已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时-题库-e学大
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【解答题】已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，则在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC；（2）CF﹣CD=BC；（3）①CD﹣CF=BC②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD，∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，∴∠ACF=∠ABD=135°，∴∠FCD=90°，∴△FCD是直角三角形．∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O．∴DF=AD=4，O为DF中点．∴OC=DF=2．答案解析相关微课程上一题：下一题：发现相似题
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如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形...”的分析与解答如下所示：
（1）首先在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，则易证四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可证得△EAM≌△FCN，则可得PA=PC；（2）由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE为平行四边形，易得△PED≌△PFB，则可得四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的面积=2×三角形ABD的面积
（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．则∠EMA=∠MEA，∠CNF=∠CFN．∵AP+AE=CP+CF，∴PM=PN，∵PE=PF，∴四边形EMFN是平行四边形．∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．在△EAM与△FCN中，{∠MEA=∠NFCME=NFEMA=∠FNC．∴△EAM≌△FCN（ASA）．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC；（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．在△PED与△PFB中，{∠PED=∠PFB∠EPD=∠FPBEP=PF，∴△PED≌△PFB（AAS）．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵BD=12，AB=15，∠DBA=45°，∴四边形ABCD的面积为：2×12BDoABosin45°=12×15×√22=90√2．答：四边形ABCD的面积是90√2．
此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．
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如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°...
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经过分析，习题“如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形...”主要考察你对“平行四边形的判定与性质”
等考点的理解。
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平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
与“如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形...”相似的题目：
[2014o襄阳o中考]如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于（　　）80°90°100°110°
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“如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交...”的最新评论
该知识点好题
1（2011o黔西南州）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（　　）
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3如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB=CD，AD=BC，则图中全等三角形共有（　　）
该知识点易错题
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决胜2017中考数学压轴题全揭秘精品：专题17 静态几何之四边形问题（解析版）
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在正方形ABCD中E是AB上一点F是BC上一点,且∠EDF=45°求证EF=AE+CF
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延长BA到M,使AM=CF,连结DM则由边角边可证△CDF≌△ADM∴MD=DF,∠MDE=∠EDF=45°∴△MDE≌△FDE∴EF=EM=EA+AM=EA+CF
