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高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点...
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[] [] [] [] [] [] [] []x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同2??(x?1).(x?1)子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数f(x)??，则使得??4?x?1.(x?1)）；（2）已知f(x)?1的自变量x的取值范围是__________（答：(??,?2]?[0,10](x?0)?1　　3f(x)??，则不等式x?(x?2)f(x?2)?5的解集是________（答：(??,]） ?1　　(x?0)2?7.求函数解析式的常用方法： （1）待定系数法DD已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：f(x)?ax2?bx?c；顶点式：f(x)?a(x?m)2?n；零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式 。（答：f(x)?12x?2x?1） 22（2）代换（配凑）法DD已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。如（1）已知f(1?cosx)?sinx,求fx若f(x?)?x???的解析式（答：f(x)??x224?2x2,x?[?2,2]）；（2）12，则函数=_____（答：；（3）若函数f(x)是x?2x?3）f(x?1)2x定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么当x?(??,0)时，21xf(x)=________（答：x(1?3x)）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域。 （3）方程的思想DD已知条件是含有f(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。如（1）已知2，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?）；（2）已知f(x)是奇f(x)?2f(?x)?3x?23x1函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)= ,则f(x)=
__（答：2）。 x?1x?18. 反函数： （1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有f(x)?0(x?{0})有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数y?x?2ax?3在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是A、a????,1? B、a??2,???
C、a?[1,2]
D、a????,1???2,??? （答：D） （2）求反函数的步骤：①反求x；②互换 x、y；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数y?f(x?1)的反函数不是y?f?1(x?1)，而是y?f?1(x)?1。如设f(x)?(x?12)(x?0).求f(x)的反函数fx?12(x)（答：f?1(x)?1．
(x?1)）x?1（3）反函数的性质： ①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数f(x)满足条件f(ax?3)= x ，其中a≠ 0 ，若f(x)的反函数f?1(x)的定义域为?14??a,a? ，则f(x)的定义域是____________（答：[4,7]）. ???1②函数y?f(x)的图象与其反函数y?f(x)的图象关于直线y?x对称，注意函数当前第 6
页共58页 y?f(x)的图象与x?f?1(y)的图象相同。如（1）已知函数y?f(x)的图象过点(1,1),那2x?3么f?4?x?的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；（2）已知函数f(x)?，x?17?1若函数y?g(x)与y?f(x?1)的图象关于直线y?x对称，求g(3)的值（答：）；
24x?1的解x?______（答：1）；（2）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数f(x)，③f(a)?b?f?1(b)?a。如（1）已知函数f(x)?log3(?2)，则方程f?1(x)?4f (4)＝0，则f?1(4)＝
（答：－2） ④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知f?x?是R上的增函数，点A??1,1?,B?1,3?在它的图象上，f?1?x?是它的反函数，那么不等式f?1?log2x??1的解集为________（答：（2,8））； ⑤设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f?1(x)]?x(x?B)，f?1[f(x)]?x (x?A)，但f[f?1(x)]?f?1[f(x)]。 9.函数的奇偶性。 （1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数f(x)?2sin(3x??)， ； x?[2??5?,3?]为奇函数，其中??(0,2?)，则???的值是
（答：0）（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ①定义法：如判断函数y?|x?4|?49?x2的奇偶性____（答：奇函数）。 ②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或判断f(x)?x(f(?x)。如??1（f(x)?0）f(x)11?)的奇偶性___.（答：偶函数） x2?12③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。 （3）函数奇偶性的性质： ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)?f(|x|).如若定义在R上的偶函数f(x)在1(??,0)上是减函数，且f()=2，则不等式f(log1x)?2的解集为______.（答：38(0,0.5)?(??2,）) ④若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)?0.故f(0)?0是f(x)为奇函数的既a?2x?a?2不充分也不必要条件。如若f(x)?为奇函数，则实数a＝____（答：1）. x2?1⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数f(x)?f(?x)的和（或差）”。如设f(x)是定义域为R的任一函数， F(x)?，2f(x)?f(?x)x。①判断F(x)与G(x)的奇偶性； ②若将函数f(x)?lg(10?1)，2表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，则g(x)＝____（答：①F(x)为偶函数，G(x)?当前第 7
页共58页 1G(x)为奇函数；②g(x)＝x） 2⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个（f(x)?0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 10.函数的单调性。 （1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值DD作差DD变形DD定号）、导数法（在区间(a,b)内，若总有f?(x)?0，则f(x)为增函数；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则3请注意两者的区别所在。如已知函数f(x)?x?ax在区间[1,??)上是增函数，f?(x)?0，则a的取值范围是____(答：(0,3]）)； b②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y?ax?(a?0 xbbb?0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(??,?],[,??)，减区间为aabb,0),(0,].如（1）若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2 在区间（－∞，4] 上是减函aaax?1数，那么实数a的取值范围是______(答：a??3）)；（2）已知函数f(x)?在区x?21间??2,???上为增函数，则实数a的取值范围_____（答：(,??)）；（3）若函数2a??f?x??loga?x??4??a?0,且a?1?的值域为R，则实数a的取值范围是______(答：x??0?a?4且a?1）)； 2③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数y?log1??x?2x?的单[?2调递增区间是________(答：（1,2）)。 （2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数f(x)?loga(x?ax?3)在区间(??,]上为减函数，求a的取值范围（答：(1,23)）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“?”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。（答：?2a212?m?） 2311. 常见的图象变换 ①函数y?f?x?a?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移a个单位得到的。如设f(x)?2,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y?x对称，h(x)的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得到，则h(x)为__________(答： h(x)??log2(x?1)) ②函数y?f?x?a?((a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向右平移a个单位得到的。如（1）若f(x?199)?4x?4x?3，则函数f(x)的最小值为____(答：2)；（2）要得到y?lg(3?x)的图像，只需作y?lgx关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y；右)；（3）函数f(x)?x?lg(x?2)?1的图象与x轴的交点个数有____个(答：2) 当前第 8
页共58页 2?x③函数y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向上平移a个单位得到的； ④函数y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向下平移a个单b?a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图x?a象如果与原图象关于直线y?x对称,那么 (A)a??1,b?0
(B)a??1,b?R
(C)a?1,b?0
(D)a?0,b?R
(答：C) 1⑤函数y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴伸缩为原来的得a1到的。如（1）将函数y?f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再3将此图像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：f(3x?6))；（2）1如若函数y?f(2x?1)是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方程是_______(答： x??)．2⑥函数y?af?x?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得位得到的；如将函数y?到的.
