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不要信122 州长致死率高 数据有问题 gsc和腐烂鸡 自由 容错率高 一枪没打死还可以补第二枪 州长一枪没喷死 基本就gg了
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因为竞技黑洞要挣钱，把其他的枪都削了显得黑洞很屌
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自由仍然是强喷中的强喷射程最远。
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可拉倒吧，没配件的州长都比自由强
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吾之荣耀即忠诚
楼上GS12射程12而州长11(沒装配件)
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自由和SCG12射程一样，都是最远的
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致死率不是看射程，各方面属性都要看，州长出了射速和上弹速度，其他都是极其优秀的
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最后登录QQ<dd title="846963注册时间阅读权限20精华0积分6005帖子
三等军士长, 积分 6005, 距离下一级还需 3995 积分
本帖最后由 唯忆存在 于
22:06 编辑
自从这次更新之后，自由的射程严重削减，这14的射程，就是喷子中孙子的孙子，这TM的还是RMB武器？？？随便来个喷子都能喷子你，而都是在你的射程之外，艾奇逊9的射程，喷自由就和玩似的，州长12的射程，那距离就和短枪似的，人家喷死你，看看人家那距离，再看看自由，这TM的也配叫RMB武器？？？还主模式就是喷子，你们也有脸卖？？
你们公司既然敢出变形 喷子和狙击，而且喷子是CSG&&狙击是M200的数据，就得给我实实在在地数据，破不破坏平衡，和我们有什么关系？？你当时卖的时候就忽悠玩家，以前还可以将就玩，现在变本加厉了？？我花钱买的是数据，而不是你现在所谓的某些武器过于破坏平衡削减，？？？破坏平衡你当初还卖？？？
总之，自由的射程不加，从此不在花一分钱，我花了2000多，也不多，我TM的宁可这游戏黄了，我也不维护你司的游戏了！
最后登录注册时间阅读权限100精华0积分138455帖子
可爱滴i萌兽
亲，请注意文明用语。自由用的好，还是可以的。今天队友靠自由灭了几次队。
?我把好吃的都给你了(●'?'●)ノ?~~ 亲我们分手吧
最后登录QQ注册时间阅读权限20精华0积分7230帖子
三等军士长, 积分 7230, 距离下一级还需 2770 积分
唯忆存在 发表于
亲，请注意文明用语。自由用的好，还是可以的。今天队友靠自由灭了几次队。 ...
让我们玩家注意语气？当我们心平气和的反映问题，有用么？从来不顾及玩家的意见和感受，只为了从游戏中获取暴利而进行一次次的**改动，一次次伤害玩家的心，兔子**急了尚且咬人，再和善的人也有脾气，只许你们一次次伤害我们践踏我们玩家的心，不允许我们发泄情绪？什么GP理论？！
最后登录QQ注册时间阅读权限20精华0积分4570帖子
上士, 积分 4570, 距离下一级还需 430 积分
支持楼主。自由不改。以后不会花一分钱。
最后登录QQ注册时间阅读权限20精华0积分1295帖子
中士, 积分 1295, 距离下一级还需 1205 积分
呵呵语气啧啧啧不说别的游戏体验多做不好还坑钱，你游戏做得好我乐意花钱。自由射程就是孙子，目前远程最强势的还是州长
最后登录QQ注册时间阅读权限10精华0积分65帖子
二等兵, 积分 65, 距离下一级还需 85 积分
我在分期自由和命运，上了贼船了，一定要改自由啊，增加射程
人工发放，参与版面活动一定几率获得
曾经为论坛做出突出贡献目前已离职的版主
论坛资历深厚的会员
回帖数大于300
经常帮助其他会员答疑
经常在论坛发帖，且发帖量较大
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高中物理专题讲座必修二
第二篇：必修二第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 抛体运动 圆周运动 万有引力及其应用 机械能和能源 经典力学与物理学的革命1第一章 抛体运动本章内容是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，复习好本章的概念和规律，将加深对速度、加速度及 其关系的理解，加深对牛顿第二定律的理解，提高解决实际问题的能力。在高考中对本章知识的考查重点 在于：平抛运动在考题中单独出现的几率较少，主要是与电场、磁场、机械能结合的综合题。 核心内容 1 2 什么是抛体运动 3 4 5 6 7 运动的合成和分解 竖直方向的抛体运动 8 9 10 11 12 平抛物体的运动 13 14 15 16 斜抛物体的运动 17 18 19 课标解读 知道什么是抛体运动，了解运动特点 知道曲线运动中的速度方向在其切线上 了解曲线运动是一种变速运动 了解物体做曲线运动的条件 会用牛顿定律对曲线运动条件做出分析 知道什么是合运动，什么是分运动，同时性，独立性 知道运动的合成和分解， 理解合成和分解遵循平行四边形法则 会用作图法和三角形法求解有关位移、 速度的合成和分解问题 知道竖直方向上的抛体运动只受重力作用，其加速度为 理解竖直方向上的抛体运动的特点和规律 会将竖直上抛分解成向上的匀减速和自由落体运动的合运动 理解平抛运动的特点 理解平抛运动可以分解为两个方向的分运动，互不影响 掌握平抛运动规律 会用平抛运动规律解实际问题 知道斜抛运动的特点，轨迹是抛物线 知道斜抛运动可以分解为水平和竖直方向的两个分运动 知道什么是斜抛运动的射高和射程 知道什么是弹道曲线，为什么不同于抛物线专题一.运动的合成和分解◎知识梳理进制 一个比较复杂的运动，常可以看成是由两个或几个简单的运动所组成的。组成复杂运动的简单运 动，我们把它们叫做分运动，而复杂运动本身叫做合运动。由分运动求合运动叫运动的合成；由合运动求 分运动叫做运动的分解。 1 运动的合成和分解遵循平行四边形法则。 2 运动的合成和分解必须按实际情况进行。 3 合运动和分运动具有等时性。 4 分运动具有独立性。◎ 例题评析【例 1】在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江岸是平直的，洪水沿江而下，水的流 速为 5m/s，舟在静水中的航速为 lOm/s，战士救人的地点 A 离岸边最近点 0 的距离为 50m 如图，问： (1)战士要想通过最短的时间将人送上岸，求最短时间为多长? (2)战士要想通过最短的航程将人送上岸，冲锋舟的驾驶员应将舟头与河岸成多少 度角开? (3)如果水的流速是 10m/s，而舟的航速(静水中)为 5m/s，战士想通过最短的距离2将人送上岸，求这个最短的距离。 【分析与解答】 ：(1)根据运动的独立性可知，冲锋舟到达江岸的时间 是由垂直于江岸的分速度决定，该分速度越大，则时间越短，故当冲锋 舟垂直于江岸时，时间最短，设船在静水中的速度为 v2, 水速为 v1,最短的时间为 t=d/v2=5(s) (2)战士要想到达江岸的过程中航程最短，则要求合速度的方向垂直于江岸，舟头必须斜向上，设与 江岸的夹角为θ (如图 2 所示)，则 COSθ =v1/v2=O.5 0 θ =60(3)在 v1&v2 的条件下，舟只能斜向下游到江岸，此时 v2 所有可能的方向如图 3 所示，v 与 v2 垂直时θ 角最 0 0 大，位移最短，此时 sinθ =v2/v1=o.5,则θ =30 ，最短位移为 s=50/sin30 =100(m) 【说明】 (1)不论水流速度多大，总是船身垂直于河岸开动时，渡河时间最短， t=d/sinθ ，且这个时间与水流速度大小无关。 (2)当 v1&v2 时，合运动方向垂直河岸时，航程最短。 (3)当 v1≥v2 时，当合运动方向与船身垂直时，航程最短。 【例 2】 如图 4 所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体 A 的受力情 况是( ) A．绳的拉力大干 A 的重力 B．绳的拉力等于 A 的重力 C．绳的拉力小于 A 的重力 D．拉力先大干重力，后变为小于重力 【分析与解答】 车水平向右的速度(也就是绳子末端的运动速度)为合速 度，它的两个分速度 v1,v2 如图 5 所示，其中 v2 就是抽动绳子的速度，它等于 A 上升的速度。由图得，vA=v2=vcosθ 小车匀速向右运动过程中，θ 逐渐变小，知 vA 逐渐变大，故 A 做加速运动， 由 A 的受力及牛顿第二定律知绳的拉力大于 A 的重力。 【答案】 故选 A。◎能力训练 11．一轮船船头正对河岸航行。轮船渡河通过的路程、渡河时间在水流速度突然变大的情况下，下列说法 中正确的是 A．路程变长，时问变长 B．路程变长，时间不变 C．路程变短，时间变短 D．路程与时间都不变 2．在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水 沿江向下游流去，水流速度为 V1，摩托艇在静水中的航速为 V2，战士 救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为 d。如战士想在最短时间内 将人送上岸，则摩托艇登陆脚地点离 O 点的距离为3．小船过河，河宽为 90m，船在静水中航行速度是 3m／s，水流速3度是 4m／s，则 A．船渡过河的最短时间为 30 s B．小船渡河的最短路程为 90 m C．船头偏向上游某一角度可使船以最短路程过河 D．小船渡河的最短路程为 150 m 4．小河宽为 d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，V 水=kx，k=4v0/d,，x 是各 点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为珈，则下列说法中正确的是 A．小船渡河时的轨迹为直线 B．小船到达离河岸 d/2 处，船的渡河速度为 2 v0 C．小船渡河时的轨迹为曲线 D．小船到达离河岸 3d/4 处，船的渡河速度为 10 v0 5．如图 6 所示，某人从高出水平地面 h 的坡上水平击出一个高尔夫球，由于恒定的水平风力的作用，高 尔夫球竖直地落入距击点水平距离为 L 的 A 穴，该球被击出时初速度的大小为________6.一探照灯照射在云层底面上，这底面是与地面平行的平面，如图 7 所示，云层 底面高 h，探照灯以匀角速度ω 在竖直平面内转动，当光束转过与竖直线夹角为 θ 时，此刻云层底面上光点的移动速度等于多少? 7.如图 8 所示，a 图表示某物体在 x 轴方向上分速度的 v-t 图像．b 图表示该物体 在 y 轴上分速度图像。 1 2 求：○物体在 t=O 时物体的速度；○t=8s 时物体的速度； 3 ○t=4s 时物体的位移。8.雨滴在空中以 4m／s 速度竖直下落，人打着伞以 3m／s 的速度 向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向 什么方向?9．如图 9 所示，一艘小艇从河岸的 A 处出发渡河，小艇保持与河岸垂直的方向行驶．经 过 10 分钟到达正对岸下游的 120 米的 C 处；如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河 岸成 a 角的方向行驶，则经过 12．5 分钟恰好达到正对岸的 B 处，由此可知这条河的宽度 为4专题二．竖直上抛运动◎知识梳理1．特点：初速度 V0 竖直向上，只受重力作用的运动叫竖直上抛运动，是匀减速直线运动的特例。 2．公式注意： ①选初速度 V0 的方向为正方向，若 V 方向向上，则 V 取正值，若 V 方向向下，则取负值，最高点为其分 界点；若物体位于抛出点上方则 S 取正值，位于抛出点下方则 S 取负值。 ②上述各式均适用于竖直上抛运动的往返全过程，这时 t 从抛出开始计时。 3．