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2016年高考数学压轴题的分析与解
描述：2016年高考数学压轴题的分析与解（完整版）
关键字: 2016高考,数学,压轴题
Math173 | The journey of mathematics2016 年全国?考数学压轴题的分析与解
2016 年 6 ? 13 ?1 2016 年全国 1 卷 (?卷) 理科数学
22 2016 年全国 1 卷 (?卷) ?科数学
53 2016 年全国 2 卷 (甲卷) 理科数学
74 2016 年全国 2 卷 (甲卷) ?科数学
115 2016 年全国 3 卷 (丙卷) 理科数学
136 2016 年全国 3 卷 (丙卷) ?科数学
167 2016 年上海卷理科数学
188 2016 年上海卷?科数学
229 2016 年北京卷理科数学
2410 2016 年北京卷?科数学
2711 2016 年四川卷理科数学
2912 2016 年四川卷?科数学
3313 2016 年天津卷理科数学
3614 2016 年天津卷?科数学
4015 2016 年?东卷理科数学
4416 2016 年?东卷?科数学
4617 2016 年江苏卷数学
4818 2016 年浙江卷理科数学
5319 2016 年浙江卷?科数学
581 2016 年全国 1 卷 (?卷) 理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
1 2016 年全国 1 卷 (?卷) 理科数学试卷点评 今年是?考统?命题改?的第?年，全国 1 卷与之前的全国 I 卷命题风格?致，难度也相当．知识点覆盖全?，层次合理，相信学?做题时不会感到意外．解析?何试题将圆与椭圆有机结合起来，是?道中规中矩的题?，有较?的区分度．导数题作压轴，第 (2) ?题有?定难度，不过鉴于?前全国各地的模拟题中频繁出现极值点偏移的试题，因此对知识?较?的学?有利．值得注意的是这次?题中出现了两道应?题，贯彻了新课标精神，也提醒新?届的考?需要增强阅读理解能?．题 (理 12) 已知函数 f (x) = sin(ωx + φ)(ω & 0, |φ| ? π ) ， x = - π 为
f (x) 的零点， x = π
? π 5π ?
4y = f (x)
图象的对称轴，且
的最?值为 (
C. 7解 由题意知
ω = 2π = 2k + 1, k ∈ Z.
T（也可以由
42两式相减得到 ω ．?）
π 5π又因为 f (x) 在
单调，所以
? 2 5π - π
, k ∈ Z,于是
11 ，从?到?进?试探：
不单调（因为 π & π - T & 5π ）；当 k = 5 时， f (x) 在
36当 k = 4 时， f (x) 在
上单调，符合题意，所以 ω 的最?值为 9 ．
36 36题 (理 16) 某?科技企业?产产品 A 和产品 B 需要甲、?两种新型材料．?产?件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，?材料 1kg ，? 5 个?时；?产?件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，?材料 0.3kg ，? 3 个?时．?产?件产品 A 的利润为 2100 元，?产?件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，?材料 90kg ，则在不超过 600 个?时的条件下，?产产品 A 、产品 B 的利润之和的最?值为元．解 设?产产品 A, B 的件数分别为 x, y 时，获得利润为 z 元．则 x, y 满?的约束条件为
???1.5x + 0.5y ? 150,
???x5x++0.33yy??69000,,其中 x, y ∈ N* ，?标函数
z = 2100x + 900y = 300(7x + 3y).
21 2016 年全国 1 卷 (?卷) 理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
O 60 90 x作出可?域，可以得到当 x = 60, y = 100 时， z 有最?值 216000 ．题 (理 20) 设圆 x2 + y2 + 2x - 15 = 0 的圆?为 A ，直线 l 过点 B(1, 0) 且与 x 轴不重合， l 交圆A 于 C, D 两点，过 B 作 AC 的平?线交 AD 于点 E ．(1) 证明： |EA| + |EB| 为定值，并写出点 E 的轨迹?程；(2) 设点 E 的轨迹为曲线 C1 ，直线 l 交 C1 于 M, N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于P, Q 两点，求四边形 M P N Q ?积的取值范围．分析 第 (1) 小题利用?何知识证明 |EB| = |ED| 即可；第 (2) 小题是典型的面积问题，计算两个弦长|M N | 和 |P Q| 即可，其中对焦点弦长的计算用到了《?考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题有效 10招中的第 3 招，与之类似的题有 2014 年天津卷理科第 19 题．解 (1) 将圆的?程化为标准?程
(x + 1)2 + y2 = 16.
C由于 BE ∥ AC ，于是 ∠EBD = ∠ACD ．又 |AC| = |AD| ，于是 ∠ACD = ∠ADC ，因此 ∠EBD =∠EDB ，从? |EB| = |ED| ，这样就得到了
|EA| + |EB| = |EA| + |ED| = |AD|为定值 4 ．根据椭圆的定义，点 E 的轨迹?程为
x2 + y2 = 1(y ?= 0).
43(2) 设 ∠M BA = θ ( θ ∈ (0, π) )，则在 △M AB 中应?余弦定理，有|M A|2 = |M B|2 + |AB|2 - 2 · |M B| · |AB| · cos θ,结合 |M A| + |M B| = 4 可解得
2 - cos θ .
31 2016 年全国 1 卷 (?卷) 理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
N类似的，可得
+ cos θ ,此时直线 P Q 的?程为
x cos θ = y sin θ + cos θ,于是圆的弦长
|P Q| = 2 42 - √ 2 cos θ
cos2 θ + sin2 θ
= 4 4 - cos2 θ.于是可得四边形 M P N Q 的?积
S = 1 · |M N | · |P Q| = √ 24 ,
2 4 - cos2 θ于是四边形
的?积的取值范围是
8 3)题 (理 21) 已知函数 f (x) = (x - 2)ex + a(x - 1)2 有两个零点．(1) 求 a 的取值范围；(2) 设 x1, x2 是 f (x) 的两个零点，证明： x1 + x2 & 2 ．分析 第 (1) 小题是典型的零点个数问题，可用分离变量法（《?考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题有效 10 招中的第 1 招，与之类似的题有 2014 年新课标 II 卷?科第 21 题）；第 (2) 小题是典型的偏移问题，对称化构造即可．解 (1) 显然 x = 1 不是函数 f (x) 的零点．当 x ?= 1 时，?程 f (x) = 0 等价于
(x - 1)2记右侧函数为 g(x) ，则 g(x) 的导函数
,因此函数 g(x) 在 (-∞, 1) 上单调递增，?在 (1, +∞) 上单调递减．由于函数 g(x) 在 (-∞, 1) 上的取值范围是 (0, +∞) ，?在 (1, +∞) 上的取值范围是 (-∞, +∞) ，因此当 a & 0 时，函数 f (x) 有两个零点，所求取值范围是 (0, +∞) 1．
1第 (1) ?题中如果需要刻意避开极限，可以进?如下论证．
当 a ? 0 时，由于在 (-∞, 1) 上， g(x) & 0 ，因此在此区间上不存在 x 使得
42 2016 年全国 1 卷 (?卷) ?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)(2) 根据第 (1) ?题的结果，不妨设 x1 & 1 & x2 ，则只需证明 x2 & 2 - x1 ．考虑到函数 g(x) 在 (1, +∞)上单调递减，于是只需要证明
g(x2) & g(2 - x1),也即
g(x1) & g(2 - x1).接下来证明：
?x & 1, g(x) - g(2 - x) & 0,也即
?x & 1, ex · (2 - x) - e2-x · x & 0.设 h(x) = ex · (2 - x) - e2-x · x ，则其导函数
h′(x) = (ex - e2-x)(1 - x),当 x & 1 时，有
ex - e2-x & 0,于是在 (-∞, 1) 上， h(x) 单调递减．? h(1) = 0 ，于是在 (-∞, 1) 上，有 h(x) & 0 ，因此原命题得证1．
2 2016 年全国 1 卷 (?卷) ?科数学题 (? 12)
若函数 f (x) = x - 1 sin 2x + a sin x 在 (-∞, +∞) 上单调递增，则 a 的取值范围是 (
)A. [-1, 1]
3解 函数 f (x) 的导函数
3 33根据题意有 ?x ∈ R, f ′(x) ? 0 ，令 t = cos x ，则上述命题即
?t ∈ [-1, 1], 4t2 - 3at - 5 ? 0,?在 (1, +∞) 上，函数 g(x) ss单调递√减，不(TM)可能存在两个零点；
13当 a & 0 时，取 x1 = min 1 +
- 1)2? g(2) = 0 & a ，结合 g(xss) 在 √(1, +∞(TM)) 上单调递减，可以断定在区间 (x1, 2) 上必然有?个零点；
2另???，取 x2 = max 1 -
g(x2) ? (x2 - 1)2 ? a,?取 x3 = -
= a,结合 g(x) 在 (-∞, 1) 上单调递增，可以断定在区间 (x3, x2) 上必然有?个零点；
综上所述， a 的取值范围是 (0, +∞) ．1注意到 f (x) 中?次函数的部分关于 x = 1 对称，因此直接作差 f (x) - f (2 - x) 亦可．
52 2016 年全国 1 卷 (?卷) ?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)由于?次函数 g(t) = 4t2 - 3at - 5 的开?向上，因此只需要
?g(-1) ? 0,
?g(1) ? 0即可，解得 - 1 ? a ? 1 ，选 C．
33题 (? 16) 某?科技企业?产产品 A 和产品 B 需要甲、?两种新型材料．?产?件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，?材料 1kg ，? 5 个?时；?产?件产品 B 需要甲材料 0.5kg ，?材料 0.3kg ，? 3 个?时．?产?件产品 A 的利润为 2100 元，?产?件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，?材料 90kg ，则在不超过 600 个?时的条件下，?产产品 A 、产品 B 的利润之和的最?值为元．解 216000 ．与理科第 16 题相同．题 (? 20) 在直?坐标系 xOy 中，直线 l : y = t ( t ?= 0 ) 交 y 轴于点 M ，交抛物线 C : y2 =2px ( p & 0 ) 于点 P ， M 关于点 P 的对称点为 N ，连接 ON 并延?交 C 于点 H ．(1) 求 |OH| ；
|ON |(2) 除 H 以外，直线 M H 与 C 是否有其它公共点? 说明理由．分析 第 (1) 小题是简单的计算题，第 (2) 小题考查直线与抛物线的位置关系，可以利用《?考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题有效 10 招中的第 10 招轻松解决．解 根据题意，作出?意图．
t(1) 根据题意，有
M (0, t) ，于是
．这就得到了直线
t将直线 ON 的?程与抛物线 C 的?程联?，可得
px(px - 2t2) = 0,从? H 点的横坐标为 2t2 ．这样就得到了
2t(2) 由第 (1) ?题的结果，可得
点的坐标为
，因此直线
63 2016 年全国 2 卷 (甲卷) 理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)因此直线 M H 的?程1为
即 2px = 4ty - 4t2,与抛物线 C 的?程联?可得
y2 - 4ty + 4t2 = 0,该?程的判别式 ? = 0 ，因此除 H 外，直线 M H 与 C 没有其它公共点．题 (? 21) 已知函数 f (x) = (x - 2)ex + a(x - 1)2 ．(1) 讨论 f (x) 的单调性；(2) 若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围．分析 第 (1) 小题是常规的考查利用导函数研究函数的单调性的问题；第 (2) 小题与理科第 21 题第 (1) 小题相同．解 (1) 函数 f (x) 的导函数
f ′(x) = (x - 1)(ex + 2a),因此可以得到讨论的分界点为 - e , 0 ．
2情形? 当 a & - e 时， ln(-2a) & 1 ，因此函数 f (x) 在 (-∞, 1) 上单调递增，在 (1, ln(-2a)) 上单调
2递减，在 (ln(-2a), +∞) 上单调递增．情形?