12. 函数的对称性。 a?b对称。如已知二次函22数f(x)?ax?bx(a?0)满足条件f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x有等根，则f(x)12＝_____(答：?x?x)；
2②点(x,y)关于y轴的对称点为(?x,y)；函数y?f?x?关于y轴的对称曲线方程为y?f??x?； ③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,?y)；函数y?f?x?关于x轴的对称曲线方程为y??f?x?；
④点(x,y)关于原点的对称点为(?x,?y)；函数y?f?x?关于原点的对称曲线方程为y??f??x?；
⑤点(x,y)关于直线y??x?a的对称点为(?(y?a),?x?a)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x?a的对称曲线的方程为f(?(y?a),?x?a)?0。特别地，点(x,y)关于直线y?x的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)?0关于直线y?x的对称曲线的方程为f(y,x) )关于直线y??x的对称点为(?y,?x)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x的?0；点(x,yx?33对称曲线的方程为f(?y,?x)?0。如己知函数f(x)?,(x?),若y?f(x?1)的2x?32图像是C1,它关于直线y?x对称图像是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函x?2数解析式是___________（答：y??）； 2x?1⑥曲线f(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2a?x,2b?y)?0。如若函数①满足条件f?x?a??f?b?x?的函数的图象关于直线x?y?x2?x与y?g(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______（答：?x2?7x?6） ⑦形如y?ax?b(c?0,ad?bc)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线x??d cx?dc(由分母为零确定)和直线y?a(由分子、分母中x的系数确定)，对称中心是点(?d,a)。ccc2如已知函数图象C?与C:y(x?a?1)?ax?a?1关于直线y?x对称，且图象C?关于点当前第 9
页共58页 （2，－3）对称，则a的值为______（答：2） ⑧|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如（1）作出函数y?|log2(x?1)|及y?log2|x?1|的图象；（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于____对称 （答：y轴）
提醒：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像C1与C2的对称性，需证两方面：①证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上；②证明C2上任意点关于对称中心（对x?1?a(a?R)。求证：函数f(x)a?x3的图像关于点M(a,?1)成中心对称图形；（2）设曲线C的方程是y?x?x,将C沿x轴, y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1。①写出曲线C1的方程（答：称轴）的对称点仍在C1上。如（1）已知函数f(x)??ts?y?(x?t)3?(x?t)?s）；②证明曲线C与C1关于点A?,?对称。 ?22?13. 函数的周期性。 （1）类比“三角函数图像”得： ①若y?f(x)图像有两条对称轴x?a,x?b(a?b)，则y?f(x)必是周期函数，且一周期为T?2|a?b|； ②若y?f(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a?b)，则y?f(x)是周期函数，且一周期为T?2|a?b|； ③如果函数y?f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x?b(a?b)，则函数y?f(x)必是周期函数，且一周期为T?4|a?b|； 如已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)?0在[?2,2]上至少有__________个实数根（答：5） （2）由周期函数的定义“函数f(x)满足f?x??f?a?x?(a?0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得： ①函数f(x)满足?f?x??f?a?x?，则f(x)是周期为2a的周期函数； 1(a?0)恒成立，则T?2a； f(x)1(a?0)恒成立，则T?2a. ③若f(x?a)??f(x)如(1) 设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则f(47.5)等于_____(答：?0.5)；(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?2)?f(x)，且在[?3,?2]上是减函数，若?,?是锐角三角形的两个内角，则（3）已知f(x)是f(sin?),f(cos?)的大小关系为_________(答：f(sin?)?f(cos?))；②若f(x?a)?偶函数，且f(1)=993，g(x)=f(x?1)是奇函数，求f(2005)的值(答：993)；（4）设f?x?是定义域为R的函数，且f?x?2???1?f?x????1?f?x?，又f?2??2?2，则f?2006?=
(答：2?2) 214.指数式、对数式： 当前第 10