汗，问个问题，有数学经验的来帮忙解决下_数学吧_百度贴吧
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我现在是高二的学生，马上高三的，但是这两年高中什么也没学习，现在突然很想学习，我是想问问下，从现在开始，学习高中的数学，我用一年的&时间能学好吗？补充句，以前只逃课了，数学是一点没有学，初中的都忘了，但是高考我还是很想考个好大学，所以，想从数学开始，各位有数学经验的&高手阿里指点下，高中数学就我这种情况，该怎么学啊，再补充句，我的数学本来学习的就不好，学不会，浪子回头现在是，恩恩，大家帮忙出个主意吧，说实话，我的目标是&高考能130以上的&数学，汗，能行吗？现在心里没底，所以来这里问下&&
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数学在线教学一对一 针对学科薄弱点 个个突破 量身制定辅导课程足不出户免费辅导 精细化课程设置 满足不同学生的学习需求 学费全免网数学就是好
目标太大了，不过要从基础学起，会有长进的，入了门以后就好办了。但一定要坚持下去，就有可能创造奇迹
从不会的地方开始好好学
一年足够
但要刻苦
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目标太大，100分以上差不多了吧。
数学不好一般4个原因·1智商（但高中的东西好像不会太需要天份）2思维方式3学习方法4不学
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我做很多题一直是用我自称为“想象法”的方法来解题（除了证明题）。不知道以后会不会对学习数学有障碍
“想象法”就是在大脑中浮现图像，通过模拟需要作的动作——比如平移，翻折来得到答案。
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智商？汗，这个没测试过啊
几个方面：1.时间，一年你能分出多少时间看数学，如果你其他科都不用看的话问题不大。2.天赋，这个说起来可能有点悬，不过有些人喜欢几何，有些人喜欢代数。初中数学很偏几何的，但高中的绝大多数都是代数方面的。你初中数学不好不代表高中不行。3.用功程度。高考一个最主要的因素就是熟练程度。如果基本功扎实的话120+还是没问题的
数学题,中高级教师1对1辅导,教学有品质,提分看得见.随时退费家长无忧!
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我是山东的，汗，一天如果按10个小时的学习时间计算，能分出来4个小时学数学，俺现在是抱着背水一战的态度啊，希望都奏效吧
登录百度帐号推荐应用&img src=&/50/v2-2fe52ebe6bff_b.png& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&800& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/50/v2-2fe52ebe6bff_r.png&&&p&我在业余时间一直在维护一个“欧拉计划”（Project Euler）的中文翻译站点：&br&&/p&&a href=&/?target=http%3A//pe-cn.github.io/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Project Euler | 欧拉计划&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&p&简单地说，&b&“欧拉计划”是一系列需要利用数学和计算机知识及技巧来解答的问题&/b&，自2001年10月开始，以每两周一题（后改为每周一题，每年暑假会有Summer Break）的速度发布，迄今为止共发布了607题。&br&&/p&&br&&br&&p&比如它的第1题是这样的：&/p&&br&&blockquote&&b&Multiples of 3 and 5&/b&&br&If we list all the natural numbers below 10 that are multiples of 3 or 5, we get 3, 5, 6 and 9. The sum of these multiples is 23.&br&Find the sum of all the multiples of 3 or 5 below 1000.&br&&br&&b&3的倍数和5的倍数&/b&&br&如果我们列出10以内所有3或5的倍数，我们将得到3、5、6和9，这些数的和是23。&br&求1000以内所有3或5的倍数的和。&/blockquote&&br&&p&我在2012年高考结束的暑假曾经在果壳上 &a href=&/?target=http%3A///post/256528/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&召集&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 过一些人一块儿做国外趣题（比如欧拉计划、UyHiP、IBM Ponder This等）的译介（主要受Matrix67博客的影响，当时M67大大经常做这些题），但是后来因为一些事就中断了，翻译也丢失了。到2015年我去Berkeley交换期间，决定重新开始做欧拉计划的翻译，然后从零开始，把现在这个翻译站做了起来。（详细经过可以参见 &a href=&/?target=http%3A//pe-cn.github.io/about/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&关于页面&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&/p&&p&除了“曾经做过”这个理由之外，还有一个原因就是当时官方提供的中文翻译站点几乎停止更新了，而且已翻译的数量也只有一半左右。于是在我终于赶上了进度（500+题）之后，我就给“欧拉计划”的管理员发邮件，把这个站点添上了官方推荐翻译站点的列表（见 &a href=&/?target=https%3A//projecteuler.chat/viewtopic.php%3Ff%3D12%26t%3D2636& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&这里&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）。&/p&&br&&p&也算特别骄傲的一点吧，就是目前这个官方推荐列表中，&b&只有&/b&我还在坚持翻译（呃虽然最近的两道题还没翻……），特别是，管理员在帖子中说：&/p&&blockquote&However, the task of translating is massive and would be very difficult for one person to undertake, particularly because new problems continue to be published. The Russian translations are undertaken by a highly organised and dedicated small team who share the responsibility and work extremely hard to keep the problems up to date.&br&然而，翻译的工作量非常庞大，&b&由个人承担这项工作将会是非常困难的&/b&，特别是新问题正在不断地被发布出来。本站的俄语翻译就是由一个非常有组织且具有奉献精神的小组进行的，他们共同承担责任并且非常努力地工作，以保证所有的题目都能及时地被翻译出来。&/blockquote&然而这个俄语翻译站点也已经停止更新了（笑），他们坚持到了481题。&br&&br&&p&Anyway，言归正传。本来我到USC之后因为一度偷懒所以欠了几十题的债，然后正好上个月底因为多说评论项目下线，就把站点评论改成Disqus，然后顺便把债都还了（所以现在翻到605题啦~），而且决定开始&b&重新整理校对以往的翻译&/b&。但是说实话，600+题重新过一遍真的是会死人的，特别是“欧拉计划”有很多题目是讲个故事顺便带个题……&/p&&br&&p&所以，在这里也算发个求助贴，希望各位走过路过，如果感兴趣的话：&/p&&ul&&li&关注Project Euler，去多做做题吧~（其实我只做了43题……）&/li&&li&积极指出翻译中的各类硬错误~（比如我刚顺手就发现有道题当中的1010其实应该是10^10），&b&可以在相应翻译页面的评论中提出，或者在GitHub上开Issue&/b&，我会定期看的&/li&&li&提出改善翻译的意见，特别是对于一些术语的翻译（我不能保证有些术语前后统一，还有很多是新发明的术语……我最头疼的就是pan-digital这个词，非常高频率地出现）&/li&&li&如果你有GitHub，给个star也是极好的（虽然我也不靠这个吃饭……）（似乎有同学Fork了做备份……）&/li&&li&推荐给身边的朋友吧，特别是如果他们不想刷LeetCode了（哈哈哈）&/li&&/ul&&br&&br&&p&&i&（Photo Credit: &a href=&/?target=https%3A//visual.ly/blog/project-euler-sprint-write-code-math-make-friends/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&The Project Euler Sprint &i class=&icon-external&&&/i&&/a&/ &a href=&/?target=https%3A//creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&CC BY-NC-SA 4.0&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）&/i&&/p&
我在业余时间一直在维护一个“欧拉计划”（Project Euler）的中文翻译站点： 简单地说，“欧拉计划”是一系列需要利用数学和计算机知识及技巧来解答的问题，自2001年10月开始，以每两周一题（后改为每周一题，每年暑假会有Summer B…
&p&感觉好多回答都挺吓人的：）
我来个简单的好不啦：&/p&&p&1.单个的数值叫Scalar。也就是一个数字。比如说250这样的自然数。也可以是实数。下同。&/p&&p&2.一维的数组叫Vector，也就是向量。比如 {a1，a2，a3......an}。这里a1，a2...的值都是Scalar。&/p&&p&3.二维的数组叫Matrix，也就是矩阵。&/p&&p&4.三维以上的都叫Tensor，也就是张量。&/p&&p&不多说了，直接上图：&/p&&br&&img src=&/v2-cdaa97def9ea4_b.jpg& data-rawwidth=&473& data-rawheight=&469& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&473& data-original=&/v2-cdaa97def9ea4_r.jpg&&&br&&p&当然，其实在有些领域，比如深度学习/人工智能，为了方便，也经常会把N维数组都统称为tensor：&/p&&br&&img src=&/v2-6dd8366ecb7fdb05c65c284d2468321e_b.jpg& data-rawwidth=&564& data-rawheight=&392& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&564& data-original=&/v2-6dd8366ecb7fdb05c65c284d2468321e_r.jpg&&&p&这个图很形象地说明了他们之间的包含关系。你们静静地感受下。&/p&&p&google著名的深度学习开源框架就叫tensorflow，还有TPU(Tensor Processing Unit)处理器。其中tensor指的就是n维数组。&/p&&p&………………………………………………&/p&&p&关于tensor，各行业有不同角度和看法很正常。我是看到题目标签里有计算机，所以本能地按老本行来答题:)&/p&
感觉好多回答都挺吓人的：） 我来个简单的好不啦：1.单个的数值叫Scalar。也就是一个数字。比如说250这样的自然数。也可以是实数。下同。2.一维的数组叫Vector，也就是向量。比如 {a1，a2，a3......an}。这里a1，a2...的值都是Scalar。3.二维的数组叫Matrix…