时， ln(-2a) = 1 ，因此函数 f (x)
上单调递增．
时，ln(-2a)
1 ，因此函数
(-∞, ln(-2a))
上单调递增，在
(ln(-2a), 1)
2上单调递减，在 (1, +∞) 上单调递增．情形四 当 a ? 0 时， ex + 2a & 0 ，因此函数 f (x) 在 (-∞, 1) 上单调递减，在 (1, +∞) 上单调递增．(2) 参考理科第 21 题第 (1) ?题．
3 2016 年全国 2 卷 (甲卷) 理科数学试卷点评 今年全国 2 卷中涌现了很多有新意的题?，尤其是解析?何试题，简约?不简单，对数学能?有?较全?的考查．选择题最后?题稍显?套，但与全卷难度层次契合，可谓中规中矩．理科填空题推陈出新，在平凡的切线问题的基础上考查了“公切线”的问题．导数压轴题?题新意不?，难度也略显不?，但从整体的命题风格、难度、考查层次来说都是瑕不掩瑜．题 (理 12)
f (x) ( x ∈ R ) 满?
f (-x) = 2 - f (x) ，若函数
x交点为 (x1, y1), (x2, y2), · · · , (xm, ym) ，则 ∑m (xi + yi) = (
根据题意，函数
对称，不妨设
x1 & x2 & · · · & xm ，那么
x有点 (x1, y1) 与点 (xm, ym) ，点 (x2, y2) 与点 (xm-1, ym-1) ， · · · 都关于点 (0, 1) 对称，即
x1 + xm = x2 + xm-1 = · · · = xm + x1 = 0,
1事实上，由圆锥曲线的切线?程，可以马上得出 M H : 2ty = p
，根据斜率?致得出结论．
73 2016 年全国 2 卷 (甲卷) 理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)且
y1 + ym = y2 + ym-1 = · · · = ym + y1 = 2,从?倒序相加，可得
∑m 1选 B．
(xi + yi) = 2 · 2m = m.
i=1题 (理 16) 若直线 y = kx + b 是曲线 y = ln x + 2 的切线，也是曲线 y = ln(x + 1) 的切线，则 b =
．解 函数 y = ln x+2 的导函数为 y′ = 1 ，函数 y = ln(x+1) 的导函数为 y′ = 1 ．设曲线 y = ln x+2
x x+1和曲线 y = ln(x + 1) 上的切点横坐标分别为 m, n ，则该直线?程可以写成
y = 1 · (x - m) + ln m + 2,
m也可以写成
y = 1 · (x - n) + ln(n + 1),整理后对?得
n+1因此 b = 1 - ln 2 ．
??ln m + 1 = ln(n + 1) -
解得 ??n = -21 ,
y = ln(x + 1)
2事实上，由于这两条曲线是通过向量 (1, 2) 平移得到的，因此可以判断出公切线的斜率为 2 ．题 (理 20)
的左顶点，斜率为
k ( k & 0 ) 的直
t3线交 E 于 A, M 两点，点 N 在 E 上， M A ⊥ N A ．(1) 当 t = 4 ， |AM | = |AN | 时，求 △AM N 的?积；(2) 当 2|AM | = |AN | 时，求 k 的取值范围．分析 第 (1) 小题主要考查椭圆的对称性；第 (2) 小题考查椭圆的弦长计算，其中将椭圆的长轴长设置为变量增加了问题的难度．解 根据题意画出?意图如图．
83 2016 年全国 2 卷 (甲卷) 理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)(1) 当 |AM | = |AN | 时， △M AN 是等腰直?三?形．根据椭圆的对称性，可知 k = 1 ，又 t = 4 时， A点的坐标为 (-2, 0) ，因此直线 AM 的?程为 x = y - 2 ，与椭圆 E 的?程联?，可得
y 7 y - 1 = 0,
12于是点 M 的纵坐标为 12 ，进?可得 △AM N 的?积
? 12 ?2 144
7 49(2) 记
1 ( m & 0 )，则直线
x = my - a ，与椭圆
的?程联?可得
的纵坐标为
6ma ，因此点
的纵坐标为
3 + m2a2 ,
m2因此由 2|AM | = |AN | 可得
2 · 1 + m2
+ m2a2 ,整理得
3(m2 - 2m)根据题意，有 a2 & 3 ，因此
2m3 - 1 ,解得
3(m2 - 2m)
2m3 - 1 & 3,因此 k 的取值范围是 3 2, 2 ．
22题 (理 21) (1) 讨论函数 f (x) = x - 2 ex 的单调性，并证明当 x & 0 时， (x - 2)ex + x + 2 & 0 ；
a(2) 证明：当
a ∈ [0, 1)
有最?值．设
h(a) ，求函数 h(a) 的值域．分析 第 (1) 小题是常规的利用导函数研究函数的单调性的问题；第 (2) 小题考查利用导函数研究函数的最值，其中故意使用关于 a 的函数 h(a) 误导解题者用 a 表示极值点，增加了问题的难度．解 (1) 函数 f (x) 的定义域为 (-∞, -2) ∪ (-2, +∞) ，其导函数
93 2016 年全国 2 卷 (甲卷) 理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)于是函数 f (x) 在 (-∞, -2) 和 (-2, +∞) 上都单调递增．当 x & 0 时，有 f (x) & f (0) = -1 ，即
x - 2 ex & -1, 即 (x - 2)ex + x + 2 & 0.
x+2(2) 函数 g(x) 的导函数为
?令 φ(x) = x - 2 ex + a ，则
φ(0) = a - 1 & 0, φ(2) = a ? 0,结合第 (1) ?题结论， φ(x) 在 (0, 2] 上有唯?零点 x = m ．进?可得函数 g(x) 在 (0, m) 上单调递减，在 (m, +∞) 上单调递增，因此 x = m 也为函数 g(x) 的极?值点，亦为最?值点．因此当 a ∈ [0, 1) 时，函数 g(x) 有最?值 g(m) ．由于
m - 2 em + a = 0, 也即 a = - m - 2 em,
m+2当 a ∈ [0, 1) 时，有 m ∈ (0, 2] ．进?函数 g(x) 的最?值
m+2令 r(m) = em ( m ∈ (0, 2] )，则其导函数
(m + 2)2因此函数 r(m) 在? (0, 2] ò上单调递增，从?函数 h(a) 的值域，即函数 g(x) 的最?值的取值范围是(r(0), r(2)] ，也即 1 , 1 e2 ．
第 (2) ?题的结果可以有如下的直观解释1．考虑
a ∈ [0, 1)
x2 ,也即函数
的图象在函数
ex - x - 1
的图象和函数
的图象之间运动，如图．
h2(x) = x2
?ò因此函数 g(x) 的最?值的取值范围是 1 , 1 e2 ．
241涉及到图象连续变化，以及函数 h1(x) 在 x = 0 处的右极限，因此只作辅助理解之?．
104 2016 年全国 2 卷 (甲卷) ?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
4 2016 年全国 2 卷 (甲卷) ?科数学题 (? 12) 已知函数 f (x) ( x ∈ R ) 满? f (x) = f (2 - x) ，若函数 y = |x2 - 2x - 3| 与 y = f (x) 的图象的交点为 (x1, y1), (x2, y2), · · · , (xm, ym) ，则 ∑m xi = ( )A. 0
D. 4m解 与理科第 12 题类似，函数 y = f (x) 和 y = |x2 - 2x - 3| 都关于直线 x = 1 对称，不妨设x1 & x2 & · · · & xm ，则点 (x1, y1) 与点 (xm, ym) ，点 (x2, y2) 与点 (xm-1, ym-1) ， · · · 都关于直线x = 1 对称，即
x1 + xm = x2 + xm-1 = · · · = xm + x1 = 2,因此倒序相加可得
∑m 1选 B．
xi = 2 · 2m = m.
i=1题 (? 16) 有三张卡?，分别写有 1 和 2 ， 1 和 3 ， 2 和 3 . 甲，?，丙三?各取??张卡?，甲看了?的卡?后说：“我与?的卡?上相同的数字不是 2 ”，?看了丙的卡?后说：“我与丙的卡?上相同的数字不是 1 ”，丙说：“我的卡?上的数字之和不是 5 ”，则甲的卡?上的数字是
．解 ? (1, 2), (1, 3), (2, 3) 来表?三张卡?．根据甲的发?可知丙的卡??定不是 (1, 3) ，再根据丙的发?可知丙的卡?是 (1, 2) ．此时由?的发?可知?的卡?是 (2, 3) ，于是甲的卡?是 (1, 3) ，因此甲的卡?上的数字是 1 和 3 ．题 (? 20) 已知函数 f (x) = (x + 1) ln x - a(x - 1) ．(1) 当 a = 4 时，求曲线 y = f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线?程；(2) 若当 x ∈ (1, +∞) 时， f (x) & 0 ，求 a 的取值范围．分析 第 (1) 小题是常规的利用导函数求函数的切线?程问题；第 (2) 小题是典型的包含对数的恒成立问题，需要用到“清君侧”的想法简化问题，可以参考《?考数学压轴题的分析与解》辽宁卷第 5 题．解 (1) 当 a = 4 时， f (1) = 0 ，函数 f (x) 的导函数
f ′(x) = ln x + 1 - 3,
x因此 f ′(1) = -2 ，从?所求的切线?程为 y = -2(x - 1) ，也即 y = -2x + 2 ．(2) 题中不等式即
ln x - a · x - 1 & 0,
x+1记左侧函数为 g(x) ，则 g(1) = 0 ，其导函数
+ (2 - 2a)x + 1
x(x + 1)2分析端点可知分界点为 2 ．情形? a ? 2 ．此时
x+1记右侧函数为 h(x) ，则其导函数
x(x + 1)2 ,因此在 (1, +∞) 上 h(x) 单调递增，又 h(1) = 0 ，因此在 (1, +∞) 上，有 h(x) & 0 ，符合题意．
114 2016 年全国 2 卷 (甲卷) ?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)情形?
a & 2 ．此时在区间
g(1) = 0 ，因此在该区间内
1, a - 1 + a2 - 2ag(x) & 0 ，不符合题意．综上所述， a 的取值范围是 (-∞, 2] ．题 (? 21)
的左顶点，斜率为
k ( k & 0 ) 的直线交
43点，点 N 在 E 上， M A ⊥ N A ．(1)
时时，，求证明△A：M√N3
的?积；(2)
&k &2．分析 第 (1) 小题主要考查椭圆的对称性；第 (2) 小题考查椭圆的弦长计算，已知弦长的关系反向推算斜率 k 的范围为问题带来了新的变化．解 根据题意画出?意图如图．
N(1) 当 |AM | = |AN | 时， △M AN 是等腰直?三?形．根据椭圆的对称性，可知 k = 1 ， A 点的坐标为(-2, 0) ，因此直线 AM 的?程为 x = y - 2 ，与椭圆 E 的?程联?，可得
y 7 y - 1 = 0,
的纵坐标为
12 ，进?可得
? 12 ?2 144
7 49(2) 记 m = 1 ( m & 0 )，则直线 AM 的?程为 x = my - 2 ，与椭圆 E 的?程联?可得
的纵坐标为
12m ，因此点
的纵坐标为
m2 + 4因此由 2|AM | = |AN | 可得
+ 4m2 ,整理得
8m3 - 3m2 + 6m - 4 = 0.
