六个海盗分金币问题
网上有一道流传了一阵子的博弈论的题目“六个海盗分金币”，题干如下：
六个海盗抢到了100个金币，每一个都一样的大小和价值连城。
他们决定这么分：
1．抽签决定自己的号码 ------ [1、2、3、4、5、6]
2．首先，由1号提出分配方案，然后大家6人进行表决，至少半数的人同意时，按照他的提案进行分配，否则将被扔入大海喂鲨鱼。
3．如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家5人进行表决，达到半数或超过半数以上的人同意时，按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。
4．以此类推
问题是：每个海盗都是足够理性的人，如果按照以上条件发展，最终的分配方案是什么？
自己是第一次接触这个题，独立的想了想答案，发现和网上流传比较广的答案不太一样，所以决定记录一下。
网上的答案多为（98，0，1，0，1，0），还有一种不太多见的答案是（100，0，0，0，0，0），我的答案是（0，0，100，0，0，0），我的分析思路如下，也顺带分析下前两种答案的思路：
1、这道题目是关于效用理论和博弈论的，因特殊的分配方案，这个题目变得比较有意思，由于一旦分配方案通不过，提出分配方案的人就会丧命，所以作为理性的经济人进行决策，通过方案带来的效用上限不过是100金币，而通不过的效用则是负无穷，所以，1号要确保他提出的方案必须要在第一轮投票就获得通过，即他要争取除他之外的另外2个人的同意，达到满足“至少半数同意”的要求。从效用角度出发，1号首要考虑的是保命，而不是如何获得更多的金币。
2、对于6人要提一个一轮就必须通过的方案，这个模型稍微复杂一些，所以总的分析的思路是从简单的2人模型扩展至6人模型。
3、在2人模型下，假设是5号和6号，由5号来提方案，他显然是同意自己的方案的，这时，不论他提什么方案，都能满足“至少半数同意”的原则，所以他不仅性命无虞，他还可以实现自己的效用最大化，把这一百个金币独吞。
4、由2人模型可以推知，如果在3人模型（4号、5号、6号）下，5号肯定希望能推翻4号提出的方案，这样他就可以得到100金币，因此，在3人模型时，5号的期望是得到100金币；同时，注意到6号，在2人模型时，他是肯定得不到金币的，所以在3人模型时，他的期望仍然是0个金币，也就是说，即便给分配给他0个金币，他也是没有理由投反对票的。
5、扩展至3人模型（4号、5号、6号），由4号来制定分配方案，除了他自己，他还需要5号或6号中的至少一人来支持他的方案，否则，他就会丧命。由前述分析，5号有足够的理由来反对4号的分配方案，除非：100金币都分配给5号，这样，5号有极大可能支持这一方案——除非他想把4号置于死地。再考虑6号，6号在这一轮分配方案中的期望是0，所以，即便不分配给他金币，他也是可能支持4号的方案，因为同意与否他都得不到金币。于是，一种可能的方案就出来了：4号的方案为（99，0，1），这样，6号因为得到的金币超过了期望，他会同意4号的方案，从而使得方案通过。
6、说到这里，有必要复习一下博弈论的经典案例“囚徒困境”：甲、乙两名疑犯被警方抓捕，警方掌握的证据有限，只能为二人治一个较轻的罪，但相信二人还有更多的未交代的罪行，苦于这些罪行没有足够证据，只能依赖二人口供定罪，警方的目的即是设法让二人交代出未掌握的罪行。警方将两人单独审问，确保两人互不知晓对方是否认罪。在这种情况下，如果甲、乙二人皆不主动招罪，则最终会各判一年；若甲招罪，而乙不招，则甲因立功而判缓刑，乙则判十年，反之亦然；若二人皆招罪，则各判六年。由于甲、乙信息不通畅，不论对方是否招罪的情况下，自己招罪都是一个更优的选择，即两人都招罪，最终各判六年。博弈论的这个案例有很多解读，其中一个解读就是：在信息不畅的情况下，理性的人作出的决策不一定是最优的决策，甲、乙都是理性人，如果两人都能选择不招罪，则最终是各判一年，显然优于二人最终的选择。