&img src=&/50/d86a52caeaa909e86ee9_b.jpg& data-rawwidth=&520& data-rawheight=&403& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&520& data-original=&/50/d86a52caeaa909e86ee9_r.jpg&&&p&作
昊&/p&&p&知
乎：Heinrich&/p&&p&微
博：@花生油工人 &/p&&p&知乎专栏：与时间无关的故事&/p&&p&谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。&/p&&p&&b&转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。&/b&&/p&&br&&p&——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————&/p&&p&我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……&/p&&p&这篇文章的核心思想就是：&/p&&h2&要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。&/h2&&p&傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。&/p&&p&————以上是定场诗————&/p&&p&下面进入正题：&/p&&p&抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……&/p&&p&p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。&/p&&h2&一、什么是频域&/h2&&p&从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现&u&世界是永恒不变的&/u&，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。&/p&&p&先举一个&u&&b&公式上并非很恰当&/b&&/u&，但意义上再贴切不过的例子：&/p&&p&在你的理解中，一段音乐是什么呢？&/p&&img src=&/2caa1b75825_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&270& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/2caa1b75825_r.jpg&&&br&&br&&p&这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：&/p&&p&&img src=&/8e1fce9d7607d97cebf73e1f36f03f06_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&272& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/8e1fce9d7607d97cebf73e1f36f03f06_r.jpg&&&br&好的！下课，同学们再见。&/p&&p&是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。&/p&&p&现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。&/p&&p&将以上两图简化：&/p&&p&时域：&br&&/p&&p&&img src=&/d4fa1de41ac84a56e432_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&440& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/d4fa1de41ac84a56e432_r.jpg&&&br&频域：&/p&&img src=&/1ca366b593d877a16c8ab9_b.jpg& data-rawwidth=&137& data-rawheight=&199& class=&content_image& width=&137&&&br&&p&在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。&/p&&p&所以&/p&&h2&你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。&/h2&&p&抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。&/p&&p&而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。&/p&&h2&二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱&/h2&&p&还是举个栗子并且有图有真相才好理解。&/p&&p&如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：&br&&img src=&/055bf33bbc5dbeb75dd9_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&616& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/055bf33bbc5dbeb75dd9_r.jpg&&&br&&br&&/p&&p&第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）&/p&&p&第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)&/p&&p&第三幅图是4个发春的正弦波的叠加&/p&&p&第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加&/p&&p&随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？&/p&&p&（只要努力，弯的都能掰直！）&/p&&p&随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）&/p&&p&不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没&br&有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。&/p&&p&还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：&/p&&img src=&/563deb4aba_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1289& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/563deb4aba_r.jpg&&&br&&p&在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。&br&&/p&&p&这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。&/p&&p&好了，关键的地方来了！！&/p&&p&如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。&/p&&p&对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。&/p&&p&时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为&img src=&/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&的正弦波cos（&img src=&/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&t）看作基础，那么频域的基本单元就是&img src=&/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&。&/p&&p&有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。&/p&&p&接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。&/p&&img src=&/81cac162c2d76df75a6690a_b.jpg& data-rawwidth=&560& data-rawheight=&201& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&560& data-original=&/81cac162c2d76df75a6690a_r.jpg&&&br&&p&正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆&img src=&/e15e1db741930_b.jpg& data-rawwidth=&256& data-rawheight=&256& class=&content_image& width=&256&&&br&&/p&&p&知乎不能传动态图真是太让人惋惜了……&/p&&p&想看动图的同学请戳这里：&/p&&p&&a href=&/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_square_wave_circles_animation.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series square wave circles animation.gif&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&以及这里：&/p&&p&&a href=&/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&点出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki写的哪有这里的文章这么没节操是不是。&/p&&p&介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：&/p&&p&&img src=&/e2e3c0af3bdbcba721cda9e_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&567& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/e2e3c0af3bdbcba721cda9e_r.jpg&&&br&这是什么奇怪的东西？&/p&&p&这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——&/p&&img src=&/bd33d94e2fc8b174f0d14ab_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/bd33d94e2fc8b174f0d14ab_r.jpg&&&br&&br&&p&再清楚一点：&br&&img src=&/40cf849e55edd_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&481& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/40cf849e55edd_r.jpg&&可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。&br&&/p&&p&动图请戳：&/p&&p&&a href=&/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_and_transform.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series and transform.gif&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。&/p&&p&但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？