请教一道数列极限证明【高等数学吧】_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：261,094贴子：
请教一道数列极限证明收藏
快试试吧，可以对自己使用挽尊卡咯~◆◆
已知limx2m=a&&
limx(2m+1)=1求证limxn=a&& m和n都趋向于无穷
美国大学本科数学专业选择天道,天道留学出国留学15年,专注美国本科生研究生高端申请.专家权威一对一指导,美国大学本科数学专业我们更专业,现在咨询赠送留学大礼包
这个是假命题吧
快试试吧，可以对自己使用挽尊卡咯~◆◆
xn为已知数列
LZ。。。你是不是写错了。。。应该把“limx(2m+1)=1”改成“limx(2m+1)=a”吧。。。
由极限定义得出的递归公式，居然被这道伟大的题目推翻了。
登录百度帐号扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
数学分析证明,数列Xn的极限等于a的充要条件是X2n的极限等于a且X2n-1的极限等于a
作业帮用户
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
　　必要性是明显的.　　充分性
设 x(2n) 与 ,则对任意 ε>0,存在 N,当 n>N 时,有　　　　|x(2n) - a| < ε, |x(2n-1) - a| < ε,于是,当 n>2(N+1)
时,有　　　　|x(n) - a| < ε,即x(n)的极限也是 a,充分性得证.
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码第一篇：极限证明极限证明1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x， limf(k)(x)?0． x???2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和． xf(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．sin(f(x))?1．求证limf(x)存在． 4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x. n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。 an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?. n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0???r?0?.i?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2??3?求limr2r??dr17.设f?x?于[a,??)可导，且f'?x??c?0?c为常数?,证明：?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。18.设limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n语言证明limana?.n???bbn?sn?x??19.设函数列?sn?x??的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，在u??x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn??sn?x0????,证明：lims?x????.x?x020.叙述并证明limx???f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理???a23.设?f(x)= 0. 证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?a,???上一致连续，???24.设a1&0，an?1＝an＋，证明＝1 nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明：1）limn??m?hn?与limn??m?hn?都存在；2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;3)f?x?在x?(本文来源好范文网wWW.haoWOrd.cOm)a处连续的充要条件是llimn??m?hn??imn??m?hn?26设?xn?满足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,证明?xn?收敛。27.设an?a,用定义证明:limn???an?a28.设x1?0，xn?1?31?xn,(n?1,2,?)，证明limxn存在并求出来。n??3?xn??29.用“???语言”证明lim30.设f(x)?(x?2)(x?1)?0x?1x?3x?2，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1n??1，2，?)，求证：limxn?2。31.设fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求证：（a）对任意自然数n，方程fn(x)?1在[0,?/3)内有且仅有一个正根；（b）设xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，则limxn??/3。n??32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使limf(xn)?a(n??)及limf(yn)?b(n??)，则对a，b之间的任意数?，可找到数列xn?a，使得limf(zn)??33.设函数f在[a,b]上连续，且f?0,记fvn?f(a?v?n),?n??exp{b?a，试证明：n1blnf(x)dx}(n??)并利用上述等式证明下?ab?a式2??2?ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)f(b)?f(a)?kb?a34.设f‘(0)?k,试证明lima?0?b?0?35.设f(x)连续，?(x)??0f(xt)dt，且limx?0论?'(x)在x?0处的连续性。f(x)，求?'(x)，并讨?a（常数）x36． 给出riemann积分?af(x)dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛i1lim?()s。 n??ni?0n?x322,x?y?0?237.定义函数f?x???x?y2. 证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。?0,x?y?0?n?1b38.设f是?0,??上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0f?2x??f?x??a,求证：f'?0?存在且等于a.x1n40.无穷数列?an??,bn?满足limn??an?a,limn??bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.n??ni?141.