢以手为例。两个手指之间有几个间隔？三个手指呢？四个、五个呢？你能发现什么规律？这里，执教教师就仓促了一些。其实，这里教师还可进一步引导：6个手指有多少个间隔……100个手指呢？你是怎样知道的？这就逼着学生跳出“手”这一具体形象，依靠表象进行抽象概括，思维无疑进了一步。&&
二、重归纳发现，轻演绎推理。两端植树，树的棵数=间隔数+1。正如前面案例所描述的，这是一个典型的归纳发现的过程。那么，对于本节课的另一教学任务，《植树问题》的另一类型：两端都不植树的情况，是否也依然要用归纳发现的方法呢？这当然仁者见仁，智者见智。不过，我认为以下教法很重要。因为，在我看来，“两端植树”和“两端都不植树”二者实质是一样的，两端植树，树的棵数=间隔数+1，把两端的树去掉，树的棵数就减少了2，也就是“间隔数+1－2”，加上一个1再减上一个2，间隔数总的来说少了1，用模型表示就是“间隔数－1”。&&
笔者以为，以上教法不仅是沟通二者之间联系的需要，更重要的是，这是渗透数学思维的需要：即学生数学思维的发展不仅需要归纳发现的能力，同时也需要演绎推理的能力。&&
事实上，这正是现在模型教学所匿乏的。&&
书本上的知识：&&
植树问题是在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。&&
为使其更直观，用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。&&
专题分析：&
&一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。&
&1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=段数+1。&
&2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=段数。&&
3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=段数－1。&&
4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘二，即：棵树=段数+1再乘二。&&
二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=段数。&&
三、在方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=（每边的棵数－1）&边数。&
例子1，长方形场地：一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米．这个苹果园共种苹果树多少棵？&&
解法一：&&
①一行能种多少棵？84&2=42(棵)．|&&
②这块地能种苹果树多少行？54&3=18(行)．&&
③这块地共种苹果树多少棵？42&18=756(棵)．&&
如果株距、行距的方向互换，结果相同：&&
(84&3)&(54&2)=28&27=756(棵)．&&
解法二：&&
①这块地的面积是多少平方米？&&
84&54=4536(平方米)．&&
②一棵苹果树占地多少平方米？&&
2&3=6(平方米)．&&
③这块地能种苹果树多少棵？&&
当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时，可用上述两种方法中的任意一种来解；当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时，就只能用第二种解法来解．&&
但有些问题从表面上看，并没有出现“植树”二字，但题目实质上是反映封闭线段或不封闭线段长度、分隔点、每段长度三者之间的关系。锯木头问题就是典型的不封闭线段上，两头不植树问题。所锯的段数总比锯的次数多一。上楼梯问题，就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔，那么：上楼所需总时间
=（终点层—起始层）&每层所需时间。而方阵队列问题，看似与植树问题毫不相干，实质上都是植树问题。&&
例子2，直线场地：在一条马路的两旁植树，每隔3米植一棵，植到头还剩3棵；每隔2.5米植一棵，植到头还缺少37棵，求这条马路的长度。&&
设一共有A棵树&&
【（A-3）/2-1】X3=【（A+37）/2-1】X2.5&&
马路长:【（205-3）/2-1】X3=300&&
得:马路长度为300米&
&例子3，圆形场地（难题）：有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株紧相邻的月季花相距多少米&&
解：根据棵数=全长&间隔可求出栽丁香花的株数：&&
120&6=20（株）&&
由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花：&&
2&20=40（株）&&
由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为：&&
6&3=2（米）&&
答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米。
在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为3米的圆周上，按弧长计算，每隔2米植一棵树，共植了314棵。水池的周长是多少米？（适于六年级程度）&&
解：先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这个圆的周长是：&&
2&314=628（米）&&
这个圆的直径是：&&
628&3.14=200（米）&&
由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上，所以圆形水池的直径是：&&
200-3&2=194（米）&&
圆形水池的周长是：&&
194&3.14=609.16（米）&&
综合算式：&&
（2&314&3.14-3&2）&3.14&&
=（200-6）&3.14&&
=194&3.14&& =609.16（米）
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大标题（全称）:&第24届汉城奥林匹克运动会开幕及[历史同日大事要闻&综合版&]
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台媒称宋祖英将首度赴台演出安排与马英九会面
资料图：宋祖英。中新社发姚庭山摄
中新网9月16日电据台湾“中央社”报道，大陆著名歌唱家宋祖英将于11月首度应邀赴台表演，主办单位将安排与马英九、吴伯雄等党政要人会面。
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& ◇历史大事记：A篇
<font COLOR="#FF年9月17日第24届汉城奥林匹克运动会开幕
日上午10时30分，第24届奥运会在汉城综合体育场隆重开幕。汉城奥运会是东西方体育强国自1976年蒙特利尔奥运会后的第一次全面较量，激烈的竞争带来了丰硕的果实，共平、破30项世界纪录。...
·*·以铜为鉴·*·以人为鉴·*·以史为鉴·*·
& ◇历史大事记：B篇
<font COLOR="#FF年9月17日杨虎城被秘密杀害
日，杨虎城将军在重庆被国民党特务秘密杀害，终年56岁。
杨虎城，陕西蒲城人。1892年生，早年曾参加辛亥革命，1924年加入国民党，历任国民党第十七路军总指挥，陕西省主席等职。1936年12月，与张学良发动了“西安事变”，逼迫蒋介石抗日。后辞职出国考察。全面抗战爆发后，杨虎城于1937年11月回国参加抗战，随即被介石逮捕。1946年在重庆政协会议上，毛泽东曾提出释放杨虎城，被蒋介石否决。1949年蒋介石“引退”后，代总统李宗仁曾下令释放张学良、杨虎城，但因蒋阻挠，没有执行。本月蒋介石下达杀杨命令，特务们将杨虎城从贵阳押解到重庆中美合作所松林坡的戴公祠内秘密杀害。同时被害的还有杨虎城的儿子杨拯中及不满10岁的女儿、杨虎城秘书宋崎云夫妇及孩子宋振中、副官阎继明、警卫员张醒民。
<img ALT=".jpg (41088 bytes)" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://www.wst.net.cn/history/9.17/.jpg" WIDTH="221" HEIGHT="314"
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杨虎城遇害处
<img ALT=".jpg (17689 bytes)" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://www.wst.net.cn/history/9.17/.jpg" WIDTH="242" HEIGHT="315"
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被迫出国时的杨虎城一家
<img ALT=".jpg (14412 bytes)" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://www.wst.net.cn/history/9.17/.jpg" WIDTH="329" HEIGHT="294"
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宋绮云的孩子“小萝卜头”
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