&/p&&br&&p&我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……&/p&&h2&三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱&/h2&&p&&u&上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。&/u&&/p&&p&在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。&/p&&p&先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：&/p&&p&先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。&/p&&p&好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。&/p&&p&别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？&/p&&p&好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。&/p&&p&但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。&/p&&p&所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。&/p&&p&再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。&/p&&p&傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。&/p&&p&————————————————————————————————————&/p&&p&下面我们继续说相位谱：&/p&&p&通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。&/p&&img src=&/01dc098e26a_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&856& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/01dc098e26a_r.jpg&&&br&&p&鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。&br&&/p&&p&&img src=&/ea7b14d1fc7e11d322fcb_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&758& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/ea7b14d1fc7e11d322fcb_r.jpg&&&br&这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。&/p&&p&在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。”&/p&&p&注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。&br&&/p&&p&最后来一张大集合：&/p&&img src=&/77bab880cd55b6846f12_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&663& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/77bab880cd55b6846f12_r.jpg&&&h2&&b&四、傅里叶变换（Fourier Transformation）&/b&&/h2&&p&相信通过前面三章，大家对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过，这个栗子是一个公式错误，但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢？&br&&/p&&p&傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾经在学数字信号处理的时候写过一首打油诗：&/p&&h3&往昔连续非周期，&/h3&&h3&回忆周期不连续，&/h3&&h3&任你ZT、DFT，&/h3&&h3&还原不回去。&/h3&&p&（请无视我渣一样的文学水平……）&/p&&p&在这个世界上，有的事情一期一会，永不再来，并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格外宝贵的回忆，在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，可惜这些回忆都是零散的片段，往往只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被我们忘却。因为，往昔是一个连续的非周期信号，而回忆是一个周期离散信号。&/p&&p&是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。&/p&&br&&p&比如傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。&/p&&p&而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。&/p&&p&算了，还是上一张图方便大家理解吧：&/p&&p&&img src=&/419cd0b2e965aca25d5f8a5a_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/419cd0b2e965aca25d5f8a5a_r.jpg&&&br&或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。&/p&&p&所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。&/p&&p&因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？&/p&&h2&&b&你见过大海么？&/b&&/h2&&p&为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。&/p&&p&&img src=&/a185beacc5372_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&383& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/a185beacc5372_r.jpg&&&br&以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？&/p&&p&尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……&/p&&p&直到变得像波涛起伏的大海：&/p&&br&&img src=&/ece53f825c6de629befba3de12f929a7_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&422& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/ece53f825c6de629befba3de12f929a7_r.jpg&&&br&&p&很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。&/p&&p&不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。&/p&&p&不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——&/p&&h2&五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式&/h2&&p&虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1的平方根，可是它真正的意义是什么呢?&/p&&p&&img src=&/42e1f6dc43eba389a5df4_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&160& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/42e1f6dc43eba389a5df4_r.jpg&&这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。&br&&/p&&p&我们知道乘-1其实就是乘了两次 i使线段旋转了180度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了90度。&/p&&p&&img src=&/3e88eebdda51dee88358_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&342& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/3e88eebdda51dee88358_r.jpg&&&br&同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。&/p&&p&现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——&/p&&p&&img src=&/ac148a3bb2_b.jpg& data-rawwidth=&161& data-rawheight=&20& class=&content_image& width=&161&&这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于Pi的时候。&/p&&p&&img src=&/57aabba66d545ab5a864cd_b.jpg& data-rawwidth=&93& data-rawheight=&20& class=&content_image& width=&93&&经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数1和0，虚数i还有圆周率pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“&/p&&p&这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：&/p&&p&&img src=&/974efc6a99e06dcdccbe93_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&399& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/974efc6a99e06dcdccbe93_r.jpg&&&br&欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。&/p&&p&关于复数更深的理解，大家可以参考：&/p&&p&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&复数的物理意义是什么？&/a&&br&&/p&&p&这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。&/p&&h2&&b&六、指数形式的傅里叶变换&/b&&/h2&&p&有了欧拉公式的帮助，我们便知道：&b&正弦波的叠加&/b&，也可以理解为&b&螺旋线的叠加&/b&在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？&/p&&p&&b&光波&/b&&/p&&p&高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：&/p&&p&&img src=&/c2d7bfc819ebcbea8d6f2cd_b.jpg& data-rawwidth=&277& data-rawheight=&174& class=&content_image& width=&277&&&br&所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。