囚徒困境反映的一个情况就是：即便是大家都是理性的人，在信息不畅的情况下，但是你未必相信对方就一定做出理性的决策，对甲来说，如果他选择相信乙选择不招罪，以确保两人都达到最大的效用，但是在信息不通畅的情况下，他最终认为乙不一定会作出理性的决策，于是他选择了招罪。
7、回到3人模型，前述（99，0，1）这个方案6号是会接受的，因为1枚金币已经超过他的预期，顺着这个思路，扩展到6人模型，就会得到（98，0，1，0，1，0）这个答案。另外一个思路是，在3人模型中，4号会提出方案（100，0，0），因为这个方案和6号的期望是一致的，不论如何他也得不到金币，所以他也不会反对，顺着这个思路扩展到6人模型，就会得到（100，0，0，0，0，0）这个答案。总之，这两个答案在整体思路上是一致的，只有对细节的处理不同。
8、以上两个答案都是建立在6个海盗都是理性人的基础上的（他们也确实都是理性人），不过我的思路与这两个答案的差异，就体现在困徒困境所反映的问题上：在3人模型中，4号真的就敢相信6号会接受（99，0，1）这个方案吗？一旦6号拒绝这个方案，4号就会丢掉性命。在3人模型中，4号就是囚徒困境中的一个囚徒，他会不会选择相信对方会是一个作出理性决策的人，以1枚金币足以打动对方，让自己成功保命？
9、还是在3人模型下讨论，题干没有交代在定方案的时候，海盗是否可以相互沟通——也就是信息是否通畅，情况一：他们是不可以相互沟通的，即4号私下定方案，然后公布、立即投票，这时，4号就和囚徒困境中相互不了解对方是否认罪的两个疑犯的处境一样了，对他来说，首先他是要保命——他在一个“保命困境”中，他敢相信1枚金币能打动6号吗？我想他是理性的人，他应该不会为了99枚金币而冒生命的险，于是，他能做的就是提出这样一个方案：（0，0，100），最大程度的让6号接受这一方案而自己保命成功。情况二：海盗们在制定分配方案的时候是彼此可以沟通的，这和囚徒困境不一样了，这时信息是通畅的，那么这时4号、6号显然都知道，6号手中掌握着4号的命运，于是他可以据此作为要挟：让4号把100枚金币全分配给他，否则他就反对4号的方案，这个要挟对6号来说，是没有成本的（因为进入2人模型，他的期望是0），却是有着收益的可能，试想，此时的4号会为6号的要挟所动吗？显然是会的，因为无成本的要挟对6号来说是利益最大化的决策，而4号是知道这一点的。
补画了两张草图，表明4号和6号在博弈时的地位和想法，以及4号所处的“保命困境”：
10、所以我认为在3人模型中，最终的分配方案不是（99，0，1），不是（50，0，50），而是（0，0，100）。实际上，这种情况在现实社会中遍地都是，虽然都是理性的人，但是往往作出的决策却不是最优的决策！这就引出了博弈论的一个议题：个体理性与群体理性的予盾。虽然在海盗分赃这个案例中，是一个零和游戏，最优的分配方案并不能创造出新的金币。但从社会的角度考虑，如果我们认为社会财富分配得更均匀是一件好事（因为对个人来说，财富的边际效用递减），那么，（0，0，100）这个方案显然不是一个最优的方案。个人的理性并不一定产生正的外部性，在这个案例中得到了很好的体现。
11、好了，分析到这里基本就结束了 ，接下来把模型扩展到6人模型。
在3人模型中，由于4号的方案是（0，0，100），也就是4号的期望是0枚金币，在4人模型时，排在次位的4号是不想3号的方案被推翻的，因为一旦进入3人模型