125 2016 年全国 3 卷 (丙卷) 理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)设函数 f (x) = 8x3 - 3x2 + 6x - 4 ( x & 0 )，则其导函数
f ′(x) = 24x2 - 6x + 6 & 0,因此函数 f (x) 单调递增．考虑到
26 -√15 3
676 √- 675
f 1 = - 3 & 0,
1 & m & √1
3因此函数 f (x)
有唯?零点且该零点在区间
上，进?可得
5 2016 年全国 3 卷 (丙卷) 理科数学试卷点评 全国 3 卷是三套全国卷中难度最低的．选择最后?题背景是竞赛中曾经的热点问题—卡特兰数问题，由于涉及的情形相对简单，因此对学?来说适当的选择列举?式就能拿到分．填空最后?题乏善可陈，准确的画出?意图即可轻松解决．解析?何?题以抛物线为载体，难度亦不?，尤其是第 (1) ?题在各类教辅中已经出现多次，可以说?常友好．最后?道函数?题，对导函数的考查?常简单，重点在于对含参?次函数以及绝对值的讨论，虽有难度，但颇有压不住轴的感觉．总的来说，全国 3 卷试卷整体知识结构层次合理，难度略低，适合中等?平的学?发挥．题 (理 12) 定义“规范 01 数列”{an} 如下：{an} 共有 2m 项，其中 m 项为 0 ，m 项为 1 ，且对任意 k ? 2m ， a1, a2, · · · , ak 中 0 的个数不少于 1 的个数．若 m = 4 ，则不同的“规范 01 数列”共有( )A. 18 个
D. 12 个解 由题意知，数列的第?项?定为 0 ，最后?项?定为 1 ，只需要直接列举中间 6 项即可．按照第 2,3项分类：第?类 第 2 项为 1 ，第 3 项必为 0 ，有
, 1010共 5 个“规范 01 数列”；第?类 第 2 项为 0 ，第 3 项也为 0 ，有
, 001110共 4 个“规范 01 数列”；第三类 第 2 项为 0 ，第 3 项为 1 ，有
, 1010共 5 个“规范 01 数列”．所以“规范 01 数列”?共有 5 + 4 + 5 = 14 个．
135 2016 年全国 3 卷 (丙卷) 理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)拓展
事实上，本题中的“规范
数列”的个数就是卡特兰数
m = 4 ，可得
5卡特兰（Catalan）数来源于卡特兰解决凸 n + 2 边形的剖分时得到的数列 Cn ，在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等??都会有其不同侧?的介绍．卡特兰问题的解决过程应?了?量的映射?法，堪称计数的映射?法的典范．典型的卡特兰数问题有进出栈问题，购票找零问题，圆内连弦问题，括号表达式问题等等，详见 http://lanqi.org/skills/10939/．
√题 (理 16) 已知直线 l : mx + y + 3m - 3 =√0 与圆 x2 + y2 = 12 交于 A, B 两点，过 A, B 分别作l 的垂线与 x 轴交于 C, D 两点，若 |AB| = 2 3 ，则 |CD| =
．解 由题意作图如下：
√由 |AB| = 2 3 知，圆? O 到直线 l 的距离
3 ．从?直线
cos 30o解得
∠BED = 30o ，故
= 4．题 (理 20) 已知抛物线 C : y2 = 2x 的焦点为 F ，平?于 x 轴的两条直线 l1, l2 分别交 C 于 A, B两点，交 C 的准线于 P, Q 两点．(1) 若 F 在线段 AB 上， R 是 P Q 的中点，证明： AR ∥ F Q ；(2) 若 △P QF 的?积是 △ABF 的?积的两倍，求 AB 中点的轨迹?程．分析 第 (1) 小题可以通过抛物线的光学性质直接证明，参考《?考数学压轴题的分析与解》破解压轴题的有效 10 招中的第 6 招“抛物线的性质”; 第 (2) 小题涉及到坐标系中三角形的面积计算，合理选择参数即可．解 (1) 连接 P F, RF ，如图．
145 2016 年全国 3 卷 (丙卷) 理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)由抛物线的光学性质知 AP = AF ， BQ = BF ，从?有
- ∠P AF ) +
22 2所以 P F ⊥ F Q ，又
RF = P Q = P R = QR,
2从?可得 △P AR 与 △F AR 全等，所以? P F ⊥?AR ，从? ?有 A?R ∥ F Q ．(2) 设点 A(2a2, 2a) ， B(2b2, 2b) ，则 P - 1 , 2a ， Q - 1 , 2b ，且 AB 的中点 M (a2 + b2, a + b) ．
B由 △P QF 的?积是 △ABF 的?积的两倍可得
1 · |2a - 2b| · 1 - - 1 = 2 · 1 2a2 - 1 · 2b - 2b2 - 1 · 2a ,
2化简得 |4ab + 1| = 1 ，解得 ab = - 1 (舍去 ab = 0 )．进?消参可得 M 的轨迹?程为 y2 = x - 1 ．
2题 (理 21) 设函数 f (x) = a cos 2x + (a - 1)(cos x + 1) ，其中 a & 0 ，记 |f (x)| 的最?值为 A ．(1) 求 f ′(x) ；(2) 求 A ；(3) 证明： |f ′(x)| ? 2A ．分析 第 (1) 小题考查基本的导数运算；第 (2) 小题考查对含参?次函数的讨论；第 (3) 小题是第 (1)(2)小题的简单综合，适当放缩不难解决．解 (1) 函数 f (x) 的导函数
f ′(x) = -2a sin 2x + (1 - a) sin x.(2) 由?倍?公式，整理得
f (x) = 2a cos2 x + (a - 1) cos x - 1,令 t = cos x ( t ∈ [-1, 1] )，有
g(t) = 2at2 + (a - 1)t - 1, t ∈ [-1, 1],则函数
的最?值．按?次函数
是否在区间
4a[-1, 1] 内展开讨论．
max g(-1) ,
156 2016 年全国 3 卷 (丙卷) ?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
1 - a ?∈ [-1, 1]
max { g(-1) ,
g(1) .事实上，有
= |3a - 2|,
1 g?1 - a?
53注意到当
时三者的取值，结合作差?较??，可得
a ∈ (1, +∞).(3) 由第 (1) ?题知
f ′(x) = -2a sin 2x + (1 - a) sin x.
|f ′(x)| ? |2a| + |1 - a| = 1 + a ? 4 - 6a = 2A.
时，有 |f ′(x)| ? 1 + a ，? 2A = 1
，由分析法，可得
|f ′(x)| ? 2A <= (3a + 1)(a - 1) ? 0,这显然成?．
|f ′(x)| ? |2a| + |a - 1| = 3a - 1 ? 6a - 4 = 2A.当 a ∈ (1, +∞) 时，有综上知， |f ′(x)| ? 2A ．
6 2016 年全国 3 卷 (丙卷) ?科数学题 (? 12)
为坐标原点， F
的左焦点， A, B
C : a2 + b2 = 1(a & b & 0)的左，右顶点， P 为 C 上?点，且 P F ⊥ x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 P F 交于点 M ，与 y 轴交于点 E ．若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离?率为 (
4解 记 OE 的中点为 N ，如图．
166 2016 年全国 3 卷 (丙卷) ?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
A FO因为 M F ∥ OE ，所以有
ON a MF a - c又因为 |OE| = 2|ON | ，所以有
MF a + c OE a
3题 (? 16) 已知 f (x) 为偶函数，当 x ? 0 时， f (x) = e-x-1 - x ，则曲线 y = f (x) 在点 (1, 2) 处的切线?程是
．解 当 x ? 0 时， f ′(x) = -e-x-1 - 1 ，由 f (x) 为偶函数知
f ′(1) = -f ′(-1) = 2.从?所求切线?程为 y = 2x ．拓展 对于有奇偶性的可导函数??，偶函数的导函数是奇函数，?奇函数的导函数是偶函数．题 (? 20) 已知抛物线 C : y2 = 2x 的焦点为 F ，平?于 x 轴的两条直线 l1, l2 分别交 C 于 A, B两点，交 C 的准线于 P, Q 两点．(1) 若 F 在线段 AB 上， R 是 P Q 的中点，证明： AR ∥ F Q ；(2) 若 △P QF 的?积是 △ABF 的?积的两倍，求 AB 中点的轨迹?程．解 同理科第 20 题．题 (? 21) 设函数 f (x) = ln x - x + 1 ．(1) 讨论 f (x) 的单调性；(2) 证明：当
x ∈ (1, +∞)
ln x(3) 设 c & 1 ，证明：当 x ∈ (0, 1) 时， 1 + (c - 1)x & cx ．分析 第 (1) 小题是简单的利用导函数研究函数的单调性问题；第 (2) 小题是第 (1) 小题的直接推论，同时也是对第 (3) 小题的提示，适当进?换元即得；第 (3) 小题中通过观察端点 x = 0, 1 时不等式两边相等，可以拟定作差研究函数的单调性的策略．解 (1) 根据题意，函数 f (x) 的导函数
f ′(x) = 1 - 1 = 1 - x , x & 0,
xx所以 f (x) 在 (0, 1) 上单调递增，在 (1, +∞) 上单调递减．(2) 欲证不等式即
1 - 1 & ln x & x - 1, x & 1.
177 2016 年上海卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)事实上，由第 (1) ?题知， f (x) 的最?值为 f (1) = 0 ，所以
ln x - x + 1 ? 0, 即 ln x ? x - 1,等号当且仅当 x = 1 时取得，这样就得到了右侧不等式．?当 x & 1 时，有 0 & 1 & 1 ，此时有
ln x & 1 -
x这样就得到了左侧不等式．因此原不等式得证．(3) 设 g(x) = cx - (c - 1)x - 1, x ∈ [0, 1] ，则所证不等式即
?x ∈ (0, 1), g(x) & 0.函数 g(x) 的导函数
.因为 c & 1 ，所以 ln c & 0 ，由第 (2) ?题知
ln c从? g′(0) & 0 且 g′(1) & 0 ，结合 g′(x) 是单调递增函数，于是 g′(x) 在区间 (0, 1) 上有唯?零点，进?可得函数 g(x) 在区间 (0, 1) 上先单调递减，再单调递增，又 g(0) = g(1) = 0 ，从?可得在区间 (0, 1) 上，g(x) & 0 ，原命题得证．
7 2016 年上海卷理科数学试卷点评 今年的上海卷较之去年难度有所下降，题?难度虽低但颇有新意．解析?何?题的背景是常见的圆锥曲线的性质，但由于载体是双曲线，对缺少训练的学?来说还是有些棘?的．最后?题的风格与北京卷相仿，重在逻辑推理配合计算证明，思路不难想到，但要严密表达仍是不易．总的来说，今年的上海卷的难度稳中有降，灵活?又新意，保持了较?的命题?准．题 (理 14)
如图，在平?直?坐标系 xOy
中， O 为正?边形
A1A2 · · · A8 的中?，
．任取不同的两点 Ai,
Aj ，点 P 满? O# P>> + O# A>>i +
O# A>>j = #0>> ，则点 P
落在第?象限的概率是
+任O#取A>>不j 同在的第三两象点限A的i,情Aj况的．情易况知有i,
种，其中能使得点 P 落在第?象限的情况，也即使得#>>
4, 5, 6, 7, 8 中选，包括如下 5 种：OAi
(A4, A7), (A5, A6), (A5, A7), (A5, A8), (A6, A7),所以点 P 落在第?象限的概率是 5 ．
28题 (理 17)
已知?穷等?数列
．下列条件中，使得 2Sn & S (n ∈ N*) 恒成?的是 ( )
187 2016 年上海卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)A. a1 & 0, 0.6 & q & 0.7
B. a1 & 0, -0.7 & q & -0.6C. a1 & 0, 0.7 & q & 0.8
D. a1 & 0, -0.8 & q & -0.7解
由题意， -1 & q & 1
q =? 0 ，?
& S (n ∈ N*)
2a1 (1 - qn) & a1 (n ∈ N*)恒成?，其中 a1 ?= 0 ．情形? a1 & 0 ．此时 2 (1 - qn) & 1 (n ∈ N*) 恒成?，在上式两边同时令 n → ∞ ，由数列极限的保序性，我们有 2 ? 1 ，?盾．情形? a1 & 0 .此时 2 (1 - qn) & 1 (n ∈ N*) 恒成?，即
qn & 1 (n ∈ N*)
2恒成?，?这又等价于
1综上所述， a1 & 0 ，且此时公? q 的取值范围是
，所以选 B．
2题 (理 18) 设 f (x), g(x), h(x) 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：(1) 若 f (x) + g(x), f (x) + h(x), g(x) + h(x) 均为增函数，则 f (x), g(x), h(x) 中?少有?个为增函数；(2) 若 f (x) + g(x), f (x) + h(x), g(x) + h(x) 均是以 T 为周期的函数，则 f (x), g(x), h(x) 均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是 ( )A. (1) 和 (2) 均为真命题
B. (1) 和 (2) 均为假命题C. (1) 为真命题，(2) 为假命题
D. (1) 为假命题，(2) 为真命题解 (1) 为假命题，我们可以如下构造反例．将定义域 R 分为三段，函数 f (x) 在第?段上是?平的射线1，函数 g(x) 在第?段上是?平的线段，函数 h(x) 在第三段上是?平的射线，?在其余的部分，三个函数均为斜率为 1 的线段或射线．那么在每?段上， f (x) + g(x), g(x) + h(x), h(x) + f (x) 均为斜率为 1 或2 的线段或射线，如图．
x(2) 为真命题．令
F (x) = f (x) + g(x), G(x) = f (x) + h(x), H(x) = g(x) + h(x),
1若要构造严格单调的反例，可以将?平的线段或射线改为斜率为 -1 的线段或射线，斜率为 1 的线段或射线改为斜率为 2 的线段或射线．
197 2016 年上海卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)则
F (x) + G(x) - H(x)
2是以 T 为周期的函数，同理 g(x), h(x) 也是以 T 为周期的函数．综上所述，选 D．题 (理 21)
= 1(b & 0)
的左、右焦点分别为
F1, F2 ，直线
且与双曲线交于
b2A, B 两点．
π2的，斜△率F存1A在B，且是等?边F# 1三A>> ?+ 形F# 1，B>>求? ·双A# 曲B>> 线= 的0 ，渐求近线l ?的程斜；率．(1) 若
l 的倾斜?为(2) 设
3分析 第 (1) 小题考察双曲线的对称性；第 (2) 小题利用向量描述了?个弦的中点问题，用《?考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题的有效 10 招中的第 7 招“有??次曲线的「垂径定理」”即可轻松解决．解
(1) 根据题意，通径
|AB| = 2b2
|F1F2| = 2c
= √2 ，从?解得
2 : 3 ，即
3进?双曲线的渐近线?程为 y = ± 2x ．
B(2) 此时双曲线?程为
= 1 ， F1(-2, 0) ， F2(2, 0) ．如图，由题意， A, B
两点分别位于双曲线的
3两?上，且 |AF1| = |BF1| ，设线段 AB 的中点为 M ．?法?