&/p&&p&但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从0到无穷所有频率的组合。&/p&&br&&p&这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：&/p&&p&第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。&/p&&p&另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：&/p&&img src=&/equation?tex=e%5E%7Bit%7D%3Dcos%28t%29%2Bi.sin%28t%29& alt=&e^{it}=cos(t)+i.sin(t)& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=e%5E%7B-it%7D%3Dcos%28t%29-i.sin%28t%29& alt=&e^{-it}=cos(t)-i.sin(t)& eeimg=&1&&&br&&p&将以上两式相加再除2，得到：&/p&&img src=&/equation?tex=cos%28t%29%3D%5Cfrac%7Be%5E%7Bit%7D%2Be%5E%7B-it%7D%7D%7B2%7D+& alt=&cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2} & eeimg=&1&&&br&&p&这个式子可以怎么理解呢？&/p&&p&我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而cos(t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！&/p&&p&举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。&/p&&p&这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。&/p&&br&&p&好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：&/p&&p&想象一下再往下翻：&/p&&p&|&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&|&br&&/p&&p&&img src=&/f116ae26859bdc80b28ea0f8f894ccc0_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&620& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/f116ae26859bdc80b28ea0f8f894ccc0_r.jpg&&&br&是不是很漂亮？&/p&&p&你猜猜，这个图形在时域是什么样子？&/p&&p&&img src=&/0fdfa0a9b6eeac_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&628& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/0fdfa0a9b6eeac_r.jpg&&&br&哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。&/p&&p&顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。&/p&&p&如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。&/p&&br&&p&好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：&/p&&img src=&/097cf436a72_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&980& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/097cf436a72_r.jpg&&&p&好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事：&/p&&br&&p&这篇文章第一次被写下来的地方你们绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），但是后来时间紧压根没复习，所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到，无论如何我都不会比上次考的更好了，所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。&/p&&p&你们猜我的了多少分？&/p&&p&6分&/p&&p&没错，就是这个数字。而这6分的成绩是因为最后我实在无聊，把选择题全部填上了C，应该是中了两道，得到了这宝贵的6分。说真的，我很希望那张卷子还在，但是应该不太可能了。&/p&&p&那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？&/p&&p&45分&/p&&p&没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。&/p&&p&在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。&/p&&p&后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。&/p&&p&这次，我考了满分，而及格率只有一半。&/p&&p&老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？&/p&&p&缺少了目标的教育是彻底的失败。&/p&&p&在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！&/p&&p&好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先讲本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！&/p&&p&这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。&/p&&p&最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。&/p&&p&本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。&/p&&p&最后，祝大家都能在学习中找到乐趣。…&/p&
作 者：韩 昊知 乎：Heinrich微 博：@花生油工人 知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ——更新于，…
&p&我们就挑最简单的&a href=&///?target=https%3A///mlnd/%3Futm_source%3Dzhihu%26utm_medium%3Dzhihu%26utm_campaign%3DMLND& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习&i class=&icon-external&&&/i&&/a&问题来说说矩阵是怎么用的吧。最简单的&a href=&///?target=https%3A///mlnd/%3Futm_source%3Dzhihu%26utm_medium%3Dzhihu%26utm_campaign%3DMLND& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习&i class=&icon-external&&&/i&&/a&问题是什么呢？&b&线性回归--- 用很多很多点来拟合一条直线。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&数据：&img src=&///equation?tex=%28x_1%2C+y_1%29%2C%28x_2%2C+y_2%29+...+%28x_n%2C+y_n%29& alt=&(x_1, y_1),(x_2, y_2) ... (x_n, y_n)& eeimg=&1&&&/p&&p&参数：选取&img src=&///equation?tex=%28m%2C+b%29& alt=&(m, b)& eeimg=&1&&， 即直线&img src=&///equation?tex=y+%3D+mx+%2B+b& alt=&y = mx + b& eeimg=&1&&&/p&&p&目标：最小化误差 &img src=&///equation?tex=E+%3D+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28y_i+-+mx_i-b%29%5E2& alt=&E = \sum_{i=1}^n(y_i - mx_i-b)^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&这和矩阵有什么关系呢？ 没什么关系，但是如果我用矩阵来求最小值，会很帅。&/p&&p&&br&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+E%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28y_i+-+mx_i-b%29%5E2%5C%5C+%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28y_i+-+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x_%7B1%7D+%26+1+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+m+%5C%5C+b+%5Cend%7Bbmatrix%7D%29%5E2%5C%5C+%26%3D%5Cbegin%7BVmatrix%7D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+y_%7B1%7D+%5C%5C+%5Cvdots+%5C%5C+y_%7Bn%7D+%5Cend%7Bbmatrix%7D+-+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x_%7B1%7D+%26+1+%5C%5C+%5Cvdots+%26+%5Cvdots+%5C%5C+x_%7Bn%7D+%26+1+%5C%5C+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+m+%5C%5C+b+%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cend%7BVmatrix%7D%5E2%2C+let+%5C%2C%5Cmathbf%7Bh%7D+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+m+%5C%5C+b+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5C%5C+%26%3D%5Cbegin%7BVmatrix%7D+%5Cmathbf%7By-Xh%7D%5Cend%7BVmatrix%7D%5E2%5C%5C+%26%3D+%5Cmathbf%7B%28y-Xh%29%5ET%28y-Xh%29%7D%5C%5C+%26%3D+%5Cmathbf%7By%5ETy-2%28Xh%29%5ETy+%2B+%28Xh%29%5ETXh%7D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5Cfrac%7BdE%7D%7Bd%5Cmathbf%7Bh%7D%7D+%26%3D2%5Cmathbf%7BX%5ETXh-2X%5ETy%7D%3D0%5C%5C+%5C%5C+%5Cmathbf%7Bh%7D+%26%3D%5Cmathbf%7B%28X%5ETX%29%5E%7B-1%7DX%5ETy%7D%5C%5C+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align} E&=\sum_{i=1}^n(y_i - mx_i-b)^2\\ &=\sum_{i=1}^n(y_i - \begin{bmatrix} x_{1} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m \\ b \end{bmatrix})^2\\ &=\begin{Vmatrix} \begin{bmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_{1} & 1 \\ \vdots & \vdots \\ x_{n} & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m \\ b \end{bmatrix}\end{Vmatrix}^2, let \,\mathbf{h} = \begin{bmatrix} m \\ b \end{bmatrix} \\ &=\begin{Vmatrix} \mathbf{y-Xh}\end{Vmatrix}^2\\ &= \mathbf{(y-Xh)^T(y-Xh)}\\ &= \mathbf{y^Ty-2(Xh)^Ty + (Xh)^TXh}\\ \\ \\ \frac{dE}{d\mathbf{h}} &=2\mathbf{X^TXh-2X^Ty}=0\\ \\ \mathbf{h} &=\mathbf{(X^TX)^{-1}X^Ty}\\ \end{align}& eeimg=&1&&&/p&&p&搞定！