4行测数学秒杀实战方法【2011年最新升级】w..._甜梦文库
4行测数学秒杀实战方法【2011年最新升级】w...
阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品行测数学秒杀实战方法序言 行测考试是一种倾向性测试，是一种非精确性测试，因此在考试当中不需要按照常规来做题目 不需要按照常规来做题目，按常规必然会做题时 不需要按照常规来做题目 间来不及。 本书特点是强调解题思路，新、快、准。 新 公考备考中需要注意：千万不能一味追求新奇，陷入无边“题海”。反复研究经典题目，琢磨快速准确解决问题的技 反复研究经典题目， 反复研究经典题目 巧，可取事半功倍之效。 行测《 数学秒杀实战方法》 将极大的提高你做数学题目的速度，而且大大简化了做题的难度。 举 2 个例子： 国家真题） （国家真题）铺设一条自来水管道，甲队单独铺设 8 天可以完成，而乙队每天可铺设 50 米。如果甲、乙两队同时铺 设，4 天可以完成全长的 2 / 3 ，这条管道全长是多少米？( ）。A . 1 000 B . l 100 C . l 200 D . 1 300 常规做法及培训班做法： 常规做法及培训班做法： 方法 1 ：假设总长为 s ，则 2 / ' 3 只 s , 5 / 8 又 4 + 50 只 4 则 s = 1200 方法 2 : 4 天可以完成全长的 2 , / 3 ，说明完成共需要 6 天。 甲乙 6 天完成，1 / 6 一 1 / 8 = 1 / 24 说明乙需要 24 天完成，24 * 50 二 1200 秒杀实战法：数学联系法 秒杀实战法： 完成全长的 2 / 3 说明全长是 3 的倍数，直接选 C 。10 秒就选出答案。 公考很多数学题目，甚至难题，都可以直接运用秒杀实战法，快速解出答案，部分只需要做个简单的转化，就可以运 用到秒杀实战法。大大的简化了题目的难度。 浙江真题） A . 2350 B . 3 130 C . 4783 D . 7781 ( 09 浙江真题）1 3 11 67 629 ( ) 常规及培训班解法： 常规及培训班解法：数字上升幅度比较快，从平方，相乘，立方着手。 首先从最熟悉的数字着手 629 = 25 *25 + 4 =54 十 4 67 =43 + 3 从而推出Ol =l + O l 3 = 2 + l 2 11 =3 + 2 3 67 = 4 + 3 4 629 = 5 + 4 5 ？=6 + 5 二 7781 从思考到解出答案至少需要 1 分钟。 秒杀法： 秒杀法： 1 3 11 67 629 ( ) 按照倍数的上升趋势和倾向性，问号处必定是大于 10 倍的。 ABCD 选项只有 D 项符合 两两数字之间倍数趋势： 确切的说应该是 13 倍，可以这么考虑，倍数大概分别是 3 , 4 , 6 , 9 , ( ? ) ，做差，可知问号处大约为 13 . 问号处必定是大于十倍的。 秒杀实战法， 秒杀实战法，十秒就能做出此题 此题是命题组给考生设置的陷阱，如果盲目做题，此题是到难题，在考试当中未必做的出，即浪费了考试时间，心里 上有将受到做题的阴影，必将影响考试水平的发挥。秒杀实战法将大大节省做数学题的时间，从而为言语，逻辑等留1阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 出充足的时间做题。为行测取得高分奠定基础。 公考中几乎百分之 80 以上的数学题目都能够用到秒杀法。希望大家通过本书的学习，能够很好的掌握，在数学上能够 轻松的拿到高分。一旦你能够秒杀部分数学题目，毫无疑问你的笔试基本算是通过了。 数学运算部分 整除关系应用 整除关系应用在数学运算当中是一个非常重要的解题方法，必须要做到熟悉掌握应用。 整除关系基础知识： 整除关系基础知识： 整除特性： 被 2 整除特性：偶数 整除特性： 整除， 整除。 被 3 整除特性：一个数字的每位数字相加能被 3 整除，不能被 3 整除说明这个数就不被 3 整除。 如：377 , 3 + 7 + 7 =17 , 17 除 3 等于 2 ，说明 377 除 3 余 2 。 15282 , 1 + 5 + 2 + 8 + 2 =18 , 18 能被 3 整除，说明 15282 能被 3 整除特性： 整除。 整除被 4 和 25 整除特性：只看一个数字的末 2 位能不能被 4 整除。275016 , 16 能被 4 整除说明 275016 能被 4 整 除。 整除特性： 即可被整除。 被 5 整除特性：末尾是 O 或者是 5 即可被整除。 整除特性： 整除的特性。 被 6 整除特性：兼被 2 和 3 整除的特性。 整除特性：一个数字的末三位划分， 整除。 被 7 整除特性：一个数字的末三位划分，大的数减去小的数除以 7 , 能整除说明这个数就能被 7 整除。 如：1561575 末 3 位划分
大的数字减小的数即 1561 - 578 = 983 ，983 /7 = 140 余 3 说明 1561578 除 7 余3 。 整除特性：
= 78 说明这个数能被整除。 被 8 和 125 整除特性：看一个数字的未 3 位。96624 整除特性： 整除的特性。 被 9 整除特性：即被 3 整除的特性。如 23568 , 2 + 3 + 5 十 6 + 8 = 24 , 24 /9 =2 余 6 ，说明这个数不能被 9 整 除，余数是 6 。 整除特性：奇数位的和与偶数位的和之差， 整除。 被 11 整除特性：奇数位的和与偶数位的和之差，能被 11 整除。如 8956257 , 间隔相加分别是 8 + 5 + 2 + 7 = 22 , 9 + 6 + 5 =20 。在相减 22―20 =2 , 2 /11 余 2 ，说明这个数 8956257 不能被 11 整除，余数是 2 。熟悉掌握后做以下练习（遇到做不来的题目，不要急于看答黝： 1 上海真题：下列四个数都是六位数，X 是比 10 小的自然数，丫是零，一定能同时被 2 、3 、5 整除的数是多少？( ) A . XXXYXX B . XYXYXY C . XYYXYY D . XYYXYX 答案:B 【 解析』 能被 5 整除的末尾是 0 或者 5 ，同时这个六位数能被 2 整除，所以末尾肯定是 0 。BC 当中选择，同时能 被 3 整除，说明各位数字相加是 3 的倍数，B 是 3X ，很明显是 3 的倍数，所以选择 B。 2 在招考公务员中，A 、B 两岗位共有 32 个男生，8 个女生报考。己知报考 A 岗位的男生数与女生数的比为 5 : 3 ， 报考 B 岗位的男生数与女生数的比为 2 : 1 ，报考 A 岗位的女生数是（）。 A . 15 B . 16 C . 12 D . 10 ［答案］C 【 解析』 报考 A 岗位的男生数与女生数的比为 5 : 3 ，所以报考 A 岗位的女生人数是 3 的倍数，排除选项 B 和选 项 D；代入 A ，可以发现不符合题意，所以选择 C 。 方法 2 ：报考 A 岗位总和 B 岗位比是 8 : 3 ，报考 AB 岗位总人数是 50 , 可知 8*X 十 3*Y=50 ，根据数字特性，可 以看出，只有当 X = 4 的时候才满足条件，所以答案为 3*4 ＝12. 数字特性的利用在公务员考试当中也是非常重要的，大家一定要很好的把握。 3 ．国家真题：小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也 正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用 5 枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少元？( ) A . 1 元 B . 2 元 C3 元 D . 4 元 答案:C 常规和培训班解法：设三角形每条边 X ，正方形为丫，那么 Y＝X 一 5 , 同时由于硬币个数相同，那么 3X =4Y,如此 可以算出 X =20 ，则硬币共有 3 *20 =60 （个），硬币为 5 分硬币，那么总价值是 5*60 =3O0 （分）, 得出结果。 秒杀实战法:因为所有的硬币可以组成三角形，所以硬币的总数是 3 的倍数，所以硬币的总价值也应该是 3 的倍数， 总价值 3 元即 30 个硬币。结合选项，选择 C 。补充一点：后来又改围成一个正方形，也正好用完（3 元等于 60 个 5 分硬币），说明也是 4 的倍数。2阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 4 ．甲、乙、丙、丁四人为地震灾区捐款，甲捐款数是另外三人捐款总数的一半，乙捐款数是另外三人捐款总数的 1/3, 丙捐款数是另外三人捐款总数的 l/4 ,丁捐款 169 元。问四人一共捐了多少钱？( ) A . 780 元 B . 890 元 C . ll83 元 D . 2083 元 解析：甲捐款数是另外三人捐款总数的一半，知捐款总额是 3 的倍数；乙捐款数是另外三人捐款总数的，知捐款总额 是 4 的倍数；丙捐款数是另外三人捐款总数的，知捐款总额是 5 的倍数。捐款总额应该是 60 的倍数。结合选项，秒 杀A 。 5 ．两个数的差是 2345 ，两数相除的商是 8 ，求这两个数之和？( ) A . 2353 B . 2896 C . 3015 D . 3456 ［解析］两个数的差是 2345 ，所以这两个数的和应该是奇数，排除 B 、D 。两数相除得 8 ，说明这两个数之和应该 是 9 的倍数（8x/x=8 , 8x + x = 9X ，所以是 9 的倍数），根据被 9 整除特性，马上选出答案 C 。 6 ．某服装厂有甲、乙、丙、丁四个生产组，甲组每天能缝制 8 件上衣或 10 条裤子；乙组每天能缝制 9 件上衣或 12 条裤子；丙组每天能缝制 7 件上衣或 11 条裤子；丁组每天能缝制 6 件上衣或 7 条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制 （每套为一件上衣和一条裤子），则 7 天内这四个组最多可以缝制衣服多少套） A . 110 B . 115 C . 120 D . I25 ［解析］上衣和裤子系数比是（8 + 9 + 7 + 6 ) : ( 10 + 12 + 11 + 7 ) = 3 : 4 。 单独看 4 个人的系数是： 4 : 5 大于平均系数 3 : 4 等于平均系数 7 : n 小于平均系数 6 : 7 大于平均系数 则甲，丁做衣服。丙做裤子。乙机动 7* ( 8 + 6 ) = 98 11 *7 = 77 多出 98 一 77 = 21 套衣服 机动乙根据自己的情况，需要一天 12 + 9 套裤子才能补上，9 / ( l2 一 9 )=3 需要各自 3 天的生产（3 天衣服十 3 天裤子）+ 1 天裤子 则答案是衣服 98 + 3*9 = 125 ,裤子是 77 + 4 *12 = 125 。 7 ．某仪仗队排成方阵，第一次排列若干人，结果多余 10 人，第二次比第一次每排增加 3 人，结果缺少 29 人，仪仗 队总人数是多少？( ) A . 400 B . 450 C . 500 D . 600 解析： 设第一次列阵，共有 x 排，每排 a 人，共 xa + 10 人 第二次列阵，还是 x 排，每排增加 3 人缺 29 人，所以共 x ( a + 3 ）一 29 人,则 xa + 10 =x ( a + 3 )-29 ，得 x = 13 排，ABcD 选项中减去 10 或者增加 29 能被 13 整除的。一眼就能看出答案应该是 A 符合答案的就只有 A400 人，此时 a = 30 。此题是通过转换再运用整除特性。 8. 一个剧院设置了 30 排座位， 第一排有 38 个座位， 往后每排都比前一排多 1 个座位， 这个剧院共有多少个座位？( ) A . 1575 B . 1624 C . 1775 D . 1864 解析：最后一排座位数是 38 + ( 30 - 1 ）=67 ，座位总数为 38 + 39 + 40 ＋。。。。。。。。＋66 + 67 ，首尾 相加（38 + 67 ) * 15 =1575 ，所以选择 A ，这是一般的做题方法，通过这个方程，不知道大家看出秒杀的方法没有。 根据等差求和公式 Sn =（al + an ) n/2 , 30/2 =15 , ( al + an ) *15 一＞那么这个数肯定能被 15 整除。能被 15 整除的就是答案。秒杀 A 。 9 . ( 09 国考真题）：甲乙共有图书 260 本，其中甲有专业书 13 % ，乙有专业书 12 .5 % ，那么甲的非专业书有多 少本？ A . 75 B . 87 C . 174 D . 67 解析：甲有专业书 13 % ，说明甲的非专业书占 87 % ，因此这个数一定能被 87 整除。那么甲非专业书是 87 或 174 ， 同时也要满足，乙有专业书 12 .5 % ，乘以 0 .125 是整数，代入法，87 代入，说明甲刚好是占 100 本书，那么乙是3阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 160 本，160 * 0 .125 = 20 。87 满足条件。 10 . ( 09 国考真题）：某公司甲乙两个营业部共有 50 人，其中 32 人为男性，己知甲营业部的男女比例为 5 : 3 ， 乙营业部的男女比例为 2 : 1 ，问甲营业部有多少名女职员？ A . 18 B . 