该双曲线的左准线为
两点分别位于左准线
的左右两边，且到
2距离相等，故点 M 落在 l1 上．
= m2 - 15 = 0,
√√解得 m = ± 15 ，所以直线 l 的斜率为 ± 15 ．
25整?理法?(即双设曲线M的(n“,垂m径) ，定A理(”x)1,可y1得) ，mB(·xk2=, y23)．，直线 l 的斜率为 k ．将 A, B 两点满?的双曲线?程相减
207 2016 年上海卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
???? n m+ 2
√√解得 n = - 1 ，从? m = - 3 = - 5k ，进? k = ± 15 ，所以直线 l 的斜率为 ± 15 ．
5题 (理 23) 若?穷数列 {an} 满?：只要 ap = aq (p, q ∈ N*) ，必有 ap+1 = aq+1 ，则称 {an} 具有性质 P.(1) 若 {an} 具有性质 P ，且 a1 = 1, a2 = 2, a4 = 3, a5 = 2, a6 + a7 + a8 = 21 ，求 a3 ；(2) 若?穷数列 {bn} 是等差数列，?穷数列 {cn} 是公?为正数的等?数列， b1 = c5 = 1, b5 = c1 =81, an = bn + cn ，判断 {an} 是否具有性质 P ，并说明理由；(3) 设 {bn} 是?穷数列，已知 an+1 = bn + sin an (n ∈ N*) ，求证：“对任意 a1 ， {an} 都具有性质 P ”的充要条件为“ {bn} 是常数列”．分析 第 (1) 小题考查解题者对性质 P 的理解；第 (2) 小题给出了两个基本数列，利用性质 P 的定义不难做出判断；第 (3) 小题难点在于必要性的证明，通过选择合适的初值构造常数列（从第?项起）即可得出{bn} 是常数列．解 (1) 因为 a2 = a5 = 2 ，所以
a3 = a6, a4 = a7 = 3, a5 = a8 = 2,因此 a6 = 21 - a7 - a8 = 16 ，故 a3 = 16 ．
bn = 20n - 19,
an = bn + cn = 20n - 19 + 3n-5 .因为 a1 = a5 = 82 ，但是
=所以 {an} 不具有性质 P ．(3) 先证明充分性．若 {bn} 是常数列，不妨设 bn = c ，则 an+1 = c +sin an ．此时只要 ap = aq (p, q ∈ N*) ，必有
ap+1 = c + sin ap = c + sin aq = aq+1,故对任意 a1 ， {an} 都具有性质 P ．再证明必要性．考察连续函数 f (x) = x - b1 - sin x ，其中 b1 为任意实数．因为
f (b1 - 2) = -2 - sin (b1 - 2) & 0, f (b1 + 2) = 2 - sin (b1 + 2) & 0,所以存在 t ∈ (b1 - 2, b1 + 2) ，使得 f (t) = t - b1 - sin t = 0 ．
218 2016 年上海卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)若对任意 a1 ， {an} 都具有性质 P ，取 a1 = t ，此时进?
a2 = b1 + sin a1 = b1 + sin t = t = a1,所以对任意 n ∈ N* ，均有
a2 = a3, a3 = a4, · · · , an = an+1, · · · ,
bn+1 = an+2 - sin an+1 = an+1 - sin an = bn,即 {bn} 是常数列．综上所述，“对任意 a1 ， {an} 都具有性质 P ”的充要条件为“ {bn} 是常数列”．
8 2016 年上海卷?科数学题 (? 14) ?穷数列 {an} 由 k 个不同的数组成， Sn 为 {an} 的前 n 项和．若对任意的 n ∈ N* ，Sn ∈ {2, 3} ，则 k 的最?值为
．解 与理科第 11 题类似．由于 Sn, Sn+1 ∈ {2, 3} ，于是 an+1 ∈ {-1, 0, 1} ，也即从第 2 项起数列 {an}的不同取值不超过 3 个，进?数列 {an} 中的项的所有不同取值 k ? 4 ．事实上，取数列
{an} : 2, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0, -1, · · · ,此时 k = 4 ，因此 k 的最?值为 4 ．题 (? 17)
a ∈ R ， b ∈ [0, 2π) ．若对任意实数
，则满?条件的
3有序实数对 (a, b) 的对数是 ( )A. 1
D. 4解 与理科第 13 题类似．考虑到函数的周期，可得 a = ±3 ；再考虑函数的初相，可得当 a = 3 和当a = -3 时，都有唯?的实数 b 符合题意，选 B．题 (? 18) 设 f (x), g(x), h(x) 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：(1) 若 f (x) + g(x), f (x) + h(x), g(x) + h(x) 均为增函数，则 f (x), g(x), h(x) 中?少有?个为增函数；(2) 若 f (x) + g(x), f (x) + h(x), g(x) + h(x) 均是以 T 为周期的函数，则 f (x), g(x), h(x) 均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是 ( )A. (1) 和 (2) 均为真命题
B. (1) 和 (2) 均为假命题C. (1) 为真命题，(2) 为假命题
D. (1) 为假命题，(2) 为真命题解 D．与理科第 18 题相同．题 (? 21)
= 1(b & 0)
的左、右焦点分别为
F1, F2 ，直线
且与双曲线交于
b2A, B 两点．
是等边三?形，求双曲线的渐近线?程；
√(2) 设 b = 3 ，若 l 的斜率存在，且 |AB| = 4 ，求 l 的斜率．分析 第 (1) 小题考察双曲线的对称性；第 (2) 小题是?个典型的焦点弦长问题，用《?考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题的有效 10 招中的第 5 招“焦半径公式”即可轻松解决．
228 2016 年上海卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)解 (1) 与理科第 21 题第 (1) ?题相同；(2) 当
时，双曲线的?程为
x2 - y2 = 1 ，其焦距
|F1F2| = 4 ．设
为双曲线右?上?点，则
3|P F1| = |P F2| + 2 ，在 △P F2F1 中应?余弦定理有
|P F1|2 = |F1F2|2 + |P F2|2 - 2 · |P F2| · |F1F2| · cos ∠P F2F1,代?数据整理得
2 cos ∠P F2F1
1类似地，当 P 为双曲线左?上?点时，有
2 cos ∠P F2F1
B因此设直线 AB 的倾斜?为 θ ，则
|AB| = 2 cos θ + 1 + -2 cos θ + 1 = |4 cos2 θ - 1| = 4,
…√整理得 cos θ = ± 5 ，因此直线 l 的斜率为 tan θ = ± 15 ．
1题 (? 23)
已知 a ∈ R ，函数 f (x) = log2
x(1) 当 a = 1 ，解不等式 f (x) & 1 ；(2) 若关于 x 的?程 f (x) +?log2(òx2) = 0 的解集中恰有?个元素，求 a 的值；
1(3) 设 a & 0 ，若对任意 t ∈
，函数 f (x) 在区间 [t, t + 1] 上的最?值与最?值的差不超过 1 ，求
2a 的取值范围．分析 第 (1) 小题是基本的解函数不等式；第 (2) 小题将对数?程转化为多项式?程后，对?次项系数 a适当讨论即可；第 (3) 小题是?个典型的含参不等式恒成立问题，用《?考数学压轴题的分析与解》中破解压轴题的有效 10 招中的第 1 招“分离变量法”即可轻松解决．解 与理科第 22 题类似．(1) 当 a = 1 时，原不等式等价于 1 + 1 & 2 ，其解集为 (0, 1) ．
x(2) 根据题意，有
????a1x2 + x - 1 = 0,
& 0,有唯?解．情形? a = 0 ．此时 x = 1 ，符合题意．
239 2016 年北京卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)情形? a ?= 0 ．此时必然有?程 ax2 + x - 1 = 0 的判别式 ? = 1 + 4a = 0 ，解得 a = - 1 ，此时 x = 2 ，符合题意．
4综上， a 的值为 0 或 - 1 ．
4(3) 当 a & 0 时，函数 f (x) 在 (0, +∞) 上单调递减，于是问题等价于
1当 t = 1 时显然成?，当 t ∈
，也即 1 - t ∈
2 , +∞ ．等号当
时取得．因此
的取值范围是
9 2016 年北京卷理科数学试卷点评 今年的北京卷延续了去年的命题风格：与实际?活相联系的选择题第 8 题，考查函数的图象与性质的填空第 14 题．今年的解析?何?题和导数?题?去年难度都有所下降，创新?题的难度则略微提升，总的来说是稳中有降．值得注意的是理科的第 8 题，?科的第 8 题和第 14 题看似简单，但是对思维僵化、对应?数学知识 (尤其是逻辑知识) 解决实际问题的能?有所?缺的学?将造成不?的障碍．题 (理 8) 袋中装有偶数个球，其中红球、?球各占?半．甲、?、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中?个球放?甲盒，如果这个球是红球，就将另?个球放??盒，否则就放?丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放?盒中，则 ( )A. ?盒中?球不多于丙盒中?球
B. ?盒中红球与丙盒中?球?样多C. ?盒中红球不多于丙盒中红球
D. ?盒中?球与丙盒中红球?样多解 每次操作只有可能发?下列 4 种情形中的?种：1. 甲盒中放?红球，?盒中放??球；2. 甲盒中放??球，丙盒中放?红球；3. 甲盒中放?红球，?盒中放?红球；4. 甲盒中放??球，丙盒中放??球．由于袋中的红球和?球?样多，因此情形 3 和情形 4 出现的次数必然?样多，于是可得?盒中红球与丙盒中?球?样多，选 B．只发?情形 1 即为选项 A,D 的反例，只发?情形 3, 4 即为选项 C 的反例．因此正确的答案是 B．
?x3 - 3x,题 (理 14)
f (x) = ?-2x,
x & a.(1) 若 a = 0 ，则 f (x) 的最?值为
；(2) 若 f (x) ?最?值，则实数 a 的取值范围是
249 2016 年北京卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)解 利?函数图象解决问题．令 g(x) = x3 - 3x, x ∈ R ，则
g′(x) = 3 (x + 1) (x - 1) ,故 g(x) 在 x = -1 处取得极?值 g(-1) = 2 ，在 x = 1 处取得极?值 g(1) = -2 ．令 h(x) = -2x, x ∈ R ，则 h(x) 的图象经过点 (-1, 2), (1, -2) ．函数 g(x) 与 h(x) 的图象如下图所?．
2 y = x3 - 3x
y = -2x从中即可得出此题的结果为 (1) 2 ；(2) (-∞, -1) ．题 (理 18) 设函数 f (x) = xea-x + bx ，曲线 y = f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线?程为 y = (e - 1)x + 4 ．(1) 求 a, b 的值；(2) 求 f (x) 的单调区间．分析 第 (1) 小题是典型的利用导函数求函数的切线?程的问题；第 (2) 小题是简单的利用导函数研究函数的单调性的问题．解 (1) 函数 f (x) 的导函数
f ′(x) = ea-x(1 - x) + b,因此根据题意有
?f (2) = 2(e - 1) + 4,
解得 ?a = 2,
?f ′(2) = e - 1,
?b = e.(2) 由 (1) 可知，
f (x) = xe2-x + ex,
.考察函数 g(x) = xex + 1, x ∈ R ，由于
g′(x) = ex(x + 1),故 g(x) 的最?值为
e由此可知 f ′(x) & 0 ．所以 f (x) 在 R 上单调递增．
3 ， A(a, 0), B(0, b), O(0, 0) ， △OAB题 (理 19)
= 1(a & b & 0)
2的?积为 1 ．(1) 求椭圆 C 的?程；(2) 设 P 是椭圆 C 上?点，直线 P A 与 y 轴交于点 M ，直线 P B 与 x 轴交于点 N ．求证：|AN | · |BM | 为定值．分析 第 (1) 小题考查椭圆的?程与基本量；第 (2) 小题考查基本的利用代数?法研究?何的能?．
259 2016 年北京卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)解 根据题意画出?意图如图．
ab(1) 根据椭圆 C 的离?率为
a2 = 4b2 ，又
，于是可得
a = 2，b = 1，
22因此椭圆 C 的?程为
x2 + y2 = 1.