设f是?0,??上具有二阶连续导数的正函数，且f'?x??0,f''有界，则limt??f'?t??042.用???分析定义证明limt??1x?31? x2?9243.证明下列各题?1?设an??0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛；n?1??2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n2014an收敛，试证明limn2014an?0;n??n?1??3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0???收敛，试证明limn??n?n?1?a?1。 45.设an?0，n=1,2， an?a?0,(n??),证 limnn???46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕limf（x）存在且小于1＋。x?＋?4，证明x?1）2x2＋f（x）?47.已知数列{an}收敛于a，且a?a???asn?，用定义证明{sn}也收敛于an48.若f?x?在?0,???上可微，limn??f(x)?0，求证?0,???内存在一个单x??x调数列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0n??x??e?sinx?cosx?,x?049.设f?x???2,确定常数a,b,c,使得f''?x?在???,??处处存在。??ax?bx?c,x?0第二篇：极限的证明极限的证明利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{xn}，其中a&0，xo&0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx&0,x^2&0,故lnx/x^2&0且lnx1),lnx/x^2&(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0&√a时,xn-x(n-1)=/2&0,单调递减且xn=/2&√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a同理可求x0&√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)]:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3]:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7第三篇：数列极限的证明数列极限的证明x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限求极限我会|xn+1-a|&|xn-a|/a以此类推，改变数列下标可得|xn-a|&|xn-1-a|/a;|xn-1-a|&|xn-2-a|/a;……|x2-a|&|x1-a|/a;向上迭代，可以得到|xn+1-a|&|xn-a|/(a^n)2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。x(2)=√=√5&x(1);设x(k+1)&x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)=/【√+√】&0。②证明{x(n)}有上界。x(1)=1&4，设x(k)&4，则x(k+1)=√&√(2+3*4)&4。3当0当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t&1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t&1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为04用数列极限的定义证明3.根据数列极限的定义证明：(1)lim=0n→∞(2)lim=3/2n→∞(3)lim=0n→∞(4)lim0.999…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0第四篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)]:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3]:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7第五篇：函数极限证明函数极限证明记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。不妨设f1(x)趋于a;作b&a&=0,m&1;那么存在n1,当x&n1,有a/m&=f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x&n2时，0&=f2(x)同理，存在ni，当x&ni时，0&=fi(x)取n=max{n1,n2...nm};那么当x&n,有(a/m)^n&=f1(x)^n&=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/m&=^(1/n)
该篇极限证明(精选多篇)范文(全文共有4689个字)可完全免费阅读或下载全文。好范文网为全国范文类知名网站，复制或下载全文稍作修改便可使用，即刻完成写稿任务。下载全文：
上一篇： 下一篇：芳烃指数:2n+a_百度知道
芳烃指数:2n+a
芳烃指数:2n+a
我有更好的答案
催化重整原料中表征原料反应性能的一个重要指标是芳烃指数（芳烃潜含量）：
芳烃潜含量实质是指当原料中环烷烃全部转化为芳烃时所能得到的芳烃量。其计算方法如下：芳烃潜含量（%）=苯潜含量+甲苯潜含量+C8芳烃潜含量苯潜含量（%）=C6环烷（%）*78/84 + 苯（%）甲苯潜含量（%）=C7环烷（%）*92/98 + 甲苯（%）C8芳烃潜含量（%）= C8环烷（%）*106/112 +C8（%）重整转化率（%）=芳烃产率（%）/芳烃潜含量
采纳率：94%
为您推荐：
其他类似问题
&#xe675;换一换
回答问题，赢新手礼包&#xe6b9;
个人、企业类
违法有害信息,请在下方选择后提交
色情、暴力
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。您还可以使用以下方式登录
当前位置：&>&&>& > 求极限的几种方法论文
求极限的几种方法论文
求极限的几种方法崔令坤摘要：极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基础。关键词：高等数学，极限方法能力。定义:设函数y?f?x?在点xo的某个去心邻域内有定义，即存在limf?x??Ax?x01.用极限定义求极限例1：（1） 用??N放法证明:?1x
设limxnx??x1?x2?...?xn?An???0（1）证明：1??记??1此式可改写成：1?n?用到了二项展开式
得：?1???n?1?n??n?n?1??2?...???nn?n?1?2?20?????
