证明等边对等角 【范文十篇】
证明等边对等角
范文一：证明角相等
一、证明角等的定理 1、 角平分线定义 2、 对顶角相等
3、 两条直线平行，同位角相等。 4、 两条直线平行，内错角相等。 5、 同角或等角的余角相等 6、 同角或等角的补角相等 7、 等边对等角
8、 全等三角形对应角相等 9、 相似三角形对应角相等 10、平行四边形对角相等
11、菱形的每条对角线平分一组对角 12、等腰梯形同一底上的两个角相等 13、同弧或等弧所对的圆周角相等 二、例题
1. 已知：如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．
求证：∠ADF =∠CBE ．
2．（2009日照）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，
过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点 E．
(1) 求∠AEC的度数；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
3．(09卢州)
如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC， 交AB的延长线于E，垂足为F． (1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值．
3．如图1，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠COB， 若∠EOB＝55?，则∠BOD的度数是（
4．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是【
D．150° 5.
如图2，AB∥CD，直线l分别与AB、CD相交，若∠1=130°，则∠2=
（C）130°
（D）140°
6、如图3，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是：
7．如图4，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、
B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点， 且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（
） A．30°
8.如图，AB//CD,CE平分∠ACD，若∠1=25，那么∠2的度数是
9．如图，射线AC∥BD，∠A＝70°，∠B＝40°，则∠P= ．
（第9题图）
10、如图2，已知直线AB//CD，∠C=115°，∠A=25°，∠E=（
） A、70°
11．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=(
12．如图，在△ABC中，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C，
则∠1＋∠2等于（
13．如图5，已知O是四边形ABCD内一点，OA?OB?OC，?ABC??ADC?70°，则?DAO??DCO的大小是（
） A．70°
14．如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F，
求证：△ADE≌△ABF.
15.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90，CD?AB于点D,点E 在AC上，CE=BC,过E点
A _ D _ E _
F _ B _ 作AC的垂线，交CD的延长线于点F .求证：AB=FC
16．（本小题满分5分）
C为BE上一点，BC?ED．已知：如图，点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，AB?CE，
求证：AC?CD．
17．（本小题5分）
已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF?CE，AB?BE，
DE?BE，垂足分别为B、E，且AB?DE，连接AC、DF.
求证：∠A=∠D.
18.在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长 为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E. (1).求证：DE是⊙O的切线.
(2).若⊙O与AC相切于F，AB=AC=5cm，sinA?
，求⊙O的半径的长
19．点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作?ABE和?BCF，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN， MN．
BE和?FBC是等腰直角三角形，BN（1）若?A且?ABE??FBC?90(如图1)，则?M
（2）在?ABE和?BCF中，若BA=BE,BC=BF,且?ABE??FBC??，（如图2），则
?MBN是?MBN?
（3）若将（2）中的?ABE绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.
19. 解：（1）等腰直角
（3）结论仍然成立
证明： 在?ABF和?EBC中，
??ABF??EBC
∴△ABF≌△EBC.
∴AF=CE. ∠AFB=∠ECB.……5分 ∵M,N分别是AF、CE的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB≌△NCB.
∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC.……6分
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=?.……7分
范文二：证明角相等
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等. 2.对顶角相等.
3.平行线的性质:两直线平行同位角(内错角)相等.
4.三角形外角定理:三角形外角等于和它不相邻的内角之和 5.全等三角形的性质:全等三角形对应角相等 6.等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一.
7.直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一条直角边是斜边的一半,则这条直角边所对的角是 30°.
8.角平分线的性质定理的逆定理:到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 9.平行四边形的性质:平行四边形的对角相等.
10.菱形的性质:菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角. 11.等腰梯形的性质定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. 12.相似三角形的性质:相似三角形对应角相等.
13.圆心角定理:在同圆或等圆中, 如果两个圆心角, 两条弧,两条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
14..圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论:同弧或等弧所对的圆周角相等,直径所
对的圆周角是直角.
15.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.