竖直上抛运动的对称性： ①时间对称性：对应竖直上抛物体运动的同一段竖直高度，上行和下行的时闻相等。因而，物体从某 点出发上升到最高点与最高点落至抛出点所用时间相等，即： 物体从抛出到落回抛出点的总时间为：t=2Vo/2 ②速度对称性：物体在上升和下降经过同一位置时速度大小相等、方向相反，即：Vt=V0 注意：若物体所受阻力不能忽略．则不存在上述对称性。 2 4．竖直上抛运动最大上升高度 H=V0 /2g◎ 例题评析【例 3】 在竖直的井底， 将一物块以 11m/s 的速度竖直地向上抛出， 物体冲过井口再落到井口时被人接住， 2 在被人接住前 1s 内物体的位移是 4m，位移方向向上，不计空气阻力，g 取 10m／s ，求： (1)物体从抛出到被人接住所经历的时间； (2)此竖直井的深度。 【分析与解答】: (1)设人接住物块前 1s 初的时刻速度为 v 2 则有 h=vt1-1/2gt1 即 4=v×1-5，解得 v=9m/s（以向上方向为正） 则物块从抛出到接住所有总时间为 t=v ? v0 +t1=1.2s ?g2(2)竖直井的深度为 h=vot-gt /2=6m 【例 4】从同一地点以相同速度 20m/s 先后竖直上抛两个小球，第二个小球比第一个小球晚 1s，则第二 个小球抛出后经过多长时间与第一个小球相遇?(不计空气阻力) 【分析与解答】 ：此题是一道常见的竖直上抛运动习题．依据竖直上抛运动的特点，可从不同角度运用多 种方法求解．一方面可对运动学公式进行全面地复习，以加深对运动学公式的理解；另一方面可培养分析 问题的灵活性和解题思维的发散性． 解法 1：公式法 从竖直上抛运动的整个过程来看，小球做可往返的匀减速直线运动，设第二个小球抛出后经过 t s 与第 2 一个小球相遇，两球相遇时其位移相等，由公式 s= V0t-gt /2 2 2 V0t-gt /2= V0（t+1）-g（t+1） /2 可解得 t=1.5s. 解法 2：速率对称法 在竖直上抛运动的过程中，在同一高度处，物体上升与下降的速率相等，即两球相遇 时的速度大小相等，方向相反．有：-[20-g(t+1)]=20-gt 2gt=30．t=1.5s5解法 3：时间对称法 在竖直上抛运动过程中，物体从某高度处到达最高点的时间与从最高点返回原处的时间相等．则两球运动 过程如图所示． / / t =v0/g=20/10=2s,而 t =t+O.5s．故 t=1.5s 【答案】 ：1.5 s◎能力训练 21．一只氢气球以 10m/s 的速度匀速上升，某时刻在气球正下方距离气球为 h 的地方，有一石子以 20m/s 2 的初速度竖直上抛．那么下列说法正确的是(“撞击”不是“相遇”，g=10m/s ) A．h=4m，则石子能够两次撞击气球 B．h=5m，则石子一定能够撞击气球 C．h=5m，则石子一定不能撞击气球 、 D．h=6m，则石子一定不能够撞击气球 2.一个从地面上抛的物体,它两次经过一个较低的 A 点的时间间隔为 5s,两次经过一个较高的 B 点的时间间 隔为 3s,则 AB 间的距离为: A.80M B.40M C.20M D.初速度未知，无法确定 2 3．在一拉力作用下，使小球自地面开始以 a1=8m/s 的加速度竖直向上做匀加速直线运动，1s 末将小球释 2 放，问小球经多少时问落回地面?(不计空气阻力，g 取 10m/s0 )4．在地面上以初速度 2 竖直上抛一物体 A 后，又以初速度在同一地点竖直上抛另一物体 B，若要两物体能 在空中相碰，则 A 与 B 两物体抛出的时间隔必须满足什么条件？（不计空气阻力）5．一竖直发射的火箭在火药燃烧 2s 内具有 3g 的向上加速度，不计空气阻力，g 取 10m/s ，当它从地面点 燃发射后，它能上升的最大高度为多少？在空中运动的时间为多长？ 240m26．将一小球 A 从距地面高 h 处由静止释放，不计空气阻力，同时将另一小球 B 从 A 的正下方的地面上以 速度 v0 竖直上抛，讨论下列问题： (1)使 A、B 在 B 上升过程中相遇，v0 满足什么条件? (2)使 A、B 在 B 下降过程中相遇，v0 满足什么条件?6专题三．平抛运动◎知识梳理1．曲线运动 （1）曲线运动产生的条件 质点所受合外力的方向和物体运动的速度方向不在一条直线上，或者加速度方向和速度方向不在同一 直线上。 (2)曲线运动的轨迹和速度方向 做曲线运动的物体，速度方向即轨迹上那点切线的方向，若物体做曲线运动时，物体所受合外力突然 消失，那么物体将沿轨迹上该点的切线方向抛出，此时做匀速直线运动。 (3)作曲线运动物体所受的合力 物体在作曲线运动时，它所受的合力总是指向物体运动轨迹曲线的凹侧，物体的加速度也指向曲线的 0 凹侧。当合力方向与物体运动即时速度方向的夹角小于 90 时，物体运动速度增加；当合力方向与即时速 0 度方向的夹角大干 90 时，物体运动的速度就减小。 2．平抛运动 物体具有水平初速度，只在重力作用下的运动。 (1)平抛运动的两个分运动：水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动。 (2)平抛运动的速度： 水平方向：vx=v0 竖直方向：vy=gt (3)平抛运动的位移 水平方向：S=v0t(4)．平抛运动的性质 做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。◎ 例题评析【例 5】如图 10 所示，物体在恒力 F 作用下沿曲线从 A 运动到 B，这时突然使 它所受的力反向而大小不变(即由 F 变为-F)，在此力作用下，物体以后的运动 情况，下列说法正确的是 ( ) A．物体不可能沿曲线 Ba 运动 B．物体不可能沿直线 Bb 运动 C．物体不可能沿曲线 Bc 运动 D．物体不可能沿原曲线由 B 返回 A 【分析与解答】 物体在 A 点时的速度 VA 沿 A 点的切线方向，物体在恒力 F 作 用下沿曲线 AB 运动，此力 F 必有垂直于 VA 的分量，即 F 力只可能为图 11 中所示的 / 各种方向之一； 当物体到达 B 点时， 瞬时速度 VB 沿 B 点的切线方向， 这时受力 F =-F， / 即 F 只可能为图中所示的方向之一，可知物体以后只可能沿曲线 Bc 运动，所以本 题的正确答案是 A、B、D。【例 6】如图 12 所示，一个做平抛运动的小球，先后通过 a、b、c 三点，若相邻两点间的水平距离均为 s，7竖直距离分别为 h1 和 h2，则抛出该球的初速大小为_______(不计空气阻力) 【分析与解答】本题主要考查平抛运动的独立性和等时性； 先由竖直方向的匀变速运动规律 h2-h1=gt ,得 t=2h2 ? h1 ； g再由水平方向的匀速运动得 v0=s/t=sg h2 ? h1如果本题中的 a 点为坐标原点，建立坐标系，那么抛出点的坐标如 何呢？ 2 竖直速度 Vb=(h1+h2)/2t=g*(ta+t) 得 ta，则 ha=1/2gta ,Sa=v0ta 【例 7】如右图 13 所示，a、b 两点距地面高度分别为 H 和 2H，从 a、b 两点分别水平抛出一小球，其水平 射程之比为 sl:s2=3:2，试求两小球运动轨迹的交点 c 距地面的高度． 【分析与解答】 ：设 a、b 两小球的水平初速分别为 v1、v2 对 a: s1=v1 2H / g , 对 b: s2=v2 2H / g由 sl:s2=3:2，得 vl:v2=3: 2 设小球落至 c 点的水平位移为 s，则【例 8】 、如图 14 所示，一高度为 h=0.2m 的水平面在 B 点处与一倾角为θ =30°的斜面连接，一小球以 V0=5m/s 的速度在平面上向右运动。求小球从 B 点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，取 g=10m/s2） 。 某同学对此题的解法为：小球沿斜面运动，则h 1 ? V0 t ? g sin ? ? t 2 , 由此可求得落地的时间 t。问： sin ? 2你同意上述解法吗？若同意，求出所需的时间；若不同意，则说明理由并求出你认为正确的结果。 【分析与解答】:不同意。小球应在 B 点离开平面做平 抛运动，而不是沿斜面下滑。 B A 正确做法为：落地点与 B 点的水平距离 h θ 2h 2 ? 0.2 斜面底宽 s ? V0 t ? V0 ? 5? ? 1(m) 图 14g10l ? hctg? ? 0.2 ? 3 ? 0.35(m)因为 s ? l ,所以小球离开 B 点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间。8∴t?2h 2 ? 0.2 ? ? 0.2(s) g 10【例 9】 、如图 15 在倾角为 θ 的斜面顶端 A 处以速度 V0 水平抛出一小球，落在斜面上的某一点 B 处，设 空气阻力不计，求（1）小球从 A 运动到 B 处所需的时间； （2）从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜 面的距离达到最大？ 【分析与解】（1）小球做平抛运动，同时受到斜面体的限制，设从小球从 A 运 ： V0 V0 动到 B 处所需的时间为 t,则： A 水平位移为 x=V0t Vy1 B θ 1 2 竖直位移为 y= gt22V tan? 1 2 由数学关系得到: gt ? (V0 t ) tan? , t ? 0 2 g V0 tan? 。 g图 15（2）从抛出开始计时，经过 t1 时间小球离斜面的距离达到最大,当小球的速度与斜面平行时，小球离斜面 的距离达到最大。因 Vy1=gt1=V0tanθ ,所以 t1 ?◎能力训练 3（1） ．关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是 ①一定是直线运动 ②一定是曲线运动 ③可能是直线运动，也可能是曲线运动 ④一定是匀变速运动 A．①③④ B．②④ c．②③④ D．③④ （2） ．一物体在三个共点力作用下做匀速直线运动，若突然撤去其中一个力，其余两力不变，此物体不可 能做 A．匀加速直线运动 B．匀减速直线运动 C．类似于平抛运动 D．匀速圆周运动 3．如图所示是物体做平抛运动的图像，物体从 O 点抛出，x、y 分别为其水平和竖直位移，在物体的运动 过程中，经某一点 P(x，y)时，其速度的反向延长线交于 x 轴上的 A 点，则 OA 的长为 A．x B．0.5x C．0.3x D．不能确定 4．人站在楼上水平抛出一个小球，球离手时速度为 V0，落地时速度为 V，忽略空气阻力，在图中正确表示 在同样时间内速度矢量的变化情况的是图5.如图 18 所示，以 9.8m/s 的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在 0 倾角θ 为 30 的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是96．如图 19 所示倾角为口的斜面顶端，水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛出点到落点间斜边长 L ①求抛出的初速度? ②抛出后经多长时间物体离斜面最远?7．排球场地长为 L，网球高为 H，前排线到网的距离为 d，如图 20 所示，若队员站在前排线上竖直跳起水平击球时，不论以多大的速 度击球，都能把球击在对方场地之内，则该队员应跳多高?8．一网球运动员在离开网的距离为 12m 处沿水平方向发球，发球高度为 2.4m，网的高度为 O.9m。 (1)若网球在网上 O.1m 处越过，求网球的初速度 2 (2、若按上述初速度发球，求该网球落地点到网的距离(取 g=10m/s0 ，不考虑空气阻力。)9．飞机以恒定的速度 u 沿水平方向飞行，高度为 2000m，在飞行过程中释放一炸弹，经过 30s 后飞行员听 见炸弹落地后的爆炸声，假设此爆炸声从落地点向空间各个方向的传播速度均为 330m/s，炸弹受到的空气 阻力忽略不计。求该飞机的飞行速度 v。10．一架飞机在距地面 500m 高处沿水平方向匀变速直线飞行．从飞机上先后投下 A、B、C 三包物体，其 抛出间隔时闻为 2s。分别落在水平地面的 a、b、c 处，如图 21 所示。已知 L1=450m，L2=470m，如果不考 虑空气阻力的影响，g 取 10m／s。 ，那么 (1)飞机投下 B 物体时的速度是多少? (2)C 物体落地时，飞机在 c 物体前方的水平距离是多少?10专题四．