当n?1时至此要??4?? 即 n?2?1 ?故令N?2） 证明：4?n?N1???? ，则?12x1?A?x2?A?...?xn?Ax1?x2?...?xn当A为有限数时， ?A?nn因为limxn?A，故???0,?N1?0 使得，当n>N时x??有xn?A?从而，上式??2 x1?A?x2?A?...?xn?An?N1??nn2注意：这里x1?A?x2?A?...?xN1?A 已为定数，因而N2?0，当n?N2时，x1?A?x2?A?...?xN1?A2??2 于是，令N?max?N1,N2?，则n?N时x1?x2?...xn?n?N???A??????n2n222.用Cauchy准则证明极限：
例：设xn?证明：因为对?p?0有sin1sin2sin3sinn?2?3?...?n试证?xn?收敛， 2222111??...? n?1n?2n?p222??1?11?1?1?111??...?p?1??n?1???n? n?1?12?22?2?1??2n?2?11???0，（只要??（即n??）），故令N?，则n?N时，n?xn?p?xn?有xn?p?xn??，??p?0??xn?收敛从而，结论得证。3.利用单调有界原理证明极限存在要点：单调有界原理?xn?单调递增，有上界?limxn?sup?xn?或?xn?，有单调递减，x??有下界?limxn?inf?xn?。x??例：证明：数列xn?1?2?3?....?证明：利用已知不等式1?lnn ?n?1,2,3???????单调下降有界，从而有极限。 n1?1?1?ln?1??? 1?n?n?n有xn?1?xn?11?1??ln?1?n??lnn??ln?1???0 1?n1?n?n?故xn严格单调递减 又因为132??nn?1xn???ln?????????21??n?1n?2k?0kn1n?1?1?????ln?1???k?k?1kk?1?1?1??11????ln?1??????0?k??nnk?1?kx??nn?1 即xn有下界，xn单调递减，故limxn存在。数列与子列，函数与数列的极限关系 大家都知道数列与子列有如下的极限关系xn?A（当n??时）?任意子列?x?有xnknk?A（当k??时）?类似的，函数与数列有如下的极限关系：limf?x??A???xn?n?1?xn?a,n?1,2,3???????；x?a若xn?a，则有f?xn??A当n??时，作为分条件都可以减弱。 例：试证:limxn?a?limx2n?a,limx2n?1?an???n???n???证明：只需证明充分性，而必要性显然成立
按已知条件???0,当n?N1时，x2n?a?? 又?N2?0，当n?N2时，x2n?1?a?? 于是令N?max?2N1,2N2?1?，则n?N时恒有xn?a??
故limxn?an???5.利用等价代换和初等变形求极限a 大家在求乘除极限里，其因子可用等价因子代替，极限不变。 最常用的等降价关系如：当x?0时，x~sinx~tanx~acrsinx~arctanx~ln?1?x?~ex?1~ax?1lna?1?x?~bb?112x 2 （其a?0,b?0中），1?cosx~1?n1?cos2?例：1) n
limx?01?esinxxx?1?cosx?2 3)
limarctanx x?0ln1?sinxf?x??b?A的充分必要条件是x?a4)
设有限数a,b,A均不为零，证明：limx?alimx?aef?x??eb?Aebx?a解答：1)?1，故1??11n?1?cos?n2??4?1 ?lim原式=nn??11?22n21x?x212） 解：原式=lim ??x?0?x?sinx22x3） 解：原式=lim?1x?0x4）证明：（?）左边的极限存在表明：x?a时，f?x??b?0， 故ef?x??b?1~f?x??b从而有：f?x?fx?bf?x??b?ebe???1b?Aeb ?elim===等价代换=====elimx?0x?0x?ax?ax?alimx?0e(?) 右边的极限存在表明：当x?a时，ef?x??eb由于对数函数的连续性可知，f?x??lneb?lneb?b即：f?x??b?0，故有ef?x??b?1~f?x??b从而有:fx?bf?x?f?x??be???1?eb?belim?lim?lime?e?b?A?eb?A x?ax?ax?ax?ax?ax?a注：等价代换原理，来源与我分数约分，只能对乘除式里的因子进行代换，在分子（分母）多项式里的单项式不可作等价代换，否则会导致错误。b.利初等变形求极限要点：用初等数学的方法，将xn加以变形，然后求极限，主要对xn进行紧缩。 例：求limxnx??1）.xn?cosxxxxcos2cos3x?cosn 2222n2)
xn????2n241623)xn?i?1n4)
xn?1）解：?i?1i?2i?1n1xn
1）式的右边乘以 2nsinn22nsinxxxxxcoscos2cos3?cosn2nsinnxn?x得：2nsinn2xsinxnsinx???xsinxx2n从而limxn?limx?0sinx?1（当n??时，x?0）x?0x2) 解:1，再对分子反复利用?a?b??a?b??a2?b2