16.弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角. 17:两个弦切角所夹的弧相等,这两个弦切角相等.
18.三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. 19.正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.
1、已知 I 为ABC的内心，延长AI 交BC于D，作IE ⊥BC.求证：∠BID=∠CIE
2、已知如图，在ABC中, 角BAC=90度 AB=AC,M为AC的中点，AD⊥BM。 求证:∠AMB=∠DMC
3、已知，如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别为BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别与EF的延长线交于H、G. 求证：∠BHE=∠CGE
4、AB是 ⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是上任意一点。延长AM与DC的延长线交于F。求证：∠FMC=∠AMD
5、已知 ⊙O1 与 ⊙O2相交于A、B两点，⊙O1的弦BC交⊙O2于E，⊙O2的弦BD交⊙O1于F，且FD=EC。求证：∠ABD=∠ABC
6、如图，已知BC是直径，弧AB=弧AG，AD⊥BC
求证：（1）∠EAF=∠AFE。 （2）BE=AE=EF
7、已知，两圆内切于M，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：∠AMC=∠BMD
8、在△ABC中，EF⊥ AB，CD⊥ AB，G在AC边上并且 ∠GDC=∠EFB，求证:
∠AGD=∠ACB
9、已知，如图，在 △ABC中，AC 2=AD · AB。
求证：∠ACD=∠ABC。
10.如图，在 △ABC中，∠B=90，点G、E在BC边上，且AB=BG=GE=GC。 求证:∠AGB=∠AEB+∠ACB
11、PA、PB分别为相交两圆⊙O1和⊙O2的切线，且PA=PB。PD、PF分别交⊙O1和⊙O2于C、D、E、F.求证：∠CDE=∠EFC
一、选择题
1．如图1，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃.那么最省事的办法是带（
（D） ①和②
2．如图2，P在AB上，AE=AG，BE=BG，则图中全等三角形的对数有（
3．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（
） （A）形状相同 （B） 周长相等 （C） 面积相等 （D） 全等
4．等腰三角形一腰上的高等于这腰的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（
） （A）30°
（C）30°或150°
（D）60°或120° 5．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（
） （A）5cm
6．如图3，P是∠BAC的平分线AP上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， 下列结论中不正确的是（
（A）PE?PF
（B）AE?AF
（C）△APE≌△APF
（D）AP?PE?PF
7．一个三角形的两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边的长为（
（D）3或41
8．如图4，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN （
） （A）∠M=∠N
（B）AB=CD
（C）AM=CN
（D）AM∥CN 9．下列命题中真命题是（
（A）两边分别对应相等且有一角为30?的两个等腰三角形全等 （B）两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等 （C）两个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等 （D）两角和一边分别对应相等的两个三角形全等
10．有一块边长为24米的正方形绿地，如图5所示，在绿地旁边B处 有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树 立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”
填上适当的数字是（
）. （A）23米
二、填空题
11．等腰三角形的一个底角是50°,则其顶角为
12.在△ABC中,已知∠A=80°,则∠B、∠C的角平分线相交所成的钝角为
. 13.边长为2cm的等边三角形的面积为
14.如图6, △ABC中, ∠C=90°,AB的垂直平分线DE交BC于D,若∠CAD=20°,则 ∠B=
15．如图7，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开， 得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 ____
个不同的四边形．
三、解答题
16．如图8，△ABC，AB＝AC，点Ｍ、Ｎ分别在BC所在直线上，且AM＝AN。 求证：BM＝CN
17．已知，如图9，延长△ABC的各边，使得BF?AC，AE?CD?AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形. 求证：（1）△AEF≌△CDE；
（2）△ABC为等边三角形.
18．如图10，在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个结断：①AD=CB；②AE=CF；③∠B=∠D；④AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并证明结论成立．
19．求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形（先画出图，再写出已知、求证和证明）
20．如图11，?AOB?90，OM平分?AOB，将直角三角板直角的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.