16 C . 12 D . 9 解析： 普通解法：设甲中有男 x ，乙中有男 y ，列出 2 个方程，解得答案。即浪费时间不麻烦。 快速解答：甲营业部的男女比例为 5 :3 ，所以肯定是 3 的倍数，排除 B ，甲乙营业部总人数比为 8X : 3Y ，根据数 字特性，只有当 Y = 6 时，X = 4 时才能满足 8X + 3Y = 50 ，所以甲中有女：3 * 4 = 12 人。 第 2 种方法：男职员共 32 人，甲部门男女比例 5 : 3 ，乙部门男女比例 2 : 1 ，所以甲部门男职员的人数是 10 的 倍数，只有 10 、20 、30 , 代进去一下就知道甲部门男职员 20 人，女职员 12 人。 11. ( 09 国考真题）：厨师从 12 种主料中挑出 2 种，从 13 种配料中挑选出 3 种来烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有 7 种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴？ A . 131204 B . 132132 C . 130468 D . 133456 解析：方法 1 ：烹饪的方式共有 7 种，不管前面是怎么样的组合和排列，肯定是要乘 7 的，因此这个答案能被 7 整 除，根据被 7 整除的特 l3 性，132 一 132 =0 ，能被 7 整除。 方法 2 ：给出具体的式子，具体方程是2 37 *C 12 *C 13 ,列出方程后，通过尾数法也可马上得出结果。 12 . ( 09 国考真题）：甲乙丙丁四个队植树造林，已知甲队的植树亩数是其余三队植树总亩数的的四分之一，乙队 的植树亩数是其余三队植树总亩数的三分之一，丙队的植树亩数是其余三队植树总亩数的一半，丁队植树 3900 亩。那 么甲的植树亩数是多少？ A . 9000 B . 3600 C . 6000 D . 4500 选 A ，总共 60 份，甲是 12 份，乙是 15 份，丙是 20 份，则丁是 13 份。（3900 /13 ) * 12 = 3600 解析：根据题意得：甲、乙、丙各占总数的 l / 5 、l / 4 、l / 3 , 3 、4 、5 的最小公倍数是 60 ，则总植树可 分为 60 份，则可知： 甲、乙、丙、丁各植 12 、15 、20 、13 份。13 份大于 12 份，所以答案肯定是小于 3900 的，只有 B 。具体过程是： 已知丁为 13 份=3900 , 那么 l 份＝300 。则甲为 12 份＝13 份一 l 份＝3900 一 300 = 3600 。 （二）答案与解析 1 ．甲、乙、丙共同投资，甲的投资是乙、丙总数的 l / 4 ，乙的投资是甲、丙总数的 1 / 4 。假如甲、乙再各投入 20000 元，则丙的投资还比乙多 4000 元，三人共投资了多少元钱？ A . 80000 B . 70000 C . 60000 D . 50000 解析：方法一 假设甲乙丙投资分别是 a , b , c , a = ( b + c ) / 4 ; b = ( a + c ) / 4 ; 根据上面两个式子得到 a = b c = b + 4000 + 20000 a = b = 12000 , c =
+ 12000 + 36000 = 60000 因此，三人共投资是 60000 元 方法二：假设甲乙丙投资分别是 a , b , c , a = ( b + c ) / 4 ; b = ( a + c ) / 4 ; 根据上面两个式子得到 a=b c = b + 4000 + 20000 a + b + c = 3b 十 240004阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 结果应该是 3 的倍数。答案选项中只有 C 是 3 的倍数。 整除关系的巧妙利用，省却很多烦琐的计算。让考试变得轻松。 2 ．有货物 270 件，用乙型车若干，可刚好装完：用甲型车，可比用乙型车少出车 1 辆，且尚可再装 30 件。已知甲 型车每辆比乙型车多装 15 件，甲型车每辆可装货多少件？ A . 40 B . 45 C . 50 D . 60 根据题目条件可以知道，如果货物是 300 吨的话（270 + 30 = 300 ) ，用甲型车刚好可以装完。因此可以知道每辆甲 型车的装载量只能是 50 或者 60 。（因为 40 和 45 都不是 300 的约数。） 代入检验：50 一 15 = 35 ，而 35 不是 270 的约数，因此 50 不是答案。 D60 是答案。可见，熟练利用整除关系，可以很快解决一些题目。 3 ．某公司职员 25 人，每季度共发放劳保费用 15000 元，已知每个男职必每季度发 580 元，每个女职员比每个男职 员每季度多发 50 元，该公司男女职员之比是多少 A . 2 : 1 B . 3 : 2 C . 2 : 3 D . l : 2 分析：员工总人数是 25 人，根据这个条件淘汰 AD 。（因为 25 人不可能被平均分为 3 份） 然后代入 B ，经验 B 正确。 男 15 人；女 10 人。 15 * 580 + 10 * 630 = 15000 。 一般公司是男多女少。因此直接选 B 也不是没有道理的。 4 ．某高校 2006 年度毕业学生 7650 名，比上年度增长 2 ％。其中本科毕业生比上年度减少 2 ％。而研究生毕业数 量比上年度增加 10 % ，那么，这所高校今年毕业的本科生有：( ) A . 3920 人 B . 4410 人 C . 4900 人 D . 5490 人 分析：方法一： 假设去年研究生为 A ，本科生为 B 。 那么今年研究生为 1.1A ，本科生为 0.98B 。 1.1A +0.98B = 7650 ( A + B ) ( l + 2 % ) = 7650 解这个方程组得 A = 2500 , B = 5000 ，得 0.98B = 4900 方法二： 假设去年研究生为 A ，本科生为 B 。 那么今年研究生为 l.1A ，本科生为 O.98B 。 研究生应该是 11 的整数倍，本科生应该是 98 的整数倍。4900 显然是 98 的整数倍；7650 一 4900 = 2750 是 11 的 整数倍。 5 ．现有边长 1 米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有 0.6 米浸入水中．如果将其分割成边长 0.25 米的小 正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表内积总量为（) A . 3.4 平方米 B . 9.6 平方米 C . 13.6 平方米 D . 16 平方米 解析：分割后小立方体和水接触的表面积应该被 3.4 除尽。所有答案中，AC 符合。而 A 是大立方体和水接触的表面 积。我们知道，分割后小立方体和水接触的的表面积应该是大于 3.4 的。因此选择答案 C 。 6 把 144 张卡片平均分成若干盒，每盒在 10 张到 40 张之间，则共有（）种不同的分法。 A . 4 B . 5 C . 6 D . 7 分析：如果前面的题目是间接考察整除，那么这个题目是对整除的直接考察。这个问题实质就是要求我们找出 144 在 10 到 40 之间的全部约数。它们是 12 , 16 , 18 , 24 , 36 7 ．小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的 3 / 4 ，小强答对了 27 道题，他们两人都答对 的题目占题目总数的 2 / 3 ，那么两人都没有答对的题目共有： A . 3 道B . 4 道C . 5 道D . 6 道 解析：小明答对的题目占题目总数的 3 / 4 ，可以知道题目总数是 4 的倍数； 他们两人都答对的题目占题目总数 2 / 3 ，可以知道题目总数是 3 的倍数。因此，我们可以知道题目总数是 12 的倍 数。5阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 小强做对了 27 题，超过题目总数的 2 / 3 。因此可以知道题目总数是 36 。共同做对了 24 题。另外有 6 道题目，小 明做出了其中的 3 道，小强做出了另外的 3 道。这样，两人一共做出 30 题。有 6 题都没有做出来。 8 ．某班男生比女生人数多 80 % ，一次考试后，全班平均成级为 75 分，而女生的平均分比男生的平均分高 20 % ， 则此班女生的平均分是：( ) A . 84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分 解析：假设女生为 A ，那么男生为 1.8A ；假设男生平均成绩为 B ，那么女生的平均成绩为 1.2B 。 答案是 1.2B ，说明答案能够被 12 除尽。能够一下子看出来 A84 符合这一条件。虽然 87 也能够被 12 除尽，但是一 般计算不可能出现太多的小数，因此可以大胆的选择 A ，做到秒杀。 9 。有一食品店某天购进了 6 箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为 8 、9 、16 、20 、22 、27 公斤。该店当 天只卖出一箱面包，在剩下的 5 箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了（) 公斤面包。 A . 44 B . 45 C . 50 D . 52 解析：根据题目条件，在剩下的 5 箱中饼干的重量是面包的两倍，面包重量是一份，饼干重量是两份，这说明剩下的 东西总重量应该是 3 的倍数。 由于题目所给数字中只有 9 和 27 是 3 的倍数，说明卖掉的面包的重量应该是 3 的倍数。为什么？因为如果卖掉不是 3 的倍数，比如说是 8 。那么剩下的东西的重量是 9 , 16 20 , 22 , 27 ，由于 9 和 27 能够被 3 整除，因此只需要 考察 16 + 20 + 22 =58 是否能够被 3 整除。显然不行。因此，卖掉的只能是 9 或者 27 公斤重的面包。如果卖掉的 面包重 9 公斤，剩下东西总共重 8 + l6 + 20 + 22 + 27 =93 公斤，其中面包重 31 公斤。这几个数字无论如何凑不 出来 31 。因此，卖掉的面包重量为 27 公斤。剩下的东西重量为 8 + 9 + l6 + 20 + 22 =75 公斤，其中面包重 25 公 斤。（显然可以凑出 9 + l6 = 25 来）。因此，当天购进面包 25 十 27 = 52 公斤。这个题目数字比较多，看起来特 别烦琐，但是只要把握问题的关键，利用数字能够被 3 整除这点关系，可以迅速突破的。 10 ．已知三个连续自然数依次是 11 、9 、7 的倍数，并且都在 500 和 1500 之间，那么这三个数的和（）。 A . 3129 B . 3132 C . 3135 D . 3140 解析：假设：三个数是 x 一 1 , x , x + 1 。和为 3x 。因为 x 是 9 的倍数，因此 3x 是 27 的倍数。只有答案 B 符 合。 实际上用代入法，发现 B 是 27 的倍数后，后面的 CD 只需要粗略的比较一下就可以了。C 比 B 大 3 , D 比 B 大 18 。 因此 CD 都淘汰。 （三）答案与解析 1 . A 、 两数恰含有质因数 3 和 5 ， B 它们的最大公约数是 75 ，已知 A 数有 12 个约数，B 数有 10 个约数，那么 A 、 B 两数的和等于（) A . 2500 B . 3115 C . 2225 D . 2550 解析：A , B 两数恰含有质因数 3 ，说明 AB 都是 3 的整数倍，AB 的和也应该是 3 的整数倍，只有 D 满足。 2 ．张大伯卖白菜，开始定价是每千克 5 角钱，一点都卖不出去，后来每千克降低了几分钱，全部白菜很快卖了出去， 一共收入 22.26 元，则每千克降低了几分钱？ A . 3 B . 4 C . 6 D . 8 解析：2226 分能够被 3 整除，数学联系法，菜的单价可能被 3 整除，50 一 8 =42 。很快做出题目。 常规方法这里就不做了，也没有必要列出方程，选对答案才是最主要的。 4 ．甲乙丙三人和修一条公路．甲乙和修 6 天修好公路的 1 / 3 ，乙丙和修 2 天修好余下的 1 / 4 ，剩下的三人又 修了 5 天才完成．共得收入 1800 元，如果按工作量计酬，则乙可获得收入为()？ A . 330 B . 910 C . 560 D . 980 解析： 方法 1 ：假设每人每天该获得得报酬分别是 abc . 则得方程：6( a + b ) = 1 800 * 1 / 3 2 ( b + c ）二 1200 *l / 4 5 ( a + b + c ) = 900 得 b = 70 , 70 * 13 = 910 。 方法 2 ：乙劳动了 6 + 2 + 5 =13 天，那么其报酬应该是 13 得整数倍，只有 B 符合，妙杀！6阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 5 . A 、B 、C 三件衬衫的总价格为 520 元，分别按 9.5 折，9 折，8.75 折出售，总价格为 474 元．A 、B 两件衬 衫的价格比 5 : 4 , A 、B 、C 三件衬衫的价格分别是多少元？ A 250 200 70 B