2)式乘以1?21?1??1??1??1??1?1?1??1?????????2??22??23??2n?? xn?1?2?1?1??2n???2??2 （当n??时）1?2从而2?1?1??2n?limxn?lim?2??2n??n??11?2xn?i?1n2??i?1n??i?1n1??11???2????21????i?1n?1???i?1?ii?i?1?21n 从而，有：1??limxn?lim2?1???2 n??n???n?1?4）解：n?xn??????????? ???i?12i?1?4n?12n?12n?2i?1ii?1i?2i?1?2in从而，有：?1?1111limxn?lim????? ??n??n???4n?12n?12n?2?4?6.利用已知极限1）若f?x??0,limf?x??b?0,limg?x??c，则limf?x?x?ax?ag?x?x?a?bc因为limf?x?x?ag?x??limex?ax?ag?x?lnf?x??ex?limg?x?lnf?x??eclnb?bc2）若limf?x??0,limg?x????,limf?x?g?x???，则lim1?f?x?x?ax?ax?a?????e?。gx因为lim1?f?x?x?a??g?x?1???lim??1?f?x??fx?x?a??f?x?g?x??e?Euler常数的经典极限：lim?1??n???11?????lnn??C存在。 2n?例1：求lim?解：11??1?????的极限n??n?1n?22n??原式=lim??1???n????11??11????????1?????? 22n??2n???lim???ln2n?c??2n???lnn?c??n???n??（其中C为Euler常数，当n??时，?2n?0,?n?0） 例2：试借用Stirling公式： n!?e来求极限nn?n??n12n,0??n?1i?1ne1?1ii?1??1???i?1ii。解： e1??1??1???i??1??1n??1???????????????1??2??3??n??n12n?n?1??1??1??e?n?n111????2n??1??1???n?n?ne12n?c??n 从而，有 ??nn?c??n?e??1?c?12n? ?lim?2nn???1??1?i?1?1?????????n???i?1?1i（其中C为Euler常数） 7 利用变量替换求极限
为了将未知的极限简化，或转化为已知的极限来求，可根据极限的特点，引入新的变量，来替换原来的极限过程，转化为新才极限的过程。 例：若limxn?a,limyn?bn??n??试证明：limx1yn?x2yn?1???xny1?abn??n证明：令xn?a??n,yn?b??n
则当n??时，?n,?n?0.于是x1yn?x2yn?1???xny1n ?a??1??b??n???a??2??b??n?1?????a??n??b??1??n?ab??1??2????nn???n?1??2?n??1n???2?n?1?nn?1? 从而有：limx1yn?x2yn?1???xny1n??n??a??1??b??n???a??2??b??n?1?????a??n??b??1???lim??n?? n?????2????n???2???n????2?n?1???n?1?ab?alim1?limb1?lim1nn??n??n??nnn?ab8 两边夹法则当极限不易求出时，可以考虑将极限适当变形。即将极限适当放大或缩小，使原极限变为新的极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于此极限值。
例：求极限limxn的值n??（1） xn?n1?3?5????2n?1? 2?4?6???2n11????kk（2）
xn????n?1?k??n?1?k?k?1??(1) 解:由于几何平均数小于算术平均数，故分母中的因子 1?3?23?54??2?????2?2n?1???2n?1??2n??2 1?3?5????n2??1由此可知：
0?xn??2?4?6???n2而n?0 ? limxn?0n??9 L’Hospital法则（1）在使用L’Hospital法则之前，必须考虑它是否属于七种不定型之一。 不定行：“0?0?0”，“”，“0??”，“?”，“1”，“0”，“?。否则就不能用它。 ??”0?tanx例：1）lim?sinx?x??2?;2）lim??sinx??x?0?x?x211?cosx;3）lim(?etdt)2n???0x0edt2t2;解：limtanlnsinxlim?sinx?x??2tanx??limex??2tanxlnsinx??e'x??2? lnsinx??tanxlnsinx?lim由L’Hospital法则：lime'??x??x???cotx?22由于limtanxlnsinx??limcosx?0 2?x??sinx?cscx2lim?sinx?x??2tanx??ex??2?e0?1.（2）L’Hospital法则并不是万能的，有时用L’Hospital法则求不出极限，并等于极限不存在。例如lim不是必要条件。（3）L’Hospital法则告诉我们，对于存在吗?