，即便他把100枚金币全分配给6号，万一遇上不理性的6号也把这个方案拒了，他连命也没有了。所以，在4人模型时，4号的期望也是0；另外，需要注意到5号在4人模型中的期望仍是100枚金币。
扩展至4人模型（3号、4号、5号、6号），制定方案的3号还要争取1人同意他的方案。此时的3号也处在“保命困境”中，他可以任意在4号、5号、6号中挑一人，把100枚金币全给他，这样才能最大可能的求得性命。由前述分析，在同等的期望下，面临保命压力排在次位的4号本身同意3号的可能性要大于5号、6号，所以3号的方案更可能是（0，0，100，0）或（0，0，0，100）。
12、5人模型（2号、3号、4号、5号、6号），此时的2号仍在“保命困境”中，他要争取2人的同意。如前分析，一旦2号的方案被否，3号又面临着“保命困境”，所以，此时3号的期望也是0，并且受到保命压力，4号受到的保命压力次之，而5号和6号没有死亡之虞，所以我觉得把100枚金币全给4号或5号或6号，此时2号的方案通过的可能性最大。试想，在这种情况下，得不到金币的反对，如果3号此时如果也反对，那么他就进入到下一轮的困境中。至于拿到100枚金币的4号万一也选择反对的话，那2号也是无力回天了，因为100枚金币是他能拿来买命的最大筹码。
13、回到最初的6人模型，由1号来做决策，同前所述，2号此时的期望是0，且受最大的死亡威胁，他是最没有充足理由反对1号的任何方案，3号、4号顺次，在这种情况下，把100枚金币全给3号，可以最大可能保证方案通过，当然，除开2号的其他人也可以。
&小结一下，在6人模型中，1号、2号、3号和4号是受到保命压力的，且保命压力顺次递减，5号和6号没有保命压力。同时，每个人对获得金币的期望是：（0，0，0，0，100，0）。
14、回到题目最初，前述分析出来的最终结果感觉有些奇怪，可能和最初想像的答案有些不一样。在这个例子中，题目巧妙的为海盗们设置了一个“保命困境”，由于此困境的存在，除了5号以外，每个人对获得金币的期望都是0，加上前4人都有保命的压力，所以，不论1号提出什么样的分配方案，至少有4人会接受此方案的，因为这个分配方案肯定会大于等于他们的期望，方案必然会通过。这个分析回答了：什么样的方案会获得通过，而没有回答：1号会提什么方案。即便1号提的任何都会通过，他仍要从中取舍他求生机会最大的一个。他把100金币给6号或4号或3号，求生的机会是最大的，5号是一个奇葩的存在，他本身的期望就是得到100金币，把一百金币给他只是刚好达到他的期望，而不像其他人那样可以超过他们的期望，所以这一百金币不押在他身上反而收效更好。
如果不从2人模型扩展到6人模型，我们正着来做这道题的话，再来看这样一种可能是大家第一个想到的分配方案：平均分配这100枚金币，在第10点的分析中提到了，平均分配的方案可以使全社会的(6个海盗这个群体)的总效用最大，而且每个人的财富都大于他的期望、大家财富还都均等。从全社会的角度来讲，这应该是最好的一个分配方案，然而1号在面临困境的时候不会提这样一个方案，因为这时大家会想：如果我们反对1号的方案，接下来就是5个人平分这100枚金币了……概言之，个体的理性并不一定促成社会的效用最大化。
延伸开多说一些，从这个例子来讲，在经济学上的理性人、利已人的假设是合理的情况下（实际上这个假设与实证也是相符的），平均化、大锅饭式的经济体系是难以为继的，或者说，在一个理想的自由经济体系下，即便所有个体最初掌握的全部资源（包括财富、体力、智力、知识等）都是完全一样的，这个社会的资源分配也必然会走向分层。
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