C 150 120 250 D 100 803 40 解析：8.75 折=7 / 8 。说明应该是 8 的整数倍，只有 b 满足 6 在一次有四个局参加的工作会议中，土地局与财政局参加的人数比为 5 : 4 ，国税局与地税局参加的人数比为 25 : 9 ，土地局与地税局参加人数的比为 10：3 ，如果国税局有 50 人参加，土地局有多少人参加（) ? A . 25 B . 48 C . 60 D . 63 解析：只有 C 才能被 10 整除 7 ．某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产 20 套服装，就比订货任务少生产 100 套；如果每天生产 23 套服装，就可超过订货任务 20 套。那么，这批服装的订货任务是多少套？( ) A . 760 B . 1120 C . 90O D . 85O 解析： 从题目中可以得到， 选项减去 100 能被 20 整除， 选项加上 20 能被 23 整除， 有这 2 个条件可以知道答案是 C 。 8 . A 、B 、C 三件衬衫的价格打折前合计 1040 元，打折后合计 948 元，已知 A 衬衫的打折幅度是 9.5 折，B 衬衫 的打折幅度是 9 折，C 衬衫的打折幅度 8.75 折，打折前 A 、B 、C 三件衬衫的价格是多少元？ A . 600 元，400 元，140 元 B . 300 元，240 元，500 元 C . 400 元，320 元，320 元 D . 200 元，160 元，680 元 解析：8 . 75 折=7 / 8 ．说明能被 8 整除，CD 都符合条件，此时在用代入法，经检验 C 符合条件。此题，需要经 过转化，在验证，在代入。考试中这种算的上是难题了。 其实公务员考试中， 大部分数学题目解题方法都能从书中找到这些方法， 可以说 2009 年国考可以直接妙杀和经过转化 在运用妙杀实战方法的占了 90 ％。在数学上，为公考赢得了宝贵了时间。这是取得高分很重要的一环。 9 ．王家村西瓜大丰收后，全村男女老少分四个组品尝西瓜，且每组人正好一样，小伙子一个人吃 l 个，姑娘两个人 吃 1 个，老人三个人吃 1 个，小孩四个人吃 1 个，一共吃了 200 个西瓜，问王家村品尝西瓜的共有（) A . 368 人 B . 384 人 C . 392 人 D . 412 人 解析：说明能被 3 和 4 整除，只有 B 符合。 常规做法、培训班的讲解：设每组有 X 人，可列方程 X … =200 ，解得 X = 96 ，则品尝西瓜的有 96*4=384 人． 10 ．从 A 地到 B 地，如果提速 20 % ，可以比原定时间提前一个小时到达。如果以原速走 120 千米，再提速 25 % ， 可提前 40 分钟到达。问两地距离。 A . 240 B 270 C . 250 D . 300 解析：提速 20 % ，说明原来速度与现在速度比是 1 : 1.2 即 5 : 6 ，提前一小时到达，6 一 5 = 1 ，说明原来 6 小 时到达，提速后 5 小时到达。S = vt , 说明答案肯定是能被 5 和 6 整除的。答案 ABCD ，只有 C 不合符被 6 整除， ABD 符合，选不出答案，那么继续做下去。 提前一小时达到方程：s/v-5s / 6v = S / 6V = 1 （可知 S 能被 6 整除）,再由，可提前 40 分钟到达即 2 / 3 小时， 数学联系法可知，答案是能被 3 整除的。可知 V 能被 3 整除，加上前面 S 能被 6 整除，得出 S 能被 18 整，答案 B 另外一种方法： 提前一小时可知 l : （1+20 % ) = 5 : 6 一＞提前 l 个小时，所以原来需总时间 6 小时后一个方程 1 : ( 1 + 25 % ) = 4 : 5 一＞5 代表走 120KM 以后的时间，提前 2 / 3 小时到，所以 2 / 3 * 5 = 10 / 3 小时 所以走 120KM 用的时间是：6 （总时间）-10 / 3 = 8 / 3 120 / ( 8 / 3 ) = S / 6 S = 270 此题如果列方程解题，将是比较复杂的，巧妙利用整除和数字特性即可做出。 ( 四）答案与解析 1 ．有这样的自然数：它加 1 是 2 的倍数，加 2 是 3 的倍数，加 3 是 4 的倍数，加 4 是 5 的倍数，加 5 是 6 的倍 数，加 6 是 7 的倍数，在这种自然数中除了 1 以外最小的是几？ A . 25 B . 121 C . 211 D . 421 解析： 方法 l ：它加 1 是 2 的倍数，加 2 是 3 的倍数，加 3 是 4 的倍数，加 4 是 5 的倍数，加 5 是 6 的倍数，加 6 是 77阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 的倍数，这个数比 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 的最小公倍数大 l ，并且 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 的最小公倍数为 420 ， 所以这个数为 421 。 方法 2 ：代入检验，是考试中没有办法时候的办法，比瞎蒙效果要好得多，一般关于整除的题目，用代入法能解决。 2 ．一个三位数除以 9 余 7 ，除以 5 余 2 ，除以 4 余 3 ，这样的三位数共有（）个。 A . 5 B . 6 C . 7 D . 8 解析： 方法 l ：这是一道关于整除的问题。一般情况下直接代入是最简便的方法。 但是这道题，用代入法不奏效。可采用固定的模式分析，便能很快得出答案。 这个数可以表示为： 9N + 7 = 5M + 2 = 4X 十 3 5M = 9N + 5 N 必须是 5 的倍数 4X =9N + 4 N 必须是 4 的倍数 因此，N 必须是 20 的倍数。 N = 20 , 40 , 60 , 80 , 100 。 方法 2 是解决此类题目的万能方法，必须掌握。 秒杀实战方法：9*4*5 = 180 ,
= 5 … 100 ，因此共有 5 个数。 3 ．一个自然数，被 7 除余 2 ，被 8 除余 3 ，被 9 除余 1 , 1000 以内一共有多少个这样的自然数？ A . 5 B . 2 C . 3 D . 4 解析：被 7 除余 2 ，说明加上 5 就可以整除了，被 8 除余 3 ，说明加上 5 也可以整除了，从而推断该数加上 5 以后 可被 7 和 8 整除，也就是 56 的倍数。因此这个数可能是 56*1-5 ; 56*2-5 ; 56*l7-5 经过检验发现 56*3-5 = 163 满足条件，进而推知 163 + 7*8*9 = 667 满足。 秒杀实战方法：7*8*9 = 504
因此满足条件的最多只能有 2 个数。 4 一个数被 3 除余 l ，被 4 除余 2 ，被 5 除余 4 , 1000 以内这样的数有多少个？ 解析： 方法 1 ：一个数被 3 除余 1 ，被 4 除余 2 ，如果增加 2 ，这个数既能被 3 整除，又能被 4 整除，因此可以设这个 数是 12N-2 ，被 5 除余 4 ，可以设这个数有 5K + 4 ， N 、 K 都是自然数。12N - 2 = 5 K + 4 12N-6 = 5K 5K 的尾数只能是 0 ，或者 5 . N = 3 的时候最小值为 34 3 , 4 , 5 的最小公倍数为 60 . 34 , 34 + 60 ．… 方法 2 : 1000/60 = 16 … 40 因此有 17 个 5 ．一个数除以 5 余数是 2 ，除以 8 余数是 7 ，除以 9 余数是 5 ．这样的三位数一共有多少个？ A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 解析： 方法 l : ( l ）设 5k + 2 = 8m + 7 , 5k=8m + 5 , m 必须是 5 的倍数，m=0，5，10，…： m = O 时，8m + 7 = 7 ； 因为 5 和 8 的最小公倍数是 40 ，设 40n + 7 = 9L + 5 , 9L = 40N 十 2 ；N=4 时取得最小值 167 . 秒杀法：5 , 8 , 9 的最小公倍数是 360 ,
= 2 … 280 因此有 3 个8阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 利用这一方法解题，此类题目就很容易了，书中的大部分方法比市面上所有的参考书、培训班中的方法都简单很多。 希望大家好好掌握书中的一些方法，别人不会，你会而且是秒杀，笔试就可以胜出对方了。 6 ．甲、乙两清洁车执行 A 、B 两地间的公路清扫任务，甲、乙两车单独清扫分别需 2 小时、3 小时，两车同时从 A 、 B 两地相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫 6 千米，A 、B 两地共有多少千米？ A . ZO B . 30 C . 40 D . 50 解析：甲乙两车单独清扫分别需 2 小时、3 小时，说明答案应该是 3 的倍数。秒杀！ 7 ．某商场促销，晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打 9.5 折，付款时满 400 元再减 100 元，己知某鞋柜全 场 8.5 折，某人晚上九点多去该鞋柜买了一双鞋，花了 384.5 元，问这双鞋的原价为多少钱？ A . 550B , 600 C . 650 D . 700 解析：假设原价为 a ，根据题目条件列方程： 0.95*0.85a = 384.5 + 100 = 484.5 观察 484.54 + 8 + 4 + 5 = 21 ，是可以被 3 整除的，0.95 和 0.85 都不能被 3 整除，所以 a 一定能被整除，答案 是B . 8 ．甲、乙、丙、丁四人共做零件 325 个。如果甲多做 10 个，乙少做 5 个，丙做的个数乘以 2 ，丁做的个数除以 3 ， 那么，四个人做的零件数恰好相等。问：丁做了多少个？( ) A . 180 B . 158 C . 175 D . 164 解析：丁做的个数除以 3 ，说明丁做的个数必定是 3 的整数倍。答案 A 9 ．一袋糖里装有奶糖和水果糖，其中奶糖的颗数占总颗数的 3/5，现在又装进 10 颗水果糖，这时奶糖的颗数占总颗 数的 3/4，那么，这袋糖里有多少颗奶糖？ A . 1 00 B . 112 C . 120 D . 122 解析：奶糖的颗数占总数的 3 / 4 ，总颗数是 4 份，奶糖是 3 份，说明奶糖的颗数应该是 3 的整数倍，只有 C 满足。 10 ．王师傅加工一批零件，每天加工 20 个，可以提前 l 天完成。工作 4 天后，由于技术改进，每天可多加工 5 个， 结果提前 3 天完成，问，: 这批零件有多少个？ A . 300 B . 280 C . 360 D . 270 解析 这批零件数应能被 20 整除，并且减 80 能被 25 整除，答案只有 B 符合。 11 ．爸爸每隔 3 天上一次班，妈妈每隔 5 天上一次班，2008 年 2 月份共同上班的日子是 20 号，请问下一次共同上 班的日子是几号？ A . 3 月6 日B . 3 月3 日C . 3 月4 日D . 3 月5 日 解析：仔细审题，每隔 3 天就是每 4 天，每隔 5 天就是每 6 天，4 和 6 的最小公倍数是 12 ．另外一点需要注意的 是，2008 你啊你 2 月事闰月，只有 29 天。 12 ．甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔 5 天去一次，乙每隔 11 天去一次，丙每隔 17 天去一次，丁每隔 29 天去一次。如果 5 月 18 日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？ A . 10 月 18 日 B . 10 月 14 日 C . ll 月 18 日 D , 11 月 14 日 解答：甲：6 天去一次； 乙 12 天去一次； 丙 18 天去一次； 丁 30 天去一次 他们的最小公倍数是 180 ，即是 180 天相遇。 5 月有 31 天，即 5 月有 13 天到 6 月。180-13 = 167 两个月一周期有 61 天，167 / 61 = 2 余 45 天， 6 + 2*2 = 10 月，10 月有 31 日，余下 45 - 31 = 14，即 11 月 14 日 13 ．某次测验有 50 道判断题，每做对一题得 3 分，不做或做错一题倒扣 1 分，某学生共得 82 分，问答对题数和答 错题数（包括不做）相差多少？( ) A . 33 B . 39 C . 17 D . 16 啼军析］答对的题目得分减去答错的题目得分＝82 ，是偶数，所以答对的题目与答错的题目的差也应是偶数，但选项 A 、B 、C 都是奇数，所以选择 D 。 相关基础知识未必掌握：熟练掌握有助与快速解题，甚至秒杀。 奇偶运算基本法则：9阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 奇数士奇数=偶数； 偶数士偶数=偶数； 偶数土奇数=奇数； 奇数士偶数=奇数。 推出： 1 ．任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。 