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第 28 讲 正方形 本讲重点：正方形的性质和判定. 【考点链接】 1．正方形的定义和从属关系2.正方形的性质： 边 正方 形 对边平行，四 条边都 角 四个角 都是 对角线 两条对角线互相垂直平分且 对角线平分一组对角 ，每条 对称性 轴对称， 中心 对称3．正方形的判定方法 （1）有一组 相等的矩形是正方形； （2）有一个角是 的矩形是正方形. 【典例探究】 考点 1 正方形的判定 『例 1』 （2012 江苏南京）如图，梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=CD，对角线 AC、BD 交于点 O， AC ? BD，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点 （1）求证：四边形 EFGH 为正方形； （2）若 AD=2，BC=4，求四边形 EFGH 的面积.『解析』 （1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由 AC⊥BD 入手，进行正方形的 判断. （2）连接 EG，利用梯形的中位线定理求出 EG 的长，然后结合（1）的结论求出 EH 2 ? 也即得出了正方形 EHGF 的面积.9 ， 2解： （1）证明：在△ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，EF= 同理 FG=1 AC. 21 1 1 BD，GH= AC，HE= BD. 2 2 2∵在梯形 ABCD 中，AB=DC，∴AC=BD.∴EF=FG=GH=HE，∴四边形 EFGH 是菱形. 设 AC 与 EH 交于点 M，在△ABD 中，E、H 分别是 AB、AD 的中点，则 EH∥BD， 同理 GH∥AC.又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°.∴∠EHG=∠EMC=90°. ∴四边形 EFGH 是正方形. （2）连接 EG.在梯形 ABCD 中，∵E、F 分别是 AB、DC 的中点，1 2 2 2 ∴ EG ? （AD ? BC） 3 .在 Rt△EHG 中，∵EH +GH =EG ，EH=GH， ? 2 9 9 ∴ EH 2 ? ，即四边形 EFGH 的面积为 . 2 2 『备考兵法』解这类问题的关键是正确理解正方形与矩形、菱形及平行四边形之间的关系.考点 2 正方形性质和判定的综合应用 『例 2』 （2012 甘肃白银）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为 m 的正 （1） 方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙） ，若拼成的矩形一边长为 3，则另 一边长是( ) A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6（2） （2012 安徽省）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边 形植草砖， 更换后， 图中阴影部分为植草区域， 设正八边形与其内部小正方形的边长都为 a ， 则阴影部分的面积为( )A.2 a 2B. 3 a 2C. 4 a 2D.5 a 2（3） （2012 广东佛山）如图，边长为 m ? 4 的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长 为 4，则另一边长为（4） （2012 贵州黔东南）点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与 A、B 重合） ，连接 PD 并将 线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°，得线段 PE，连接 BE，则∠CBE 等于( ) A．75° B．60° C．45° D．30°『解析』 （1）由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后，剩余部分 又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙） ，那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面 积，而矩形一边长为 3， 利用矩形的面积公式即可求出另一边长 ：设拼成的矩形一边长为 x， 2 2 则依题意得剩余部分为： （m+3） －m =3x，解得，x=（6m+9）÷3=2m+3.故选 C. （2）图案中间的阴影部分是正方形，面积是 a 2 ，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个 阴影部分是对角线为 a 的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：1 1 a 2 ? ? a 2 ? 4 ? 2a 2 .故选 A. 2 2（3） 根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 列式整理即可得解： 2 2 设拼成的矩形的另一边长为 x，则 4x=（m＋4） －m =（m＋4＋m） （m＋4－m）=8m＋16，解得 x=2m＋4. （4） 过点 E 作 EF⊥AF， AB 的延长线于点 F， 交 则∠F=90°， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AD=AB， ∠A=∠ABC=90°.∴∠ADP+∠APD=90°. 由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°， ∴∠APD+∠EPF=90°.∴∠ADP=∠EPF.在△APD 和△FEP 中， ∵∠ADP=∠EPF， ∠A=∠F， PD=PE， ∴△APD≌△FEP（AAS）.∴AP=EF，AD=PF.又∵AD=AB，∴PF=AB，即 AP+PB=PB+BF.∴AP=BF.∴BF=EF.又∵∠F=90°，∴△BEF 为等腰直角三角形.∴∠EBF=45°. 又∵∠CBF=90°，∴∠CBE=45°.