请看下面的例子例：求limx?sinx?1，就是如此。这是因为L’Hospital法则只是充分条件，而x???x?cosxf'?x?f?x?0?型或型,当lim存在时lim也x?a?g'xx?a?gx0?x?cosx x??x解：?(x?sinx)'?1?sinx的极限不存在，型，但我们并不能根据当x??x'?x?cosxx?cosx?1。 就错误地得出lim也不存在的结论----事实上，显然有limx??x??xx这是因此，limx?a?f'?x?f?x?不存在并不表示lim本身存在或是不存在，它不仅仅意味着，此x?a?g'xgx?型的L’Hospital法则使用时，只需检验分母趋向无穷大即可，分子趋不趋??时不能使用L’Hospital发展，而应改用其他方法来讨论（4）向?没有关系。请看下面的例子。例：设f?x?,g?x?在?a,b?内可微，且?x??a,b?,g'?x??0，当x?a时，g?x???，且lim?x?af'(x)f(x)?A（有限数，或?）?A ，则lim?x?ag'(x)g'(x)f'(x)?A，因此保持取a?x?x1，应用Cauchy中值定理，然后令g'(x)证明：已知lim?x?ax1?a?知函数差分比f?x??f?x1?f'?????A（当x1?a?时）.
（1）gx?gx1g'?剩下的问题在于根据g?x???，（x?a时），由差分比?f?x??f?x??A推出gx?gx1f?x?。 ?A（当x?a?时）gx事实上f?x?可以改写成f?x??因此f?x??f?x1?g?x??g?x1???f?x1?， ?gx?gx1f?x?f?x??f?x1??g?x1??f?x1???
（2） ?1???gxgx?gx1?gxfx??1）若A=有限数，有（2）可得?f?x??f?x1???g?x1??f?x1??Ag?x1?f?x??A???A1??
（3） ???????gxgx?gx?gx?gx1??保持a?x?x1，令x1?a?，则???0,??1?0,使当a?x?x1?a??1时，有f?x??f?x1???A?.gx?gx14再将x1固定，令x继续趋向a，据g?x???（当x1?a?时），知???0???x1?a?，?使得a?x??时，有g?x1?f?x1??Ag?x1???1，?gx2gx由于由（3）?f?x?f?x??f?x1?g?x1??f?x1??Ag?x1????A??A?1???2??? ???gxgx?g1gx?gx42??2）若A??，则x充分接近a?时，f?x??0。并且对M=1，???0当a?x?x1?a??时，有f?x??f?x1?f'?????1?x???x1?，gx?gx1g'?从而：f?x??f?x1??g?x??g?x1??g?x??g?x1????（当x1固定令x?a?时）可见f?x????,f?x???（当x?a?0时）.由此可见利用1）中结果，由lim?x?a?g'?x?g?x?g?x?，从而?0得出lim?0lim?? ??x?ax?af'xfxfx?注：1）这里是x?a的情况，x?a的情况以及x???,x???的情况亦有类似的结论和证法。由x?a，及x?a的结论，可知x?a时结论也成立。2）本例虽然称为??f?x??型的L’Hosptal法则，实际上对于lim，条件只要求分母?gx0g?x???，并不一定要求分子f?x???。这一点与型的L’Hospital法则不同。 10 利用Taglor公式求极限 例：11x2?1; 1）limx22x?0cosx?esinx??1?n?2）limn?e??1???;x?????n?????f3）lim?x?????1）解：1???a???n????; fa???n14x?o?x4?1原式=??12?321144??x2?o?x4???x?x?ox?????24?2??2）解：注意到?1?x??e令1xln?1?x?xx?x2?ox22x???e?ex1??ox22?? 11?x，而n?；当n??时，x?0； nxe??1?x?1?e?elim从而，原式=limx?0x?0xx3）解：n1xx??ox22???e 2?1?1??f'?a?fa?f'a?o????????n?n???efa原式=lim?n??fa??????11利用积分定义求极限 例：1）lim?11??1????? n??n?1n?2n?n??2）n?? 2sin?????sin? 3）limn??n?1n?n?nnsin 12?1dx1????ln2 解：1）原式=lim?01?xn??ini?11?nn12）去对数后变成（积分和里?i选左端点）11n?1i????ln(1?x)dx?2ln2?1 ln(1?)?n???0ni?0n故原式?e2ln2?1?4en 3）isin?1i1ni因为?sin??? ?sin?ni?1ni?1n?n?i?1nnnnn?ni1??sin?1当n???时，左端的极限?limn??(n?1)?nni?1??sinxdx 1?ni1??sin??右端极限?limn??n?(1?2)?ni?1n12： 利用级数求解极限问题（1） 利用收敛级数通次趋向于零?? sinxdx5n?n!例：xn? n(2n)xn?15n?1?(n?1)!(2n)n5nn515??()??