斜抛物体的运动◎知识梳理1.斜抛运动可看成是竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的匀速直线运动 2.所有在重力作用下的抛体运动,在任何相等时间内,速度的变化都相同,其方向总是竖直向下,且速度的 变化量与量间的关系为: 3.射程和射高:当初速度一定时,假设抛出点和落地点在同一平面上,不计空气阻力,发射的仰角越大,射 0 程越高,在空中运动时间越长,但水平方向运动的速度越小,当仰角为 45 时,射程达到最大值. 若考虑空气阻力或抛出点和落地点不在同一水平面上,以上结论不一定成立.◎ 例题评析【例 10】在高处以同一速度 v0 在同一竖直平面内同时向不同方向抛出一些物体,设空气阻力不计,试证明: 在抛出后某一时刻,这些物体的位置是在同一圆上. 【分析与解答】根据运动的合成,我们可以把每个物体的运动看成是沿 v0 方向的匀速直线运动和竖直方向 的自由落体运动的合运动,设想,如重力不存在,则每个物体的位置,都在原 v0 方向的 v0t 处,即都在以出发 点为圆心,以 v0t 为半径的竖直平面的圆周上. 2 由于重力的存在,物体都同时参与了竖直方向的自由落体运动,使竖直方向发生的位移都是 gt /2,所以 2 2 各个物体的位置都下移了 gt /2,此时刻各个物体的位置仍在同一竖直圆上,只是这个圆圆心下移了 gt /2, 而半径为 v0t◎能力训练 41．关于斜抛运动的下列说法中正确的是 A．斜抛运动物体受重力和向前的冲力 B．斜抛运动物体的速度大小不变方向改变 C．斜抛运动是匀变速曲子运动 D．斜抛运动的加速度与速度方向总是成钝角 2．物体做斜抛运动时 A．加速度大小不变，速度大小一直增加 B．加速度大小不变，速度大小一直减小 c．加速度大小不变，速度大小先减小后增加 D．加速度大小改变，速度大小变化无法确定 3．在斜抛运动中，飞行时间 T A．只由竖直分运动决定 B．只由水平分运动决定 C．由竖直和水平分运动共同决定 D．与竖直和水平分运动都无关 4．斜抛运动的射程 A．只由抛出的初速度 V0 决定 B．只由抛出时的抛射角 θ 决定 c．由抛出时的初速度 V0 和抛射角 θ 共同决定 D．与抛出时的初速度 V。和抛射角都无关 5．喷水管喷水的速度大小不变，喷水管与水平方向的夹角可以改变，则 A．射程随着抛射角的增加而增大11B．射程随着抛射角的增加而减小 c．射程先随着抛射角的增加而增大，后随着抛射角的增加而减小 D．射程先随着抛射角的增加而减小，后随着抛射角的增加而增加 6．从斜向上的炮筒中射出的炮弹，运动中空气阻力的影响不能忽略，则 A．实际的弹道曲线仍是抛物线 B．实际的射高变大，射程变小 c．实际的射高变小，射程变大 D．实际的射高和射程都变小 0 0 0 2 7．斜抛运动物体的初速度为 V0=20m/s，抛射角θ =37 (sin37 =0.6，cos37 =0.8，g=10 m/s ) A．飞行时间为 4s B．射高为 20m C．射程为 38.4 m D．射程为 7.2 m 0 8．一个人向着与水平面成 45 角的前上方抛出一颗手榴弹，测出手榴弹的射程是 65 m，手榴弹抛出时的 速度是多大?射高是多高?(不计空气阻力)9．在离地高 h 处以初速度 Vo 斜向下方与水平方向成θ 角抛出一石子，求石子落地时的速度大小和落地 点与抛出点的水平距离．● 模拟测试1.一船在静水中的速度为 6 m/s，要横渡流速为 8 m/s 的河，下面说法正确的是 A.船不能渡过此河 B.船能行驶到正对岸 C.若河宽 60 m，过河的最少时间为 10 s D.船在最短时间内过河时，船对地的速度为 6 m/s 2.做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是 A.大小相等，方向相同 B.大小不等，方向不同 C.大小相等，方向不同 D.大小不等，方向相同 3.（2001 年全国高考综合能力试题）在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人.假设江岸是平直的，洪水沿 江向下游流去，水流速度为 v1，摩托艇在静水中的航速为 v2，战士救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为 d.如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为 A.dv 2 v 2 ? v12 2B.0C.dv1 v2D.dv2 v14.如图所示，小球 a、b 的质量分别是 m 和 2m，a 从倾角为 30°的光滑 固定斜面的顶端无初速下滑，b 从斜面等高处以初速度 v0 平抛，比较 a、b 落 地的运动过程有12图 22A.所用的时间相同 B.a、b 都做匀变速运动 C.落地前的速度相同 D.重力对 a、b 做的功相同 5.对平抛运动的物体，若 g 已知，再给出下列哪组条件，可确定其初速度大小 A.水平位移 B.下落高度 C.落地时速度的大小和方向 D.落地时位移的大小和方向 6.一条船沿垂直河岸的方向航行，它在静水中航行速度大小一定，当船行驶到河中心时，河水流速突 然增大，这使得该船 A.渡河时间增大 B.到达对岸时的速度增大 C.渡河通过的路程增大 D.渡河通过的路程比位移大 7.图 23 为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4 是四个喷气发动机，P1、P3 的连线与空间一固定坐标 系的 x 轴平行，P2、P4 的连线与 y 轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提 供推力，但不会使探测器转动.开始时，探测器以恒定的速率 v0 向正 x 方向平动. 要使探测器改为向正 x 偏负 y 60 °的方向以原来的速率 v0 平动，则可 A.先开动 P1 适当时间，再开动 P4 适当时间 B.先开动 P3 适当时间，再开动 P2 适当时间 C.开动 P4 适当时间 D.先开动 P3 适当时间，再开动 P4 适当时间 8.如图 24 所示，从倾角为θ 的斜面上的 M 点水平抛出一个小球，小球的 初速度为 v0，最后小球落在斜面上的 N 点，则 A.可求 M、N 之间的距离 B.可求小球落到 N 点时速度的大小和方向 C.可求小球到达 N 点时的动能 D.可以断定，当小球速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大 9.一个炮弹以 50 2 m/s 的初速度以 450 的发射角发射,最后又落回地面,若 g 取 10m/s,则 A.它到达最高点的速度为 50m/s B.它到达最高点的时间为 5s C.它在水平方向的射程为 250m D.落地时速度与水平方向的夹角为 450 10．一只氢气球以 10m/s 的速度匀速上升，某时刻在气球正下方距离气球为 h 的地方，有一石子以 20m/s 2 的初速度竖直上抛．那么下列说法正确的是(“撞击”不是“相遇”，g=10m/s ) ( ) A．h=4m，则石子能够两次撞击气球 B．h=5m，则石子一定能够撞击气球 C．h=5m，则石子一定不能撞击气球 D．h=6m，则石子一定不能够撞击气球 11.以 20 m/s 的初速度将一物体由足够高的某处水平抛出， 当它的竖 直速度跟水平速度相等时经历的时间为_______； 这时物体的速度方 向与水平方向的夹角θ 为_______；这段时间内物体的位移大小为 _______.(g 取 10 m/s2) 12.有一小船正在渡河，如图 25 所示，在离对岸 30 m 时，其下 游 40 m 处有一危险水域.假若水流速度为 5 m/s，为了使小船在危险13水域之前到达对岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是_______. 13.在一次“飞车过黄河”的表演中，汽车在空中飞经最高点后在对岸着地.已知汽车从最高点至着地 点经历时间约为 0.8 s，两点间水平距离为 30 m，忽略空气阻力，则汽车在最高点 时速度约为_______ m/s. 14.如图 26 所示，将一小球以 10 m/s 的速度水平抛出，落地时的速度方向与 水平方向的夹角恰为 45 °，不计空气阻力，则小球抛出点离地面的高度为 _______，飞行的水平距离是_______.（g 取 10 m/s2） 15 离地面高度为 1470 m 处一架飞机以 360 km/h 的速度水平飞行，已知投下的物体在离开飞机 10 s 后降落伞张开，即做匀速运动，为了将物体投到地面某处，求应该在离开该地水平距离多远处开始投下. （假设水平方向的运动不受降落伞的影响，g=10 m/s2）16.房间里距地面 H 高的 A 点处有一盏白炽灯(可视为点光源)，一小球以初速度 v0 从 A 点沿水平方向垂直于墙壁抛出，恰好落在墙角 B 处(如图 27 所示)，试问：小球抛 出后，它在墙上的影子是如何运动的?17.如图 28 所示，从倾角为θ 的斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，均落到斜面 上.当抛出的速度为 v1 时，小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为 α 1,当抛出时的速度为 v2 时， 小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角为α 2.试通过计算说明α 1、 2 的大 α 小关系.图 2814第二章 圆周运动本章内容是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，复习好本章的概念和规律，将加深对速度、加速 度及其关系的理解，加深对牛顿第二定律的理解，提高解决实际问题的能力。在高考中对本章知识的考查 重点在于匀速圆周运动及其重要公式，特别是匀速圆周运动的力学特点，要引起足够的重视，另外天体运 动的考查都离不开匀速圆周运动。有相当一部分是与电场、磁场、机械能结合的综合题，以及与实际生活、 新科技、新能源等结合的应用性题型。 核心知识 1 匀速圆运动 2 3 4 向心力 5 6 7 离心现象及其应用 8 9 课标解读 了解物体做圆周运动的特征 理解线速度、角速度、周期的概念，会用公式计算 理解线速度、解速度、周期之间的关系 理解向心力是物体做匀速圆周运动时受到的力 理解向心力公式的含义，并能用来计算相关问题 理解向心加速度的概念 知道在变速圆周运动中可用公式求质点的向心力和加速度 知道什么是离心现象，知道做离心现象的条件 结合生活实例，知道离心运动的应用和危害及其防止专题一．匀速圆周运动◎知识梳理物体的运动轨迹是圆周的运动，叫圆周运动。物体在作圆周运动时，若在任意相等时间里通过的圆弧 长度都相等，这样的圆周运动叫做匀速圆周运动。 1．匀速圆周运动的线速度 所谓线速度，就是作匀速圆周运动的物体的即时速度。作匀速圆周运动的物体，在圆周上各点的线速 度方向是圆周上各点的切线方向。 作匀速圆周运动的物体在圆周轨迹上各点的线速度大小都相等，若物体沿半径为 R 的圆周作匀速圆周 运动，运动一周的时间为 T(称为周期)，则线速度的大小为：v=2?r T虽然作匀速圆周运动的物体线速度的大小不变，但线速度的方向时刻在改变．所以匀速圆周运动是变 速运动。 2．匀速圆周运动的角速度 用连接物体和圆心的半径转过的角度θ 跟转过这个角度所用时间 t 的比值来表示，即： ω=? ，比值ω 叫做匀速圆周运动的角速度。 t在国际单位制中角度的单位是弧度，时间单位是秒，角速度单位是弧度/秒。 角速度ω 与周期丁的关系是：ω =2π /T 角速度和线速度的关系是 v=ω r 在实际应用中，人们也常用转速 n 来描述作匀速圆周运动物体的快慢。所谓转速是指作匀速圆周运动 的物体每秒转过的圈数，用符号 n 来表示。