故选 C. 『备考兵法』正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的菱形和矩形，具有平行四边形、菱形 和矩形的一切性质，在解题过程中，要注意灵活运用. 考点 3 综合型问题 『例 3』 （2012 山东滨州）如图 1，l1，l2，l3，l4 是一组平行线，相邻 2 条平行线间的距离 都是 1 个单位长度， 正方形 ABCD 的 4 个顶 点 A， C， 都在这些平行线上． B， D 过点 A 作 AF⊥l3 于点 F，交 l2 于点 H，过点 C 作 CE⊥l2 于点 E，交 l3 于点 G． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）求正方形 ABCD 的面积； （3）如图 2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为 h1，h2，h3，试用 h1，h2，h3 表示正方形 ABCD 的面积 S．『解析』 （1）证明：在 Rt△AFD 和 Rt△CEB 中， ∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）. （2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH. 又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°，∴△ABH≌△BCE（AAS）. 同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF. ∴S 正方形 ABCD=4S△ABH+S 正方形 HEGF=4×1 ×2×1+1+1=5. 2 1 2 2 2 （h1+h2）?h1+h2 =2h1 +2h1h2+h2 ． 2（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故 h1=h3，由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF， ∴S 正方形 ABCD=4S△ABH+S 正方形 HEGF=4×『备考兵法』本题综合考察了正方形的性质，属于基础题，解答这类题时一般采取利用图形 的全等的知识将分散的图形集中在一起，再结合图形的特征求解.【当堂过关】 1. （2012 湘潭模拟）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A、平行四边形 B、正方形 C、等腰梯形 D、矩形 『解析』对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故选 B． 『答案』B 2. （2012 河北）如图，两个正方形的面积分别为 16，9，两阴影部分的面积分别为 a ，b (a ? b) ，则 (a ? b) 等于（A．7 Ｂ．6） Ｃ．5 Ｄ．4『解析』用 c 表示非阴影部分的面积，于是有 ?? a ? c ? 16 ，两式相减就得 (a ? b) ? 7 . ?b ? c ? 9，将正方形 ABCD 沿直线『答案』A 3. （2012 湖北荆门）如图，已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 EF 折叠，则图中阴影部分的周长为( ) A． 8 B． 4 C． 8 D． 6『解析』利用正方形性质求解. 『答案』C 4. （2012 牡丹江）如图，在正方形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 的中点，过点 O 作射线 OM、 ON 分别交 AB、BC 于点 E、F，且∠EOF=90°，BO、EF 交于点 P．则下列结论中： （1）图 形中全等的三角形只有两对； 正方形 ABCD 的面积等于四边形 OEBF 面积的 4 倍； （2） （3）2 2 BE+BF= 2OA； （4）AE +CF =2OP?OB，正确的结论有（）个．A、1 B、2 C、3 D、4 『解析』从图中可看出全等的三角形至少有四对．故（1）错误．△OBE 的面积和△OFC 的面 积相等，故（2）正确．BE+BF 是边长，故 BE+BF=OA 是正确的．因为 AE=BF，CF=BE，故AE2+CF2=2OP?OB 是正确的．故选 C．『答案』C 5. （2012 孝感模拟）已知正方形 ABCD，以 CD 为边作等边△CDE，则∠AED 的度数是 『解析』当 E 在正方形 ABCD 内时，∴∠ADE=90°60°=30°，AD=DE，∴∠DAE=∠AED= （180°∠ADE）=75°；当 E 在正方形 ABCD 外时，∴∠AED=∠DAE= .1 21 （180°∠ADE） 2=15°． 『答案』15°或 75° 6. （2012 贵州贵阳）如图，在正方形 ABCD 中，等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上． （1）求证：CE=CF； （2）若等边三角形 AEF 的边长为 2，求正方形 ABCD 的周长．解： （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB=AD.∵△AEF 是等边三角形，∴AE=AF. 在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中，∵AB=AD， AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）. ∴CE=CF. （2）连接 AC，交 EF 于 G 点，∵△AEF 是等边三角形，△ECF 是等腰直角三角形，∴AC⊥EF. 在 Rt△AGE 中，EG=sin30°AE=2 2 21 ×2=1，∴EC= 2 .设 BE=x，则 AB=BC=x+ 2 ， 22 2在 Rt△ABE 中，AB +BE =AE ，即（x+ 2 ） +x =4，解得 x= ∴AB=? 2? 6 （负值舍去）. 2? 2+ 6 2+ 6 .