范文四：三角形深化解析
一、知识点睛
1． 等腰三角形的常见性质有：_____________、______________、
____________、2． 直角三角形的常用性质有：、
______________________
__________________________
_________________________________________________、__________________________________________________.
3． 垂直平分线的性质是_________________________________，反之，我们也
___________________________________________________；
三角形三条边的垂直平分线的交点可以在三角形的_______、________、_______，并且到三角形__________的距离相等.
4． 角平分线的性质是_________________________________，反之，我们也可
______________________________________________； 三角形三条角平分线的交点到三角形________的距离相等． 一、知识点睛
1．等边对等角，等角对等边；三线合一；黄金三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
2．勾股定理及其逆定理；两锐角互余；30°角对的直角边是斜边的一半；斜边中线等于斜边一半；射影定理，等积公式．
3．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；内部；边上；外部；三个顶点． 4．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；三条边．
二、精讲精练
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，DC=AC，则∠B=
2. 如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE=.
第3题图 3. 如图在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，
∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝
4. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分?BAC，BN?AN于点N，且
AB=10，MN=3，BC=20，则△ABC的周长为
5. 如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），
点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是_____________三角形.
6. 如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使
AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则?
7. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只
蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（
8. 如图，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚
会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（
A．70457cm
D．300cm 9. 如图，长方体的底面边长分别为1cm
细线最短需要
cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．
和3cm，高为
6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用
10. 在直线l上依次摆放着七个正方形（如下图所示）．已知斜放置的三个正方
形面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=________．
11. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成的锐
角为40°，则△ABC的底角∠B=
12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠
DAC＝22.5°，则∠B的度数是
13. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线
BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．
14. 已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∠ACB?∠DCE?90?，D为AB边上一点．
求证：（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD2?AE2?DE2．
15. 已知：如图，△ABC中，∠
ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G.
（1）求证：BF=AC；
（2）CE和BF有怎样的数量关系，写出判断并给出证明；
（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论.
16. 如图，在△ABC中，AD是高，AB的垂直平分线交BC于E，EF⊥AC于F，
交AD于G，问：当∠B具备什么条件时，DG=DC？
17. 如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一
腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且
∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）请你判断△ACM与△DPM的形状
有何关系并说明理由； （3）求证：∠APC＝∠BPC．
18. 如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥
CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG分别与直线BC相交于点M、N.
（1）试证明：AB+BC+AC=2FG；
（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线；如图3，BD为△ABC
的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线．在这两种情况下，线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？
【讲义答案】
二、精讲精练
11．65°或25°
12．37.5或67.5
15．（1）提示：证明△BDF≌△CDA（SAS）；（2）BF=2CE，提示：证明△BEC≌△BEA（ASA）；
CE，提示：证明△ADC∽△GHB． 16．∠B=22.5°，提示：证明△EDG≌△ADC．
17．（1）略；（2）证明△ACE∽△DPM；或用（1）中全等结论，得角相等；（3）提示：证明△AMC∽△DPM，△ADC∽△CMP．或借助△ACE与△DCB面积相等，则高相等，用角平分线线判定定理可证。
18．（1）略；（2）AB+AC-BC=2FG，BC+AC-AB=2FG．
三角形深化解析
1. （2010山西）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过
DE⊥AC于点E，则DE的长为______．
第5题图第1题图
2. （2009北京朝阳区）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一
点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BC=6，则DF+DE=_________． 3. （2011江苏苏州）如图，已知△ABC
的等边三角形，△ABC∽
AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于______.（结果保留根号）
4. 等腰三角形的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ac=24，满足条件