θ(2) 参数?程解法
(2 cos θ, sin θ) ，可求得
1 - sin θ
|AN | · |BM | =
? 2 cos θ
(sin θ + cos θ - 1)2
1 - sin θ
(1 - sin θ) (1 - cos θ)
1为定值，因此原命题得证．?
下椭圆 C 变为圆 C′ : x′2 + y′2 = 4 ．设 A, B, P, M, N 的对应点分仿射变换解法在仿射变换 ?x′ = x,
?y′ = 2y别为 A′, B′, P ′, M ′, N ′ ，连接 A′B′ ，如图．
M′由 ∠B′A′N ′ = ∠A′B′M ′ = 45o ，且
∠A′B′N ′ = 45o + ∠OB′N ′ = ∠P ′ + ∠OB′N ′ = ∠A′M ′B′,可得 △A′B′N ′ 与 △B′M ′A′ 相似，于是
|A′N ′| · |B′M ′| = |A′B′|2
|B′M ′| ,因此
|AN | · 2|BM | = 8, 即 |AN | · |BM | = 4为定值，原命题得证1．题 (理 20) 设数列 A : a1, a2, · · · , aN (N ? 2) ．如果对?于 n (2 ? n ? N ) 的每个正整数 k 都有ak & an ，则称 n 是数列 A 的?个“ G 时刻”．记 G(A) 是数列 A 的所有“ G 时刻”组成的集合．
1同时，我们也得到了对?般的椭圆
= 1 ( a & b & 0 ) 的结论： |AN | · |BM | = 2ab ．
2610 2016 年北京卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)(1) 对数列 A : -2, 2, -1, 1, 3 ，写出 G(A) 的所有元素；(2) 证明：若数列 A 中存在 an 使得 an & a1 ，则 G(A) =? ? ；(3) 证明：若数列 A 满? an - an-1 ? 1 (n = 2, 3, · · · , N ) ，则 G(A) 的元素个数不?于 aN - a1 ．分析 第 (1) 小题是为了让解题者熟悉“ G 时刻”所作的铺垫；第 (2) 小题提示解题者将具体的“ G 时刻”设出，然后利用其定义解决问题，考查了最值原理．第 (3) 小题中结论的形式 aN - a1 提示我们去寻找类似于“裂项”的结构．解 (1) G(A) = {2, 5} ．(2) 若数列 A 中存在 an 使得 an & a1 ，不妨假设 ak (2 ? k ? N ) 是 a2, a3, · · · , aN 中第?个?于 a1 的数，则对?于 k 的每个正整数 i 都有 ai ? a1 & ak ，所以 k ∈ G(A) ，故 G(A) ?= ? ．(3) (i) 若 G(A) = ? ，则由第 (2) 题可知， aN ? a1 ，此时结论成?．(ii) 若 G(A) =? ? ，设 G(A) = {i1, i2, · · · , ik} ，其中 ij ∈ {2, 3, · · · , N } , j = 1, 2, · · · , k ．不妨设 i1 & i2 &· · · & ik ．由题意， ai1 & a1 ? ai1-1 ，所以
ai1 - a1 ? ai1 - ai1-1 ? 1,同理， ai2 & ai1 ? ai2-1 ，所以
ai2 - ai1 ? ai2 - ai2-1 ? 1,以此类推，我们有
ai1 - a1 ? ai1 - ai1-1 ? 1,
ai2 - ai1 ? ai2 - ai2-1 ? 1,
········· ,aik - aik-1 ? aik - aik-1 ? 1.将以上各式叠加，我们得到
aN - a1 ? aik - a1 ? k,故此时结论也成?．综合 (i)(ii) 可知，若数列 A 满? an - an-1 ? 1 (n = 2, 3, · · · , N ) ，则 G(A) 的元素个数不?于 aN - a1 ．
10 2016 年北京卷?科数学题 (? 8) 某学校运动会的?定跳远和 30 秒跳绳两个单项?赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为 10 名学?的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
?定跳远 (单位：?) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
30 秒跳绳 (单位：次) 63 a 75 60 63 72 70 a - 1 b 65在这 10 名学?中，进??定跳远决赛的有 8 ?，同时进??定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 ?，则()A. 2 号学?进? 30 秒跳绳决赛
B. 5 号学?进? 30 秒跳绳决赛C. 8 号学?进? 30 秒跳绳决赛
D. 9 号学?进? 30 秒跳绳决赛解 进??定跳远决赛的 8 ?是 1 号到 8 号，他们的 30 秒跳绳成绩记为
(3, 75), (6, 72), (7, 70), (1, 63), (5, 63), (4, 60),
2710 2016 年北京卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)以及 (2, a), (8, a - 1) ．注意到 30 秒跳绳的成绩中有两名学?并列，因此进?决赛的成绩线必然在 63 次以下 (否则?多只有 5 ?进?决赛)，因此可以确定 5 号学?必然进?了 30 秒跳绳决赛，选 B．题 (? 14) 某?店统计了连续三天售出商品的种类情况：第?天售出 19 种商品，第?天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该?店(1) 第?天售出但第?天未售出的商品有
种；(2) 这三天售出的商品最少有
种．解 如图，区域 I, II, III 表?只在第?、?、三天售出的商品；区域 IV, V, V I 表?只在第?、?天，第?、三天，第?、三天售出的商品；区域 V II 表?三天都售出的商品．它们的数量分别为 xi ( i = 1, 2, · · · , 7 )．
V(1) 根据题意，有 x1 + x4 + x6 + x7 = 19 ，? x4 + x7 = 3 ，因此 x1 + x6 = 19 - 3 = 16 ．(2) 根据容斥原理，这三天售出的商品总数为
19 + 13 + 18 - (3 + 4 + x6 + x7) + x7 = 43 - x6,? x5 + x7 = 4 ，因此 x6 ? 18 - 4 = 14 ，因此这三天售出的商品总数最少有 29 种．?种符合题意的填法是
(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7) = (2, 9, 0, 0, 1, 14, 3).题 (? 19)
A(2, 0), B(0, 1)
+ b2(1) 求椭圆 C 的?程及离?率；(2) 设 P 为第三象限内?点且在椭圆 C 上，直线 P A 与 y 轴交于点 M ，直线 P B 与 x 轴交于点N ，求证：四边形 ABN M 的?积为定值．分析 第 (1) 小题考查椭圆的?程与基本量；第 (2) 小题与理科的第 (2) 小题基本?致，参见理科第 19 题的第 (2) 小题．解 (1) 根据题意，有 a = 2 ， b = 1 ，于是椭圆的?程为
x2 + y2 = 1,
√其离?率 e = 3 ．
2(2) 四边形 ABN M 的?积 S = 1 · |AN | · |BM | ．以下参见理科第 19 题的第 (2) ?题，定值为 2 ．
2811 2016 年四川卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)题 (? 20) 设函数 f (x) = x3 + ax2 + bx + c ．(1) 求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线?程；(2) 设 a = b = 4 ，若函数 f (x) 有三个不同零点，求 c 的取值范围；(3) 求证： a2 - 3b & 0 是 f (x) 有三个不同零点的必要?不充分条件．分析 第 (1) 小题是基本的利用导函数求曲线的切线?程的问题；第 (2) 小题是利用导函数研究函数的零点的问题，可以分离变量以简化问题；第 (3) 小题是在第 (2) 小题的基础上进?的?点点延伸．解 (1) 函数 f (x) 的导函数
f ′(x) = 3x2 + 2ax + b,于是 f (0) = c ， f ′(0) = b ，因此曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线?程为 y = bx + c ．(2) 函数 f (x) 的零点即?程 x3 + 4x2 + 4x = -c 的实数根，令 g(x) = x3 + 4x2 + 4x ，则其导函数
g′(x) = 3x2 + 8x + 4 = (3x + 2)(x + 2),
+∞于是函数
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，其极
32?值为 g(-2) = 0 ，极?值为 g
．依题意，函数 y = g(x) 与 y = -c 有三个不同的公共点，因此
32因此 c 的取值范围是
27(3) 分两步证明．必要性 若连续函数 f (x) 有三个不同零点，那么 f (x) 的单调性必然变化?少 2 次，因此其导函数必然有 2 个不同的零点，从? f ′(x) 的判别式
? = 4(a2 - 3b) & 0,从? a2 - 3b & 0 ．?充分性 取 a = 0 ， b = -3 ， c = 3 ，则函数 f (x) = x3 - 3x + 3 ，其导函数
f ′(x) = 3(x + 1)(x - 1),于是其极?值为 f (-1) = 5 ，其极?值为 f (1) = 1 ，此时函数 f (x) 只有 1 个零点．综上所述， a2 - 3b & 0 是 f (x) 有三个不同零点的必要?不充分条件．
11 2016 年四川卷理科数学试卷点评 今年四川卷的难度较之去年有所下降．选择题最后?题考查利?轨迹思考动态问题，只要不被条件的叙述?式吓到还是?常简单的．填空题最后?题以反演变换为背景，难度适中，区分度较?，需要灵活的思维才能快速厘清条件．理科和?科的解析?何?题都以圆幂定理为背景，利?仿射变换或者利?参数?程都可以很快解决，直接计算虽然运算量较?，但在思维层?并没有什么难度．压轴的导数?题是?个经典的端点分析问题，难点在于如何论证，相信平时训练有素的学?并不会受到阻碍．总的来说，这份试题难度适当，前后并没有太?起伏，主要考查的还是同学们平时训练的基本功．题 (理 10)
在平?内，定点 A, B, C, D 满?
DA-2 ，动点 P, M 满? A# P>> = 1 ， P# M>> = M# C>> ，则 B# M>> 2 的最?值是 ( )
2911 2016 年四川卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)A. 43
C. 37 + 6 3
D. 37 + 2 33
4解 如图．根据已知，有 ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA ，因此 △DAB, △DBC, △DCA 全等，进?可得△ABC 为正三?形，进?步计算可得 DA = DB = DC = 2 ．
BC根据题意， P 在以 A 为圆? 1 为半径的圆上运动，因此 CP 的中点 M 在以 N 为圆?， 1 为半径的
2圆上运动，其中 N 点为边 AC 的中点．因此 B# M>> 2 的最?值为
? 1 ?2 ? 3 1 ?2 49
BN + = DB + = ,
2 2 24选 B．
x2 + y2题 (理 15)
在平?直?坐标系中，当
不是原点时，定义
的“伴随点”为
y2当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点”为它??．平?曲线 C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C′定义为曲线 C 的“伴随曲线”，现有下列命题：(1) 若点 A 的“伴随点”是点 A′ ，则点 A′ 的“伴随点”是点 A ；(2) 单位圆的“伴随曲线”是它??；(3) 若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” C′ 关于 y 轴对称；(4) ?条直线的“伴随曲线”是?条直线．其中的真命题是
(写出所有真命题的序号) ．解
′观为察伴? 1随s点in的θ,坐-标1 c形os式θ?，，考即虑利??1 c极os坐(θ标-理π解)“,伴1随sin点(”．θ -设πP)(?ρ．co可s θ以, ρ理sin解θ为) ，将其P中
，则其伴随点
顺时针旋转π 得到点 Q ，然后在射线 OQ 上取 P ′ 使得 |OP ′| = 1 (可以看成关于单位圆反演)，如图．2ρ
Q对命题 (1)，取单位圆上的?点 A ，那么它的“伴随点” A′ 的“伴随点”相当于将 A 顺时针旋转 π 得到的点，与点 A 关于原点对称，命题错误；对命题 (2)，根据对“伴随点”的?何解释，命题正确；对命题 (3)，若曲线 C 关于 x 轴对称，那么曲线 C 顺时针旋转 π 后得到的曲线 D 必然关于 y 轴对
2称，此时将曲线 D 关于单位圆反演得到的曲线必然也关于 y 轴对称，命题正确；
3011 2016 年四川卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)对命题 (4)，任取与单位圆相离的直线1，则其“伴随曲线”必然在单位圆内部，不可能是?条直线，命题错误．综上所述，真命题是 (2)(3)．题 (理 20)
= 1 ( a & b & 0 ) 的两个焦点与短轴的?个端点是直?三?形的三个顶
a2 + b2点．直线 l : y = -x + 3 与椭圆 E 有且只有?个公共点 T ．(1) 求椭圆 E 的?程及点 T 的坐标；(2) 设 O 是坐标原点，直线 l′ 平?于 OT ，与椭圆 E 交于不同的两点 A, B ，且与直线 l 交于点 P ．证明：存在常数 λ ，使得 |P T |2 = λ|P A| · |P B| ，并求 λ 的值．分析 第 (1) 小题综合考查椭圆的基本量与?程以及直线与圆锥曲线的位置关系；第 (2) 小题是圆幂定理在仿射变换下的结果，利用参数?程也可以很快计算出结果．解 (1) 根据勾股定理，可得 a2 + a2 = (2c)2 ，其中 c 为椭圆的半焦距．又由直线 l 与椭圆联?的等效判别式2可得
a2 · 12 + b2 · 12 - (-3)2 = 0,于是可得?程组
???a2 = 2c2,
???a2 = 6,
3,于是椭圆
= 1 ，进?不难求出
T (2, 1) ．
√(2) 仿射变换解法
注意到问题的结论类似于圆幂定理，因此考虑?仿射变换．作仿射变换
2y则椭圆 E 变为圆
E′ : x′2 + y′2 = 6,此时设 P, A, B, T 的对应点分别是 P ′, A′, B′, T ′ ．
x′由仿射变换前后的弦长对应关系，可得
|P ′T ′|2 1 + 2 · (-1)2 3
|P ′A′| · |P ′B′|
1 + 2 · ? 1 ?2
6两式相?，可得
|P A| · |P B|
|P ′A′| · |P ′B′|
|P A| · |P B|
|P ′T ′|2
51事实上，根据反演变换的性质，任何不通过原点的直线的“伴随曲线”必然是除去原点的圆．2直线
Ax + By + C = 0
联?后的判别式与等效判别式
?0 = a2A2 + b2B2 - C2
同号，这很容易利?