2 ．任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。 14 一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度变为 10 % ，再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为 12 % ，第三 次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？ A . 14 % B . 17 % C . 16 % D . 15 % 解析：常规方法： 假设第一次蒸发掉后溶液为 x ，蒸发掉水为 y : 那么可以列出： 10 % x = 12 % ( x 一 y ) x % ( x 一 Zy ) = 10 % x 得出 z = 0.15 方法 2 ：设中间次剩下 100 溶液，溶质 12 ，则刚好 12 % ；那么第一次就是 12 / 120 = 10 % ，可知每次蒸发掉是 20 ，于是第三次就是：12/80 = 15 % 可见，常规思路对于解决题目固然重要，但是要在公务员考试中取得突破，必然要采取一些非常规的手段和方法，这 些来自实战中的方法效率高，一旦把握住，无疑将很快提升自己的信心和实力，在考试当中，数学上其实都能找到快 速解题的方法，也就是在几十秒内搞定，甚至做到秒杀，如果你在公务员考试当中，很多数学题目被你秒杀了，那么 无疑你的笔试关基本可以通过了。 有过行测实战经验的朋友们都知道， 数算题的难点不在解不出， 而在难以在参考用时内解出， （数算参考用时 20 分钟， 20 题．个别省份 25 题，比如浙江等），以致许多朋友初次参加行测往往失误在数算用时太多，甚至因而导制考试失 败。 但同时，数算也是主要的拉分项目，选则放弃数算的朋友也往往难以取得高分，加重了申论考试的压力。 所以一定要把握好数算，只有把握好数算的基础才能取得一个相对高的分数。灵活应用书中的方法，篇幅和精力有限， 不能全部一一举例，以后做题当中遇到问题，或者没有很好的方法，都可以发到 QQ 群里讨论，我们也会定期给大家解 答题目，和共享的资料。（去年群里国考行测上 80 的不再少数，60 ％以上在 70 + ) . 十字相乘法 十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。 （一）原理介绍 通过一个例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是 80 分，其中男生的平均成绩是 75 ，女生的平均成绩是 85 。求该班男生和女生的比例。 方法一：男生一人，女生一人，总分 160 分，平均分 80 分。男生和 女生的比例是 l : 1 。 方法二：假设男生有 A ，女生有 B 。 ( A * 75 + B85 ) / ( A 十 B ) = 80 整理后 A = B ，因此男生和女生的比例是 1 : 1 。 方法三： 男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生 = 1 : l 。 一个集合中的个体，只有 2 个不同的取值，部分个体取值为 A ，剩余部分取值为 B 。平均值为 C 。求取值为 A 的个 体与取值为 B 的个体的比例。假设 A 有 x , B 有（1 一 X ）。10阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 AX + B ( 1 一 X ) = C X =（C 一 B ) / ( A 一 B ) 1 一 X =（A 一 C ) / A 一 B 因此：X : ( l 一 X ) = ( C 一 B ) : ( A 一 C ) 上面的计算过程可以抽象为： A C 一B C B A 一C 这就是所谓的十字相乘法。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1 ．某体育训练中心，教练员中男占 90 % ，运动员中男占 80 % ，在教练员和运动员中男占 82 % ，教练员与运动员 人数之比是 A . 2 : 5 B . l : 3 C . 1 : 4 D . l : 5 答案：C 分析： 男教练：90 % 2 % 82 % 男运动员：80 % 8 % 男教练：男运动员＝2 % : 8 ％ = 1 ：4 2 ．某公司职员 25 人，每季度共发放劳保费用 15000 元，己知每个男职必每季度发 580 元，每个女职员比每个男职 员每季度多发 50 元，该公司男女职员之比是多少 A . 2 : 1 B . 3 : 2 C . 2 : 3 D . 1 : 2 答案：B 分析：职工平均工资 15000 / 25 = 600 男职工工资：580 30 600 女职工工资：630 20 男职工：女职工＝30 : 20 = 3 : 2 3 ．某城市现在有 70 万人口，如果 5 年后城镇人口增加 4 % ，农村人口增加 5 . 4 % ，则全市人口将增加 4 . 8 ％。 现在城镇人口有（）万。 A . 30 B . 31.2 C . 40 D . 41.6 答案 A 分析：城镇人口：4 % 0 . 6 % 4 . 8 % 农村人口：5 . 4 % 0 . 8 % 城镇人口：农村人口=0.6 % ：0.8 ％=3 : 4 70 * ( 3 / 7 ) = 30 4 ．某班男生比女生人数多 80 % ，一次考试后，全班平均成级为 75 分，而女生的平均分比男生的平均分高 20 % ， 则此班女生的平均分是： A . 84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分 答案：A 分析：假设女生的平均成绩为 X ，男生的平均 Y 。男生与女生的比例是 9：5。 男生：Y 9 75 女生：X 5 根据十字相乘法原理可以知道，X=8411阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 5 ．某高校 2006 年度毕业学生 7650 名，比上年度增长 2 % ．其中本科毕业生比上年度减少 2 % ．而研究生毕业数 量比上年度增加 10 % ,那么，这所高校今年毕业的本科生有： A . 3920 人 B . 4410 人 C . 4900 人 D . 5490 人 答案：C 分析：去年毕业生一共 7500 人。7650 / ( 1 + 2 % ) = 7500 人。 本科生：-2 % 8 % # 2% 研究生：10 % 4 % 本科生：研究生=8 % : 4 % = 2 : 1 。 7500 * ( 2 / 3 ) =
* 0.98 = 4900 6 资料分析： 根据所给文字资料回答 121 一 125 题。 2006 年 5 月份北京市消费品市场较为活跃，实现社会消费品零售额 272 . 2 亿元，创今年历史第二高。据统计，l-5 月份全市累计实现社会消费品零售额 1312.7 亿元，比去年同期增长 12 . 5 ％。 汽车销售继续支撑北京消费品市场的繁荣。5 月份，全市机动车类销售量为 5.4 万辆，同比增长 23.9 ％。据对限额 以上批发零售贸易企业统计，汽车类商品当月实现零售额 32 .3 亿元，占限额以上批发零售贸易企业零售额比重的 20.3 ％。 据对限额以上批发零售贸易企业统计，5 月份，家具类、建筑及装潢材料类销售延续了 4 月份的高幅增长，持续旺销， 零售额同比增长了 50 ％。 其中， 家具类商品零售额同比增长 27.3 % ， 建筑及装演材料类商品零售额同比增长 60.8 ％。 同时由于季节变换和节日商家促销的共同作用，家电销售大幅增长，限额以上批发零售贸易企业家用电器和音像器材 类商品零售额同比增长 13.6 ％。 121 ．北京市 2006 年 5 月份限额以上批发零售贸易企业社会消费品零售额占社会消费品零售总额的百分比约为： A . 50.5 % B . 58.5 % C , 66.5 % D . 74.5 % 答案：B 分析：( 32.3 / 2 0.3 % ) / 272.2 。结果和 160 / 270 相当。接近 60 ％。所以选 B 。 122 ．若保持同比增长不变，预计北京市 2007 年前 5 个月平均每月的社会消费品零售额： A ．将接近 255 亿元 B ，将接近 280 亿元 C ．将接近 300 亿元 D ．将突破 300 亿元 答案：C 分析：( 1312.5 / 5 ) * ( l + 12.5 % ）。 12.5 ％=l / 8 。（1312.5 * 9 ) / 40 接近 300 。 123 . 2006 年 5 月份，限额以上批发零售贸易企业中，家具类商品零售额占家具类和建筑及装演材料类商品零售额的 比例是： A . 27.4 % B . 29.9 % C . 32.2 % D . 34.6 % 答案：A 分析：两种方法。 法一：比较常规的做法假设 2005 年家具类所占比例为 X 。 X * ( l + 27.3 % ) + ( l 一 X ) * ( l + 60.8 % ) = l + 50 % X = 32.2 ％。 【32.2 % * ( l + 27.3 % ) 】 /【32.2 % * ( l + 27.3 % ) + ( l 一 32.2 % ) * ( 1 + 60.8 % 0 ) 】 = 27.4 % 整个过程计算下来，至少 5 分钟。 法二：十字相乘法原理．最快． 家具 27.3 % ，近似为 27 % ; 建筑 60.8 % ，近似为 61 ％。 家具：27 % 11% 50 % 建筑：61 % 23 % 家具：建筑＝11 % : 23 ％大约等于 1 : 2 。注意这是 2006 年 4 月份的比例。 建筑类 2006 年所占比例为：l * ( l + 27.3 % ) / [ 1 * ( l + 27.3 % ) + 2 * ( l + 60.8 % ) = 1 . 27 / ( 1.27 + 3.2 ) = 1.27 / 4.5 = 28 ％。和 A 最接近。12阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 124 ．下列说法正确的是： 1 . 2006 年 1-5 月份北京市每月平均社会消费品零售额比去年同期增长 12.5 % 11 . 2006 年 5 月份家具类、建筑及装潢材料类、家电类限额以上批发零售贸易企业零售额的增长率相比较，建筑及 装潢材料类增长最快 1ll . 2005 年，北京市机动车类销售量约为 4.36 万辆 A ．仅 1 B ．仅 11 C . I 和 11 D . II 和 111 答案：C 分析：1 一 5 月份全市累计实现社会消费品零售额 1312 .7 亿元，比去年同期增长 12.5 ％。累计增长 A/B＝同比增 长（A/5 ) / ( B / 5 ）。I 正确,11 正确，文中直接找答案。5.4 / ( 1 + 23.9 % ）约等于 4.36 。 125 ．下列说法肯定正确的是： A . 2006 年前 5 个月中，5 月份的社会消费品零售额最高 B . 2006 年 5 月，几类商品的零售额都比前 4 个月高 C . 2006 年 5 月，限额以上批发零售贸易企业零售额比前 4 个月都高 D ．至少存在一类商品，其 2006 年前 5 个月的零售额同比增长不高于 12.5 % 答案：D 分析：1 一 5 月份全市累计实现社会消费品零售额 1312.7 亿元，比去年同期增长 12.5 % ，而 5 月份各类零售增长 率都超过了 12.5 ％。因此可以肯定，至少存在一类商品，其 2006 年前 5 个月的零售额同比增长不高于 12.5 ％。 牛吃草问题 牛吃草问题可能很多人会做，列了好几个方程，算来算去，能不能算出还不知道，时间浪费不少。牛吃草问题可以衍 生出相关题目，己经考过的像水池放水，蜡烛燃烧等题都可以用到牛吃草的方法去做题。通过本节的学习，以后遇到 相关题目 20 秒即可做出答案。大家要好好的掌握，牢记下面的一个公式。 1．牧场上有一片均匀生长的牧草，可供 27 头牛吃 6 天，或供 23 头牛吃 9 天。那么它可供 21 头牛吃几天？ 常规的做法，很多辅导班培训的方法也是如此： 假设 X 为每天长草量，Y 为草场草量 ( 27 一 X ) *6 = Y ( 23 一 X ) *9 = Y X = 15 , Y = 72 ( 21 一 15 ) * 天数＝72 得天数为 12 天。 从列方程到计算，总时间超出 1 分钟了。 简便方法： ( 27 一 X ) *6 = ( 23 一 X ) *9 得出 X = 15 ( 21 一 15 ）*天数＝( 27 一 X ) *6 得出天数为 12 。 此方程要牢牢记住： 草原原有草量＝（牛数一每天长草量）＊天数 ( 27 一 x ) *6 = ( 23 一 x ）*9 ，遇到类似的题目，去接套用。 详细分析： 解：设每天新增加草量恰可供 x 头牛吃一天，21 牛可吃 Y 天（后面所有 x 均为此意） 可供 27 头牛吃 6 天，列式：( 27 一 x ) *6 注：( 27 一 x ）头牛 6 天把草场吃完 可供 23 头牛吃 9 天，列式：( 23 一 x ) *9 注：( 23 一 X ）头牛 9 天把草场吃完 可供 21 头牛吃几天？