设整数p>2,求证:p是素数当且仅当(p-2)!≡1(mod p)

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-04-26 14:06 标签： p9
设n是正整数,p是素数,(n,p−1）=k,证明同余方程x^n≡1(mod p)有k个解.
忆这夏_深304
对素数p,存在原根g.即g^i ≡ 1 (mod p),当且仅当i是p-1的倍数.由此,对i = 0,1,2,...,p-2,g^i (mod p)两两不同余,即mod p恰好取遍1,2,...,p-1.显然,x = 0不是x^n ≡ 1 (mod p )的解.对x = 1,2,...,p-1,存在i = 0,1,2,...,p-2,使x ≡ g^i (mod p).于是x^n ≡ g^(ni) (mod p).x^n ≡ 1 (mod p)当且仅当g^(ni) ≡ 1 (mod p),当且仅当ni是p-1的倍数,当且仅当i是(p-1)/k的倍数(这里用到k = (n,p-1)).而在0,1,2,...,p-2中,(p-1)/k的倍数恰有k个,即0,(p-1)/k,2(p-1)/k,...,(k-1)(p-1)/k.这就对应x^n ≡ 1 (mod p)的k个(不同的)解.
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欸嘣0361龘
1^n+2^n+…+(p-1)^n= (1^n + (p-1)^n) + (2^n + (p-2)^n) + ...+ (((p-1)/2)^n + ((p+1)/2)^n) = (1^n - 1^n) + (2^n - 2^n) + (3^n - 3^n) + ...+ (((p-1)/2)^n - ((p-1)/2)^n) = 0 (mod p)
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高手你妹，n是偶数你考虑了么
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给定任意素数p，存在a（1&a&p）使得使a^k≡1 (mod p)成立的最小的k=p-1
提问者采纳
当p&gt..;a_n]≡1(mod p);2时。最后a≡c_1*c_2*;a_n个解.。取c_n = y^[(p-1)&#47，对p-1作标准因子分解p-1 = a_1^b_1 * a_2^b_2 * ;a_n]≡1(mod p)不成立，否则p=2时就不对了. * a_m^b_m只需要证明对每个a_n^b_n，最多只有(p-1)&#47，都存在c_n满足c_n的阶数恰好是a_n^b_n即可，当然首先要修正一下命题，所以一定存在y使得y^[(p-1)&#47。考察方程x^[(p-1)&#47，那么可以验证c_n的阶是a_n^b_n.*c_m(mod p)的阶数就是p-1这个命题是原根的基本结论;a_n^b_n]，允许a=1.
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作业题要自己动脑子，否则慢慢就成白痴了
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忆这夏_深304
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