的等腰三角形有
5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，AB的垂直平分线交AC于D，则下
列结论：①∠A=36°；②BD平分∠ABC；③AD=DB=BC；④DB2=AB·DC．其中正确的结论是_______．
6. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和
△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为_______．
B第88题图 7题图第题图
第 第7题图
第题图第66题图
2011湖北鄂州）
如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=
8. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点
作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则EF=
9. （2009广西河池）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=86，点E为
AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（
第10第10题图
10. （2009重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的
中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积最大值为8．其中正确的结论是（
） A．①②③
11. 已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG//BC，交AC于
点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE，CD．
（1）求证：△AGE≌△DAC；
（2）过点E作EF//DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．
12. 已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
?ACB??DCE?90o，D为AB边上一点．
求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）
AD2?AE2?DE2．
13. （2011山东日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝
∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．
【作业答案】
5．①②③④
11．（1）略；（2）等边三角形； 12.略
13．（1）可计算出∠BDE=∠CDE=60°；（2）提示：
证明△BDC≌△EMC
范文五：1.等腰三角形（一）
主备人： 刘少山
时间：2.18
姓名：刘少山
学习目标：
1、探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；
2 、明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。 学习过程：
一：回顾旧知
活动内容：提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行； 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等； 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）； 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； 5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； 定理：（AAS）语言描述。请证明。 已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°-(∠A+∠B)， ∠F=180°-(∠D+∠E)， ∴∠C=∠F（等量代换）。 又BC=EF（已知）， ∴△ABC≌△DEF（ASA）。
二：折纸活动 探索新知
活动内容：在提问：“等腰三角形有哪些性质？以前是如何探索这些性质的，你能再次通过折纸活动验证这些性质吗？并根据折纸过程，得到这些性质的证明吗？”的基础上，让学生经历这些定理的活动验证和证明过程。具体操作中，可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质，然后再以六人为小组进行交流，互相弥补不足。
三：明晰结论和证明过程
活动内容：在学生小组合作的基础上，教师通过分析、提问，和学生一起完成以上两个个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后，教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法，给学生明晰证明过程。 （1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合 四：随堂练习
活动内容：学生自主完成P4第2题：如图（图略）,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，
（1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）求∠BAD的度数。 五：课堂小结
活动内容：让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。 六：布置作业
P5习题1,2.
【教学反思】
本节关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了 “探索－发现－猜想－证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果。在具体活动中，还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整。
1. 等腰三角形（二）
主备人： 刘少山
时间：2.19
姓名：刘少山
学习目标：
1、经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．
2、在命题的变式中，发展提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学习能力和思维能力，提高学习的主体性；
3、在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展几何直觉； 学习过程：
一：提出问题，引入新课
活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?
二：自主探究
活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。
你如何验证你的猜测？
你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程； 还可以有哪些证明方法？
通过自主探究和同伴的交流，在直观猜测、测量验证的基础上探究出：
等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等． 并对这些命题给予多样的证明。
如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE． 证法1：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1=∠ABC，∠2= ∠ABC，
22∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
证法2：证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 又∵∠3=∠4． 在△ABC和△ACE中， ∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
三：经典例题
活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？并在学生思考的基础上，研究课本“议一议”：
在课本图1—4的等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?