角速度与 n 的关系是：ω =2π n◎ 例题评析15【例 1】某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如图所示，链轮和飞轮的齿数如下表所示，前后轮直 径为 660mm，人骑该车行进速度为 4m/s 时，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值约为( ) A.1.9rad/s B.3.8rad/s 名称 链轮 飞轮 C.6.5rad/s D.7.1rad/s齿数N/个 48 38 28 15 16 18 21 24 28【分析与解答】 ：车行进速度与前、后车轮边缘相对轴的线速度相等，故后轮边缘的线速度为 4m/s，后轮 的角速度ω =v/R≈12rad/s，飞轮与后轮为同轴装置，故飞轮的角速度ω =12rad/s，飞轮与链轮是用链条 连接的，故链轮与飞轮线速度相同，所以ω 1r1=ω 2r2 其中 r1r2 分别为 飞轮和链轮的半径，因轮周长 L=N△L=2π r，N 为齿数，△L 为两邻齿 间的弧长， 因由同一链条相连故， 相同， ? N， △L r 所以ω lN1=ω 2N2． 又 踏板与链轮同轴，脚踩踏板的角速度ω 2=ω 3，ω 3=ω 1N1/N2,等等，要 使ω 3 最小，则 N1=15，N2=48，故ω 3==3.8rad/s 【答案】 ：B [点评] 注意同轴装置角速度相同， 同传动装置线速度相同． 此题要知 道链条连接两轮半径与它们的齿数正比． 【例 2】测定气体分子速率的部分装置如图所示，放在高真空容器中，A、B 是两个圆盘，绕一根共同轴以 相同的转速 n＝25 转/秒匀速转动.两盘相距 L＝20 cm ，盘上各开一很窄的细缝，两盘细缝之间成 6°的夹 角，已知气体分子恰能垂直通过两个圆盘的细缝，求气体分子的最大速率。 【分析与解答】 气体分子沿直线通过 L 的时间为 t ? 这段时间内圆盘 B 转过的弧度值为 ? ? ?t ?? 要使气体分子能够通过缝隙， ? ? k ? 2? ? 综合得 2?nL ?? v?30??L ? ? k ? 2? ? v 30v?2nL ? 60 nL ? 300 m / s 1 2k ? 30【例 3】.如图所示，A、B 两质点绕同一圆心按顺时针方向作匀速圆周运动，A 的周期为 T1，B 的周期为 T2，且 T1＜T2，在某时刻两质点相距最近，开始计时，问： （1）何时刻两质点相距又最近？ B （2）何时刻两质点相距又最远？ A 【分析与解答】选取 B 为参照物． O （1）AB 相距最近，则 A 相对于 B 转了 n 转，其相对角度△Φ =2π n 相对角速度为ω 相=ω 1-ω 2， 则经过时间：t=△Φ /ω 相=2π n/（ω 1-ω 2）=nT1T2 （n=1、2、3?） T2 ? T11 1 ）转，其相对角度： △Φ =2π （n- ） 2 2（n=1、2、3?）16（2）AB 相距最远，则 A 相对于 B 转了（n-则经过时间：t=△Φ /ω 相=1 (2n ? 1)T1T2 2 T2 ? T1[点评]本题关键是弄清相距最近或最远需通过什么形式来联系 A 和 B 的问题，巧选参照系是解决这类难题 的关键，同时也要注意它的多解性．◎能力训练 11 下列说法正确的是： A．匀速圆周运动是一种匀速运动； B．匀速圆周运动是一种匀变速运动； C．匀速圆周运动是一种变加速运动； D．因为物体做圆周运动，所以才产生向心力； 2 如图所示， 竖直圆环内侧凹槽光滑， 为其水平直径， a0d 两个相同的小球 A 和 B(均 可视为质点)，从 a 点同时以相同速率 v。开始向上和向下沿圆环凹槽运动，且运动 中始终未脱离圆环，则 A、B 两球第一次： A．可能在 c 点相遇，相遇时两球的速率 VA&VB&VO； B．可能在 b 点相遇，相遇时两球的速率 VA&VB&V0； C．可能在 d 点相遇，相遇时两球的速率 VA=VB=V0； D．可能在 c 点相遇，相遇时两球的速率 VA=VB&V。 ； c 3．如图所示装置中，三个轮的半径分别为 r、2r、4r，b 点到圆心的距 离为 r，求图中 a、b、c、d 各点的线速度之比、角速度之比 b da4. 如 图 所示 ， 一种 向自行 车 车 灯供 电 的小 发电机 的 上 端有 一半 径 r0=1.0cm 的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时， 因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径 R1=35cm，小齿轮的半径 R2=4.0cm， 大齿轮的半径 R3=10.0cm。求大齿轮的转速 n1 和摩擦小轮的转速 n2 之比。 （假定摩擦小轮与自行车轮之间 无相对滑动）摩擦小轮 小发电机 车轮 大齿轮 链条 小齿轮5.如图所示，直径为 d 的纸制圆筒，使它以角速度ω 绕 轴 O 匀速转动，然后把枪口对准圆筒，使子弹沿直径穿 过圆筒， 若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下 a,b 两弹孔， 已知 ao,bo 夹角为φ ， 则子弹的速度是Oba 6.电风扇在闪光灯下运动,闪光灯每秒闪光 30 次,风扇的三个叶片互成 1200 角安装在转轴上.当风扇转动时, 若观察者觉得叶片不动,则这时风扇的转速至少是 转/分;若观察者觉得有了 6 个叶片,则这时 风扇的转速至少是 转/分.17专题二．匀速圆周运动的向心加速度和向心力◎知识梳理1．向心加速度：是描述线速度变化快慢的物理量。作匀速圆周运动的物体线速度的大小是不变的， 仅线速度的方向发生变化。若轨迹圆的半径一定，线速度越大，显然速度方向变化越快，若线速度一定， 显然轨迹半径越小，线速度方向变化越快。向心加速度的大小跟线速度大小和圆周半径的关系如下： 2 a=v /r 2 2 2 由于 v=ω r 和ω =2π /T，所以有：a=ω r a=4π r/T 向心加速度 a 的方向始终指向作匀速圆周运动的物体轨迹圆的圆心。 2.向心力: 根据牛顿第二定律有：我们把使作匀速圆周运动的物体产生向心加速度的力叫做向心力。 向心力的方向始终指向轨迹的圆心。 由于作匀速圆周运动的线速度方向是轨迹圆的切线方向，所以向心力和向心加速度的方向与线速度的 方向处处垂直．◎ 例题评析在水平面内的圆周运动问题。 【例题 4】 如图， 细绳一端系着质量 M=0.6kg 的物体， 静止在水平面， 另一端通过光滑小孔吊着质量 m=O.3kg 的物体， 的中点与圆孔距离为 O.2m， M 并知 M 和水平面的最大静摩擦力为 2N， 现使此平面绕中心轴线转动， 2 问角速度ω ，ω 在什么范围 M 会处于静止状态? g 取 10m/s ． 【分析和解答】 设物体 M 和水平面保持相对静止。 当ω 具有最小值时，M 有向圆心运动趋势，故水平面对 M 的摩擦力方向和指向圆心 方向相反，且等于最大静摩擦力 2N． 2 隔离 M 有：T-f=Mω r 得：ω 1=2.9(rad／s)． 当ω 具有最大值时，M 有离开圆心趋势，水平面对 M 摩擦力方向指向圆心，大小也为 2N． 2 隔离 M 有：T+fm=Mω r 得：ω 2=6.5(rad/s)． 故ω 范围是：2.9rad/s≤ω ≤6.5rad/s． 【例 5】如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑 动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是（ A、物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B、物体所受弹力增大，摩擦力减小了 C、物体所受弹力和摩擦力都减小了 D、物体所受弹力增大，摩擦力不变 【分析与解答】 ：物体随圆筒一起转动时，受到三个力的作用：重力 G、筒 壁对它的弹力 FN、和筒壁对它的摩擦力 F1（如图 13 所示） 。其中 G 和 F1 是一 对平衡力，筒壁对它的弹力 FN 提供它做匀速圆周运动的向心力。当圆筒匀速转 动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起转动而未滑动，则物体所受的 （静）摩擦力 F1 大小等于其重力。而根据向心力公式， FN ? mr? 2 ，当角速图 13）18度 ? 较大时 FN 也较大。故本题应选 D。 【例 6】如图所示，在光滑水平桌面 ABCD 中央固定有一边长为 0．4m 光滑小方柱 abcd。长为 L=1m 的细线，一端拴在 a 上， 另一端拴住一个质量为 m=0．5kg 的小球。 小球的初始位置在 ad 连线上 a 的一侧， 把细线拉直，并给小球以 V0=2m/s 的垂直于细线方向的水平速度使它作圆周运动。由于光滑小方柱 abcd 的存在，使线逐步缠在 abcd 上。若细线能承受的最大张力为 7N（即绳所受的拉力大于或等于 7N 时绳立 即断开）那么从开始运动到细线断裂应经过多长时间？小球从桌面的 ， B C 哪一边飞离桌面? 【分析与解答】 ：当绳长为 L0 时，绳将断裂。据向心力公式得： 2 V0 T0=mV0 /L0 c b 所以 L0=0.29m a d 绕 a 点转 1/4 周的时间 t1=0.785S; (匀速圆周运动 1/4 周期) 绕 b 点转 1/4 周的时间 t2=0.471S; 绳接触 c 点后，小球做圆周运动的半径为 r=0.2m,小于 L0=0.29m, D A 所以绳立即断裂。 所以从开始运动到绳断裂经过 t=1.256S,小球从桌面的 AD 边飞离 图 14 桌面 在竖直平面内的圆周运动的临界问题 【例 7】长为 l 的轻杆两端分别固定一个质量都是 m 的小球，它们以轻杆中点为轴在竖直平面内做匀 速圆周运动，转动的角速度 ? ? 明是拉力还是压力。 【分析与解答】最高点处：设杆对球向下的拉力， T1 ? mg ? m? 2 r ??①式中 r ? l / 2 ?? ② 得 T1 ? ?mg / 2 ，说明假设错误，杆子对小球是向上的支撑力，根据牛顿第三定律，小球对杆子是向 下的压力，大小等于 m g / 2 。 最低点处：设杆子对小球为拉力，T2 ? mg ? m? 2 r ?? ③得 T1 ? 3mg / 2 假设成立，则球对杆子是 向下的拉力，大小等于 3m g / 2 拓展：此时轴 O 点受到的力多大，方向如何？ 轴对 O 点的力向上，根据平衡条件 N ? 2m g ，杆子对 O 点力大小等于 2.m g ，方向向下。也可以用 整体法分析， N ? 2mg ? m(?a) ? m(?a) ? 0 ，所以 2m g 拓展：绳子时，小球做一个完整的竖直平面内的圆周，必须在最高点的速度 v ? [点评]物体在竖直面上做圆周运动，过最高点时的速度 V ?g / l ，求杆通过竖直位置时，上下两个小球分别对杆端的作用力，并说glgR ，常称为临界速度，其物理意义在不同过程中是不同的．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动轨道的类型，可分为无支撑（如球与绳连结， 沿内轨道的“过山车” ）和有支撑（如球与杆连接，车过拱桥）两种．前者因无支撑，在最高点物体受到 的重力和弹力的方向都向下．19V 当弹力为零时，物体的向心力最小，仅由重力提供， 由牛顿定律知 mg= m 0 ，得临界速度 R2V0 ? gR ．当物体运动速度 V&V0，将从轨道上掉下，不能过最高点．因此临界速度的意义表示了物体能否在竖直面上做圆周运动的最小速度． 后者因有支撑，在最高点速度可为零，不存在“掉下”的情况．物 体除受 向下的重力外，还受相关弹力作用，其方向可向下，也可向上．当物体实际运动速度 V ? 生离心运动， 要维持物体做圆周运动， 弹力应向下． V ? 当gR 产物体受弹力向上． 所 gR 物体有向心运动倾向，以对有约束的问题，临界速度的意义揭示了物体所受弹力的方向． 对于无约束的情景，如车过拱桥，当 V ?gR 时，有 N=0，车将脱离轨道．此时临界速度的意义是物体在竖直面上做圆周运动的最大速度． 注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的 合力等于向心力，此时临界速度 V0 ?gR 。要具体问题具体分析，但分析方法是相同的。◎能力训练 21 关于圆周运动的说法正确的是： () A．作匀速圆周运动的物体，所受合外力一定指向圆心； B．作圆周运动的物体，其加速度可以不指向圆心； C．作圆周运动的物体，其向心加速度一定指向圆心； D．作圆周运动的物体，只要所受合外力不指向圆心，其速度方向就不与合外力方向垂直． 2 一个小球在竖直放置的光滑圆环的内槽里作圆周运动，则关于小球加速度方向正确的是： A．一定指向圆心； B．一定不指向圆心； C．只在最高点和最低点位置时指向圆心； D．不能确定是否指向圆心． 3．