求不定积分的方法总结。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-01-01 15:09 标签： 不定积分怎么求
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∫lnxdx＝xlnx－∫xd(lnx)＝xlnx－∫dx＝xlnx－x＋C
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百度经验:数学积分有的时候真的很变态，还好我们有Mathematica这个无比强大的数学工具！定积分不定积分都可以计算。百度经验:MathematicaWolframAlpha百度经验:1打开Mathematica，输入“Integrate[(Cos[x]^2 - Sin[x])/Cos[x]/(1 + Cos[x] E^Sin[x]), x]”，注意不包含双引号，英文状态下输入。按Shift+Enter就可以得到结果了。点击“更多”还会有其它诸如绘图、求极值等功能。2如果你觉得输入“Integrate[(Cos[x]^2 - Sin[x])/Cos[x]/(1 + Cos[x] E^Sin[x]), x]”显得不直观，没关系，符号是Mathematica最擅长的！打开“数学助手”,图中标出的一个为不定积分，另一个为定积分。3从“数学助手”面板中选择需要的符号组成直观的表达式，然后Shift+Enter，结果秒出！4什么，你觉得Mathematica只能帮你求出结果？从结果倒过来求导不就是完整的积分过程么？下面这张图就是更具结果倒推过来的！END百度经验:1我的电脑上没有安装Mathematica怎么办？没关系，这货还有更强大的在线版，不过它叫WolframAlpha。经验不让贴网址，自行百度/谷歌WolframAlpha，基本上第一条就是。2这是一个神奇的网站！在搜索框里输入“Integrate[(Cos[x]^2 - Sin[x])/Cos[x]/(1 + Cos[x] E^Sin[x]), x]”，回车！它帮你搞定一切！3看到没有，它帮你把积分算出来了，还帮你把图像画出来了，甚至还帮你表示成复数的形式，碉堡了！END百度经验:这么强大的工具，一定不要独享！经验内容仅供参考，如果您需解决具体问题(尤其法律、医学等领域)，建议您详细咨询相关领域专业人士。作者声明：本篇经验系本人依照真实经历原创，未经许可，谢绝转载。投票(35)已投票(35)有得(0)我有疑问(0)◆◆说说为什么给这篇经验投票吧！我为什么投票...你还可以输入500字◆◆只有签约作者及以上等级才可发有得&你还可以输入1000字◆◆如对这篇经验有疑问，可反馈给作者，经验作者会尽力为您解决！你还可以输入500字相关经验1112160热门杂志第1期你不知道的iPad技巧3657次分享第1期win7电脑那些事6427次分享第2期新人玩转百度经验1318次分享第1期Win8.1实用小技巧2614次分享第1期小白装大神1830次分享◆请扫描分享到朋友圈求不定积分的若干方法_百度文库
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[dìng jī fēn]
定积分是的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（），其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
定积分积分分类
不定积分（Indefinite integral）
即已知求。若F′(x)=f(x)，那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说，把f(x)，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)（C是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。我们一律用F(x)+C代替，这就称为。即如果一个导数有原函数，那么它就有无
限多个原函数。
定积分 （definite integral）
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为，特例是。[1]
定积分定义
设函数f(x) 在区间[a,b]上，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式
。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为
，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[2]
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个。
根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：
特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：
定积分性质
1、当a=b时，
2、当a&b时，
3、常数可以提到积分号前。
4、代数和的积分等于积分的代数和。
5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。
6、如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则
7、积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在（a，b)内使
定积分常用积分法
定积分换元积分法
（2）x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;
（3）当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,
定积分分部积分法
设u=u(x),v=v（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式：[4]
（见参考资料1）
定积分分点问题
定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使
不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”
那么当n→+∞时，
的最大值趋于0，所以所有的
趋于0，所以S仍然趋于积分值.
利用这个规律，在我们了解之前，我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数
我们选择等比级数来分点，令公比
那么“矩形面积和”
利用等比级数公式，得到
令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为（u+v)/v=u/v+1=k+1.
定积分黎曼积分
定积分的正式名称是。用自己的话来说，就是把上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.
我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个导函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？
定积分定理
定积分一般定理
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
定积分牛顿-莱布尼茨公式
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么
用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
定积分应用
1，解决求曲边图形的面积问题
面图形D的面积S.
2，求变速直线运动的路程
做的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分。
某物体在变力F=F(x)的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x)在[a,b]上的定积分。（见图册“应用”）
Apostol, Tom M. (1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
同济大学数学系．高等数学第六版上册．北京：高等教育出版社，2007年
Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1. In particular chapters III and IV.
Burton, David M. (2005), The History of Mathematics: An Introduction (6th ed.), McGraw-Hill, p. 359, ISBN 978-0-07-
本词条内容贡献者为
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南京理工大学

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