(2)如果AD= AC，AE=，那么BD=CE吗?如果AD=，AE= AB呢?由此你得到什么
四：拓展延伸，探索等边三角形性质
活动内容：提请学生在上面等要三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图，ΔABC中，AB=BC=AC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．
同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．
五： 随堂练习
活动内容：在探索得到了等边三角形的性质的基础上，让学生独立完成以下练习。 1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形. 求证:AE=CD
六：探讨收获
本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，
【教学反思】
本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，教学中可以适当减少一些内容，将部分内容延伸到课外。
范文六：等腰三角形的性质
（1）.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
（2）.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）
（3）.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
（4）.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
（5）.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
（6）.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
（7）.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
全等三角形判定定理
（1） 三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
（2） 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
（3） 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
（4） 有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
（5） 直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)
1. 如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，
原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
2．如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
3．如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N．
（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，
请求出S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC能否成为等腰三角形？
如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．
4. 如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明． 5. 已知一个等腰三角形的周长为18cm．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为1：2两部分，那么各边的长为多少？
6. 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
7. 已知：如图，AD是△ABC的高，AB=AC，BE=2AE，点N是CE的中点．
求证：M是AD的中点．
8. 已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），
点N在边CB的延长线上，且AM=BN，连接MN交边AB于点P．
（1）求证：MP=NP；
（2）若设AM=x，BP=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长
9. 已知，如图：四边形ABCD中，E在BC边上，AB=EC，∠B=∠C=∠AED．求证：△AED是等腰三角形；
10. 已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，且△ABD与△ADC面积相等。
求证：△ABC是等腰三角形．
11. CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件
使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
形的两边长分别为2和5，则它的周长为（
13. 已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（
C．50°或80°
D．40°或65°
14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（
C．60°或150°
D．60°或120°
15. 有下列命题说法：①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；
②等腰三角形一定是锐角三角形；
③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°； ⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（
16. 如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E．AE平分∠BAC．设∠B=x（单位：度），∠C=y（单位：度）．
（1）求y随x变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）请讨论当△ABC为等腰三角形时，∠B为多少度？
范文七：龙子心中学八年级下学期 第一章三角形的证明单元试题
一．选择题
1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（
三个内角平分线
三边垂直平分线
2．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F C．AC＝DF，∠B＝∠F，AB＝DE
D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF 3．下列命题中正确的是
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等
B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 C．两角对应相等的两个等腰三角形全等
D．一边对应相等的两个等边三角形全等 4．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是
A．2，3，4
B．4，5，6
D．2，2，4 5．（2013o郴州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC
观测灯塔A位于南偏东75
°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北
8．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为
A．24 cm和12 cm
B．16 cm和22 cm
C．20 cm和16 cm
D．22 cm和16 cm 11．（2007o芜湖）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于12．（2012o深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7
二．填空题 13．（2011o怀化）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5cm，BC=6cm，则AD=
14.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是
15．（2011o衡阳）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为
． 16．（2013o泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是
17．（2005o绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是
cm． 18．（2005o十堰）如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为．
第19题 三．解答题
19.如图，在△ABD和△ACE中，有四个等式：①AB=AC
④BD=CE．以其中．．三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，（填写序号即可）并写出证明过程。 已知
20.如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.
求证：D在∠BAC的平分
21．（2013o温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E． （1）求证：△ACD≌△AED； （2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
22.如图，?ABC中，AB?AC，?A?50?
，DE是腰AB的垂直平分线，求?DBC的度数。
23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2． （1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．
24．（2013o沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE；
CD=，求AD的长．
25．（2013o铜仁地区）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．
1、 在正?ABC内取一点D，使DA?DB，在?ABC外取一点E，
使?DBE??DBC，且BE?BA，求?BED?.
BC 证明：∵AD=DB
且△ABC是等边三角形
∴点D在AB边的中垂线,即等边三角形过顶点C的高线上 ∴∠BCD=30度 在△BDE与△BDC中
∠DBE=∠DBC
BE=AB=BC ∴△BDE≌△BDC ∴∠BED=∠BCD=30
2、 如图所示，BD=DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于E，EM⊥AB,
EN⊥AC,求证：BM=CN
连接EB、EC。因为BD=DC,ED⊥BC，则∠BDE=∠EDC相等，⊿BDE≌⊿CDE，可知EB=CE。
3. 如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120?，证明：AD=BD + CD
延长BD到E点，使DE=DC，连接CE。 因为∠BDC=120度， 所以∠CDE=60度，
所以，三角形CDE是等边三角形。 ∠ECD=60度，CD=CE ∠BCE=∠ACD，
又三角形ABC是等边三角形，AC=BC
⊿ACD≌⊿BCE
所以，AD=BE=BD+DE=BD+DC 即AD=BD+CD.