列式：( 21 一 X ) *Y 注：仅（2l 一 X ）头牛 Y 天把草场吃 ( 27 一 X ) *6 = ( 23 一 X ) *9 一（21 一 X ) *Y ( 27 一 X ) *6 =（23 一 X ) *9 ( 23 一 X ) *9 = ( 21 一 X ) *Y 解这个方程组，得 x =15 （头） Y = 12 （天） 2 ．牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给 20 头牛吃，可以吃 20 天；供给 100 头羊吃，可以吃 12 天。如果每头牛每天的吃草量相当于 4 只羊一天的吃草量，那么 20 头牛，100 只羊同时吃这片草，可以吃几天？ A . 2 B . 4 ( 8 / 13 ) C . 6 ( 7 / 12 ) D . 813阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 解析： 看题直接套用数字，( 20 一 x ) *20 =（25 一 X ) *12 ，得 X = 100 / 8 , ( 20 + 25 一 X ) * 天数＝( 20 一 X ) * 20 得出 x = 60 / 13 。（此题要看清题目，是牛和羊） 2 ．现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用 8 台抽水机 10 天可以抽干；用 6 台抽水机 20 天能 抽干。问：若要 5 天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？ 解析：( 8 一 x ) 10 =（6 一 x ) *20 ，得出 x ，在代入 3 ．一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果 10 人淘水，3 小时淘完：如 5 人淘水 8 小时淘完。 如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？ 解析：( 10 一 X ) * 3 = ( 5 一 x ) * 8 ，得出 X 在代入 4 ．有一片牧场，24 头牛 6 天可以将草吃完；21 头牛 8 天可以吃完，要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？ A . 8 B . 10 C . 12 D . 14 解析： ( 24 一 x )* 6 = ( 21 一 x )* 8 ，得出 x = 12 公式中 X 是每天长出来的草刚好被吃完，所以要永远吃不完，刚好是 12 头。 7 ．自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．己知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟 走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级？ 解析：总楼梯数即总草量， 列式（20 一 X ）* 5 = ( 15 一 X）* 6 ，得 X ＝-10 （级） 将 X ＝-10 代入，( 20 一 X ）* 5 得 150 级楼梯 8 ．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟．如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？ 解析：和牛吃草一样的道理。 9 ．有三块草地，面积分别为 5 , 6 和 8 公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快，第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天．问：第三块草地可供 19 头牛吃多少天？A . 6 B . 7 C . 8 D . 9 解析：此题比前面牛吃草的题目相对难点。 现在是三块面积不同的草地．为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来．（这是面积不同时得解题关键） 求（5 , 6 , 8 ）的最小公倍数，最小公倍数为 120 1 、因为 5 公顷草地可供 11 头牛吃 10 天，120 /5 =24 ，所以 120 公顷草地可供 ll*24 = 264 （头）牛吃 10 天． 2 、因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天，120 /6 =20 ，所以 120 公顷草地可供 12*20 = 240 （头）牛吃 14 天． 3 、120 /8 = 15 ，问题变为：120 公顷草地可供 19*15 = 285 （头）牛吃几天？ 这样一来，就可以转化为简单的牛吃草，同理可得： ( 264 一 X ) * 10 = ( 240 一 X ）*14 得 X = 180 （头） 算出 X ，在代入：( 285 一 180 ) *y = ( 264 一 180 ）*10 Y = 8 （天） 牛吃草的难题只要做下转化，即可轻松做出。牛吃草，及水池放水，排队等等都可以归类为牛吃草的解法。培训班所 讲的方法就是列方程，方法很一般。 希望大家要灵活应用此方法，做题时快速套用公式 相关练习题： 相关练习题： 1.一片牧草，可供 16 头牛吃 20 天，也可以供 80 只羊吃 12 天，如果每头牛每天吃草量等于每天 4 只羊的吃草量， 那么 10 头牛与 60 只羊一起吃这一片草，几天可以吃完？ A . 1 0 B . 8 C . 6 D . 4 2 ．两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。20 秒内男孩走 27 级，女孩走了 24 级，按此速度男孩 2 分钟到达另一端， 而女孩需要 3 分钟才能到达。则该扶梯静止时共有多少级可以看见？( ) A.54 B.48 C.42 D.3614阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 3 . 22 头牛吃 33 公亩牧场的草，54 天可以吃尽，17 头牛吃同样牧场 28 公亩的草，84 天可以吃尽。请问几头牛吃 同样牧场 40 公亩的草，24 天吃尽？( ) A.50 B.46 C.38 D.35 4 ．经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年或者是可供 80 亿人生活 300 年，假设地球每年新生长的资源是 一定的，为了使资源不致减少，地球上最多生活多少人？ 5 ．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客是一样多（人数），若同时打开 4 个检票口，从开始检票 到等候检票的队伍消失，需要 30 分钟，同时开 5 个检票口的话，需要 20 分钟。如果同时打开 7 个检票口的话，那 么需要多少分钟？ 6 ．甲乙丙三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一骑自行车的人，这三辆车分别用 3 小时、5 小时、6 小时追上骑自行车的人，现在知道甲车每小时行了 24 千米，乙车每小时行 20 千米，你能知道丙车每小时多少千米？ 7 ．有一牧场氏满牧草，每天牧场匀速生长。这个牧场可供 17 头牛吃 30 天，可供 19 头牛吃 24 天。现有若干头牛 吃草，6 天后，4 头牛死亡，余下的牛吃了 2 天将草吃完，求原有牛的头数。 8 ．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不增加，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 15 头牛吃 6 天，照此计算可供多少头牛吃 10 天？ 9 ．武钢的煤场，可储存全厂 45 天的用煤量。当煤场无煤时，如果用 2 辆卡车去运，则除了供应全厂用煤外，5 天 可将煤场储满；如果用 4 辆小卡车去运，那么 9 天可将煤场储满。如果用 2 辆大卡车和 4 辆小卡车同时去运，只需 几天就能将煤厂储满？（假设全厂每天用煤量相等） 时针分针与路程问题 一、基本知识点： 、基本公式：s=v*t 2 、相遇追及问题： 相遇距离 s =（vl + v2 ）*相遇时间 t 追及距离 S = ( vl - v2 ) * 追及时间 t 3 、环形运动问题： 环形周长 s =（v1 + v2 ) * 相向运动的两人两次相遇的时间间隔 t 环形周长 s = ( v1 - v2 ) * 同向运动的两人两次相遇的时间间隔 t 4 、流水行船问题： 顺流路程＝顺流速度*顺流时间＝（船速＋水速）* 顺流时间 逆流路程＝逆流速度*逆流时间＝（船速一水速）* 逆流时间 5 、电梯运动问题： 能看到的电梯级数＝（人速十电梯速度）* 沿电梯运动方向运动所需时间 能看到的电梯级数＝（人速一电梯速度）* 逆电梯运动方向运动所需时间 答案与解析 1 ．求在 8 点几分时，时针和分针重合在一起？ A.8 点 43 ( 7 / 11 ）分 B.8 点 43 分 C.8 点 43 ( 5/1l ）分 D.8 点 53 ( 7 / 11 ）分 解析：时针的问题和路程问题解题思路是一致的，考虑 8 点时、分针落后时针 40 个格（每分为一格），而时针速度 为每分 1 / 12 格，分针速度每分一格，有追及问题可得：40 /（1 一 1 / 12 ) = 43 ( 7 / 11 ) 2 ．时钟的时针和分针在 6 点钟恰好反向成一条直线，问下一次反向成一条直线是什么时间？（准确到秒） A7 点 5 分 27 秒 B7 点 5 分 28 秒 C7 点 5 分 29 秒 D7 点 5 分 30 秒 解析：在 7 点的时候、时针与分针之间的夹角是 210 度，分针每分钟 6 度，时针每分钟走 0 . 5 度。假设在经过 N 分 钟时针和分针成一条直线。这样就把问题转换为追击问题。 210 + O.5N - 6N = 180 得 N=5 ( 5 / 11 ）约等于 5 分 27 秒 3 ．某解放军队伍长 450 米，以每秒 1 . 5 米的速度前进，一通讯员以每秒 3 米的速度从排尾到排头并立即返回排尾， 整个过程通讯员走了多少米？15阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 A . 950 B . 1000 C . 1100 D . 1200 解析： 从排尾到排头用时为：450 /（3 一 1.5 ）=300 （秒），从排头到排尾用的时间是 400 / ( 3 + 1.5 ) = 100 秒，一 共用了 400 秒，3 * 400 = 1200 。解决此类题目，一定要找准切入点，才能解决。 秒杀实战方法：答案应该是 3 的整数倍，因此直接选 D 。 3 ．某解放军队伍长 450 米，以每秒 1 . 5 米的速度前进，一通讯员以每秒 3 米的速度从排尾到排头并立即返回排尾， 那么整个过程队伍前进了多少米？A . 550 B . 600 C . 650 D . 800 解析： 从排尾到排头用时为：450 /（3 一 1.5 ）= 300 （秒），从排头回排尾用的时间是 450 / ( 1.5 + 3 ) = 100 ，一 共用了 400 秒。则：1.5 * 400 = 600 米 实战方法：只有 600 是 1 . 5 的整数倍，因此选 B 5 ．某解放军队伍长 450 米，以每秒 1 . 5 米的速度前进，一通讯员以每秒 3 米的速度从排尾到排头并立即返回排尾， 那么整个过程通讯员前进了多少米？ A . 550 B . 600 C . 650 D . 800 解析：秒杀实战方法：只有 600 是 3 的倍数，因此选 B 。 6 ．铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同进向南行进，行人速度为每小时 3.6 千米，骑车人速度为每小 时 10.8 千米。这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒钟，通过骑车人用 26 秒钟。这列火车的 车身总长是（）米。 A286 B . 300 C . 400 D.268 解析：设火车速度是每秒 X 米。行人速度是每秒 3.6 * 1000 / 60 * 60 = 1 （米），骑车人速度是每秒 1.8 * 1000 / 60 * 60 = 3 （米）根据己知条件列方程：( x 一 1 ) * 22 = ( x 一 3 ) * 26 ，解得：X =14 （米），车长＝( 14 - l ) * 22 =286 （米）这是常规方法 秒杀实战方法：假设火车速度为每秒 X 米，火车长度为 S 。S = ( X 一 l ) * 12 =（x 一 3 ) * 26 ．则 s 应该是 22 的整数倍，也应该是 26 的整数倍。A 符合。 7 一列客车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒。己知在客车的前方有一列行驶方向与它相 同的货车，车身长为 320 米，速度每秒 17 米。列车与华车从相遇到离开所用的时间为（）。 A . 160 秒 B . 200 秒 C . 400 秒 D . 