a2 + b2 = 1联??程证明．
3111 2016 年四川卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)?根据圆幂定理，有
|P ′T ′|2 = |P ′A′| · |P ′B′|,因此原命题得证，且 λ = 4 ．
5参数?程解法 设 P 点坐标为 (p, 3 - p) ，由题意，可设直线 l′ 的参数?程为
?x = p + 2t,
?y = 3 - p + t,其中 t 为参数．将其与椭圆?程联?，得
2t2 + 4t + p2 - 4p + 4 = 0.设 A, B 两点对应的参数分别为 t1, t2 ，则
????? & 0,
????tt11t+2
|P A| · |P B| = 5|t1| · 5|t2| =
|P T |2 = 2(p - 2)2,
2所以存在常数 λ = 4 ，使得 |P T |2 = λ|P A| · |P B| ．
5题 (理 21) 设函数 f (x) = ax2 - a - ln x ，其中 a ∈ R ．(1) 讨论 f (x) 的单调性；(2) 确定 a 的所有可能取值，使得 f (x) & 1 - e1-x 在区间 (1, +∞) 内恒成?．( e = 2.718 · · · 为?然
x对数的底数)分析 第 (1) 小题考查利用导函数研究函数的单调性；第 (2) 小题可以利用端点分析得到分界点，然后适当放缩进?论证即可．解 (1) 函数 f (x) 的定义域为 (0, +∞) ，其导函数
f ′(x) = 2ax2 - 1 , x & 0,
?… ?于是当 a ? 0 时，函数 f (x) 在 (0, +∞) 上单调递减；当 a & 0 时，函数 f (x) 在 0, 1 上单调递
1 , +∞ 上单调递增．减，在
2a(2) 题中不等式即
a(x2 - 1) - ln x - 1 + e1-x & 0,
x记左侧为函数 g(x) ，其导函数为
x2注意到 g(1) = 0 ，于是可以分析端点 x = 1 处的导函数值 g′(1) = 2a - 1 ，得到分界点 a = 1 ．在以下讨
2论中，默认 x 的范围是 (1, +∞) ．情形?
3212 2016 年四川卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)此时有
g(x) ? 1 (x2 - 1) - ln x - 1 + e1-x,
2x记右侧为函数 h(x) ，则其导函数
x2我们熟知 ln x & x - 1 ，从? 1 - x & ln 1 ，即 e1-x & 1 ，因此
x2于是函数 h(x) 单调递增，? h(1) = 0 ，因此 g(x) ? h(x) & 0 ，符合题意．情形?
a& 1．此时有
g(x) & a(x2 - 1) + 1 - 1 - 1 + 1 = (x2 - 1) a - 1
? ? … ??若 a ? 0 ，则 g(x) & 0 ，显然不符合题意；若 0 & a & 1 ，则当 x ∈ 1, 1 -1 + 1 + 4
时，有g(x) & 0 ，不符合题意．
??综上所述，实数 a 的取值范围是 1 , +∞ ．
12 2016 年四川卷?科数学
?- ln x,题 (? 10)
分别是函数
f (x) = ?ln x,
0 & x & 1, 图象上点 P1, P2 处的切线， l1 与
x&1l2 垂直相交于点 P ，且 l1, l2 分别与 y 轴相交于点 A, B ，则 △P AB 的?积的取值范围是 ( )A. (0, 1)
C. (0, +∞)
D. (1, +∞)解 由于 (- ln x)′ = - 1 & 0 ，? (ln x)′ = 1 & 0 ，于是若两条切线互相垂直，则切点必然分别位于图象
xx在 (0, 1) 和 (1, +∞) 的部分，如图．
1 , - ln t设 P1(t, - ln t) ( 0 & t & 1 )，则不难计算得 P2
，两条切线分别为
t进?可得 △P AB 的?积
12其取值范围是 (0, 1) ，选 A．
S = 2 · xP · |AB| = t + 1 ,
3312 2016 年四川卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
x2 + y2题 (? 15)
在平?直?坐标系中，当
不是原点时，定义
的“伴随点”为
y2当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点”为它??．现有下列命题：(1) 若点 A 的“伴随点”是点 A′ ，则点 A′ 的“伴随点”是点 A ；(2) 单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；(3) 若两点关于 x 轴对称，则它们的“伴随点”关于 y 轴对称；(4) 若三点在同?条直线上，则它们的“伴随点”?定共线．其中的真命题是
(写出所有真命题的序号) ．解
′观为察伴? 1随s点in的θ,坐-标1 c形os式θ?，，考即虑利??1 c极os坐(θ标-理π解)“,伴1随sin点(”．θ -设πP)(?ρ．co可s θ以, ρ理sin解θ为) ，将其P中
，则其伴随点
顺时针旋转π 得到点 Q ，然后在射线 OQ 上取 P ′ 使得 |OP ′| = 1 (可以看成关于单位圆反演)，如图．2ρ
Q对命题 (1)，取单位圆上的?点 A ，那么它的“伴随点” A′ 的“伴随点”相当于将 A 顺时针旋转 π 得到的点，与点 A 关于原点对称，命题错误；对命题 (2)，根据对“伴随点”的?何解释，命题正确；对命题 (3)，若两个点关于 x 轴对称，那么两个点顺时针旋转 π 后得到的点必然关于 y 轴对称，此时将
2旋转后得到的两个点关于单位圆反演得到的两个点必然也关于 y 轴对称，命题正确；对命题 (4)，取与单位圆相切的直线 x = 1 ，则易知切点 A(1, 0) 的“伴随点”是点 A′(0, -1) ．考虑直线上的点 B(1, -1) 和 C(1, 1) ，它们的“伴随点” B′ 和 C′ 分别位于第三, 四象限，且均在单位圆内部，显然此时A′, B′, C′ 不共线，命题错误1．综上所述，真命题是 (2)(3)．题 (?
20) 已知椭圆 E
的?个焦点与短轴的两个端点是正三?形的三个顶点，点
2(1) 求椭圆 E 的?程；(2) 设不过原点 O 且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A, B ，线段 AB 的中点为 M ，直
2线 OM 与椭圆 E 交于 C, D ，证明： |M A| · |M B| = |M C| · |M D| ．分析 第 (1) 小题考查椭圆的基本量与?程；第 (2) 小题是圆幂定理在仿射变换下的结果，因此可以考虑用仿射变换解决，同时利用参数?程计算也不难．需要注意的是这里出现了弦中点的问题，因此可以利用椭圆的“垂径定理”（参考《?考数学压轴题的分析与解》破解压轴题的有效 10 招中的第 7 招“有??次曲线的「垂径定理」”）．解
(1) 根据题意，有
a = 2b ，结合点
上，可得椭圆
x2 + y2 = 1 ．
24(2) 设 A(x1, y1) ， B(x2, y2) ，将两个点满?的椭圆?程相减整理可得 (即椭圆的“垂径定理”) 直线 OM 和直线 AB 的斜率之积为 - 1 ，从?直线 CD 的斜率为 - 1 ．
42仿射变换解法 注意到结论的形式类似于圆幂定理，因此考虑?仿射变换．作仿射变换 x′ = x ， y′ = 2y ，则椭圆 E 变为圆 E′ : x′2 + y′2 = 4 ．设 A, B, C, D 变化后的对应点分别是 A′, B′, C′, D′ ，如图．
1事实上，根据反演变换的性质，任何不通过原点的直线的“伴随曲线”必然是除去原点的圆．
3412 2016 年四川卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
B根据仿射变换前后弦长的对应关系，我们有
4 · ? 1 ?2
1+4· -于是可得
|M ′C′| |M ′D′|
2根据圆幂定理，有
|M C| = |M D| =
|M ′A′| |M ′B′| |M ′C′| |M ′D′|
|M A| |M B| |M C| |M D|
|M ′A′| · |M ′B′| = |M ′C′| · |M ′D′|,由此即得原命题成?．参数?程解法 由 CD : y = - 1 x ，于是可设 M (-2m, m) ，进?分别以 (2, 1) 和 (2, -1) 为直线 AB
2和 CD 的?向向量，可设
?x = -2m + 2t,
AB : ?y = m + t,
m - t.设点 A, B 对应的参数分别为 t1, t2 ，点 C, D 对应的参数分别为 t3, t4 ，分别将直线 AB, CD 的?程与椭圆?程联?，可得 t1, t2 是?程
2t2 + 2m2 - 1 = 0的两根，? t3, t4 是?程
2t2 - 4mt + 2m2 - 1 = 0的两根．因此
>>|M A| · |M B| - |M C| · |M D| = 22 + 1 · |t1| · 22 + 1 · |t2| - 22 + (-1)2 · |t3| · 22 + (-1)2 · |t4| = 0,因此原命题得证．题 (? 21)
f (x) = ax2 - a - ln x ， g(x) =
a ∈ R ， e = 2.718 · · ·
为?然对数的底数．
ex(1) 讨论 f (x) 的单调性；(2) 证明：当 x & 1 时， g(x) & 0 ；(3) 确定 a 的所有可能取值，使得 f (x) & g(x) 在区间 (1, +∞) 内恒成?．
3513 2016 年天津卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)分析
与理科第 21 题基本相同，参见理科第 21 题的分析．增设了?问分散了最后?问论证
2符合题意的压?．解 (1) 即理科第 21 题的第 (1) ?题．(2) 欲证明的不等式即
ex & e, x & 1.
x令 h(x) = ex ，则其导函数
=于是当 x & 1 时， h(x) 单调递增，因此在区间 (1, +∞) 上有 h(x) & h(1) = e ，原命题得证．(3) 法? 理科第 21 题的第 (2) ?题．法? 得到分界点 1 ，以及证明 a ? 1 与法? 相同．
22情形? a & 1 ．
2(i) a ? 0 时，根据第 (1) ?题结论，函数 f (x) 在 (1, +∞) 上单调递减，因此当 x & 1 时，f (x) & f (1) = 0 ，?根据第 (2) ?题， g(x) & 0 ，不符合题意；
时，根据第 (1) ?题结论，函数
上单调递减，因此当 x & 1 时，
2 2af (x) & f (1) = 0 ，?根据第 (?2) ?题结? 论， g(x) & 0 ，不符合题意．综上所述， a 的取值范围是 1 , +∞ ．
13 2016 年天津卷理科数学试卷点评 今年的天津卷延续了去年天津卷的风格，?常重视对基本功的考查．选择题最后?题和填空题最后?题都中规中矩，不需要?什么技巧，只需要扎实的数学功底．解析?何?题也不涉及?些热点的圆锥曲线的性质，?是朴实?华的计算．压轴题?题是我们在模拟考试中经常遇到的“被关起来的?次函数”问题的升级版本，第 (2) ?题的提?给的?常隐晦，如果?常规?法颇有难度．总的来说，今年的天津卷的难度在全国各卷来说相对较?，?试题风格相对最稳定．
?x2 + (4a - 3)x + 3a,题 (理 8)
f (x) = ?loga(x + 1) + 1,
x & 0, （ a & 0 , 且 a =? 1 ）在 R 上单调递减，且
x?0关于? x 的ò ?程
恰? 好有ò两个不相等的实数解，?则
ò的∪取ss值3 (TM)范围是
2?∪ss3(TM)
33 4解 因为 f (x) 在 R 上单调递减，所以
[loga(x + 1) +
1]|x=0 ,接下来思考函数 y = f (x) 的图象与直线 y = 2 - x ( x ? 2 ) 以及 y = x - 2 ( x ? 2 ) 的公共点个数，如图．
3613 2016 年天津卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
时，符合题意．当
变?时，设函数
h(x) = loga(x + 1) + 1 ( x ? 0 )，则
h(0) = 1 ，?
