求不定积分的求法分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-03-08 12:03 标签： 中国积分
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求不定积分的若干方法
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∫sec xdx的不定积分求法,
元_爆_用011d
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方法多了.第一种：∫ secx dx= ∫ secx · (secx + tanx)/(secx + tanx) dx= ∫ (secxtanx + sec²x)/(secx + tanx) dx= ∫ d(secx + tanx)/(secx + tanx)= ln|secx + tanx| + C第二种：∫ secx dx= ∫ 1/cosx dx = ∫ cosx/cos²x dx = ∫ dsinx/(1 - sin²x)= (1/2)∫ [(1 - sinx) + (1 + sinx)]/[(1 - sinx)(1 + sinx)] dsinx= (1/2)∫ [1/(1 + sinx) + 1/(1 - sinx)] dsinx= (1/2)[ln|1 + sinx| - ln|1 - sinx|] + C= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C= ln| √(1 + sinx)/√(1 - sinx) | + C= ln| [√(1 + sinx)]²/√[(1 - sinx)(1 + sinx)] | + C= ln| (1 + sinx)/cosx | + C= ln|secx + tanx| + C第三种：∫ secx dx = ∫ 1/cosx dx= ∫ 1/sin(x + π/2) dx,或者化为1/sin(π/2 - x)= ∫ 1/[2sin(x/2 + π/4)cos(x/2 + π/4)] dx,分子分母各除以cos²(x/2 + π/4)= ∫ sec²(x/2 + π/4)/tan(x/2 + π/4) d(x/2)= ∫ 1/tan(x/2 + π/4) d[tan(x/2 + π/4)]= ln|tan(x/2 + π/4)| + C他们的答案形式可以互相转化的.
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∫sec xdx=∫1/cosxdx=∫cosx/cos^2xdx=∫1/(1-sin^2x)dsinx=1/2∫[1/(1-sinx)+1/(1+sinx)]dsinx=1/2ln[(1+sinx)/(1-sinx)]+C
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不定积分的计算
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不定积分的计算
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积分是微分的逆运算，即知道了函数的，反求。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。主要分为定积分、不定积分以及其他积分。积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。
积分公式公式种类
积分公式不定积分
是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。[1]
注：∫f(x)dx+c1=∫f(x)dx+c2, 不能推出c1=c2
积分公式定积分
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和两种。[2]
直观地说，对于一个给定的实函数f(x)，在区间[a，b]上的定积分记为：
若f(x)在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线(x，f(x))、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。
积分公式其他
积分的种类还有如下几类：[3]
积分公式公式汇总
积分公式不定积分
不定积分的积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√(a+bx)的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b(a&0)的积分、含有√(a?+x^2) (a&0)的积分、含有√(a^2-x^2) (a&0)的积分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。[2]
含a+bx的积分
含有a+bx的积分公式主要有以下几类：[4]
含√(a+bx)的积分
含有√(a+bx)的积分公式主要包含有以下几类：[5]
含有x^2±α^2的积分
含有ax^2+b(a&0)的积分
含有√(a^2+x^2) (a&0)的积分
被积函数中含有√(a^2+x^2) (a&0)的积分有[2]
含有√(a^2-x^2) (a&0)的积分
被积函数中含有√(a^2-x^2) (a&0)的积分有：[4]
对于a2&x2有：
含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分
被积函数中含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分有[2]
含有三角函数的积分
被积函数中含有三角函数的积分公式有：[5]
含有反三角函数的积分
被积函数当中含有反三角函数的积分公式有[2]
含有指数函数的积分
被积函数当中包含有指数函数的积分公式[4]
含有对数函数的积分
被积函数当中包含有对数函数的积分公式[5]
含有双曲函数的积分
被积函数当中包含有双曲函数的积分公式有[2]
积分公式定积分
定积分公式有以下几种[1]
积分公式积分性质
通常意义上的积分都满足一些基本的性质。以下积分区域
的在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。积分的性质有：线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。[1]
积分公式线性性
积分是线性的。如果一个函数f 可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
积分公式保号性
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个
上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。[6]
如果黎曼可积的非负函数f在
上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f = 0。如果勒贝格可积的非负函数f在
上的积分等于0，那么f几乎处处为0。如果
中元素A的测度μ (A)等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。[6]
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对
中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。[3]
积分公式软件运用
用户可以在Microsoft Word中创建积分公式，以Word2010软件为例介绍操作方法：
第1步，打开Word2010文档窗口，切换到“插入”功能区。在“符号”分组中单击“公式”按钮（非“公式”下拉三角按钮）。
第2步，在Word2010文档中创建一个空白公式框架，在“公式工具/设计”功能区中，单击“结构”分组中的“积分”按钮。在打开的积分结构列表中选择合适的积分形式。
第3步，在空白公式框架中将插入积分结构，单击积分结构占位符框并输入具体数值或公式符号即可。
同济大学数学系 (编者) ．高等数学(第6版)(上册) ．北京：高等教育出版社，日
徐小湛 (作者) ．高等数学学习手册：科学出版社，第1版 (日)
卢丁 (作者)， 赵慈庚 (译者) ．数学分析原理(原书第3版)：机械工业出版社，日
苏志平，郭志梅　主编．高等数学(第六版·下册)同步辅导及习题全解：水利水电出版社，
李以渝．高等数学学习手册（第3版）．北京：北京理工大学出版社，
华东师范大学数学系．面向21世纪课程教材：数学分析(第4版)(上) ：高等教育出版社，日
本词条内容贡献者为
副教授审核
哈尔滨工业大学

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