190 秒 解析：客车速度是每秒（250 一 210 ) / ( 25 一 23 ) = 20 米，车身长＝20 * 23 - 210 = 250 米 客车与火车从相遇到离开的时间是（250 + 320 ) / ( 20 一 17 ) = 190 （秒） 8 ．东、西两城相距 75 千米。小明从东向西走，每小时走 6.5 千米；小强从西向东走，每小时走 6 千米；小辉骑自 行车从东向西，每小时骑行 15 千米。3 人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，这样往返，直到 3 人在途中 相遇为止。问：小辉共走了（）千米。A . 80 B . 60 C 70 D . 90 解析：3 人相遇时间即明与强相遇时间，为 75 / ( 6.5 + 6 ) = 6 小时，小辉骑了 15 * 6 = 90 千米 9 ．姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走 40 米，走 80 米后姐姐去追他。姐姐每分钟走 60 米，姐姐带的小狗每分 钟跑 150 米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问 小狗共跑了多少米？( ) A . 600 B . 800 C . 1200D . 1600 解析：由于小狗的运动规律不规则，但速度保持不变，故求出小狗跑的总时间即可。由于姐姐和小狗同时出发，同时 终止，小狗跑的时间也就是姐姐追弟弟的时间。 这个时间为 80 /（60 一 40 ) = 4 分钟 小狗跑了 150x4 = 600 米 10 ．小明放学后，沿某路公共骑车路线以不变的速度不行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔 30 分 钟就有辆公共骑车从后面超过他，每隔 20 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一 次车？( ) A . 20 B . 24 C . 25 D . 3O 解析：设两辆车间距为 S 。16阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 有 S =（V 车＋V 人）* 20 S = ( V 车一 V 人）* 30 求得 V 车＝5V 人 故发车间隔为：T = S/v 车＝24 分钟 11 ．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走 2 个 梯级，女孩每 2 秒向上走 3 个梯级。结果男孩用 40 秒钟到达，女孩用 50 秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的 扶梯级有： A . 80 级 B . 100 级 C . 120 级 D . 140 级 解析；总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速 时的速度为 X ，则可列方程 如下， ( X + 2 ) *40 =（X + 3 / 2 ) *50 解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2 + 0.5 ) * 40 = 100 11 ．甲、乙两人从 400 米的环形跑道的一点 A 背向同时出发，8 分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟 多行 0 . 1 米，那么，两人第三次相遇的地点与 A 点沿跑道上的最短距离是 A . 166 米 B . 176 米 C . 224 米 D . 234 米 解析，此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为 X 米／分，乙的速度为 Y 米／分，则依题意可列方程 8X + 8Y = 400*3 X - Y =6 （速度差 0 . 1 米砂=6 米／分） 从而解得 X = 78， Y = 72 由 Y = 72 ，可知，8 分钟乙跑了 576 米，显然此题距起点的最短距离为 176 米。 12 ．甲乙两列火车速度比是 5 : 4 ，乙车先出发从 B 站开往 A 站，当行到离 B 站 72 千米的地方时，甲车从 A 站出 发开往 B 站，两列火车相遇的地方离 AB 两站距离之比是 3 : 4 ，那么两站之间的距离为多少千米？ A 2.16 B . 315 C . 480 D . 540 解析：方法 1 ：利用时间，速度与路程的关系巧解。T=s / v ，相遇的时候，甲乙两车所行驶的路程之比是 3 : 4 ， 由于甲乙两列火车速度比是 5 : 4 ，为了方便计算，不妨假设相遇的时候，甲乙两车所行驶的路程之比是 3 : 4 =15： 20 ，这样可以求出甲乙行驶的时间之比是 3 : 5 ，也就是说乙多走了 2 份时间，乙在 2 份时间内行驶了 72 小时， 进而可以求出乙在 5 份时间内行驶了 180 千米。180/4*( 3 + 4 )=315 千米 秒杀实战方法：两列火车相遇的地方离 AB 两站的距离比是 3 : 4 ，那么 AB 两站之间的距离应该是 3 + 4 = 7 的整 数倍。只有 b 满足条件。 13 ．有两列火车相向而行，甲列火车每小时行 72 千米，乙列火车每小时行 54 千米，两车错车时，甲列车上的一位 乘客发现，从乙列车车头经过他的车窗时开始，到该车车尾经过他的车窗共用了 11 秒，乙列车的车长是多少米？ A . 320 B . 340 C 360 D 385 解析：乙车的车长位两列火车在 11 秒内所走的路程之和，72 千米／小时＝20 米／秒，54 千米／小时＝15 米／秒， 所以乙车车长为：( 20 + l5 ) *ll = 385 米 实战方法：到该车车尾经过他的车窗共用了 11 秒，答案是 11 的倍数，385 符合。 14 ．甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务。甲车单独清扫需要 10 小时，乙车单独清扫需要 15 小时，两 车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫 12 千米，问东、西两城相距多少千米？ A . 45 B 60 C . 80 D . 100 解析： 方法 1 ：假设甲乙的工作效率分别是 1 / 10 , 1/15 ，两车合扫，扫完全程需要多少时间，是 1 / ( 1 / 10 + l / 15 )=6 小时。甲每小时比乙多扫 1 / 10 一 1 / 15 = l / 30 ，扫完全程甲比乙多扫 1/30*6 = l/5，相遇时甲车比乙车多清 扫 12 千米，因此全程是 12/（l / 5） ＝60 千米。 方法 2 ： 甲乙两车单独清扫分别需 10 小时、 小时， 和 15 的最小公倍数是 30 ， 15 10 为了方便计算， 假设全程是 30a 。 甲车每小时扫 3a ，乙车每小时扫 2a ，甲车每小时比乙车多扫 a 。 两车合作扫完全程需要 30a /（2a +3a）=6 小时，甲车比乙车多扫 6a , 6a = l2 , a = 2 。全程 30a ＝180 千米。 方法 2 比方祛 1 更简单。 方法 1 和 2 是一般的解题方法，也是培训班的解题方法。在考试中，采用这样的方法是不能取得高分的，同时时间上 也会很紧张，出现来不及做的情况。通过秒杀，为其他题目留出些时间，是行测获得高分方法。17阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 实战方法：甲车单独清扫需要 10 小时，乙车单独清扫需要 15 小时，说明全长应该是 10 和 15 的整数倍，只有 B 符 合。 15．甲、乙两清洁车执行 A 、B 两地间的公路清扫任务，甲、乙两车单独清扫分别需 2 小时、3 小时，两车同时从 A 、 B 两地相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫 6 千米，A 、B 两地共有多少千米？ A . 20 B . 30 C . 40 D . 60 解析： 常规方法和前面一样 秒杀：甲、乙两车单独清扫分别需 2 小时，3 小时，说明全长是 3 的倍数。只有 B 符合。 页码及相关问题 ( 1 ）答案与解析 解析：对于 3 出现了多少次这种题型，大家都不陌生，规律是：在页码 1-99 中，l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、 9 均会出现 20 次 （0 不符合这一规律） 在页码 100 -999 中， 、 、 、 、 、 、 、 、 均会出现 20 *9+100 。 l 2 3 4 5 6 7 8 9 1 ．在 1-5000 页中，出现过多少次数字 3 ？含 3 的页数有是多少？ 次。 那么，“含某个数字的页数有多少”这类题该怎么解呢？ 首先，在页码 1-99 中，数字 3 出现了 20 次，即有 19 个含 3 的页码( 33 页要去掉一次）；在页码 100-999 中，分 两种情况考虑：( 1 ）首位数字是 3 ，那么，后面两位就不用管了，一共有含 3 的页码 100 页；( 2 ）首位数字不是 3 ，那么必须考虑后两位数字含 3 ，而前面知道，1-99 中，有 19 个含 3 的页码，由于首位数字这时有 l 、2 、4 、 5 、6 、7 、8 、9 这么 8 种可能性，所以应该是 19 * 8 个含 3 的页码。在这里统计一下，在 1-999 中，含 3 的页 码一共 19 + 19 * 8 + 100 = 19 * 9 + 100 页，再引申到
，也分两种情况：( l ) 千位是 3 ，则有 1000 页：( 2 ）千位不是 3 ，则只可能是 l 、2 、4 ，只考虑后 3 位，有（19*9+l00)*3 个含 3 的页码。 所以，合计是：19 * 9 + 100 + ( 19 * 9 + 100 ) * 3 +
页 2 . 99999 中含有多少个带 9 的页面？ 答案是 40951 ，排列组合学的不是特别好的同学可以牢记公式: [ (19*9+100)*9+00=40951 规律很简单：19*9+100 ，代表 l-999 里含 l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 的页码数； (19*9+100)*9+1000，代表 1-9999 里含 l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 的页码数； （l9*9+100)*9+1000，代表 l-99999 里含 l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 的页码数。 2 位数是 19 页，然后每多一位数就乘以 9 ，再加上 10 的 N 次方，N = 位数减 1 ，可以记住当公式用。 3 ．王先生在编一本书，其页数需要用 6869 个字，问这本书具体是多少页？ A . 1 999 B . 9999 C . 1994 D . 1995 解析：这个题目是计算有多少页。首先要理解题目，这里的字是指数字个数，比如 111 这个页码就有 3 个数字。 我们通常有这样一种方法。 方法一： l~9 是只有 9 个数字， 10~99 是 2*90 = 180 个数字 100~999 是 3*900 = 2700 个数字 那么我们看剩下的是多少 -2700 = 3980 剩下 3980 个数字都是 4 位数的个数 则四位数有 3980 / 4 = 995 个 则这本书是