∴正方形 ABCD 的周长为 4AB=2（ 2+ 6 ）. + 2= 2 2 7. （2012 咸宁模拟） （1）如图①，在正方形 ABCD 中，△AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数． （2）如图②，在 Rt△ABD 中，∠BAD=90°，AB=AD，点 M，N 是 BD 边上的任意两点，且 ∠MAN=45°，将△ABM 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADH 位置，连接 NH，试判断 MN，ND， DH 之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接 BD 分别交 AE，AF 于点 M，N，若 EG=4，GF=6，BM=3 2，求 AG， MN 的长．解： （1）在 Rt△ABE 和 Rt△AGE 中， AB ? AG ， AE ? AE ，1 ?BAD ? 45? ． 2 （2） MN 2 ? ND 2 ? DH 2 ．∵ ?BAM ? ?DAH ， ?BAM ? ?DAN ? 45? ， ∴ ?HAN ? ?DAH ? ?DAN ? 45? ． ∴ ?HAN ? ?MAN ． 又∵ AM ? AH ， AN ? AN ，∴△AMN≌△AHN．∴ MN ? HN ． ∵ ?BAD ? 90? ， AB ? AD ，∴ ?ABD ? ?ADB ? 45? ．∴ ?HDN ? ?HDA ? ?ADB ? 90? ． ∴ NH 2 ? ND 2 ? DH 2 ．∴ MN 2 ? ND 2 ? DH 2 ． （3）由（1）知， BE ? EG ， DF ? FG ．设 AG ? x ，则 CE ? x ? 4 ， CF ? x ? 6 ． ∵ CE 2 ? CF 2 ? EF 2 ，∴ ( x ? 4) 2 ? ( x ? 6) 2 ? 10 2 ． 解这个方程，得 x1 ? 12 ， x2 ? ?2 （舍去负根） ．∴ AG ? 12 ．∴△ABE≌△AGE．∴ ?BAE ? ?GA ．同理，?GAF ? ?DAF ．∴ ?EAF ? E ∴ BD ?AB 2 ? AD 2 ? 2 AG 2 ? 12 2 ．在（2）中， MN 2 ? ND 2 ? DH 2 ， BM ? DH ，∴ MN 2 ? ND 2 ? BM 2 ．设 MN ? a ，则 a 2 ? (12 2 ? 3 2 ? a) 2 ? (3 2 ) 2 ． ∴ a ? 5 2 ．即 MN ? 5 2 ． 8. （2012 贵州贵阳）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条 直线称为这个平面图形的一条面积等分线． （1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线； （2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图②，四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，AB≠CD，且 S△ABC＜S△ACD，过点 A 画出四边 形 ABCD 的面积等分线，并写出理由．解： （1）6；无数. （2）这个图形的一条面积等分线如图：连接 2 个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形 分成 2 个相等的部分．即 OO′为这个图形的一条面积等分线.（3）四边形 ABCD 的面积等分线如图所示：理由如下： 过点 B 作 BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E，连接 AE. ∵BE∥AC，∴△ABC 和△AEC 的公共边 AC 上的高也相等，∴ S△ABC=S△AEC. ∴ S四边形ABCD ? S?ACD ? S?ABC ? S?ACD ? S?AEC ? S?AED .∵S△ACD＞S△ABC， ∴面积等分线必与 CD 相交，取 DE 中点 F，则直线 AF 即为要求作的四边形 ABCD 的面积等分 线.【浙江两年中考】 1. （2011 湖州市）如图，甲类纸片是边长为 2 的正方形，乙类纸片是边长为 1 的正方形， 丙类纸片是长、宽分别是 2 和 1 的长方形.现有甲类纸片 1 张，乙类纸片 4 张，则应至少取 丙类纸片 张才能用它们拼成一个新的正方形.『解析』甲类纸片 1 张，乙类纸片 4 张的面积之和为 8，每张丙类纸片的面积为 2，而所拼 成的新的正方形面积应为完全平方数，故应至少取丙类纸片 4 张. 『答案』4 2. (2011 绍兴) 取一张矩形纸片按照图 1、图 2 中的方法对折，并沿图 3 中过矩形顶点的斜 线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形， 则这张矩形纸片的宽和长之比为 .『解析』展开折叠后的图形求解. 『答案』 3 : 2 3.（2011 舟山）以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形， 直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形 EFGH． （1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2，当 四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明） ； （2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC= ? （0°＜ ? ＜90°） ， ① 试用含 ? 的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE=HG； ③ 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由． H H HA E BDG CA E BDEG CACDGBF（图 1）F（图 2）F（图 3）解： （1）四边形 EFGH 是正方形． (2) ①∠HAE=90°＋a． 