3h(2) = loga3 + 1 & 0 ，因此在区间 [0, 2] 上题中?程有且只有?个实数解．这样问题就转化为了?程
x2 + (4a - 3)x + 3a = 2 - x在区间 (-∞, 0) 上只有?个实数解．设 g(x) = x2 + (4a - 2)x + 3a - 2 ，则 g(0) = 3a - 2 ，因此得到分界点 2．
3情形? 1 ? a & 2 ．
33此时 g(0) & 0 ，? g(x) 的图象开?向上，因此?程在区间 (-∞, 0) 上有且只有?个实数解，符合题意．情形? a = 2 ．
3此时 g(0) = 0 ，? g(x) 的对称轴 x = 1 - 2a 满? 1 - 2a & 0 ，进?步其判别式
? = 4(4a - 3)(a - 1) & 0,于是?程在区间 (-∞, 0) 上有且只有?个实数解，符合题意．情形三 2 & a ? 3 ．
34此时 g(0) & 0 ，? g(x) 的对称轴 x = 1 - 2a 满? 1 - 2a & 0 ，进?步可得其判别式
? = 4(4a - 3)(a - 1) = 0,即
时符合题意．
(TM)综上所述， a
的取值范围是
设抛物线 ?x = 2pt2,题 (理 14)
（ t 为参数， p & 0 ）的焦点为 F ，准线为 l . 过抛物线上?点 A
7作 l 的垂线，垂?为 B . 设 C
， AF 与 BC 相交于点 E . 若 |CF | = 2|AF | ，且 △ACE 的
√2?积为 3 2 ，则 p 的值为
由题意可知，抛物线的普通?程为
y2 = 2px(p & 0) ，F
3713 2016 年天津卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
OF设 A 点坐标为 (x1, y1) ，不妨设 y1 & 0 ．由于 |CF | = 2 |AF | ，故
?√?进?步可求得 A 点坐标为 p, 2p ．因为
· 3p · 2p = 9 2,解得
6题 (理 19)
的右焦点为
F , 右顶点为
|F A|其中 O 为原点， e 为椭圆的离?率.(1) 求椭圆的?程;(2) 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y轴交于点 H ，若 BF ⊥ HF ，且 ∠M OA ? ∠M AO ，求直线 l 的斜率的取值范围.分析 第 (1) 小题考查椭圆的?程与基本量；第 (2) 小题注意到并不需要联立直线与椭圆?程，因此直接以 B 点坐标为参数展开计算即可．解
|OF | + |OA| = |F A|
,解得 a = 2 ．故椭圆?程为 x2 + y2 = 1 ．
?(2) 如图，设 B 点坐标为 2 cos θ, 3 sin θ ，其中 sin θ =? 0 ， H 点坐标为 (0, h) ．
H因为 BF ⊥ HF ，故 F# B>> · F# H>> = 0 ，解得
h = 2√cos θ - 1 .
3813 2016 年天津卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
3(m - 2) sin θ
2 cos θ - 2因为 M 点在直线 l 上，所以可以设 M 点坐标为
．由题意， HM ⊥ AB ，所以
3(m - 2) sin
2√cos θ - 1
2 cos θ - 2
= ? 1 cos θ - 7 ? m + 4 + cos θ
8 + 2 cos θ
m = 7 - cos θ .因为 ∠M OA ? ∠M AO ，所以 m ? 1 ，解得 cos θ ? - 1 ．令 α = θ ，由于
1 - tan2 α
1 + tan2 α ,故
tan α ?= 0 ．所以
- 2 ? tan α & 0
2设直线 l 的斜率为 k ，则
2 ?√113+-· 1ttaa+2nnt22taaααnnα2-α1?
2 cos θ - 2因为
- 2 ? tan α & 0
√ ? 4 ?√
?4综上所述，直线 l 的斜率 k 的取值范围是 -∞, - 6 ∪ 6 , +∞ ．
44题 (理 20) 设函数 f (x) = (x - 1)3 - ax - b , x ∈ R ，其中 a, b ∈ R .(1) 求 f (x) 的单调区间；(2) 若 f (x) 存在极值点 x0 ，且 f (x1) = f (x0) ，其中 x1 ?= x0 ，求证： x1 + 2x0 = 3 ；(3) 设 a & 0 , 函数 g(x) = |f (x)| , 求证： g(x) 在区间 [0, 2] 上的最?值不?于 1 .
4分析 第 (1) 小题考查利用导函数研究函数的单调性；第 (2) 小题考查利用导函数研究函数的极值点．第(3) 小题在第 (2) 小题的基础上可以画出极端情形：
-在此基础上利用函数
处的函数值结合反证法证明结论即可．
x = 0, , , 2
22解 (1) 函数 f (x) 的导函数 f ′(x) = 3(x - 1)2 - a ．情形? a ? 0 ．此时恒有 f ′(x) ? 0 ，于是函数 f (x) 的单调递增区间为 (-∞, +∞) ，没有单调递减区间．
3914 2016 年天津卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)情形? a & 0 ．
? √ ? ?√
?此时函数 f ′(x) 有两个零点，函数 f (x) 的单调递增区间是
3a + 1, +∞ ，单
3a调递减区间是
33(2) 因为 x0 是 f (x) 的极值点，故由第 (1) 问可知， a & 0 ，且 f ′(x0) = 0 ，即 a = 3 (x0 - 1)2 & 0 ．由题意可知，关于 x 的?程 f (x) = f (x0) 有且只有两个不同的实根 x0, x1 ．因为
f (3 - 2x0) = (2 - 2x0)3 - 3 (x0 - 1)2 (3 - 2x0) - b
= (x0 - 1)2 · (-2x0 - 1) - b
= (x0 - 1)3 - 3x0 (x0 - 1)2 - b
= (x0 - 1)3 - ax0 - b
= f (x0) ,且 3 - 2x0 ?= x0 （否则由 x0 = 1 可推出 a = 0 ，?盾），故
3 - 2x0 = x1, 即 x1 + 2x0 = 3.(3) ?反证法．假设 g(x) 在区间 [0, 2] 上的最?值?于 1 ．
????????ff
????????ff
2 82我们有
21a==ff?(21)?--f
? 1 ? - 2f
? 3 ? + f (2) - f (0)
+ f (2) - f (0) ? 2 f
2?盾．所以 g(x) 在区间 [0, 2] 上的最?值不?于 1 ．
14 2016 年天津卷?科数学题 (? 8)
2点，?则 ωò 的取值范围是 ( ) ? ò ? ?
可以化简为
π ) ．根据题意可知
f (π) · f (2π)
0 ，且函数
??周期 π 不?于区间 (π, 2π) 的长度 π ．在得到 0 & ω ? 1 后，可得在区间 (π, 2π) 上 ωx- π ∈ - π , 7π ，
ω 40 4 4 414 2016 年天津卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)讨论如下．情形? f (π) = 0 或 f (2π) = 0 ．此时
2ωπ - π
= k2π ，其中
k1, k2 ∈ Z ．考虑到
ω ∈ (0, 1] ，于是解得
848情形? f (π) & 0 且 f (2π) & 0 ．
?0 & 2ωπ -4π4 & π,解得 1 & ω & 5 ．
f (π) & 0 且 f (2π) & 0 ．此时
44解得 0 & ω & 1 ．
8 ? ò? ò
15综上所述， ω 的取值范围是
考虑将函数
的图象进?拉伸，使其在
内没有零点，考虑
最终的位置与区间
的关系亦可．
?x2 + (4a - 3)x + 3a,题 (? 14)
f (x) = ?loga(x + 1) + 1,
x & 0, ( a & 0 ，且 a =? 1 ) 在 R 上单调递减，且
x?0关于 x 的?程 |f (x)| = 2 - x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是
3解 因为 f (x) 在 R 上单调递减，所以
[loga(x + 1) +
1]|x=0 ,接下来思考函数
的图象与直线
的公共点个数，如图．
时，符合题意．当
变?时，设函数
h(x) = loga(x + 1) + 1 ( x ? 0 )，则
h(0) = 1 ，?
3h(2) = loga3 + 1 & 0 ，因此在区间 [0, 6] 上题中?程有且只有?个实数解．这样问题就转化为了?程
x2 + (4a - 3)x + 3a = 2 - x
41 314 2016 年天津卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
??在区间 (-∞, 0) 上只有?个实数解．设 g(x) = x2 + 4 a - 2 x + 3a - 2 ，则 g(0) = 3a - 2 ，因此得到分
3界点 2 ．
3情形? 1 ? a & 2 ．
33此时 g(0) & 0 ，? g(x) 的图象开?向上，因此?程在区间 (-∞, 0) 上有且只有?个实数解，符合题意．情形? a = 2 ．
3此时 g(0) = 0 ，? g(x) 的对称轴为 x = 0 ，于是?程在区间 (-∞, 0) 上没有实数解，不符合题意．情形三 2 & a ? 3 ．
2 ? & 0 ，进?步可得其判别式此时
g(0) & 0 ，? g(x)
x = -2 a -
33于是?程在区间 (-∞, 0) 上没? 有实?数解，不符合题意．
12综上所述， a 的取值范围是
33题 (理 15)
的右焦点为
F ，右顶点为
a2 + 3 = 1(a & 3)
|F A|其中 O 为原点， e 为椭圆的离?率．(1) 求椭圆的?程；(2) 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y轴交于点 H ．若 BF ⊥ HF ，且 ∠M OA = ∠M AO ，求直线 l 的斜率．　分析 与理科第 19 题基本相同，参考对理科第 19 小题的分析．第 (2) 小题由求范围变成了求值，降低了问题的难度．解
|OF | + |OA| = |F A|
,解得 a = 2 ．故椭圆?程为 x2 + y2 = 1 ．
?(2) 如图，设 B 点坐标为 2 cos θ, 3 sin θ ，其中 sin θ =? 0 ， H 点坐标为 (0, h) ．
H因为 BF ⊥ HF ，故 F# B>> · F# H>> = 0 ，解得
4214 2016 年天津卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
3(m - 2) sin θ
2 cos θ - 2因为 M 点在直线 l 上，所以可以设 M 点坐标为
．由题意， HM ⊥ AB ，所以
3(m - 2) sin
2√cos θ - 1
2 cos θ - 2
= ? 1 cos θ - 7 ? m + 4 + cos θ
8 + 2 cos θ
7 - cos θ
cos θ = - 1 ．从?