物体 A 在图各种情况中均做匀速圆周运动，试对物体进行受力分析，并指出什么力(或什么力在什么方 向的分力)提供向心力．4．火车转弯的运动可看作是水平面内的匀速圆周运动，为了提供火车转弯运动所需要的巨大向心力，往 往在转弯处使外轨高于内轨而提供这样一个向心力，在内、外轨道高度差确定以后，对转弯处的火车速率 有一定的限制，大于或者小于这个速率对轨道都会有一定的损害，以下关于这个问题的判断哪些是正确的 A．大于这个速率，外轨将受到挤压20B．大于这个速率，内轨将受到挤压 c．小于这个速率，内轨将受到挤压 D．小于这个速率，外轨将受到挤压 5．狗拉着雪橇在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，图为四个关于雪橇受到的牵引力 F 及摩擦力 Ff 的示意图(O 为圆心)，其中正确的是6．如图所示，一圆盘可绕通过其中心 O 且垂直于盘面的固定竖直轴转动。盘面上放一木块，从上向下看， 圆盘以恒定角速度ω 逆时针转动时，木块相对盘静止在 P 点。若在图示时刻盘作用于木块的摩擦力突然消 失，那么，木块将 A．相对于盘沿直线 OP 滑向 0 点，相对于地垂直于 OP 向图里面运动 B．相对于盘沿直线 OP 远离 O 点，相对于地垂直于 OP 向图里面运动 C．相对于地沿直线 OP 远离 O 点，相对于盘垂直于 OP 向图里面运动 D．相对于地沿直线 OP 滑向 O 点，相对于盘垂直于 OP 向图里面运动 7．如图所示，直径为 d 的纸制圆筒，以角速度 m 绕中心轴匀速转动，把枪口垂直圆筒 轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，则子弹的速度不可能是8.质量为 m 的木块从半径为 R 的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使得 木块的速率不变，如图．那么： A．因为速率不变，所以木块的加速度为零； B．木块下滑过程中所受的合外力越来越大； C．木块下滑过程中的摩擦力大小不变； D．木块下滑过程中加速度大小不变，方向始终指向球心． 9.在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路 面与水平面间的夹角为θ ,设拐弯路段是半径为 R 的圆弧，要使车速为 V 时车轮与路面之间的横向(即垂直 于前进方向)摩擦力等于零，θ 应等于：10.甲、乙两名溜冰运动员，M1= 80kg，M2=40kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示．两 人相距 O.9m，弹簧秤的示数为 9.2N，下列判断中正确的是： A．两人的线速度相同，约为 40m/s； B．两人的角速度相同，为 6rad/s； C．两人的运动半径相同，都是 O.45m； D．两人的运动半径不同，甲为 O.3m，乙为 0.6m． 11.杂技演员表演“水流星”：在长为 L=1.6m 的细绳一端，系一个 总质量为 m=0.5kg 的盛水容器，绳另一端为圆心，在竖直平面内作圆周运动，如图所示．若“水流星”通 过 最 高 点 的 速 度 为 v=4m/s ， 则 下 列 哪 些 说 法 正 确 ?( 不 计 空 气 阻 力 ， 取 2 g=10m/s ) A．“水流星”通过最高点时，没有水从容器中流出； B．“水流星”通过最高点时，绳的张力和容器底受到的压力均为零； C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用；21D．绳的张力变化范围为 O≤T≤30N． 12．如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过 0 点的水平轴自由转动，现给小球一初速度， 使它做圆周运动，图中 a、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能 是： A．a 处为拉力，b 处为拉力； B．a 处为拉力，b 处为推力； C．a 处为推力，b 处为拉力； D．a 处为推力，b 处为推力． 13.A、B、C 三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ ，A 的质量为 2m，B、C 质量均为 m，A、B 离轴 R， C 离轴 2R，则当圆台旋转时：(设 A、B、C 都没有滑动如图)． A．C 物的向心加速度最大； B．B 物的静摩擦力最小； C．当圆台转速增加时，C 比 A 先滑动； D．当圆台转速增加时，B 比 A 先滑动． 14.如图所示，为一皮带传动装置。右轮的半径 为 R，a 是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮的半径为 4R，小轮的半径为 2R。6 点在小轮上，到小轮中心的距离为 R。c 点和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上。在转动过程 中皮带不打滑。求 n、6、c、d 四点线速度、角速度、向心加速度之比各多 大?15．如图所示，汽车以速度 v&0 沿半径为 R 的凸桥匀速率运动，且与桥的动摩擦因数为μ ．若汽车到达最 高点时关闭发动机．求这时汽车的水平加速度．16.如图， 为一种打夯机． 在质量为 M 的电动机的飞轮上固定质量为 m 的重物， 重物到飞轮轴的距离为 r． 若 飞轮匀速转动．试计算： ①当角速度多大时，重物到达最高点可使电动机对地面没有压力? ②在上述临界角速度的条件下，重物到最低点时电动机对地面压力是多大?17．如图，一个小球被绳子牵引在光滑的水平板上以速率ω 做匀速圆周运动，其半径 R=30cm，v=1.Om/s， 现将牵引的绳子迅速放长 20cm，使小球在更大半径的新轨道上做匀速圆周运动，求： ①实现这一过渡所需的时间。 ②在新轨道上做匀速圆周运动时，绳子对小球的牵引力 F2 是原来绳子对小球牵引力 F1 的多少倍。2218.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为 R，甲、乙物体质量分别为 M 和 m(M&m)，它们与 圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ 倍，两物体用一根长为 L(L&R)的轻绳连在一起，如图，若将甲物 体放在转轴的位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物与转盘间不发生 相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过多少?(两个物体均看作质点)19.图所示，在倾角α =30 的光滑斜面上，有一根长 L=0.8M 的细绳：一端固定在 O 点，另一端系一质量 M=O.2kg 的小球，沿斜面作圆周运动．试计算： ①小球通过最高点 A 的最小速度． ②细绳抗拉能力不得低于多少?若绳的抗拉力为 Fm=10N，小球在最低点 B 的最大速度是多少?020． 圆筒绕过两端圆心 O、 的水平轴匀速转动。 0 转动方向如图所示， 两个与轴垂直的纸质端面间距离为 L， / 玩具手枪从 0 点正右方垂直纸面射出一颗子弹。两端面留下的弹孔分别为 a 和 b，oa=R1，o b=R2，且 R2&R1， 当孔 b 转至最低点时，oa 与竖直线的夹角为α ，求： ①子弹刚出枪口时的速度 v0 ②圆筒转动的角速度ω/专题三．离心现象及其应用◎知识梳理1．离心现象． 做匀速圆周运动的物体，在合外力突然变为零，或者不足以提供做圆周运动所需要的向心力时，即： F&mv2 ．物体将做逐渐远离圆心的运动，这种现象叫做离心现象． r2．向心现象． 做匀速圆周运动的物体，在合外力突然增大或速度减小，使所受合外力大于做圆周运动所需要的向心力v2 时，即：F&m ．物体将做逐渐向圆心靠近的运动，这种现象叫向心现象． r总之，离心现象和向心现象是在“供”“需”关系发生矛盾时所发生的现象，当做圆周运动的物体在半 、 径方向上所受合外力提供的向心力小于物体做圆周运动所需的向心力时就发生离心现象，而所提供的向心 力大于所需要的向心力时就发生向心现象，23◎ 例题评析【例 8】如图所示，匀速转动的圆盘上沿半径放着质量均为 m=1kg、用细绳连接着的两个物体，A 和转轴之 间的距离为 0.2 m，B 和转轴之间的距离为 0.3 m，物体和圆盘之间的最大静摩擦力均为重力的 0.4 倍，脓 2 10m/s ．求： (1)A、B 两物体同时滑动时，圆盘应具有的最小角速度． (2)当角速度为第(1)问中的最小值时，如用火烧断细绳，A、B 两物体如何运动? 【分析与解答】A、B 物体一起随圆盘做匀速圆周运动，随着圆盘角速度ω 的增大，A、B 所 受的静摩擦力也随之增大，当ω 达到某一值时，A、B 两物体受到的静摩擦力均达到最大值， 此时的ω 便是 A、B 两物体同时滑动的最小角速度． 对 A、B 两物体受力分析，由牛顿第二定律知：此时，若烧断细绳，细绳的拉力消失，由于 A 的最大静摩擦力大于此时 A 做圆周运动 所需向心力，所以，A 相对圆盘静止．而 B 受到的最大静摩擦力小于此时 B 做圆周运动所需 的向心力，B 不能再做圆周运动，而相对圆盘做离心运动．◎能力训练 31．关于离心运动，下列说法中正确的是 A．物体突然受到向心力的作用，将做离心运动 B．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时将做离心运动 C。做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发生变化，就将做离心运动 D．做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力突然消失或变小时将做离心运动 2． 在匀速转动水平放置的转盘上， 有一个相对转盘静止的物体， 则物体相对转盘的运动趋势是( A．沿切线方向 ’ B．沿半径指向圆心 c．沿半径背离圆心 D．静止、无运动趋势 3．下列说法中，正确的是 ( ) A．当 F& m)v2 时，物体做离心运动 r v2 时，物体处于平衡状态 r2B．当 F= mc．当 F&mω r 时，物体做向心运动 D．离心力的施力物体可以是一个，也可以是几个 4．如图所示，光滑水平面上，小球 m 在拉力，作用下做匀速圆周运动，若小球运动到 P 点时，拉力 F 发生变化，关于小球运动情况的说法正确的是 ( ) A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹 Pa 做离心运动 B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹 pa 做离心运动 C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹 pb 做离心运动24D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹 pc 做离心运动 5．下列现象与离心运动无关的是() A．旋转的雨伞将水滴甩出 B．洗衣机脱水桶将衣服甩干 c．链球从运动员手中飞出 D．地球卫星由于阻力向地球靠近 6．如图所示，已知 m=2mb=3mc，它们距轴的关系是 RA=RC=RB/2，三物体与转盘表面 的动摩擦因数相同，当转盘的转速逐渐增加时 () A．A 先开始滑动 B．B 先开始滑动 C．c 先开始滑动 D．B 和 c 同时开始滑动 7．如图所示 OO’为竖直转轴，M、N 为固定在 00’上的水平光滑杆．有两个质量相 同的金属球 A、B 套在水平杆上，AC、BC 为抗拉能力相同的两根细线，C 端固定在转轴 OO’上，当绳拉直时，A、B 两球转动半径之比恒为 2:l，当转轴角速度逐渐增大时，则 ( ) A．AC 绳先断，A 球做离心运动 B．BC 绳先断，B 球做离心运动 c．两线同时断，A、B 球同时做离心运动 D．不能确定哪根绳先断 ’ 8．汽车在水平路面上沿半径为 r 的弯道行驶，路面作用于汽车的最大静摩擦力是车重的 1/10，要使汽 车不致冲出弯道，车速最大不能超过___________． 9．