4.如图①，在ΔABC中∠ACB=900，AC=BC，M为AB中点，P为AB上 一动点（P不与A、B重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F。
（1）求证：ME=MF，ME⊥MF；
（2）如点P移动至AB的延长线上，如图②，是否仍有 如上结论？请予以证明。
1.连接C点M点。已知AC=BC ,∠ABC=90°，△ABC为等腰直角三角形。PF⊥BC，所以△PFB也是一个以∠PFB为直角的等腰直角三角形，PF=BF.又因为PE⊥AC, 四边形CEPF为矩形，EC=PF=BF.又根据等边直角三角形的中线等于斜边的二分之一可知，CM=BM. ∠ACM=∠FBM.综上△ECM和△FBM全等，ME=MF. ∠EMC=∠FMB. ∠CMF+∠FMB=90°，所以∠CMF+∠EMC=90°.即∠EMF=90°， ME⊥MF。 2.同理，CM=BM,CE=BF, ∠MCE=∠MBF=135°（180-45），△MCE和△MBF是全等三角形，其他同上
5．已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的 延长线上，CF、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°， ∠D=40°，求∠F的度数。
证明：记∠BCH为∠1，∠DCH为∠2，∠DEF为∠3，∠BEF为∠4 因为CF为∠ACB平分线 所以∠1=∠2
因为∠1+∠B+∠BHC=180°，∠4+∠F+∠FHE=180°，∠BHC=∠FHE 所以∠1+∠B=∠4+∠F 因为∠B=30°，∠F=35°
所以∠1+30°=∠4+35°，即∠4=∠1-5°
因为∠3+∠D+∠DAE=180°，∠2+∠F+∠FAC=180°，∠DAE=∠FAC 所以∠3+∠D=∠2+∠F 因为∠D=40°，∠F=35°
所以∠3+40°=∠2+35°，即∠3=∠2-5° 因为∠4=∠1-5°，∠1=∠2
所以∠3=∠4，即EF为∠AED平分线 （图片顺时针旋转过了）
6.在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，
BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
求证：BD＝CG．
证：∵Rt△ABC是等腰三角形
又∠ACE+∠FCB=90°
∠FCB+∠FBC=90° 故∠ACE=∠FBC
∴Rt△ACE≌Rt△CBF 即CE=BF
又△CDH∽△BDF ∴∠GCE=∠DBF
∴Rt△CEG≌Rt△BFD ∴BD=CG
7.如图∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线， 垂足分别为E、F求证：EF＝CF－AE
∵∠ABE＋∠FBC=∠BCF+∠FBC=90度
∴∠FBC=∠ABE 在△AEB和△BFC中 ∠AEB=∠BFC=90度 ∠FBC=∠ABE AB=BC
∴△AEB≌△BFC ∴AE=BF，CF=BE EF+BF=CF
即EF=CF－AE
8．BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠1+∠BMF=90°，∠2+∠CME=90°， ∵∠BMF=∠CME（对顶角相等）， ∴∠1=∠2，
在△ABM和△NCA中，
∴△ABM≌△NCA（SAS）， ∴AM=AN；
（2）根据（1）可得△ABM≌△NCA， ∴∠3=∠N， ∵CF⊥AB， ∵∠4+∠N=90°， ∴∠3+∠4=90°， 即∠MAN=90°， 因此，AM⊥AN．
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E． 求证：CD=
过D作DF‖AB，交BC于点F。 则∠ABC=∠DFC，
AB=AC，所以∠ABC=∠C 所以∠DFC=∠C DF=CD
BD平分∠ABC，所以∠ABd=∠DBC ∠DFC=∠DBC+∠BDF ∠DBC=∠BDF BF=DF ∠FDE=∠FED,所以DF=FE BE=BF+FE 所以DF=1/2BE
所以CD=1/2BE
10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD．
11.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的
延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE．
12.如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC ，BD是∠ABC的平分线， 求证：BD=2EC
13.已知，如图34，△ABC中，∠ABC=90?，AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：CD=
14.在△ABC中，∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.
15.如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D 不重合），
以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交 BG的延长线于H。
△BCG≌△DCE
16.（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的 同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连 结BC．求∠AEB的大小；
（2）如图，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点
O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.