解：因为（当n??时） xn(2n?2)n?1?5n?n!2n?12(1?1)n2en故正项级数?xn?1?n收敛，从而通项xn?0（当n??时）（2） 利用收敛级数余项趋向于零
例：求lim??111?????22?n??n2(n?1)(2n)??1收敛，因此其余项 ?2kk?1Rn?1?0(当n??时) ?2k?n?1k??解：因为级数130?111?????0(当n??时) 222n(n?1)(2n)故原极限为零。 （3） 利用级数?xn?1n?n?xn?1的收敛性n由于若?xn?1??xn?1收敛，则?xi?xi?1也收敛，因此i?1nxn??(xk?xk?1)?x1极限存在(当n???时)k?1例：设xn?1?11????lnn 证明?xn?收敛 2n证明：xn?xn?1?1??lnn?ln(n?1)? n对lnn?ln(n?1)利用Lagrange中值定理公式lnn?ln(n?1)?1?n其n?1??n?n因此有xn?xn?1??n??n11??,而 ?2n??n(n?1)2（n-1）n?1n故?xn?1n?xn?1收敛，从而xn??xk?xk?1也收敛。k?113 利用连续性求极限例：求limsin(n??2解： sin2(?sin2(n?)?sin2?sin2由于初等函数在有定义的地方皆连续?????2?sin2?1 原极限?sin?2?n??1412利用两个重要极限求极限1（1）
lim(?x???1xxsinx?)e （2）
li? 1x?0x下面我们来证明这两个结论成立的情况：（1）证明;我们先证lim?1+x????1???e。首先，对任意x?1，有 x??x??x??1x?1?1??1??1????1+???1?x+1?????xx???????，其中?x?表示x的整数部分。当x???时，不等式左，右两侧表现为两个数列极限1??lim?1???e n???n?1?与n?1n?1?lim?1??n???n?利用函数极限的夹逼性，得到?e?1?lim?1???e x???x??1?再证lim?1???e，为此令y??x，于是当x???时，y???，从而有x???x??1??1?lim?1???lim?1??x???x?x???y?xxx?yy?1????11???lim??1????1????e y?????y?1????y?1??xx?1??1?将lim?1???e与lim?1???e结合起来，就得到 x???x????x??x??1?lim?1???e x???x? 15x （1）图（1）设?AOB的弧度为x,0?x?可以得到sinx?x?tanx,0?x?从而有 ?2，由于?OAB面积?扇形OAB面积<?OBC面积，?2。cosx?显然上式对于?由于sinx??1,0?x? x2?2?x?0也成立。xx2cosx?1?2sin?，222可知limcosx?1。应用极限的夹逼性，得到的x?0limsinx?1x?0x?1?例题：对于lim?1???e的应用x???x?求极限：lim?1?5x?x?01xx解：lim?1?5x?x?01x1??5?lim??1?5x?x??e5x?0??516sinx?1的应用x?0xsin3x求极限：limx?0xsin3xsin3x?lim?3?3 解：limx?0x?0x3x例题：对于lim参
华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2003. [2]
吉林大学.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,2001.[3]
同济大学.高等数学（下册，第五版）[M].北京:高等教育出版社,2005.[4]
数学分析 上册 陈纪修 於崇华 金路 [M]北京：高等教育出版社，重印）.17百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
欢迎转载：
推荐：