在□ABCD 中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a； ∵△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°， ∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a． ②∵△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，∴AE=2 2 AB，DG= CD， 2 2在□ABCD 中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形， ∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE． ∵△HAD 是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG． ③四边形 EFGH 是正方形． 由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证） GH=GF=FG=FE， ，∴ ∴四边形 EFGH 是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证） ，∴∠DHG=∠AHE， 又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形 EFGH 是正方形．【命题趋势提醒】 考查正方形时，可能出简单的填空、选择，考查它们的判定条件时多以开放型试题出 现的较多，或利用性质计算等；一般情况下有关平行四边形的试题多数为解答题，它将把几 种四边形综合在一起，有时也将三角形的知识添加进来，题型比较灵活.【迎考精炼】 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.每小题只有一个选项是正确的，不 选，多选，错选均不给分） 1. （2012 义乌模拟）下列说法不正确的是（ ） ．．． A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形 『解析』一组邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，对角线互相垂直的矩 形是正方形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选 D. 『答案』D 2. （2012 深圳市模拟五）下列命题中，真命题是（ ） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 『解析』两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 『答案』D 3. （2012 眉山市模拟）如图，每个小正方形的边长为 1，A、B、C 是小正方形的顶点，则 ∠ABC 的度数为（ ） A．90° B．60° C．45° D．30°A B C『解析』构造特殊的直角三角形. 『答案』C 4. （2012 芜湖模拟）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 度后得到正方形 ） AB' C' D' ，边 B'C ' 与 DC 交于点 O，则四边形 AB' OD 的周长是 （ ．． A． 2 2 B． 3 C． 2 D． 1? 2『解析』点 D 在正方形 AB' C' D' 的对角线上. 『答案』A 5. （2012 烟台模拟）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O1、O2 是其中两个正方 形的中心，则阴影部分的面积是（ ） A．2 B． 3 C． 2 D．4O2O1『解析』每个阴影部分的面积是都是正方形面积得四分之一. 『答案』A 6. （2012 海宁盐官片一模）如图，正方形 ABCD 的面积为 12， △ABE 是等边三角形， 点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD ? PE 的和最小，则这个最小 值为（ ） A． 2 3 B． 2 6 C．3 D． 6『解析』当点 P 为 AC 与 BE 的交点时， PD ? PE 的和最小，这个最小值为 BE. 『答案』A 7. （2012 福建南平）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，将 AB、AD 分别和 AE、AF 折叠，点 B、D 恰好都将在点 G 处，已知 BE=1，则 EF 的长为( ) A．3 2B．5 2C．9 4D．3『解析』 ∠C=90°， BC=C D=3.根据折叠的性质得： EG=BE=1， GF=DF.设 DF=x， EF=EG＋GF=1 则 2 2 2 2 2 ＋x，FC=DC－DF=3－x，EC=BC－BE=3－1=2.在 Rt△EFC 中，EF =EC ＋FC ，即（x＋1） =2 ＋（3－x） ，解得： x ?23 3 3 5 .∴DF= ，EF=1＋ = . 2 2 2 2『答案』B 8. （2012 杭州金山学校模拟） 正方形 ABCD 、 正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图， 点 G 在线段 DK 上，正方形 BEFG 的边长为 4，则 △DEK 的面积为（ ）Ａ、10 Ｂ、12 Ｃ、14 Ｄ、16 『解析』分割成规则的三角形后求和. 『答案』D 9. （2012 浠水模拟）如图，将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 中点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN，则线段 CN 的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5『解析』设 CN 的长，列方程解. 『答案』B 10. （2012 山东日照） 如图， 在斜边 长为 1 的等腰直角三角形 OAB 中， 作内接正方形 A1B1C1D1； 在等腰直角三角形 OA1B1 中，作内接正方形 A2B2C2D2；在等腰直角三角形 OA2B2 中，作内接正 方形 A3B3C3D3；……；依次作下去，则第 n 个正方形 AnBnCnDn 的边长是( )（A）1n ?1（B）1n（C）1n ?1（D）1n?23 3 3 3 0 『解析』∵等腰直角三角形 OAB 中，∠A=∠B=45 ，∴△AA1C1 和△BB1D1 都是等腰直角三角 形.