忍不住大叫美观。 顺便提一下，&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7B%28X%5ETX%29%5E%7B-1%7DX%5ET%7D& alt=&\mathbf{(X^TX)^{-1}X^T}& eeimg=&1&& 叫做 &img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BX%7D& alt=&\mathbf{X}& eeimg=&1&& 的伪逆矩阵 (Pseudoinverse)。&/p&&p&&br&&/p&&p&啊，等等，还没完。我们在这里尝试减小的误差是y方向的误差。这在拟合的直线是水平的时候效果还不错。 但是如果直线是竖直的时候，就完全GG了。偏离直线一些些，就会带来极大的误差。这是不科学的。于是我们想要最小化的是所有点到候选直线的距离的平方和。&/p&&p&&br&&/p&&p&数据：&img src=&///equation?tex=%28x_1%2C+y_1%29%2C%28x_2%2C+y_2%29+...+%28x_n%2C+y_n%29& alt=&(x_1, y_1),(x_2, y_2) ... (x_n, y_n)& eeimg=&1&&&/p&&p&参数：选取&img src=&///equation?tex=%28a%2C+b%2C+d%29& alt=&(a, b, d)& eeimg=&1&&, 即直线 &img src=&///equation?tex=l%3A+ax%2Bby+%3D+d& alt=&l: ax+by = d& eeimg=&1&& , 其中 &img src=&///equation?tex=%7C%7C%28a%2Cb%29%7C%7C%3D1& alt=&||(a,b)||=1& eeimg=&1&&&/p&&p&目标：最小化误差 &img src=&///equation?tex=E+%3D+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28ax_i%2Bby_i-d%29%5E2& alt=&E = \sum_{i=1}^n(ax_i+by_i-d)^2& eeimg=&1&&&/p&&p&
其中 &img src=&///equation?tex=%7Cax_i%2Bby_i-d%7C& alt=&|ax_i+by_i-d|& eeimg=&1&& 即点 &img src=&///equation?tex=%28x_i%2C+y_i%29& alt=&(x_i, y_i)& eeimg=&1&& 到直线 &img src=&///equation?tex=l%3Aax%2Bby+%3D+d& alt=&l:ax+by = d& eeimg=&1&& 的距离。&/p&&p&&br&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+E%7D%7B%5Cpartial+d%7D+%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En-2%28ax_i%2Bby_i-d%29%3D0%5C%5C+d+%26%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bn%7D%5CSigma_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_i+%2B+%5Cfrac%7Bb%7D%7Bn%7D%5CSigma_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dy_i%5C%5C+%26%3Da%5Cbar%7Bx%7D+%2B+b%5Cbar%7By%7D%5C%5C+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align} \frac{\partial E}{\partial d} &=\sum_{i=1}^n-2(ax_i+by_i-d)=0\\ d &=\frac{a}{n}\Sigma_{i=1}^{n}x_i + \frac{b}{n}\Sigma_{i=1}^{n}y_i\\ &=a\bar{x} + b\bar{y}\\ \end{align}& eeimg=&1&&&/p&&p&在&img src=&///equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&& 中替换 &img src=&///equation?tex=d%3Da%5Cbar%7Bx%7D+%2B+b%5Cbar%7By%7D& alt=&d=a\bar{x} + b\bar{y}& eeimg=&1&&
得到，&/p&&p&&br&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+E+%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28ax_i%2Bby_i-d%29%5E2%5C%5C+%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28ax_i%2Bby_i-a%5Cbar%7Bx%7D+-+b%5Cbar%7By%7D%29%5E2%5C%5C+%26%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28a%28x_i-%5Cbar%7Bx%7D%29%2Bb%28y_i-%5Cbar%7By%7D%29%29%5E2%5C%5C+%26%3D%5Cbegin%7BVmatrix%7D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x_%7B1%7D-%5Cbar%7Bx%7D+%26+y_1-%5Cbar%7By%7D+%5C%5C+%5Cvdots+%26+%5Cvdots+%5C%5C+x_%7Bn%7D-%5Cbar%7Bx%7D+%26+y_n-%5Cbar%7By%7D+%5C%5C+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+a+%5C%5C+b+%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cend%7BVmatrix%7D%5E2%2C+let+%5C%2C+%5Cmathbf%7Bh%7D+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+a+%5C%5C+b+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%5C%5C+%26%3D+%5Cmathbf%7B%28Uh%29%5ET%28Uh%29%7D%5C%5C+%5C%5C+%5C%5C+%5Cfrac%7BdE%7D%7Bd%5Cmathbf%7Bh%7D%7D+%26%3D2%5Cmathbf%7B%28U%5ETU%29h%7D%3D0%2C+%7C%7C%5Cmathbf%7Bh%7D%7C%7C%3D1%5C%5C+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align} E &=\sum_{i=1}^n(ax_i+by_i-d)^2\\ &=\sum_{i=1}^n(ax_i+by_i-a\bar{x} - b\bar{y})^2\\ &=\sum_{i=1}^n(a(x_i-\bar{x})+b(y_i-\bar{y}))^2\\ &=\begin{Vmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}-\bar{x} & y_1-\bar{y} \\ \vdots & \vdots \\ x_{n}-\bar{x} & y_n-\bar{y} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\end{Vmatrix}^2, let \, \mathbf{h} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \\ &= \mathbf{(Uh)^T(Uh)}\\ \\ \\ \frac{dE}{d\mathbf{h}} &=2\mathbf{(U^TU)h}=0, ||\mathbf{h}||=1\\ \end{align}& eeimg=&1&&&/p&&p&这就是个标准问题，求齐次线性系统的非平凡解 （Homogeneous Linear Systems non-trivial solution）。&img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7Bh%7D& alt=&\mathbf{h}& eeimg=&1&& 为 &img src=&///equation?tex=%5Cmathbf%7BU%5ETU%7D& alt=&\mathbf{U^TU}& eeimg=&1&& 的最小特征值对应的特征向量。搞定！&/p&&p&&br&&/p&&p&总结一下，这个最简单的&a href=&///?target=https%3A///mlnd/%3Futm_source%3Dzhihu%26utm_medium%3Dzhihu%26utm_campaign%3DMLND& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习&i class=&icon-external&&&/i&&/a&问题里面，我们都用到了哪些矩阵的知识？&/p&&ul&&li&矩阵的模&/li&&li&伪逆矩阵&/li&&li&对矩阵求微分&/li&&li&求齐次线性系统的非平凡解，这其中又涉及&/li&&ul&&li&矩阵 SVD 分解&/li&&li&正交矩阵&/li&&li&特征值，特征向量&/li&&/ul&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&如此一个简单的的线性回归问题原来也和这么多矩阵的知识相关。所以，线性代数很重要啊！&b&至于要看什么书，其实用不着看书&/b&。等你看完了书，你同学的machine learning论文都发了两篇了，或者kaggle都刷到前5%了，或者都做了个能识别数字的android app 准备开始创业了。要学 &a href=&///?target=https%3A///mlnd/%3Futm_source%3Dzhihu%26utm_medium%3Dzhihu%26utm_campaign%3DMLND& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&机器学习&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，从现在就可以开始，从这篇文章就可以开始。 查漏补缺，有什么不懂的就去查去问，找google，找大神。&b&保证每天都学&/b&，慢慢的你也就很厉害了。&/p&&p&感谢 &a class=&member_mention& href=&///people/9f9af3d54dbab& data-hash=&9f9af3d54dbab& data-hovercard=&p$b$9f9af3d54dbab&&@Walker&/a& 同学投稿，欢迎各路同学交流！&/p&