如图所示的水平转台，M=2.0 kg 的木块放在离转台中心 O.4m 处，与转台间的动摩擦因数μ =0.15,m 用线穿过光滑小孔 0 与 M 相连，m=0.5kg，要保持 M 与转台相对静止，转台的最大转速不能超过_______， 最小转速不能少于________。10．在绕竖直轴转动的水平圆盘上，沿一条半径放置的 A、B 两个物体，质量均为 m，A、B 与转轴间的距离分别为 r1 和 r2，这时连接 A、B 的细线沿水平方向被拉直，如图 所示，已知 A、B 与圆盘间的最大静摩擦力均为 F，现逐渐增大转速，在 A、B 刚要开始滑动前的瞬间，烧断连接 A、B 的细线，圆盘立刻以该时刻的转速匀速 转动，试问：该时刻圆盘转动角速度多大?细线烧断后 A、B 将 如何运动?● 模拟测试1.做匀速圆周运动的物体，下列哪个物理量是不变的 A.运动速度 B.运动的加速度25C.运动的角速度 D.相同时间内的位移 2.匀速圆周运动特点是 A.速度不变，加速度不变 B.速度不变，加速度变化 C.速度变化，加速度不变 D.速度和加速度的大小不变，方向时刻在变 3.下列关于甲、乙两个做匀速圆周运动的物体的有关说法正确的是 A.它们的线速度相等，角速度一定相等 B.它们的角速度相等，线速度一定相等 C.它们的周期相等，角速度一定相等 D.它们的周期相等，线速度一定相等 4.关于向心力的说法正确的是 A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力 B.做圆周运动的物体除受其他力外，还要受一个向心力作用 C.向心力不改变圆周运动物体速度的大小 D.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的 5．如图所示，小球用轻绳通过桌面上一光滑小孔与物体 B 和 C 相连，小球能在光滑的水平桌面上做匀速 圆周运动，若剪断 B、C 之间的细绳，当 A 球重新达到稳定状态后，则 A 球的 A.运动半径变大 B.速率变大 C.角速度变大 D.周期变大 6.关于向心力的下列说法中正确的是 A.向心力不改变做圆周运动物体速度的大小 B.做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的 C.做圆周运动的物体，所受合力一定等于向心力 D.做匀速圆周运动的物体，一定是所受的合外力充当向心力 7．宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重中，下列说法中正 确的是 A.宇航员仍受重力的作用 B.宇航员受力平衡 C.宇航员受的重力正好充当向心力 D.宇航员不受任何作用力 8．图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为 r，A 是它边缘上的一点.左侧是一轮轴，大轮的半径为 4r，小 轮的半径为 2r.B 点在小轮上，它到小轮中心的距离为 r.C 点和 D 点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传 动过程中，皮带不打滑.则 A.A 点与 B 点的线速度大小相等 B.A 点与 B 点的角速度大小相等 C.A 点与 C 点的线速度大小相等 D.A 点与 D 点的向心加速度大小相等 9．质量为 m 的滑块从半径为 R 的半球形碗的边缘滑向碗底，过碗底时 速度为 v 若滑块与碗间的动摩擦因数为μ 则在过碗底时滑块受到摩擦力的大小为 A.μ mg B.μ mv2 R26v2 C.μ m(g+ ) Rv2 D.μ m( -g) R10．甲、乙两颗人造地球卫星，质量相等，它们的轨道都是圆，若甲的运动周期比乙小，则 A.甲距地面的高度比乙小 B.甲的加速度一定比乙小 C.甲的加速度一定比乙大 D.甲的动能一定比乙大 11.火车以某一速度 v 通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是 A.轨道半径 R=v2 gB.若火车速度大于 v 时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外 C.若火车速度小于 v 时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内 D.当火车质量改变时，安全速率也将改变 12.在竖直平面内有一半径为 R 的光滑圆环轨道，一质量为 m 的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，到 达最高点 C 时的速率 vc= 4gR / 5 ,则下述正确的是 A.此球的最大速率是 6 vc B.小球到达 C 点时对轨道的压力是4mg 5C.小球在任一直径两端点上的动能之和相等 D.小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于π5R / g13.如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球 A 和 B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，A.球 A 的线速度一定大于球 B 的线速度 B.球 A 的角速度一定小于球 B 的角速度 C.球 A 的运动周期一定小于球 B 的运动周期 D.球 A 对筒壁的压力一定大于球 B 对筒壁的压力 14．如图所示，绳子的一端固定在光滑转台的中心轴上， 另一端系着小物块，小物块在光滑转台上与转台同步做匀速圆周 运动，某时刻细绳突然断裂，下列说法中正确的是 A．物块飞出时的方向对地面观察者是沿切线方向’ B．物块飞出时的方向对转台是沿半径远离圆心 C．物块飞出时的方向对地面和对转台均沿切线方向 D．物块飞出时的方向对地面和对转台均沿半径远离圆心2715．如图所示，绳子的一端固定在光滑桌面中 心的铁钉上，另一端系着小球，小球在光滑桌面上做匀 速圆周运动，当绳子突然断裂后，则 A．物体受向心力作用，向着圆心运勃。 B．物体失去向心力，而做离心运动 C．物体运动的半径增大，沿螺旋运动 D．物体沿切线方向做匀速直线运动 二、填空题 16.汽车在水平圆弧弯道上以恒定的速率在 20 s 内行驶 20 m 的路程，司机发现汽车速度的方向改变了 30°角.司机由此估算出弯道的半径是________m；汽车的向心加速度是________.(取 2 位有效数字) 17.劲度系数 k=100 N/m 的轻弹簧原长 0.1 m，一端固定一个质量为 0.6 kg 的小球，另一端固定在桌面 上的 O 点.使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，设弹簧的形变总是在弹性限度内，则当小球的角速度 为 10 rad/s 时，弹簧对小球的拉力为________N. 18.如图所示，暗室内，电风扇在频闪光源照射下运转，光源每秒闪光 30 次.如图电扇 叶片有 3 个，相互夹角 120°.已知该电扇的转速不超过 500 r/min.现在观察者感觉叶片有 6 个，则电风扇的转速是________ r/min.19.飞机向下俯冲后拉起，若其运动轨迹是半径为 R=6 km 的圆周的一部分，过最低点时飞行员下方的 座椅对他的支持力等于其重力的 7 倍，飞机过最低点的速度大小为________ m/s. 三．计算题 20．汽车以一定的速度在宽阔的马路上匀速行驶，司机突然发现正前方有一墙，把马路全部堵死，为了避 免与墙相碰，司机是急刹车好，还是马上转弯好?试定量分析说明道理。21．有一根轻弹簧原长为 l.竖直悬挂质量为 m 的小球后弹簧长为 2l0.现将小球固定于弹簧的一端，另 一端固定于光滑桌面上，当小球在桌面上以速率 v 做匀速圆周运动时，弹簧的长度为多少？22．一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动.有一台发出细光束的激光器 装在小转台 M 上，到轨道的距离 MN 为 d=10 cm,如图 1―11―4 所示. 转台匀速转动，使激光束在水平面 内扫描，扫描一周的时间为 T=60 s，光束转动方向如图中箭头所示.当光束与 MN 的夹角为 45°时，光束 正好射到小车上.如果再经过Δ t=2.5 s 光束又射到小车上，则小车的速度为多少？（结果保留二位数字）2823.如图所示， 在圆柱形屋顶中心天花板 O 点， 挂一根 L=3 m 的细绳， 绳的下端挂一个质量 m 为 0.5 kg 的小球，已知绳能承受的最大拉力为 10 N.小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小 球以 v=9 m/s 的速度落在墙边.求这个圆柱形房屋的高度 H 和半径 R.（g 取 10 m/s2）24．如图所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉 A 和 B 相距 0.1m，长 1m 的柔软细绳拴在 A 上，另一端系一 质量为 0.5kg 的小球，小球的初始位置在 AB 连线上 A 的一侧，把细线拉紧，给小球 以 2m/s 的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动，由于钉子 B 的存在，使线慢慢 地绕在 A、B 上。 (1)如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在 A、B 上需要多长时间? (2)如果细线的抗断拉力为 7N，从开始运动到细线断裂需经历多少时间?25．一半径为 R=1.00m 的水平光滑圆桌面，圆心为 O，有一竖直的立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封 闭曲线 C，如图所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量 为 m=7.5×10-2kg 的小物块。 将小物块放在桌面上并把绳拉直， 再给小物块一个方向与绳垂直大小为 v0=4m /s 的初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为 T0=2N 时， 绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动。求： C R （1）问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少？ O （2）若绳刚要断开时，桌面圆心 O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳 的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心 O 的水平距离为多少？已知桌面高度 H=0.80 m，物块在桌面上运动时未与立柱相碰。取重力加速度大小为 10m/ s2。 图 4-2-1529第三章万有引力及其应用本章主要内容包括万有引力定律，万有引力定律的应用，人造卫星，宇宙速度。近几年对人造卫星问 题考查频率较高，卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视，要 加强本章知识综合及应用题训练，加强综合能力的培养．有关题目立意越来越新，但解题涉及的知识，难 度不大，规律性较强。特别是随着我国载人飞船升空和对空间研究的深入，高考对这部分内容的考查将会 越来越强。 核心内容 1 万有引力定律 2 3 4 5 万有引力定律的应用 6 7 8 飞向太空 9 10 课标解读 了解人类对天体运动探索的发展历程 了解万有引力定律的发现过程 知道万有引力定律 知道引力常数的大小和意义 会计算天体的质量 会计算人造卫星的环绕速度 知道第二宇宙速度和第三宇宙速度 了解火箭的基本原理 了解万有引力定律对航天技术发展的重大贡献 了解人类在航天技术领域取得的伟大成就专题一．万有引力定律◎知识梳理1．定律内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比， 跟它们距离的平方成反比。 2 -11 2 2．表达式：F=GmM/r G 为万有力恒量：G=6.67×10 N?m /kg。 说明： (1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本 身的大小时，物体可视为质点。 (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。 地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因．但重力又不完全等于引 力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地 轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的， 它的大小是 f ? mr? 2 ，式中的 r 是物体与地轴的距离，ω 是地球自转的角 速度．这个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力 F，它是引力 F 的一 个分力如右图，引力 F 的另一个分力才是物体的重力 mg． 在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω 相同，而圆周的半 径 r 不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α 处的物体随地球自转所需的向心力f ? mR? 2 cos? (R 为地球半径)，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，在两极处 Rcosα ＝0，f＝0．作为引力的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大．在赤道上，物体的重力等于引力与向心力之 差．即 mg ? GMm . ．在两极，引力就是重力．但由于地球的角速度很小，仅为 10－5rad／s 数量级，所 2 R30以 mg 与 F 的差别并不很大．在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力 mg ? GMm . 这是一个很有用的结论． R2从图 1 中还可以看出重力 mg 一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力 mg 才能向地心． 同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体的重力和重力加速度 g 的数值，还随着物体离地面 高度的增加而减小． 若不考虑地球自转，地球表面处有 mg ? GMm M . ，可以得出地球表面处的重力加速度 g ? G 2 . ． 2 R R在距地表高度为 h 的高空处，万有引力引起的重力加速度为 g＇ ，由牛顿第二定律可得：mg ? ? GMm ( R ? h) 2即 g? ? GM R2 ? g ( R ? h) 2 ( R ? h) 2如果在 h＝Ｒ处，则 g＇＝g/4．在月球轨道处，由于 r＝60Ｒ，所以重力加速度 g＇＝ g/3600． 重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用． 3．万有引力定律在天文学上的应用主要是万有引力提供星体做圆周运动的向心力人造地球卫星的绕行速 度、角速度、周期与半径的关系 ①由 GMm v2 GM ? m 得v ? 2 r r rMm GM ? mr ? 2 得 ? ? 2 r r3r 越大，v 越小②由 Gr 越大，ω 越小Mm 4? 2 4? 2 r 3 ③由 G 2 ? m 2 r 得 T ? r T GMr 越大，T 越大行星和卫星的运动可近似视为匀速圆周运动，而万有引力是行星、卫星作匀速圆周运动的向心力。 4.三种宇宙速度 第一宇宙速度(环绕速度)：由 mg=mv /R=GMm/R 得： V=2 2GM ? RG ? 7.9 ? 103 Km/s RV1=7.9km/s，是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。 第二宇宙速度(脱离速度)：V2= 2 V1=11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 第三宇宙速度(逃逸速度)：V3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。◎ 例题评析【例 1】.地球赤道上的物体重力加速度为 g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为 a，要使赤道上 的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的多少倍？ 【分析与解答】:赤道上的物体随地球自转时的向心力是万有引力和支持力的合力提供,即:GMm ? N ? m? 2 R ? ma 2 R①其中 N=mg ② 要使赤道上的物体飘起来,即变为近地卫星,应有 N=0,于是:G2 Mm ? m? &#39; R 2 R③31由①、②、③得: ? ?&#39;a?g ? a◎能力训练 11．万有引力可以理解为：任何有质量的物体都要在其周围空间产生一个引力场，而一个有质量的物体在 其他有质量的物体所产生的引力场中都要受到该引力场的（即万有引力）作用，这种情况可以与电场相类 比。那么在地球产生的引力场中的重力加速度，可以与电场中下列哪个物理量相类比： ［C］ A、电势 B、电势能 C、电场强度 D、电场力 2．在我国西昌卫星发射一颗地球同步卫星，火箭发射后先竖直上升一段时间，随后调整姿态，开始向某 个方向倾斜上升，这个方向是：A(需与地球同向运转) A、东南方向 B、西南方向 C、东北方向 D、西北方向 3． 把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。 由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得 （ BC ） （A）火星和地球的密度比， （B）火星和地球绕太阳运行速度大小之比。 （C）火星和地球到太阳的距离之比 （D）火星和地球表面的重力加速度比， 4.下列说法符合史实的是 D A. 牛顿发现了行星的运动规律 B. 开普勒发现了万有引力定律 C. 牛顿发现了海王星和冥王星 D.卡文迪许第一次在实验室测出了万有引力常量 5．如图 2 所示,发射地球同步卫星时,先将卫星发射至近地轨道 1,然后经点火使其在椭圆轨道 2 上运行, 最后再次点火将卫星送入同步轨道 3.轨道 1、 相切于 A 点, 轨道 2、 相切于 B 点.则当卫星分别在 1、 2 3 2、 3 轨道正常运行时,下列说法中正确的是(ACD) A.卫星在轨道 3 上的周期大于在轨道 1 上的周期 B.卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率 C.卫星在轨道 2 上运行时,经过 A 点时的速率大于经过 B 点时的速率 D.卫星在轨道 2 上运行时,经过 A 点的加速度大于经过 B 点的加速度 6.若人造卫星绕地球作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（AD） A.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小 B.卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大 C.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越大 D.卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要的向心力越小 7.火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆.已知火卫一的周期为 7 小时 39 分.火 卫二的周期为 30 小时 18 分，则两颗卫星相比(AC) A.火卫一距火星表面较近 B.火卫二的角速度较大 C.火卫一的运动速度较大 D.火卫二的向心加速度较大 8.星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度.星球的第二宇宙速度 v2 与与第一宇宙速 度 v1 的关系为是 v2= 2 v1.已知某星球的半径为 r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度 g 的 1/6. 不计其它星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（C） A. gr B.1 gr 6C.1 gr 3D.1 gr 39．神舟六号载人飞船 2005 年 10 月 12 日升空，在太空环绕地球飞行 77 圈后于 10 月 17 日顺利返回，这32标志着我国航天事业又迈上了一个新台阶。假定正常运行的神舟六号飞船和通信卫星（同步卫星）做的都 是匀速圆周运动。下列说法正确的是 …………（ C） Ａ．神舟六号飞船的线速度比通信卫星的线速度小 Ｂ．神舟六号飞船的角速度比通信卫星的角速度小 Ｃ．神舟六号飞船的运行周期比通信卫星的运行周期小 Ｄ．神舟六号飞船的向心加速度比通信卫星的向心加速度小 10．日9时“神舟六号”载人飞船发射升空，进入预定轨道后绕地球自西向东作匀速圆周运 动，每90min转一圈。航天员费俊龙、聂海胜在轨道舱作了许多科学实验，10月17日凌晨4时33分返回舱成 功着陆。着地前1.5m返回舱底座发动机开始向下喷气，返回舱垂直着地， “神舟六号”航天实验圆满完成。 关于“神舟六号”下列说法正确的是（ ABC） 。 A．航天员在24h内可以见到日落日出的次数应为16次 B．载人飞船的轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度 C．载人飞船绕地球作匀速圆周运动的速度略小于第一宇宙速度7.9km/s D．在着地前1.5m内宇航员处于失重状态 11．2005 年 10 月 12 日，在酒泉卫星发射场，我国科技人员成功地将“神州六号”宇宙飞船送上了太空。 “神州六号”宇宙飞船离地高度 343Km。设地球半径为 6400Km，飞船绕地球一周的时间为___________， 飞船的环绕速度为________________。T? 2? R ( R ? h) 3 ? 90.6分 gv?2? ( R ? h) ? 7.79 Km / s T专题二.万有引力定律的应用一◎G知识梳理1.动力学特征：近似地看成是匀速圆周运动所需的向心力由万有引力提供Mm v2 ? 2? ? 2 ? ma ? m ? m? 2 r ? m? ? r ? m?v ? m?2?f ? r 2 r r ?T ?22、天体质量 M、密度ρ 的估算 (1)测出卫星围绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T。由公式GMm 4? 2 r 3 ? 2? ? ? m? ? r，得M ? r2 GT 2 ?T ?2??M 3?r 3 3? ? ,当卫星绕天体表面运动 时，? ? 3 v GTR GT 2◎ 例题评析【例 2】重力加速度 g 随离地面高度 h 的变化情况。 设地球表面的重力加速度为 g,物体在距地心 4R（R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重 力加速度 g,，则 g/g,为 A、1； B、1/9； C、1/4； D、1/16。 【分析与解答】 ：因为 g= GM , M ,g = G ,所以 g/g,=1/16,即 D 选项正确。 2 R ( R ? 3R ) 2【例 3】.通过观天体卫星运动的周期 T 和轨道半径 r 或天体表面的重力加速度 g 和天体的半径 R，就可以33求出天体的质量 M。 已知地球绕太阳公转的轨道半径 r=1.49 ? 1011m, 公转的周期 T=3.16 ? 107s,求太阳的质量 M。 【分析与解答】 ：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得： GM=4π 2r3/GT2=1.96 ? 1030kg. 【例 4】宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间 t，小球落到星球表面，测得 抛出点与落地点之间的距离为 L。