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火线精英五星帝王的号 三角形的五星
导读：三角形的五星，一、三角形重心定理:，三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，2重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小，二、三角形外心定理:，三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心，1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心，3、当三角形为锐角三角形时，
三角形的五星
内心：内角平分线 的交点。
外心：中垂线的交点。
重心：中线的交点。
垂心：高的交点。
旁心：外角平分线的交点。
一、三角形重心定理:
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）
重心的性质：
1 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的
与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理:
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠
BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等
三、三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线
称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延
长交AB于点F ，求证：CF⊥AB
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC
边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三
角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和三
个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
参考资料：/view/1611086?tp=4_01
重心:求证：三条中线交于一点
DE//BC（中位线平行于底边）
假设目前只知道BE和DC两条中线。
∠ADE=∠B（两线平行同位角相等）
DE//BC（中位线平行于底边）
∠AED=∠ACB（两线平行同位角相等）
△ADE相似于△ABC
F是中点那么G就是中点
再连接HI使其穿过O点
△AHI与△ADE中：
∠AHI=∠ADE
∠AIH=∠AED
因此△AHI与△ADE相似
因此O为HI中点
所以F为BC中点
即三条中线交于1点
求证：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍？
证明：如图：△ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为△ABC重心
做BG中点H，GC中点I
∴HI为△GBC的中位线
∴HI//BC,且 2HI=BC
同理：FE是△ABC中位线
∴FE//BC,且 2FE=BC
∴FE//HI,且 FE=HI
∴四边形FHIE是平行四边形
又H为BG的中点
∴HG=BH=GE
∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍
垂心:设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。HA=a，HB=b，HC=c。
因为AD⊥BC，BE⊥AC，
所以HA·BC=0，HB·CA=0，
即a·(c-b)=0，
b·(a-c)=0，
a·c-a·b=0
b·a-b·c=0
两式相加得
c·(a-b)=0
即HC·BA=0
故CH⊥AB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于同一点H。
己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O； 求证：
△ABC角平分线交于点O。
证明：∵点O在∠A的角平分线上，
∴O到AB的距离与O到AC的距离相等；
同理可证：O到BC的距离与O到BA的距离相等。 根据等量代换，可知O到AC与O到BC的距离相等，
又∵AC和BC为∠C的边，因此点O在∠C的角平分线上。 ∵O为△ABC中，∠A、∠B、∠C角平分线上的点。 求证:OI=OG=OH
∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6(角平分线)
在△AOI与△AOH中:
AO=AO(公共边)
∠1=∠2(角平分线)
∠AIO=∠AHO(垂直于对应边)
∴△AIO全等于△AHO(AAS)
∴OI=OH(两个三角形全等,三边对应等)
在△COH与△COG中:
AO=AO(公共边)
∠1=∠2(角平分线)
∠COH=∠COG(垂直于对应边)
∴△COH全等于△COG(AAS)
∴OG=OH(两个三角形全等,三边对应等)
证明:AD=BD=CD
在△AFO与△BFO中:
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