∠M OA = ∠M AO ，所以
m = 1 ，解得
√以直线 l 的斜率为 ± 6 ．
4题 (? 20) 设函数 f (x) = x3 - ax - b, x ∈ R ，其中 a, b ∈ R ．(1) 求 f (x) 的单调区间；(2) 若 f (x) 存在极值点 x0 ，且 f (x1) = f (x0) ，其中 x1 ?= x0 ，求证： x1 + 2x0 = 0 ；(3) 设 a & 0 ，函数 g(x) = |f (x)| ，求证： g(x) 在区间 [-1, 1] 上的最?值不?于 1 ．
4分析 与理科第 20 题基本相同，参考对理科第 20 题的分析．只是理科第 20 题对函数图象作了平移，增加了思考的难度．解 (1) 函数 f (x) 的导函数 f ′(x) = 3x2 - a ．情形? a ? 0 ．此时恒有 f ′(x) ? 0 ，于是函数 f (x) 的单调递增区间为 (-∞, +∞) ，没有单调递减区间．情形? a & 0 ．
? √ ? ?√
?√ √ ?此时函数 f (x) 的单调递增区间是 -∞, - 3a 和
3a , +∞ ，单调递减区间是
33(2) 因为 x0 是 f (x) 的极值点，故由第 (1) 问可知， a & 0 ，且 f ′(x0) = 0 ，即 a = 3x20 & 0 ．由题意可知，关于 x 的?程 f (x) = f (x0) 有且只有两个不同的实根 x0, x1 ．因为
f (-2x0) = (-2x0)3 - 3x20 (-2x0) - b = -2x03 - b = x03 - ax0 - b = f (x0) ,且 -2x0 =? x0 （否则由 x0 = 0 可推出 a = 0 ，?盾），故
-2x0 = x1, 即 x1 + 2x0 = 0.(3) ?反证法．假设 g(x) 在区间 [0, 2] 上的最?值?于 1 ．
????????ff
????????ff
2 82我们有
214a==ff?(1-)
21-?f-(-f1?),
4315 2016 年?东卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)所以
? 1 ? + f (1) - f (-1)
+ f (1) - f (-1) ? 2 f
2?盾．所以 g(x) 在区间 [-1, 1] 上的最?值不?于 1 ．
15 2016 年?东卷理科数学试卷点评 今年的?东卷?去年简单了不少．从选择题最后?题中“象形”的 T 性质，到填空最后?题中给出?需讨论对称轴的?次函数的限制函数甚?给出 m & 0 来避免讨论，这些都充分释放出了出题?的善意．导数?题中利?我们熟知的对 ln x 的放缩可以极?地简化问题，?解析?何?题中利?椭圆的“垂径定理”也可以??减少计算量，这些都是在?考中常?的“套路”，相信难不倒认真准备的学?们．?科的解析?何压轴?题反倒?理科的要难?些，但计算量?前两年要??些．总的来说，?东卷在全?考查数学知识和能?的同时表现出了难得的温柔善良，很适合训练有素的同学发挥．题 (理 10) 若函数 y = f (x) 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y = f (x) 具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是 ( )A. y = sin x
B. y = ln x
D. y = x3解 根据题意，函数 y = f (x) (导函数为连续函数) 具有 T 性质，那么必然出现以下两种情形之?：(1) 函数 f ′(x) 的值域包含?个形如 [m, n] 的区间，其中 m & 0 & n 且 mn ? -1 ；(2) 导函数的值域包含 0 且函数存在垂直于 x 轴的切线．对于选项 A，导函数为 y′ = cos x ，其值域为 [-1, 1] ，具有 T 性质，因此选项 A 正确；对于选项 B，导函数为 y′ = 1 ，其值域为 (0, +∞) ，不具有 T 性质；
x对于选项 C，导函数为 y′ = ex ，其值域为 (0, +∞) ，不具有 T 性质；对于选项 D，导函数为 y′ = 3x2 ，其值域为 [0, +∞) ，但不存在垂直于 x 轴的切线，不具有 T 性质．
?|x|,题 (理 15)
f (x) = ?x2 - 2mx + 4m,
x ? m, 其中 m & 0 ，存在实数 b ，使得关于 x 的?
x & m,程 f (x) = b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是
．解 注意到函数 y = x2 - 2mx + 4m ( x & m ) 是在 (m, +∞) 上的单调递增函数，因此若存在实数 b ，使得关于 x 的?程 f (x) = b 有三个不同的根，那么必然有
(|x|)|x=m & (x2 - 2mx + 4m) x=m ,解得 m & 3 ，因此 m 的取值范围是 (3, +∞) ．
O实际上， m & 0 是多余的条件．因为当 m ? 0 时，组成 f (x) 的两段函数均为单调函数，因此关于 x 的?程 f (x) = b 的实根最多只有 2 个，不符合题意．
4415 2016 年?东卷理科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)题 (理 20)
x2(1) 讨论 f (x) 的单调性；(2) 当 a = 1 时，证明： f (x) & f ′(x) + 3 对于任意的 x ∈ [1, 2] 成?．
2分析 第 (1) 小题考查利用导函数研究函数的单调性，对分类讨论有较?要求；第 (2) 小题的函数不等式利用 ln x 的常见放缩即可轻松解决．解 (1) 根据题意， f (x) 的导函数
1)易得讨论的分界点为 0, 2 ．
,情形? a ? 0 ．此时函数 f (x) 在 (0, 1) 上单调递增，在 (1, +∞) 上单调递减．情形? 0 & a & 2 ．
?… ?此时函数 f (x) 在 (0, 1) 上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
a情形三 a = 2 ．此时函数 f (x) 在 (0, +∞) 上单调递增．情形四 a & 2 ． ? … ?
2此时函数 f (x) 在
上单调递增，在
上单调递减，在 (1, +∞) 上单调递增．
aa(2) 题中不等式即
2我们熟知在区间 [1, 2] 上有
ln x ? x - 1,于是
,等号当且仅当 x = 1 时取得．?在区间 [1, 2] 上，显然有
2x3等号当且仅当 x = 2 时取得．因此等号?法同时取得，题中不等式得证．
3 ，抛物线题 (理 21)
平?直?坐标系
= 1 ( a & b & 0 ) 的离?率是
2E : x2 = 2y 的焦点 F 是 C 的?个顶点．(1) 求椭圆 C 的?程；(2) 设 P 是 E 上的动点，且位于第?象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A, B ，线段 AB 的中点为 D ，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M ．(i) 求证：点 M 在定直线上；(ii) 直线
S1 ， △P DM
的?积为 S2 ，求
S2及取得最?值时点 P 的坐标．
4516 2016 年?东卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)分析 第 (1) 小题考查椭圆与抛物线的基本量和?程；第 (2) 小题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及面积问题，其中切线问题可以用《?考数学压轴题的分析与解》破解压轴题的有效 10 招中的第 10 招“圆锥曲线的切线?程”解决，?涉及的弦中点问题，则可以用《?考数学压轴题的分析与解》破解压轴题的有效 10招中的第 7 招“有??次曲线的「垂径定理」”轻松化解．
b = 1 ．又根据离?率为
(1) 根据题意，有
点的坐标为
a2 = 4b2 = 1,于是椭圆 C 的?程为 x2 + 4y2 = 1 ．(2) 画出?意图如下．
B(i) 设 P (2t, 2t2) ( t & 0 )，则切线 l 的?程为 y = 2tx - 2t2 ．设点 A(x1, y1), B(x2, y2) ，将两点满?的椭圆?程相减整理得（即椭圆的“垂径定理”）直线 OM 的斜率与直线 AB 的斜率满?
2t, - 1 ，因此点 M 在定直线 y = - 1 上．从?可得
，于是不难计算得
44(ii) 由 △DP M 与 △DGO 相似可得
d(O, P M ),
|P M | + |OG|
+ 2)(16t2 + 1)
+ 2) + (16t2
(8t2 + 1)2
2t · 2t2 + 1 ·
?√ ?等号当 8t2 + 2 = 16t2 + 1 ，即 t = √1 时取得．因此所求的最?值为 9 ，此时点 P 的坐标为
16 2016 年?东卷?科数学题 (? 10) 若函数 y = f (x) 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y = f (x) 具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是 ( )A. y = sin x
B. y = ln x
D. y = x3解 与理科第 10 题相同．
4616 2016 年?东卷?科数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)
?|x|,题 (? 15)
f (x) = ?x2 - 2mx + 4m,
x ? m, 其中 m & 0 ，存在实数 b ，使得关于 x 的?
x & m,程 f (x) = b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是
．解 与理科第 15 题相同．题 (? 20) 设 f (x) = x ln x - ax2 + (2a - 1)x ， a ∈ R ．(1) 令 g(x) = f ′(x) ，求 g(x) 的单调区间；(2) 已知 f (x) 在 x = 1 处取得极?值，求实数 a 的取值范围．分析 第 (1) 小题考查利用导函数研究函数的单调性；第 (2) 小题可以通过端点分析得到分界点 1 ，难点
2在于 a ? 1 时的论证，但有第 (1) 小题的铺垫，亦不难解决．
2解 (1) 根据题意，函数 f (x) 的导函数
g(x) = f ′(x) = ln x - 2a(x - 1), x & 0,?函数 g(x) 的导函数
x情形? a ? 0 ．此时在 (0, +∞) 上， g′(x) & 0 ，于是 g(x) 的单调递增区间是 (0, +∞) ．情形? a & 0 ．
?此时函数 g(x) 的单调递增区间是
，单调递减区间是
2a 2a(2) 考虑到 f ′(1) = 0 ，于是当 f (x) 在 x = 1 处取得极?值时，必然在 x = 1 的左邻域内单调递增，在x = 1 的右邻域内单调递减．注意到 f ′′(1) = g′(1) = 1 - 2a ，因此得到分界点 1 ．
2情形? a & 1 ．
1 , +∞ 上单调递减，? f ′(1) = 0 ，于是在区间
1此时函数 f ′(x) 在
上有 f ′(x) & 0 ，在区间
2a 2a(1, +∞) 上有 f ′(x) & 0 ，因此函数 f (x) 在 x = 1 处取得极?值，符合题意．情形? a ? 1 ．
2(i) 若 a ? 0 ，则函数 f ′(x) 在 (0, +∞) 上单调递增，? f ′(1) = 0 ，此时在区间 (0, 1) 上有 f ′(x) & 0 ，因此函数 f (x) 在 x = 1 处不能取得?极?值?，不符合题意．
??(ii) 若 0 & a ? 1 ，则函数 f ′(x) 在
上单调递增，? 1 ? 1 且 f ′(1) = 0 ，此时在区间
2a上有 f ′(x) & 0 ，因此函数 f (x) 在 x = 1 处不能取得极?值，不符合题意．(iii) 若 a = 1 ，则函数 f ′(x) 在 (0, 1) 上单调递增，在 (1, +∞) 上单调递减，于是 f ′(x) ? 0 ，不符合题
??综上所述， a 的取值范围为 1 , +∞ ．
2题 (? 21)
= 1 ( a & b & 0 ) 的?轴?为
4 ，焦距为
2 2．(1) 求椭圆 C 的?程；(2) 过动点 M (0, m) ( m & 0 ) 的直线交 x 轴于点 N ，交 C 于点 A, P ( P 在第?象限)，且 M 是线段 P N 的中点．过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另?点 Q ，延? QM 交 C 于点 B ．
(i) 设直线 P M, QM 的斜率分别为 k, k′ ，证明： k′ 为定值；
(ii) 求直线 AB 的斜率的最?值．
4717 2016 年江苏卷数学
?考数学压轴题的分析与解 (兰琦 著)分析 第 (1) 小题是简单的椭圆的基本量与?程问题；第 (2) 小题利用 (i) 指出了两条相交于 M 的直线的相关关系，借助这?相关关系可以?便的计算直线 AB 的斜率，其中理顺直线的截距 m 与斜率 k 之间的关系是解决问题的另?关键．解 (1) 根据题意，有 a2 = 4 ， c2 = 2 ，因此 b2 = 2 ，于是椭圆 C 的?程为 x2 + y2 = 1 ．
42(2) 如图．
Q(i) 根据题意，设
Q(p, -2m) ，于是直线
的斜率之?为
2m - m(ii) 由于直线 P A 的斜率
k=m=√ m =
m2其中 0 & m2 & 1 ．因此 k 的取值范围是 (0, +∞) ．
2将直线 y = Kx + m 与椭圆的?程联?，整理得
(2K2 + 1)x2 + 4Kmx + 2m2 - 4 = 0,设 A(x1, y1) ，B(x2, y2) ，直线 P A : y = kx + m ，直线 QB : y = -3kx + m ，分别令 K = k 和 K = -3k即可得
x1p = 2k2 + 1 , x2p = 18k2 + 1 ,进?直线 AB 的斜率kAB
+ m) - (-3kx2 + m)
· x1p + 3k · x2p
√√等号当且仅当 k = 6 时取得．因此直线 AB 的斜率的最?值为 6 ．
17 2016 年江苏卷数学试卷点评 今年的江苏卷较之去年要简单不少．填空题倒数第?题考查向量的“极化恒等式”，在江苏的各类模拟卷中已知屡见不鲜了，对认真复习的同学没有什么难度．填空题最后?题将三?恒等变换和不等式有机的结合起来，是?道不错的题?．不过设问?式以及所求结论的形式可能会让?部分同学“?中?凛”，难度还是不?的．直线与圆的?题? 2013 年的要逊?不少，函数?题的答案很容易猜到，稍加论证即可．压轴
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