若抛出时初速度增大到 2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为 3 L。已 知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R，万有引力常数为 G。求该星球的质量 M。 【分析与解答】 ：设抛出点的高度为 h,第一次平抛的水平射程为 x,则有 x2+h2=L2 由平抛运动规律得知， 当初速度增大到 2 倍时， 其水平射程也增大到 2x,可得 设该星球上的重力加速度为 g，由平抛运动的规律得： h=2 （2x）+h2=( 3 L)2Mm =mr(2π /T)2 r21 2 gt 2 Mm R2由万有引力定律与牛顿第二定律得： mg= G联立以上各式解得 M=2 3LR 2 。 3Gt 2【例 5】 ．如图 4 所示为宇宙中有一个恒星系的示意图，A 为该星系的一颗行星，它绕中央恒星 O 运行轨 道近似为圆，天文学家观测得到 A 行星运动的轨道半径为 R0，周期为 T0． （1）中央恒星 O 的质量是多大？ （2）长期观测发现，A 行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔 t0 时间发生一次 最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是 A 行星外侧还存在着一颗未知的行星 B（假设其运 行轨道与 A 在同一平面内，且与 A 的绕行方向相同） ，它对 A 行星的万有引力引起 A 轨道的偏离．根据上 述现象及假设，你能对未知行星 B 的运动得到哪些定量的预测． 【分析与解答】（1）设中央恒星质量为 M，A 行星质量为 m，则有 ：GMm 2? ? m( ) 2 R0 2 T0 R0①2 3 解得： M ? 4? R0 2②AOGT0（2）如图 5 所示，由题意可知：A、B 相距最近时，B 对 A 的影响最大，且每隔 t0 时间相距最近．设 B 行星周期为 TB，则有：图4t0 t0 ? ?1 T0 TB解得： TB ?③T0 t 0 t 0 ? T0④ A O该 B 行星的质量为 m′，运动的轨道半径为 RB，则有GMm? 2? ? m?( ) 2 RB 2 TB RB⑤ 图534由①、④、⑤可得： R B ? R0 ? 3 (t0 )2 t 0 ? T0⑥[点评]本题的难点是运动模型的建立，A、B 相距最近时，B 对 A 的影响最大是一个重要的隐含条件，在 时间 t0 内 A、B 运动的物理量间的关系是列方程的一个重要依据，做这种题型时要注意认真读题，挖掘出 这些条件．本题中根据周期可求出角速度；根据 B 行星运动的半径可求出 B 行星的线速度和向心加速度． 【例 6】通过观测天体表面运动卫星的周期 T， ，就可以求出天体的密度ρ 。 如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为 T，则可估算此恒星的密 度为多少? 【分析与解答】 设此恒星的半径为 R，质量为 M，由于卫星做匀速圆周运动，则有 ：Mm 4? 2 G 2 =mR 2 , R T4? 2 R 3 所以，M= GT 24 M 3? π R3，所以恒星的密度ρ = = 。 3 V GT 2而恒星的体积 V=【例 7】 、一均匀球体以角速度ω 绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引 力，则此球的最小密度是多少？ 【分析与解答】 ：设球体质量为 M，半径为 R，设想有一质量为 m 的质点绕此球体表面附近做匀速 圆周运动，则 GMm 4 =mω 02R, 所以，ω 02= π Gρ 。 2 3 R24 3? 2 3? 2 由于ω ≤ω 0 得ω ≤ π Gρ ，则ρ ≥ ，即此球的最小密度为 。 3 4?G 4?G◎能力训练 21.同步卫星 A 的运行速率为 v1，向心加速度为 a1，运转周期为 T1；放在地球赤道上的物体 B 随地球自 转的线速度为 v2，向心加速度为 a2，运转周期为 T2；在赤道平面上空做匀速圆周运动的近地卫星 C 的速率 为 v3，向心加速度为 a3，运转周期为 T3.比较上述各量的大小得（AD） A.T1=T2&T3 B.v3&v2&v1 C.a1&a2=a3 D.a3&a1&a2 2.发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为 h1 的圆形轨道 上，在卫星经过 A 点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道 的近地点为 A，远地点为 B.在卫星沿椭圆轨道运动经过 B 点再次点火实施变轨，将 卫星送入同步轨道（远地点 B 在同步轨道上） ，如图 3 所示.两次点火过程都使卫星 沿切线方向加速，并且点火时间很短.已知同步卫星的运动周期为 T，地球的半径为 R，地球表面重力加速度为 g，求： ?卫星在近地圆形轨道运行接近 A 点时的加速度大小； ?卫星同步轨道距地面的高度. 2.? a A ??R ? h1 ?R222 2 3 gR T g ? h2 ? ?R 4? 23.海王星是绕太阳运动的一颗行星， 它有一颗卫星叫海卫 1.若将海王星绕太阳的运动和海卫 1 绕海王 星的运动均看作匀速圆周运动，则要计算海王星的质量，需要知道的量是（引力常量 G 为已知量） （A） A.海卫 1 绕海王星运动的周期和半径 B.海王星绕太阳运动的周期和半径35C.海卫 1 绕海王星运动的周期和海卫 1 的质量 D.海王星绕太阳运动的周期和太阳的质量 4.2005 年 9 月，我国利用“神州六号”飞船将两名宇航员送入太空，中国成为继俄、美之后第三个掌 握载人航天技术的国家.设宇航员测出自己绕地球球心做匀速圆周运动的周期 T，离地面的高度为 h，地球 半径为 R.根据 T、h、R 和万有引力恒量 G，宇航员不能计算出下面的哪一项（C） A.地球的质量 B.地球的平均密度 C.飞船所需的向心力 D.飞船线速度的大小 5.最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时 间为 1200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的 100 倍。假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太 阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 （AD） A.恒星质量与太阳质量之比 B.恒星密度与太阳密度之比 C.行星质量与地球质量之比 D.行星运行速度与地球运行速度之比 6.已知引力常量 G、 月球中心到地球中心的距离 R 和月球绕地球运行的周期 T.仅利用这三个数据， 可 以估算出的物理量有（BD） A.月球的质量 B.地球的质量 C.地球的半径 D.月球绕地球运行速度的大小 7.我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体 S1 和 S2 构成，两星在相互之 间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为 T，S1 到 C 点的距离为 r1，S1 和 S2 的距离为 r，已知引力常量为 G.由此可求出 S1 的质量为（A）2 2 4? 2 r 2 (r ? r1 ) 1 A． B． 4? r2 GT GT 2C．4? 2 r 2 GT 2D．4? 2 r 2 r1 GT 28.启动卫星的发动机使其速度增大，待它运动到距离地面的高度必原来大的位置，再定位使它绕地球 做匀速圆周运动，成为另一轨道上的卫星，该卫星后一轨道与前一轨道相比（C） A.速度增大 B.加速度增大 C.周期增大 D.机械能变小 9.我国发射的神州五号载人宇宙飞船的周期约为 90min， 如果把它绕地球的运动看作是匀速圆周运动， 飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，下列判断中正确的是（C） A.飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径 B.飞船的运行速度小于同步卫星的运行速度 C.飞船运动的向心加速度大于同步卫星运动的向心加速度 D.飞船运动的角速度小于同步卫星运动的角速度 10.1998 年 1 月发射的“月球勘探者”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球重 力分布，磁场分布及元素测定等方面取得了新成果，探测器在一些环形山中发现了质量密集区，当飞到这 些质量密集区时，通过地面的大口径射电望远镜观察，“月球勘探者”的轨道参数发生了微小变化，这些 变化是(AD) A .半径变小 B.半径变大 C.速率变小 D.速率变大 11.1990 年 5 月，紫金山天文台将他们发现的第 2752 号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为 16km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体， 小行星密度和地球相同.已知地球半径 R=6400km， 地球表面重力加速度为 g.这个小行星表面的重力加速度为（B） A.400g B.1 g 400C.20gD.1 g 2012.已知地球质量大约是月球质量的 81 倍，地球半径大约是月球半径的 4 倍.不考虑地球、月球自转 的影响，由以上数据可推算出 （C）36A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为 9∶8 B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为 9∶4 C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约 为 8∶9 D.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约 为 81∶4 13.一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行 星上，飞船上备有以下实验器材： A．精确秒表一个 B．已知质量为 m 的物体一个 C．弹簧测力计一个 D．天平一台（附砝码） 已知宇航员在绕行时和着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求出该行星的半径 R 和行星质量 M。 （已知万有引力常量为 G） （1）两次测量所选用的器材分别为 、 。 （用序号表示） （2）两次测量的物理量分别是 、 。 （3）用该数据推出半径 R、质量 M 的表达式：R= ，M= 。 13.【答案】 （1）A；BC （2）周期 T；物体的重力 F （3）FT 2 F 3T 4 ; 4? 2 m 16? 4 m 3 G14.在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来.假设 着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为 h，速度方向是水平的，速度大小为 υ0，求它第 二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力.已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为 r，周期为 T.火星可视为半径为 r0 的均匀球体. 14.解：设火星的质量为 M；火星的一个卫星的质量为 m ，火星探测器的质量为 m’,在火星表面时重力 . 加速度为 g′ 有对火星的一个卫星： 对火星探测器：Mm 2π G── = m( ─ )2r ─ r2 T Mm G──′= m′ g′ r2 0 υ1 =2 g′ h ─── ─── ─── υ = √υ12 +υ022① ② ③ ④由以上各式得υ=h ── ─ ─ ─ √8πT──r +υ r2 2 0─ 2─ ─ ─ ─ ─ ─ 32 0⑤15.已知万有引力常量 G，地球半径 R，月球和地球之间的距离 r，同步卫星距地面的高度 h，月球绕 地球的运转