17.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
18.D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC, CA于点E,F。①当?MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 ②若AB=2，求四边形DECF的面积。
19.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°， 求证：AD平分∠CDE
20.在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC.求证：BG=FG
21.已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF； （2）EC⊥BF
22.?ABC是边长为3的等边三角形，?BDC是等腰三角形，且
?BDC?1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于
点M，交AC于点N，连接MN，求?AMN的周长。
如图，c是线段BD上一点，△ABC和△ECD都是等边三角形，R,F,G,H,分别是四边形ABDE各边中点，求证：四边形RFGH是菱形
如图，菱形ABCD中,角ABC=60°,E是BC延长线上一点,F是对角线AC上一点,AF=CE,连接BF、E
1),若AB=4,点F是AC边的中点，求BF的长；
2），若点F是AC边上任意一点（不与点A、C重合），求证：BF=EF
在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；
（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．
证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE， ∵AE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
（2）图2：BE=EF．图3：BE=EF． 图2证明如下：
过点E作EG∥BC，交AB于点G， ∵四边形ABCD为菱形，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
又∵CF=AE，
又∵∠BGE=∠ECF=120°，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
图3证明如下：
过点E作EG∥BC交AB延长线于点G， ∵四边形ABCD为菱形，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形， ∴AG=AE，
又∵CF=AE，
又∵∠BGE=∠ECF=60°， ∴△BGE≌△ECF（SAS）， ∴BE=EF．
范文九：证明之------直角三角形
一基础知识1.直角三角形全等的判定（1）SSS（2）SAS（3）ASA（4）AAS（5）HL
2.直角三角形的性质（1）两锐角互为余角（2）斜边的中线等于斜边的一半（3）①勾股定理及其逆定理；②勾股数及其规律性
（4）两种特殊的直角三角形的三边的比；（5）射影定理；（6） s=ab；5 四种命题的概念 21二典例分析1判断正误
（1）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（）（2）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）
（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等（）（4）有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等（
（5）有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等（
）（6）有两边和第三边的中线对应相等的两个三角形全等（
（7）周长和面积对应相等的两个三角形全等（
）（8）边与角中，有五个元素分别相等的两个三角形全等（
2请判断满足下列条件的的直角三角形是否全等，若全等，请在括号内加注理由：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等（）（2）一个锐角和锐角相邻的一条直角边对应相等（）（3）一个锐角和一斜边对应相等（）
（4）两直角边对应相等（）（5）两边对应相等（）（6）两锐角对应相等（）（7）一锐角和一边对应相等（）
3如图，△ABC中∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB=8，求AC的长．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；
（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．
5如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，
AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC． 216．如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=4，D是AC边 上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，
（1）求证：
，HG=y．求y关于x
的函数解析式，并写出x的取值范围． 交线段BC于点E，点F是线段EC的中点，作DH⊥DF，交射线AB
7（中招展示）（
1）（12河北）如图7-1，
AB、CD相交于点O，
AC⊥CD于点C，若∠
BOD=38°，则∠A=____
）（12鸡西）Rt△ABC
中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°
，点P是直线AB上不同于A
、B的一点，
且∠ACP=30°，则PB的长为 _____
（3）（12济宁）如图7-3，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，
交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）A．-4和-3之间B．3和4之间C．-5和-4之间D．4和5之间
（4）（12怀化）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7
（5）（12新疆）如图所示7-5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，
其中两个半圆的面积S1= 25
8，S2=2π，则S3是 ____ （6）（12黔西南州）如图7-6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为 _______
（7）（12莱芜）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，则BP（8）（07河南）如图7-8，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C．
若∠AOB=60°，OC=4，则点P到OA的距离PD等于_____
（9）（05海淀区）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）
垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
①请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
（10）（08江西）如图7-10，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；
①求证：B′E=BF；
②设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
8 （1）如图8-1，在?ABC中，②在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值． AD?BC于Ｄ，
?ABC?2?C，求证：AC2?AB2?AB?BC
（2）如图8-2，四边形ＡＢＣＤ是一个梯形，
ＣＤ＝７，Ｍ是ＡＤ的中点，MNAB?CD，?ABC?９０°，ＡＢ＝９，ＢＣ＝８， ?AD，求ＢＮ长.