= 1994 页 为什么减去 1 是因为四位数是从 1000 开始算的！ 方法二： 我们可以假设这个页数是 A 页 那么我们知道，18阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 每个页码都有个位数则有 A 个个位数， 每个页码除了 1~9 ，其他都有十位数，则有 A-9 个十位数 同理：有 A~99 个百位数，有 A-999 个千位数 则：A + ( A 一 9 ) + ( A 一 99 ) + ( A 一 999 ) = 6869 4A 一 1110 + 3 = 76 ， A = 1994 4 ．将所有自然数，从 1 开始一次写下去得到：11213… … ，试确定第 206788 个位置上出现的数字？ A . 3 B . 0 C . 7 D . 4 这个题目大家仔细思考一下，发现其实这 206788 ，就是这本书使用的页码字数．根据上述公式通过对 206788 的判断 可以知道这个连续自然数最后一个数字应该是万位数． 则我们根据上述解法的第 2 个解法来做 实际上跟书页数字个数一样的题目 A + ( A 一 9 ）十（A 一 99 ）十（A 一 999 ）十（A 一 9999 ) = A 一（9 + 99 + 999 十 9999 ) = 206788 A = 43578 余数是 4 说明 206788 位置上的数就是第 43579 的第 4 个数字 就是 7 5 .一本 300 页的书中含“l“的有多少页？ 解析：关于含“1 ”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的 1 / 10 乘以 2 ，再加上 100 。是 160 页 这个公式是有一定局限性的，只限于三位数． 6 一本书有 4000 页，，问数字 1 在这本书里出现了多少次？ 解析：我们看 4000 分为千，百，十，个四个数字位置 千位是 1 的情况：那么百、十、个三个位置的选择数字的范围是 0~9 共计 10 个数字． 就是 10 * 10 * 10 = 1000 百位是 1 的情况，千位是（0 , 1 , 2 , 3 ) 4 个数字可以选择十位，个位还是 0~9，10 个数字可以选择 即 4*l0*10=400 十位和个位都跟百位一样分析。那么答案就是 1000 + 400*3 = 2200 总结一下就能得出适合所有的规律： 关于含 “1 ” 的页数问题， 总结出的公式就是： 总页数的 1 / 10 乘以 （数字位-1 )， 再加上 10 的（数字位数一 l ）次方。 如三位数：总页数的 1 / 10 乘以（3 一 l ) + 1O 的（3 一 1 ) 四位数：总页数的 l / 10 乘以（4 一 l ) + 10 的（4 一 l ) 牢记公式，遇到相关题目直接套用。 ( 2 ) 1 一本小说的页码，在印刷时必须用 1989 个铅字，在这一本书的页码中数字 1 出现多少次？ A . 240 B . 230 C . 220 D 210 解析： 方法 1 ：页码为一位数共有 9 页，用 9 个铅字 页码为二位数共有 90 页，用 180 个铅字 余下的铅字有 1989 一（9 + 180 ) = 1800 （个） 1800 /3 = 600 ，页码为 3 位数的共有 600 页，那么这本书共有 9 + 90 + 600 =699 页 方法 2 ：有的页码只有 1 个数字，有的页码有 2 个数字，有的页码有 3 个数字，为了便于处理， 把 l , 2 , 3 ,… ，9 分别记为 001 , 002 , 003 … 009 ；增加了 18 个零 把 10 , 11 , 12 ,… 98 记为 010 , 011 , 012 ,… ，098 , 099 增加了 90 个零。 这样处理后，所有的页码都有 3 个铅字。一共增加了（18 + 90 ）个零。( 1989 + 18 + 90 ）/3 = 699 页。 2 ．一本小说的页码，在排版时必须用 2211 个数码。问这本书共有多少页？19阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 A773 B 774 C 775 D . 776 解析：有的页码只有 1 个数字，有的页码只有 2 个数字，有的页码只有 3 个数字，为了便于处理。 把 l , 2 , 3 ,… ，9 分别记为 001 , 002 , 003 … 009 ；增加了 18 个零 把 10 , 11 , 12 ,… 98 记为 010 , 011 , 012 ,… ，098 , 099 增加了 90 个零。 这样处理后，所有的页码都 3 个铅字，一共增加了（18 十 90 ）个零。( 2211+18 + 90 ）/3 =737 + 6 + 30 =773 （实 战中不需要计算，只需要利用尾数的特点就能选 A 。） 3 ．编一本书的书页，用了 270 个数字（重复的也算，如页码 115 用了 2 个 1 和 1 个 5 共 3 个数字），问这本书一 共有多少页？ A . 117 B . 126 C . 127 D . 189 解析：有的页码只有 1 个数字，有的页码只有 2 个数字，有的页码有 3 个数字，为了便于处理，把 l , 2 , 3 ,… ， 9 分别记为 001 , 002 , 003 … 009 ；增加了 18 个零 把 10 , 11 , 12 , . ．… 99 分别记为 0 10 , 011 , 012 , ．… 099 ；增加了 90 个零 这样处理后，所有的页码都有 3 个铅字，一共增加了（18 + 90 ）个零。( 270 + 18 + 90 ) / 3 = 126 4 ．一本书，其页数需要用 6869 个数字，（比如，1003 看作是 1 , 0 , O , 3 个数字）问这本书是多少页？ A . 1999 B . 9999 C 1994 D 1995 解析：为了便于计算，可以把所有的数字看作是 4 位数字，不足 4 位的添 O 补足 4 位， l , 2 , 3 , … 9 记位 0001 , 0002 , 0003 , ..0009 这样增加了 3 * 9 = 27 个 0 10 , 11 , 12 , … 99 记为 0010 , 0011 , 0012 ，..0099 增加了 180 个 0 100 , 101 ，… 199 记为 0100 , 0101 ，… 0199 增加了 900 个 O ( 6869 + 27 + 180 + 900 ) / 4 = 1994 习题： 7 ．一本书的页码是连续的自然数 1 , 2 , 3 , …，将这些页码加起来的时候某个页码被加了两次，得到不正确的结 果 1997 ，则这个被加了两次的页码是（) A 42 B 46 C 44 D . 48 解析： 从 l 开始到 n 的一个公差为 1 的等差数列的求和：公式为 Sn=n(a1+an)/2 这里 a1=l , an=n ，则 sn=n(1+n )/2 因 为是中间多加了一项，所以 sn 是最大数，应该小于所给和 1997 ! 所以 n 的最大数是 62 , 此时总和是 1953 所以是
，多加了个 44 。 排列组合 基本知识点回顾： 1 、排列：从 N 不同元素中，任取 M 个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 N 个不同元素中 取出 M 个元素的一个排列。 2 、组合：从 N 个不同元素中取出 M 个元素并成一组，叫做从 N 个不同元素中取出 M 个元素的一个组合（不考虑元 素顺序） 3 、分步计数原理（也称乘法原理）：完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 ml 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法…做第 n 步有 mn 种不同的方法。那么完成这件事共有 N = m1*m2* … *mn 种不同的方法。 4 、分类计数原理：完成一件事有 n 类办法，在第一类办法中有 ml 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方 法… … 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N = ml + m2 + …+mn 种不同的方法。 解题技巧：首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无 序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件 的问题，需掌握以下儿种常用的解题方法： 特殊元素（位置） 一、特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 例 1 . 6 人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？20阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 元素分析法： 因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有 4 种站法；第二步再让其余的 5 人站在 其他 5 个位置上，有 120 种站法，故站法共有：480 （种） 二．相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他 元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例 2 、 5 个男生和 3 个女生排成一排，3 个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 解：把 3 个女生视为一个元素，与 5 个男生进行排列，共有 6 * 5 * 4 * 3 * 2 种，然后女生内部再进行排列，有 6 种，所以排法共有：4320 （种）。 三．相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入己排好的元素位置之间和两端的空 中。 例 3 . 7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法？ 解：先将其余 4 人排成一排，有 4 * 3 * 2 * 1 种，再往 4 人之间及两端的 5 个空位中让甲、乙、丙插入，有 5 * 4 * 3 种，所以排法共有：1440 （种） 四．定序问题用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将 n 个元素进行全排列有 种，个元素的全排列 有 种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若 n 个元素 排成一列，其中 m 个元素次序一定，则有 种排列方法。 例 4 ．由数字 O 、1 、2 、3 、4 、5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？ 解：不考虑限制条件，组成的六位数有 C(l,5)*P(5,5）种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有： C(1,5 )*P(5,5)/2（个） 五．分排问题用直排法 对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。 例 5 . 9 个人坐成三排，第一排 2 人，第二排 3 人，第三排 4 人，则不同的坐法共有多少种？ 解：9 个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有 P( 9,9）种。 六．复杂问题用排除法 对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数， 然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。 例 6 ．四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点，取其中 4 个不共面的点，则不同的取法共有（) A . 150 种 B . 147 种 C . 144 种 D . 141 种 解：从 10 个点中任取 4 个点有 C ( 4 , 10 ）种取法，其中 4 点共面的情况有三类。第一类，取出的 4 个点位于四 面体的同一个面内，有 4 * C ( 4 , 6 ）种；第二类，取任一条棱上的 3 个点及该棱对棱的中点，这 4 点共面，有 6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的 4 个点共面，有 3 种。 以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：C ( 10 , 4 ) - 4 * c ( 6 , 4 ）一 6 一 3 = 141 种。 只l 七．排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。 例 7 ．将 4 名教师分派到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分派方案共有多少种？ 解：可分两步进行：第一步先将 4 名教师分为三组（1 , 1 , 2 ) , （么 1 , l ) , ( 1 , 2 , l ) ，分成三组之后 在排列共有：6 （种），第二步将这三组教师分派到 3 种中学任教有 p ( 3 , 3 ）种方法。由分步计数原理得不同的 分派方案共有：36 （种）。因此共有 36 种方案。 八．隔板模型法 常用于解决整数分解型排列、组合的问题。 例 8 有 10 个三好学生名额，分配到 6 个班，每班至少 1 个名额，共有多少种不同的分配方案？21阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 解：6 个班，可用 5 个隔板，将 10 个名额并排成一排，名额之间有 9 个空，将 5 个隔板插入 9 个空，每一种插法， 对应一种分配方案，故方案有：C ( 5 , 9 ）种 习题： 1 , 2 , 3 , 4 作成数字不同的三位数，试求其总和？但数字不重复。解析： 组成 3 位数，我们以其中一个位置（百位，十位，个位）为研究对象就会发现当某个位置固定比如是 1 ，那么其他的 2 个位置上有多少种组合？这个大家都知道是剩下的 3 个数字的全排列 P32 ，我们研究的位置上每个数字都会出现 P32 次。 所以每个位置上的数字之和就可以求出来了 个位是：P32 * ( l + 2 + 3 + 4 ）二 60 十位是：P32 * ( l + 2 十 3 + 4 ) * 10 = 600 百位是：P32 * ( l + 2 + 3 + 4 ) * 1 00 = 6000 所以总和是 6660 2 将“PROBABILrrY & H 个字母排成一列，排列数有D 种，若保持 P , R , o 次序，则排列数有种。 