我们就挑最简单的问题来说说矩阵是怎么用的吧。最简单的问题是什么呢？线性回归--- 用很多很多点来拟合一条直线。 数据：(x_1, y_1),(x_2, y_2) ... (x_n, y_n)参数：选取(m, b)， 即直线y = mx + b目标：最小化误差 E = \sum_{i=1}^n(y_i …
&img src=&/50/v2-4c6cead7ba8d8c76f16ff14_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&哲学家建立了事物的基本概念，我们在讨论中遵循它，有时误用它，有时颠覆它。以下 48 个基本概念常常出现在公共讨论（网络混战）里， 伦敦设计师 Genis Carreras 用最简单的线条、形状和色块对它们进行了诠释。&br&&br&&br&&br&absolutism 绝对主义 / 色盲&br&&img src=&/v2-aa141cbc57d_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&绝对主义认为在任何一种学说里，某种观点必定是绝对正确或者绝对错误的。&br&&br&&br&2. absurdism 荒诞主义 / 恶搞&p&&img src=&/v2-8a4ce1cb25ec4d_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&“荒诞主义”是对人生的极端反叛，认为人生的意义并不存在，所以可以活得很无厘头都无所谓。&br&&br&&br&&br&3. aestheticism 唯美主义 / 外貌协会&/p&&p&&img src=&/v2-27fd751a68ddb9e2bf6372_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&唯美主义者的人生目的就是去创造和享受一切美的东西。&br&&br&&br&&br&4. altruism 利他主义 / 雷锋精神&br&&img src=&/v2-061b1c7f274e198c981ea_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&利他主义者是一种随时都在无私地为他人福利着想的行为，在道德判断上，认为别人的幸福快乐比自己的来得重要。利他主义在许多思想和文化中是一种美德。&br&&br&&br&5. anarchism 无政府主义 / 互联网精神&br&&img src=&/v2-ff29b326be80cf2c578b8e3b_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&“无政府”一词并不代表混乱、虚无或道德沦丧的状态，而是一种由自由的个体自愿结合，以建立互助、自治、反独裁主义的和谐社会。庄子被认为是最早的无政府主义者。&br&&br&&br&6. anthropocentrism 人类中心主义 / “以人为本”&br&&img src=&/v2-4a10f82d9bfdb82a02e2034c_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&人类中心主义认为人类是地球上最核心或者最重要的物种，评价现实的真实与否依靠人类的视角。人类中心主义是环境伦理学和环境哲学的主要概念，被认为是人类为何与自然环境发生冲突的根本原因，但这种理念已经根植在大多数人类的心中。&br&&br&&br&7. atheism 无神论 / &上帝已死&&br&&img src=&/v2-ce9cdefb1eb_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&无神论并没有统一的哲学思想，一些无神论者可能完全否定任何超自然事物，但另一些无神论者可能相信诸如占星术等伪科学。无神论经常同不可知论、反神论或反有神论相混淆。无神论者是认为没有神，不可知论者是认为神的存在是不可知，而反神论者是直接明确反对有神论。（“有神论”的设计参见第 46 条）&br&&br&&br&8. capitalism 资本主义 / 大富翁&br&&img src=&/v2-026a0228aadc9debd13ded3f_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&资本主义的特色是私人拥有生产资料，且投资活动是由个人决策左右，而非由国家所控制，经济行为则以寻求利润为目标。资本主义的主要经济模式包括了自由的资本和雇佣流动、市场竞争以及价格机制的运行。&br&&br&&br&9. collectivism 集体主义 / 蜜蜂&br&&img src=&/v2-2cc84c08ddf2ea264c4a4a3b5e5f3ce6_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&集体主义是主张个人从属于社会，个人利益应当服从集团、民族、阶级和国家利益的一种思想理论，是一种精神。&br&&br&&br&10. constructivism 建构主义 / 乐高积木&br&&img src=&/v2-82bbec6208_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&建构主义者认为，任何一个社会人的行为都被约定俗成的社会传统、社会习惯和个人身份来制约或改变，因此现实和我们理解现实的方式都是人造的、主观的。&br&&br&&br&11. cynicism 犬儒主义 / “呵呵。。。”&br&&img src=&/v2-1d5da9f63c55df16d7a134fd8bd5cb20_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&犬儒主义本意是指人不应被一切世俗的事物，包括宗教、礼节、惯常的衣食住行等习俗束缚，提倡对道德的无限追求，同时过着极简朴而非物质的生活。&br&在现代社会中“犬儒主义”一词常被误用作比喻一些否定利他主义、自私而且毫无道德的人，也是该海报设计师所理解的含义。&br&&br&&br&12. deductionism 演绎主义 / 比萨斜塔上扔两个铁球&br&&img src=&/v2-7ccd3c83d22e_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&科学知识的产生是通过提出假设，然后通过实验和观察到的现象和数据来证明这样一个过程。&br&&br&&br&13. determinism 决定论 / 善有善报&br&&img src=&/v2-90467d5adb151bcf7c0a650c4151cad9_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&决定论是哲学的一种命题，认为每个事件的发生，包括人类的认知、举止、决定和行动，都是因为先前的事而有原因地发生。&br&&br&&br&14. dogma 教条主义 / 摩羯座&br&&img src=&/v2-3d6fbcdf65ec6c28b640b_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&指那些我们所相信的、不容质疑的观念。宗教上指那些具有权威性的团体所确立的教理，信徒以此作为应该学习的真理课程。&br&&br&&br&15. dualism 二元论 / 101010&br&&img src=&/v2-588a1a0a6f978d97a3baca44a9c28f62_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&二元论认为世界由两种力量统治：善与恶。善是精神，是灵魂，是善的力量创造的一切东西；而恶是物质，是肉体，是恶的力量创造的一切。这两种力量对抗着，共同支配世界。&br&&br&&br&16. eclecticism 折衷主义 / 混搭&br&&img src=&/v2-e85aee4cb15ab0c9757f07_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&折衷主义是指操作运用不同的理论、方法、风格，拣选其中最佳要素，应用在新的创作中。在艺术或建筑批评等特定领域，指挪借多种视觉资源来创作新作品。&br&&br&&br&17. egalitarianism 平均主义 / AA 付账&br&&img src=&/v2-83fafa27fe53f8f4612dbf_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&平均主义要求平均分享一切社会财富，对人人应该予以同样、平等对待。&br&&br&&br&18. emotivism 情感主义 / “我就喜欢！”&br&&img src=&/v2-8c0a8b6b5d21970deed5b_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&情感主义是 20 世纪 30 年代，英美等国最流行的一种元伦理学，它否认伦理学的科学地位，主张道德是个人情感的表达，否认道德的客观性，认为道德判断没有合理的或有效的根据，没有真假之别，不过是表示某种情感、某种愿望。&br&&br&&br&19. empiricism 经验主义 / 你行你上&br&&img src=&/v2-88cfdf09bb7f842e722f94_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&经验主义指相信现代科学方法，认为理论应建立于对于事物的观察，通过实验研究而后进行理论归纳，优于单纯的逻辑推理、直觉或者先入为主的概念。&br&&br&&br&20. epiphenomenalism 副现象论 / 空想无用&br&&img src=&/v2-9de91fdaff148c_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&副现象论认为物理世界可以影响内心世界，但是反过来却不行。&br&&br&&br&21. eternalism 永恒论 / 四次元&br&&img src=&/v2-cd_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&永恒论认为时间不过是另外一个维度，明天已经存在了，只是你还没到那里而已。过去、现在、未来都一样真实。&br&&br&&br&22. eudaimonism 幸福主义 / 嗨皮！&br&&img src=&/v2-daa38e99e0e85d60fad6ff0_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&以幸福作为人生目的和理想的人生哲学。认为幸福包括物质生活和精神生活两个方面，人有追求幸福的权利，这是人的天性，人生的意义即在对于幸福的追求。&br&&br&&br&23. existentialism 存在主义 / 1+1&2&br&&img src=&/v2-0c3a5cdb97ab1ac33cb9_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&存在主义认为人存在的意义无法经由理性思考而得到答案，强调个人的主观经验。&br&&br&&br&24. extropy 有序主义 / iPhone 200!&br&&img src=&/v2-c0d03b2766cbbf2de29706_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&有序主义是相信科技进步可以解决人类问题的超人类主义思想之一。它认为随着科技的进步，总有一天人类可以得到永生。有序主义者愿意为了这个目的而努力，比如进行调查研究，志愿测试新技术等。&br&&br&&br&25. feminism 女性主义 / 女人=人 &br&&img src=&/v2-c46bbbcc788d9ecf41f855d_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&女性主义是指主要以女性经验为来源与动机的社会理论与政治运动。在对社会关系进行批判之外，许多女性主义的支持者也着重于性别不平等的分析以及推动妇女的权利、利益与议题。&br&&br&&br&26. finalism 决定论 / “从此之后幸福地生活在一起”&br&&img src=&/v2-f58f6cfcfaecc207ec38e9ff_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&决定论认为任何事物的发展都由预设好的既定结果来决定。