（3）如图8-3，?ABC是等腰直角三角形，CA＝CB，D是斜边AB的中点，E、F分别在AC、BC上，
且DE?DF，若BF＝12，AE＝5，求?DEF的面积.
（4）如图8-4，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，
M、N分别是边BD、AC的中点．
①求证：MN⊥AC；②当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长．
三随堂练习
1.如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30°角，
如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A．10m B．15m C．5m D．20m 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（
）A．0个B．1个C．2个D．3个 3如图（3），AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A=20°，则∠CEF等于（）A．110°B．100°C．80°D．70 4若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）
A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形
5如图（5）△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∠EPF=90°，给出四个结论①∠B=∠BAP；
②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPF= △ABC，其中成立的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个 21 6将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB=10cm，则阴影部分的面积是 ____cm2．
7如图（7）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，
连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．求证：EG=CG．
8如图（8）所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．作AB的中垂线l分别交AB、AC
及BC的延长线于点D、E、F，连接BE． 求证：EF=2DE．
D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，
则GH的长等于 _____cm．
3如图3-1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．过点C作CC1⊥AB于C1，
过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此作发进行下去，则ACn4三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm，则最小边的长是 _____cm．
5如图5-1，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC=4，则PD等于______
6．在△ABC中，已知∠B=30°，AB=6cm，则BC边上的高为 ____cm．
7．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是 ____cm． 8．△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA延长线上取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离等于 9．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＜AC，若BCoAC=，则∠A= _____度． 412
10．如图10-1，四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=4，CD=2，则BC= _____
11．房梁的一部分如图11-1，其中AC⊥BC，∠A=30°，AB=7.4m，点D是AB的中点，
且DE⊥AC，垂足为E，则BC= _____m，DE= _____m．
12. 有一个等腰三角形一腰上的高度是腰长的一半，则此等腰三角形的顶角是 ___度．
13.如图13-1上午8时，一条轮船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，
10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°，
问以同样的速度继续前行，则上午 ____时轮船与灯塔C距离最近．
14.如图14-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．
范文十：5.5三角形内角和定理（1）
一．学习目标
（1）会证明“三角形内角和定理”，体会证明中辅助线的作用，尝试用多种方法证明三
角形内角和定理。
（2）通过小组合作探究、展示质疑，体会转化与化归思想。
（3）养成严谨、规范的数学学习习惯。
二．学习重难点：
重点：三角形内角和定理的证明思路及应用。 难点：三角形内角和定理的证明方法。
三．学习过程：
1．课前准备（成功者的钥匙）
⑴“三角形内角和是180°”如何验证的？
⑵平行线的性质(结合图形符号表示)
⑶回忆以前学过的与180°有关的结论。
⑷画图练习：
①延长线段AB
②如图：过点A作直线BC的平行线
③如图：在AB的另一侧作∠ABD等于∠A
（备用图1）
（备用图2）
2．课内探究：
活动一 ： 合作探究
已知：如图△ABC
求证：∠ A + ∠B + ∠C = 180°
活动二：即时练习
⑴在△ABC中，∠A = 80°，∠B =60°则 ∠C =
⑵在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C ，则 ∠B =
⑶在△ABC中，∠A
= ∠B = ∠C ，则 ∠B =
⑷已知：如图，则∠A等于（
⑸如图所示,∠B=∠D,则∠AED与∠ACB的关系是(
A.∠AED>∠ACB
B.∠AED<∠ACB；
C.∠AED=∠ACB
D.无法确定 ⑹.下列叙述正确的是(
A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；
B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；
C.三角形中至少有两个锐角；
D.三角形中至少有一个锐角. ⑺已知：如图， 四边形ABCD
求证：∠ A+∠B+ ∠C+∠D=360°
3.自我总结：
⑴知识方面：
⑵数学思想方法：