解析： 这个题目是直线全排列出现相同元素的问题， ( l ）我们首先把相同元素找出来，B 有 2 个，I 有 2 个我们先看作都是不同的 11 个元素全排列这样就简单的多是 Pll , 11 然后把相同的元素能够形成的排列剔除即可 Pll / ( PZ , 2 * PZ , 2 ) = 9979200 。 ( 2 ） 2 个小问题因要保持 PRO 的顺序，就将 PRO 视为相同元素 第 （跟 B , I 类似的性质），则其排列数有 11 ! / ( 2 ! xZ ! x3 ! ) = 166320 种。 3 ．李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇共 10 人围坐一圆桌聊天，试求下列各情形之排列数： ( l ）男女间隔而坐。 ( 2 ）主人夫妇相对而坐。 ( 3 ）每对夫妇相对而坐。 ( 4 ）男女间隔且夫妇相邻。 ( 5 ）夫妇相邻。 ( 6 ）男的坐在一起，女的坐在一起。 解析： ( l ）先简单介绍一下环形排列的特征，环形排列相对于直线排列缺少的就是参照物．第一个坐下来的人是没有参照 物的，所以无论做哪个位置都是一样的所以从这里我们就可以看出环形排列的特征是第一个人是做参照物，不参与排 列． 下面就来解答 6 个小问题： ( 1 ）先让 5 个男的或 5 个女的先坐下来全排列应该是 P44 ，空出来的位置他们的妻子（丈夫），妻子（丈夫）的全 排列这个时候有了参照物所以排列是 P55 答案就是 P44 * P55 = 2880 种 ( 2 ）先让主人夫妇找一组相对座位入座其排列就是 Pil （记住不是 P22 ) ，这个时候其他 8 个人再入座，就是 P88 ， 所以此题答案是 P88 ( 3 ）每对夫妇相对而坐，就是捆绑的问题．5 组相对位置有一组位置是作为参照位置给第一个入座的夫妇的乘」下 的 4 组位置就是 P44 ，考虑到剩下来的 4 组位置夫妇可以互换位置即 P44 * 2 呵二 384 ( 4 ）夫妇相邻，且间隔而坐我们先将每对夫妇捆绑那么就是 5 个元素做环形全排列即 P44 这里在从性别上区分男女 看作 2 个元素可以互换位置即答案是 P 科＊2 科 8 种（值得注意的是，这里不是＊2 呵因为要互换位置，必须 5 对 夫妇都得换要不然就不能保持男女间隔） ( 5 ）夫妇相邻这个问题显然比第 4 个问题简单多了，即看作捆绑答案就是 P44 但是这里却是每对夫妇呼唤位置都可 以算一种方法的即最后答案是 P44 * 2 八 5 ( 6 ）先从大方向上确定男女分开座，那么我们可以通过性别确定为 2 个元素做环形全排列．即 Pl , 1 ，剩下的 5 个 男生私 15 个女生单独做直线全排列所以答案是 PI , l * P55 * P55 4 ．三边长均为整数，且最大边长为 n 的三角形的个数为（) ( A ) 25 个尹）26 个（C ) 36 个（p ) 37 个22阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 解析： 根据三角形边的原理， 两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边可见最大的边是 H ， 则两外两边之和不能超过 22 因 为当三边都为 n 时是两边之和最大的时候。 因此我们以一条边的长度开始分析 如果为 11 ，则另外一个边的长度是 11 , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 ，。。。。。。l RS 如果为 10 则另外一个边的长度是 10 , 9 , 8 。。。‘。。2 , （不能为 1 否则两者之和会小于 n , 10 的组合） 如果为 9 ，则另外一个边的长度是 9 , 不能为 11 ，因为第一种情况包含了 n , 一 （理由同上，可见规律出现） 规律出现总数是 11 + 9 + 7 ＋。。。。l = ( l + 11 ）又 6 令 2 = 36 5 ．将 4 封信投入 3 个邮筒，有多少种不同的投法？ 解析： 每封信都有 3 个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第 1 封信，有 3 种可能性。接着再放第 2 封，也有 3 种 可能性，直到第 4 封，所以分步属于乘法原则即 3x3x3x3 = 3A4 。 6 . 3 位旅客，到 4 个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ 解析： 跟上述情况类似对于每个旅客我们都有 4 种选择。彼此之间选择没有关系不够成分类关系。属于分步关系。如：我们 先安排第一个旅客是 4 种，再安排第 2 个旅客是 4 种选择。知道最后一个旅客也是 4 种可能。根据分步原则属于乘 法关系即 4X4X4 二 4 勺 7 . 8 本不同的书，任选 3 本粥宕 3 个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ 角军析：分步来做 第一步：我们先选出 3 本书即多少种可能性 CS 取 3 = 56 种 第二步：分配给 3 个同学。P33 = 6 种 这里稍微介绍一下为什么是 P33 ，我们来看第一个同学可以有 3 种书选择，选择完成后，第 2 个同学就只剩下 2 种 选择的情况，最后一个同学没有选择。即 3 xZxl 这是分步选择符合乘法原则。最常见的例子就是 1 , 2 , 3 , 4 四 个数字可以组成多少 4 位数？也是满足这样的分步原则。 P 来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择 用 受到上一步的压缩。所以该题结果是 56 又 6 = 336 8 . ( 1 ）七个同学排成一横排照相，某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ 解析： 这个题目我们分 2 步完成 第一步：先给甲排应该排在中间的 5 个位置中的一个即 CS 取 1 = 5 第二步：乘 U 下的 6 个人即满足 P 原则 P66 二 720 所以总数是 72OX5 = 3600 ( 2 ）墓乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？解析 第一步：确定乙在哪个位置排头排尾选其一 CZ 取 1 = 2 第二步：剩下的 6 个人满足 P 原则 P66 一 720 则总数是 720 又 2 = 1440 ( 3 ）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？解析特殊情况先安排特殊 第一种情况：甲不在排头排尾并且不在中间的情况 去除 3 个位置剩下 4 个位置供甲选择 C4 取 l 二 4 ，剩下 6 个位置先安中间位置即除了甲乙 2 人，其他 5 人都可以 即以 5 开始，剩下的 5 个位置满足 P 原则即 5 义 P55 = 5 只 120 = 600 总数是 4 又 600 = 2400 第 2 种情况：甲不在排头排尾，甲排在中间位置 则剩下的 6 个位置满足 P66 二 720 因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和即 2400 + 720 = 3 12023阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 ( 4 ）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ 解析： 相邻用捆绑原则 2 人变一人，7 个位置变成 6 个位置，即分步讨论第 1 ：选位置 C6 取 1 二 6 第 2 ：选出来的 2 个位置对甲乙在排即 P22 = 2 则安排甲乙符合情况的种数是 2 x6 二 12 剩下的 5 个人即满足 P55 的规律二 120 则最后结果是 120X12 = 1440 ( 5 ）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？ 解析 我们发现一共是 7 个位置。位置也是对称的，无论怎么安排。甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题则总数是 P77 = 5040 根据左右概率相等的原则则排在左边的情况种数是 5040 二 2 = 2520 9 ．用数字 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 组成没有重复数字的数 ( l ）能组成多少个四位数？ 解析：四位数从高位开始到低位高位特殊不能排 0 则只有 5 种可能性接下来 3 个位置满足 P53 原则＝5 x4x3 = 60 即 总数是 60x5 = 300 ( 2 ）能组成多少个自然数？ 解析： 自然数是从个位数开始所有情况 分情况 1 位数：C6 取 1 二 6 2 位数：CS 取 2xP22 + CS 取 lxPll = 25 3 位数：CS 取 3xP33 + CS 取 2xP22x2 = 100 4 位数：CS 取 4xP44 + CS 取 3xP33 又 3 = 300 5 位数：CS 取 5XP55 + CS 取 4xP44x4 = 600 6 位数：5xP55 = 5x120 = 600 89 总数是 1631 这里解释一下计算方式比女［l 说 2 位数：cs 取 2 又 P22 + cs 取 1 X Pll = 25 先从不是 O 的 5 个数字中取 2 个 排列即 CS 取 2XP22 还有一种情况是从不是。的 5 个数字中选一个和。搭配成 2 位数即 CS 取 1 xPll 因为 O 不能作 为最高位所以最高位只有 1 种可能 ( 3 ）能组成多少个六位奇数？ 解析： 高位不能为 0 个位为奇数 1 , 3 , 5 则先考虑低位，再考虑高位即 3x4 又 P44 = 1 2 X 24 = 288 ( 4 ）能组成多少个能被 25 整除的四位数？解析：能被 25 整除的 4 位数有 2 种可能后 2 位是 25 : 3 x3 = 9 后 2 位是 50 : P42 = 4 又 3 = 12 共计 9 + 12 = 21 ( 5 ）能组成多少个比 201345 大的数？ 解析： 从数字 20 1345 这个 6 位数看是最高位为 2 的最小 6 位数所以我们看最高位大于等于 2 的 6 位数是多少？ 4xP55 = 4x120 = 480 去掉 201345 这个数即比 201345 大的有 480 一 1 = 479 90 ( 6 ）求所有组成三位数的总和． 解析： 每个位置都来分析一下 百位上的和：MI = looXP52 ( 5 + 4 + 3 + 2 + l ) 十位上的和：MZ = 4X4X 10 ( 5 + 4 + 3 + 2 + l ) 个位上的 和：M3 = 4X4 ( 5 + 4 + 3 + 2 + 1 ) 总和 M 二 MI + MZ + M3 = 32640 10 ．生产某种产品 100 件，其中有 2 件是次品，现在抽取 5 件进行检查．( l 、“其中恰有两件次品”的抽法有多 少种？24阅微阁― 阅微阁―阅微出品 必属精品 解析： 也就是说被抽查的 5 件中有 3 件合格的，即是从 98 件合格的取出来的所以即 CZ 取 2xC98 取 3 一 152096 ( 2 ) “其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ 解析： 同上述分析，先从 2 件次品中挑 1 个次品，再从 98 件合格的产品中挑 4 个 CZ 取 lxC98 取 4 = 7224560 ( 3 ) “其中没有次品”的抽法有多少种？ 解析： 则即在 98 个合格的中抽取 5 个 C98 取 5 一
( 4 ) “其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ 解析： 全部排列然后去掉没有次品的排列情况就是至少有 1 种的 C 100 取 5 一 C98 取 5 = 7376656 ( 5 ) “其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ 解析： 所有的排列情况中去掉有 2 件次品的情况即是至多一件次品情况的 C 100 取 5 一 C98 取 3 =
．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型和乙型电视机各 1 台，则不同的取法共有（) ( A ) 140 种（B ) 84 种（C ) 70 种（D ) 35 种解析： 根据条件我们可以分 2 种情况 第一种情况：2 台甲＋1 台乙即 C4 取 ZxCS 取 1 二 6x5 = 30 第二种情况：l 台甲＋2 台乙即 C4 取 lxCS 取 2 = 4xlo = 40 所以总数是 30 + 40 二 70 种 12 ．在 50 件产品中有 4 件是次品，从中任抽 5 件，至少有 3 件是次品的抽法有多少种． 解析： 至少有 3 件则说明是 3 件或 4 件 3 件：C4 取 3xC46