∴AC1=A1C1， 1=B1D1.又∵正方形 A1B1C1D1 中， 1C1=C1D1=B1D1=A1B1， BD A ∴AC1=C1D1=D1B.又∵AB=1， 1 1 1 ∴C1D1= ，即正方形 A1B1C1D1 的边长为 .同理，正方形 A2B2C2D2 的边长为 2 ，正方形 A3B3C3D3 3 3 3 1 1 的边长为 3 ，……正方形 AnBnCnDn 的边长为 n . 3 3 『答案』B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案填在横线上） 11. （2012 日照模拟）正方形 ABCD 的边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，且始 终保持 AM⊥MN．当 BM= 时，四边形 ABCN 的面积最大．『解析』当，M 是 BC 的中点时四边形 ABCN 的面积最大． 『答案』2 12. （2012 平阳市模拟）如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB 到 E，使 AE=AC，则∠BCE的度数是°．『解析』先求的∠E=67.5°，所以∠BCE=22.5°. 『答案』22.5 13. （2012 泰州模拟）如图，平面内 4 条直线 L1、L2、L3、L4 是一组平行线，相邻 2 条平行 线间的距离都是 1 个单位长度，正方形 ABCD 的 4 个顶点 A、B、C、D 都在这些平行线上，其 中点Ａ、Ｃ分别在直线 L1 和 L4 上，该正方形的面积是 平方单位．11 12 13 14『解析』构造直角三角形解. 『答案』5 或 9 14. （2012 杭州三模） 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上的一点，且 BE=BC，点 P 在 EC 上，PM⊥BD 于 M，PN⊥BC 于 N，则 PM+PN= .『解析』考察特殊情况. 『答案』215. （2012 四川攀枝花）如图，正方形 ABCD 中，AB=4，E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点，则 PE+PB 的最小值为 ．『解析』连接 DE，交 BD 于点 P，连接 BD.∵点 B 与点 D 关于 AC 对称，∴DE 的长即为 PE+PB 的最小值.∵AB=4，E 是 BC 的中点，∴CE=2. DE= CD 2 +CE 2 ? 42 +22 ? 2 5 . 『答案』 2 516. （2012 德州模拟）长为 1，宽为 a 的矩形纸片（1 ，如图那样折一下，剪下一 ? a ? 1） 2个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作） ；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下 一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作） ；如此反复操作下去．若在第 n 此 操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当 n=3 时，a 的值为_____________．第一次操作 『解析』分类考虑. 『答案』第二次操作3 3 或 5 4三、解答题（本大题共 6 小题，共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17.（6 分） （2012 肇庆模拟）如图，在一方形 ABCD 中．E 为对角线 AC 上一点，连接 EB、ED. （1）求证：△BEC≌△DEC： （2）延长 BE 交 AD 于点 F，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．解： （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴CD=CB，∠DCA=∠BCA， ∵CE=CE，∴△BEC≌△DEC． （2）∵∠DEB=140°，∵△BEC≌△DEC，∴∠DEC=∠BEC=70°，∴∠AEF=∠BEC=70°， ∵∠DAB=90°，∴∠DAC=∠BAC=45°，∴∠AFE=180°70°45°=65°． 18. 8 分）2012 宁夏区） （ （ 正方形 ABCD 的边长为 3， F 分别是 AB、 边上的点,且∠EDF=45°. E、 BC 将△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90°，得到△DCM. （1）求证：EF=FM （2）当 AE=1 时，求 EF 的长.解：(1) 证明：∵△DAE 逆时针旋转 90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°. ∴∠EDF + ∠FDM=90°.∵∠EDF=45°，∴∠FDM =∠EDF=45°. ∵DF= DF ，∴△DEF≌△DMF（SAS）.∴EF=MF. （2）设 EF=x .∵AE=CM=1 ，∴ BF=BM－MF=BM－EF=4－x . ∵ EB=2，∴在 Rt△EBF 中，由勾股定理得 EB2 ? BF2 ? EF2 ，即 22 ? (4 ? x)2 ? x 25 5 . ∴EF 的长为 . 2 2 19.（8 分） （2012 玉林模拟）如图，点 G 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以 线段 AG 为边作一个正方形 AEFG，线段 EB 和 GD 相交于点 H． （1）求证：EB=GD； （2）判断 EB 与 GD 的位置关系，并说明理由；解得， x ? （3）若 AB=2，AG= 2 ，求 EB 的长．