&br&&br&&br&27. free will 自由意志 / 不想起床&br&&img src=&/v2-d09238edfd53a_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&自由意志是指在社会、道德、政治的限制下，人们依照其拥有的条件去自主决定是否做一件事的能力。&br&&br&&br&28. hedonism 快乐主义 / 自助餐&br&&img src=&/v2-df240d429edb8_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&又称享乐主义。它倾向于用纯粹生物学的或心理学的观点来解释人的行为与需要，认为人们以求得快乐为生活目的，包括肉体与心灵的快乐。&br&&br&&br&29. historicism 历史论 / iPhone 4S 其实没有太糟糕&br&&img src=&/v2-c9b568d726e397ad679336_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&历史论认为去理解一个历史事件，我们必须考虑到当时的大环境和历史的上下文，而不是抽象地用概念去解释。&br&&br&&br&30. idealism 唯心主义 / 知识就是力量&br&&img src=&/v2-dc2d8fab9ab712fa46606e_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&唯心主义反对现实主义的哲学观，认为在人类的认知中，我们对物体的理解与感知，独立于物体的实际存在。&br&&br&&br&31. individualism 个人主义 / 钉子户&br&&img src=&/v2-d914afecc7e38baa25e4fe33_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&个人主义是一种道德的、政治的和社会的哲学，认为个人利益应是决定行为的最主要因素，强调个人自由和个人权利的重要性，超越集体如国家、种族、社会组织之上。&br&&br&&br&32. mysticism 神秘主义 / 邪 教&br&&img src=&/v2-91c24d4c1012f6cfd4a80919fea3f5cf_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&也译作密契主义，包含人类与神明或某种超自然力量结合为一的各种形式、经验、体验，并且强调这是一切宗教共有的现象。神秘主义者的基本信条是世界上存在超自然的力量或隐藏的自然力量，这种力量可以通过特殊教育或者宗教仪式获得。&br&&br&&br&33. naturalism 自然主义 / 不信邪&br&&img src=&/v2-3627dab7450c35becc4ee_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&自然主义者认为自然的和超自然的都是一会事，可以用同一套方法来研究和解释。&br&&br&&br&34. nihilism 虚无主义 / 为什么要高考？&br&&img src=&/v2-4c6cead7ba8d8c76f16ff14_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&虚无主义作为哲学意义，为怀疑主义的极致形式，认为世界、生命（特别是人类）的存在是没有客观意义、目的以及可以理解的真相的。&br&&br&&br&35. objectivism 客观主义 / 道德不需要信仰&br&&img src=&/v2-81a51dd5c0c6f94d7a5e85_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&在伦理学中，客观主义认为有些事情的对错是客观存在的。&br&&br&&br&36. optimism 乐观主义 / 船到桥头自然直&br&&img src=&/v2-f7ebe9626ae_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&乐观主义是指一种对一切事物采与正面看法的观念。乐观的人不会想到一件事的缺点与瑕疵，永远以正面的想法对待身边的一切。&br&&br&&br&37. pantheism 泛神论 / 地球母亲&br&&img src=&/v2-a061a693acfcdf577f10a_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&泛神论是一种将自然界与神等同起来，以强调自然界的至高无上的哲学观点。泛神论认为神就存在于自然界一切事物之中，并没有另外的超自然的主宰或精神力量。&br&&br&&br&38. perspectivism 观点主义 / 兼听则明&br&&img src=&/v2-5a35eca6a7b487fe8958a_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&观点主义认为人思想和价值判断来自不同的内心驱动坏人个人视角，并没有绝对的真理，只能去融合不同的观点。&br&&br&&br&39. pessimism 厌世主义 / 我要死了！&br&&img src=&/v2-d21de59b2c1da1b5a908cd_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&厌世主义，亦即悲观主义和虚无主义，是特定人群中所形成的一种无可奈何的悲观心理的反映。（注意这幅图跟上面第 36 幅的差别）&br&&br&&br&40. rationalism 理性主义 / 启蒙思想&br&&img src=&/v2-0e684f272cdde33d7526_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&理性主义是建立在承认人的理性可以作为知识来源的理论基础上的一种哲学方法，认为理性高于并独立于感官感知。&br&&br&&br&41. relativism 相对主义 / &中国特色&&br&&img src=&/v2-582fa45b0ed82_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&相对主义不是一个单一的学说，而是一系列观点，其共同的主题是，经验、思想、价值总是相对于其他东西而成立的，没有什么绝对的真理或评判标准。&br&&br&&br&42. skepticism 怀疑论 / “你根本不爱我！”&br&&img src=&/v2-564dfedb0f8fd99a3acd7e_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&怀疑论是一种认识论，是认识问题的一种态度，它拒绝对问题作随意的不够严格的定论，对事物的看法采取一种类于“中立”的立场，既怀疑“是”也怀疑“不是”。怀疑论的反面是迷信，或更确切地说是独断论。&br&&br&&br&43. stoicism 斯多葛主义 / “男儿有泪不轻弹”&br&&img src=&/v2-0a931edb6d_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&斯多葛主义认为，重要的是在任何情况下都必须保持沉着，学会情感和生理的自我控制，以求得内心的平和与力量，获得更好的生活。斯多葛主义认为它的对立面激情是“背离理性和违反自然的精神冲动”。&br&&br&&br&44. structuralism 结构主义 / 社会不是统计数字&br&&img src=&/v2-163b2a29da2bfae_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&结构主义认为任何一个现象都必须在知道了语境和上下文和他们之间的相互关系后才能被真正理解。&br&&br&&br&45. syncretism 融合主义 / 天下大同&br&&img src=&/v2-697db5e687ad1bde09a4cd332eca365a_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&融合主义倡导不同宗教信仰或哲学主张之间的融合。&br&&br&&br&46. theism 有神论 / 圣诞老人算吗？&br&&img src=&/v2-dafa6de76a206d3af5849_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&广义上的有神论认为至少存在一个神明。狭义上特指一神论信仰，认为世界有一位至高的神明，关注于宇宙与这位神明之间的关系。海报设计者的理解是狭义的有神论。（“无神论”在上面第 7 条）&br&&br&&br&47. utilitarianism 功利主义 / 少数服从多数&br&&img src=&/v2-21a65d21beef_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&功利主义提倡追求大多数人的最大幸福，如果需要牺牲少部分人的利益也没办法。&br&&br&&br&48. vitalism 生命力论 / 气&br&&img src=&/v2-3b57eab77dc7dd1aa588cb_b.jpg& data-rawwidth=&354& data-rawheight=&500& class=&content_image& width=&354&&&br&生命力论在人类历史上存在长久的历史，现代版本是 19 世纪初由瑞典化学家贝采利乌斯提出的，认为生命的运作，不只依循物理及化学定律。生命有自我决定的能力。&br&&br&&br&&br&注1：本文图片均搬运自百度文库，原作者&b&伦敦设计师 Genis Carreras.&/b&&br&注2：了解哲学知识是非常好非常有帮助的，但是最好不要民哲误人子弟。&br&&br&&br&公众号：世上最孤独的读书俱乐部&br&&br&&br&&br&&img src=&/v2-7fbc05a215aaf18aaa2389_b.jpg& data-rawwidth=&1145& data-rawheight=&1706& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1145& data-original=&/v2-7fbc05a215aaf18aaa2389_r.jpg&&&/p&
哲学家建立了事物的基本概念，我们在讨论中遵循它，有时误用它，有时颠覆它。以下 48 个基本概念常常出现在公共讨论（网络混战）里， 伦敦设计师 Genis Carreras 用最简单的线条、形状和色块对它们进行了诠释。 absolutism 绝对主义 / 色盲 绝对主义认为在…
一年前看到师兄弄 level set，当时没有看懂。&br&前几天，在看一本书时，偶然又看到这个，就打算来仔细了解一下了。&br&所以，下面的这些点子新鲜出炉的，没有太多的实战经验，若有错误，应该也是很正常的，请见谅。&br&&br&这篇答案，最大的启发来自youtube的这两个视频：&br&&a class=& wrap external& href=&///?target=https%3A///watch%3Fv%3DB9soiDHr9bo%26index& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&/watch?v=B9soiDHr9bo&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&a href=&///?target=https%3A///watch%3Fv%3D1ZJ88JyLPZI& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&/watch?&/span&&span class=&invisible&&v=1ZJ88JyLPZI&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&br&--------------------------------------------------------------&br&&br&1.&br&&br&我第一次看到 level-set 的时候，我认为它是一种图像分割的方法。&br&当然，大家也都这么说。&br&不过，从这几天的了解来看，如果在内心一直带着“它是一种图像分割方法”这个想法，反而是带着一些框框，很多概念变得不那么好理解了。&br&所以，第一步：&b& 请忘掉这件事情，暂时我们不说它是一种图像分割的方法&/b&。&br&&br&&br&2.&br&在说 level set 之前，我们先谈 曲线的演变。 &br&&br&我们已经有一条曲线了。&br&现在，假如我们要演变它。&br&这里的意思是，我们要让一条曲线变化，慢慢地变成另一条曲线。&br&那么我们很容易想到的一个点子是：&b&我只需要指定曲线上的每一个点的运动方向和速度就可以了。