解： （1）证明：在△GAD 和△EAB 中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD， ∴∠GAD=∠EAB，又∵AG=AE，AB=AD，∴△GAD≌△EAB，∴EB=GD； （2）EB⊥GD，理由如下：连接 BD，由（1）得：∠ADG=∠ABE，则在△BDH 中， ∠DHB=180°（∠HDB+∠HBD）=180°90°=90°，∴EB⊥GD； （3）设 BD 与 AC 交于点 O，∵AB=AD=2 在 Rt△ABD 中，DB= ∴EB=GD= OG ? OD ? 8 ?2 2AB 2 ? AD 2 ? 2 2 ，2 ? 10 ．20.（8 分） （2012 黑河模拟）在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EF⊥AB 交 BD 于点 F， 取 FD 的中点 G，连接 EG、CG，如图（1） ，易证 EG=CG 且 EG⊥CG． （1）将△BEF 绕点 B 逆时针旋转 90°，如图（2） ，则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系 和位置关系？请直接写出你的猜想． （2）将△BEF 绕点 B 逆时针旋转 180°，如图（3） ，则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关 系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．解： （1） EG=CG，EG⊥CG． （2）EG=CG，EG⊥CG． 证明：延长 FE 交 DC 延长线于 M，连 MG．∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四边形 BEMC 是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，又∵BE=EF，∴EF=CM．1 FD=FG．∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD． 2 1 ∵EF=CM，∴FM=DM，∴∠F=45°．又 FG=DG，∠CMG= ∠EMC=45°， 2∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG= ∴∠F=∠GMC．∴△GFE≌△GMC．∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． ∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE+∠EGM=90°， ∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG． 21.（8 分） （2012 河北模拟）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E，K 分别在 BC，AB 上，点 G 在 BA 的延长线上，且 CE＝BK＝AG． （1）求证：①DE＝DG； ②DE⊥DG （2）尺规作图：以线段 DE，DG 为边作出正方形 DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法 和证明） ； （3）连接（2）中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想： （4）当S CE 1 ? 时，请直接写出 正方形 ABCD 的值． S 正方形 DEFG CB n解： （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°． 又∵CE＝AG，∴△DCE≌△GDA，∴DE＝DG，∠EDC＝∠GDA， 又∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＋∠GDA＝90°，∴DE⊥DG． （2）如图．（3）四边形 CEFK 为平行四边形． 证明：设 CK．DE 相交于 M 点，∵四边形 ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形， ∴AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG，∵BK＝AG，∴KG＝AB＝CD， ∴四边形 CKGD 是平行四边形，∴CK＝DG＝EF，CK∥DG， ∴∠KME＝∠GDE＝∠DEF＝90°，∴∠KME＋∠DEF＝180°，∴CK∥EF，∴四边形 CEFK 为平行四边形． （4）S 正方形 ABCD S 正方形 DEFG?n2 ． n2 ?122.（8 分） （2012 山东德州）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正 方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落 在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小 值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．解： （1）如图 1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB． 又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH∠EPB=∠EBC∠EBP，即∠PBC=∠BPH. 又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC.∴∠APB=∠BPH.（2）△PHD 的周长不变为定值 8.证明如下：如图 2，过 B 作 BQ⊥PH，垂足为 Q. 由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP， ∴△ABP≌△QBP（AAS）. ∴AP=QP，AB=BQ.又∵AB=BC，∴BC=BQ. 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）.∴CH=QH. ∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.
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