&br&&/b&可以参考下面这个图：&br&&br&&img data-rawheight=&159& data-rawwidth=&445& src=&/8c7ade6629_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&445& data-original=&/8c7ade6629_r.jpg&&这个图里面只考察了一个点的运动方向和速度。&br&&br&&br&3.&br&到这里可能会很让你惊讶。&br&我们还没有提及到任何 和 “level -set” 有关的东西，图像分割的点子已经来了。&br&&br&图像分割的结果是，在我们要分割的图像上，我们绘制了一条曲线。&br&曲线包住了一些东西，那被我们说成是分割出来了的东西。&br&所以，图像分割，如果用曲线演变的方法，大约就是在要分割的图片上，先随便绘制一条曲线，然后让这条曲线演变成我们想要的曲线，分割就搞定了。&br&&br&回看一下上面，曲线的演变的话，我们其实只需要控制的是每一个点在每一个时刻的速度而已。&br&图像分割，仅仅是，针对曲线上的每一个点，考察其盖住的图像，通过此来决定在曲线上的这个的点的运动速度而已。&br&&br&为了说明，我打算举个例子：&br&&img data-rawheight=&294& data-rawwidth=&299& src=&/8feb0bfb260_b.jpg& class=&content_image& width=&299&&&br&上面图里，那个红色小圈就是我的初始曲线。&br&现在，我要演变这个曲线。&br&那么也就是要控制每一个时刻这个曲线上的每一个点的运动速度和方向。&br&方向嘛，我就朝外（arc length 法线方向），而大小呢，我就根据这条曲线盖住的图像来确定。&br&（把图像和曲线看成在两个不同的图层，曲线在上一层，图像在它下面）&br&&br&这个大小的确定有很多不同的方法，但是很基本的要满足的条件是：我希望到快接近边缘的时候，速度就慢了，甚至停了下来，而如果曲线上的那个点不靠近边缘，那么速度就得比较快。&br&&br&比如说，大小确定的方法，我根据曲线上的每一个点，当前盖住的图像的点处的梯度来决定速度的大小。&br&如果梯度比较小，那说明这个时候，曲线还在肚子里面，我的速度就可以大一点。&br&如果梯度比较大，那么说明这个时候，已经接近了边缘了，那么我的运动速度就要小一点了。&br&因此，曲线上每一个点运动的速度，和其盖住的图像的点的梯度大约成反比：&br&&img data-rawheight=&294& data-rawwidth=&300& src=&/fc71180a29cdeb654af9d83_b.jpg& class=&content_image& width=&300&&&br&比如上图，绿色的点的运动速度就很大。&br&而黄色的那个点啊，就得运动得很慢了，甚至几乎不怎么运动。&br&&br&慢慢地，这个曲线就贴近图像的轮廓了。&br&&br&至少从我目前的理解来看，核心在于如何通过要分割的图像，去确定曲线运动的速度。&br&&br&&br&4.&br&图像分割的故事其实已经说完了。&br&到目前为止，都还没有说到
level - set。&br&小结一下： level set 准确地说来，不是图像分割的方法。&br&真正的图像分割的方法，是 曲线的演变。 &br&我们通过把每一个点的演变速度和图像扯上关系，曲线就慢慢演变成了轮廓。&br&&br&那 level-set 是什么？它是 曲线演变的 实现方法。&br&&br&&br&5.&br&上面的曲线演变，在真的实现的时候，会很头疼。&br&所以，才需要 level set 帮忙。&br&在这个部分，我打算谈一下是怎么头疼的：&br&&br&&br&（1）绿色曲线的两个邻近的点，根据当前的速度演变，到了下一刻，成了红色曲线上的两个点。注意到，这里曲线“变长”了，多出了蓝色的点，这个点还需要插值出来得到。&br&&img data-rawheight=&294& data-rawwidth=&300& src=&/89fc65f177d6c914ede052ecd036aea1_b.jpg& class=&content_image& width=&300&&&br&（2）&br&&img data-rawheight=&154& data-rawwidth=&464& src=&/f7fa18eca416_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&464& data-original=&/f7fa18eca416_r.jpg&&对于左边的图，如果是从红色曲线演变成黄色的曲线，其实好比较容易想通。&br&但是，从黄色曲线演变成红色曲线就有点费解了。&br&因为有的地方，两个点重合了之后，不知道该如何描述下一个时刻。&br&是两个点和成了一个呢？还是每一个点都还有自己的运动。&br&&br&再看右边，红色曲线很光滑，慢慢朝着里面运动，变得越来越尖了。这个时候又不好描述点的运动了。&br&&br&所以，真的去跟踪每一个点的运动是很头疼的。&br&&br&&br&6.&br&终于要说到 level set了。&br&先来看这个词，set 的意思是集合。&br&&br&我们要描述直线上的两个点，那么可以直接就写出两个点的坐标：&br&&br&&img data-rawheight=&269& data-rawwidth=&460& src=&/adf2b8b7a335_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&460& data-original=&/adf2b8b7a335_r.jpg&&&br&&br&你也可以绕一下，写成集合的形式，也就是所谓的 level set：&br&&br&&img data-rawheight=&497& data-rawwidth=&717& src=&/f62bf6aaf16deb029830_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&717& data-original=&/f62bf6aaf16deb029830_r.jpg&&&br&这里的 y 的取值就是 level，那么和上面相比，直接是X 轴上的两个点。&br&在这里的话，表达方式就成了，level 为1 的所有x取值的集合。&br&&br&所以对于曲线来说是一样的。&br&一个曲线是二维的。&br&我们可以直接用一个参数方程在二维平面上表示一条曲线：&br&&br&&img data-rawheight=&332& data-rawwidth=&661& src=&/1d4db76b89c2e402ce363af_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&661& data-original=&/1d4db76b89c2e402ce363af_r.jpg&&或者，也是表示集合的形式，那么就会是一个曲面（二元函数）上，某个level下的（一般选择的是level=0，也就是 f(x,y)=0），所有点的（x，y）坐标的集合（图中红色的为曲线，这些点的z坐标均为零）：&br&&img data-rawheight=&332& data-rawwidth=&661& src=&/46a9ef9c83bacd83973d4a_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&661& data-original=&/46a9ef9c83bacd83973d4a_r.jpg&&&br&&br&&br&7.&br&于是，上面的曲线的演变，可以变成了这个 f(x,y)随着时间演变，整个曲面发生了变化，它的level 0 的集合（即曲线），也发生了变化。&br&&br&&br&说是这么说，到底能不能实现，就需要回到我们上面曲线演变的问题：&br&&img data-rawheight=&332& data-rawwidth=&661& src=&/508d0ffe3ecbedcf98a630ea_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&661& data-original=&/508d0ffe3ecbedcf98a630ea_r.jpg&&&br&上图中的第一个公式，其实就是对于我们上面曲线演变的描述。&br&C表示的曲线（这里省略了具体细节，用这个比较模糊的式子，实际上为 C(p) = (x(p),y(p))），下标t表示，C对t求导。那么这个实际上，得到的是曲线上的每一个点的运动速度（向量）。&br&所有右边的V是速度的大小，而N是指的曲线的法线方向。&br&这里是我不太懂的地方，视频的作者不断谈到，改变曲线形状的速度方向是法线方向的，而切线方向的速度是不改变曲线的形状的，所以，在曲线的演变中，所有的点都只考虑了其发现方向的速度。&br&&br&&br&然后下面一个公式，f是一个二元函数，以x和y自变量的函数，它的取值为零时，所有的&br&x和y的坐标点的集合就是我们的曲线，它是第一个式子通过推导（其中需要引入的条件就是，level = 0 时的集合为曲线）得来的。意思是说，你的曲面只要按照这个式子去演变，那么其level 0，总是我们想要的曲线。&br&&br&所以，来回顾一下：&br&我们要实现的是第一个公式，曲线的演变，其中的V怎么来选择，我们暂时不管，V选择的方式才决定了我们要干的事情是不是图像分割。&br&&br&而第二个公式，是曲面的演变，曲面的演变，如果遵循这个式子，即是曲面上的点，z=f(x,y)的取值，随着时间的变化满足这个式子的右边。那么每一次，取这个曲面的 level 0，那些点就一定是上面我们想要的当前状态下的曲线。&br&&br&再来看下第二个式子要怎么实现？&br&很简单。&br&一开始，随便选取一个曲面，只要其 level 0 为我们要的初始曲线。&br&然后，下一刻时刻，仅仅根据V，还有当前曲面的梯度，就能得到 f_t.&br&然后，把所有的z的取值，都加上对应的 del*f_t 即可。&br&非常容易。&br&&br&完全不用再去考虑曲线的每一个点怎么运动的了。
一年前看到师兄弄 level set，当时没有看懂。 前几天，在看一本书时，偶然又看到这个，就打算来仔细了解一下了。 所以，下面的这些点子新鲜出炉的，没有太多的实战经验，若有错误，应该也是很正常的，请见谅。 这篇答案，最大的启发来自youtube的这两个视频…
&h2&&b&&u&前言&/u&&/b&&/h2&&p&很多朋友私信问我对机器人和人工智能感兴趣，该怎么展开学习。最近稍微有点空，我写写我的看法。&/p&&p&两年前，我在知乎回答&a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何定义「机器人」？ - YY硕的回答&/a&中试图给机器人做出一个比较仔细的定义，我觉得机器人和人工智能最大的区别在于是否要和物理世界进行交互。今年初在另一篇知乎回答里&a href=&/question//answer/& class=&internal&&对机器人或人工智能的研究会帮助我们更好的了解人类自己吗？ - YY硕的回答&/a&我说到传感器是和物理世界交互的基础。后来，我又在知乎回答&a href=&/question//answer/& class=&internal&&有哪些与控制、机器人等相关的 quotes？ - YY硕的回答&/a&中提到莫拉维克悖论（&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Moravec%2527s_paradox& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Moravec's paradox&i class=&icon-external&&&/i&&/a&），谈到了机器人学里公认的难题是在物理世界中实现类人的活动能力。&/p&&p&把之前的回答再翻出来是为了支持以下观点：机器人学的核心问题是做好和物理世界的交互。现在主流的机器人学分支里，处理与物理世界的交互的学科分为三类：传感器和处理算法（激光雷达，多目视觉，融合算法）；多刚体系统动力学控制（工业机器人动力学控制和接触力控制）；机器人自主移动（locomotion不知道该怎么翻译，轮式、足式、飞行等移动机器人的研究）。我建议对机器人学有兴趣的同学着重在这几个问题上面。&/p&&p&另外，根据世界第一的机器人教育机构卡耐基梅隆大学的机器人学博士的课程分类方式（&a href=&/?target=http%3A//www.ri.cmu.edu/education/COSAug2016.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&ri.cmu.edu/education/CO&/span&&span class=&invisible&&SAug2016.pdf&