& 二面角的平面角及求法知识点 & “如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=...”习题详情
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如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：B′C∥平面A′PE．（Ⅱ）设APPB=λ，当λ为何值时，二面角C-A′B′-P的大小为60°？
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2013-嘉兴二模
分析与解答
习题“如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面...”的分析与解答如下所示：
（I）利用线面平行的判定定理即可证明FC∥平面A'PE．再利用线面垂直的性质定理即可证明B′F∥A′E，进而得到B'F∥平面A'PE．利用面面平行的判定定理即可得到平面B'CF∥平面A'PE，从而得到线面平行；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
（Ⅰ）证明：∵FC∥PE，FC?平面A'PE，∴FC∥平面A'PE．∵平面A'PE⊥平面ABC，且A'E⊥PE，∴A'E⊥平面ABC．同理，B'F⊥平面ABC，∴B'F∥A'E，从而B'F∥平面A'PE．∴平面B'CF∥平面A'PE，从而B'C∥平面A'PE．（Ⅱ）以C为原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．则C（0，0，0），A′(0，aλ+1，λaλ+1)，B′(λaλ+1，0，aλ+1)，P(λaλ+1，aλ+1，0)．∴CA′=(0，aλ+1，λaλ+1)，A′B′=(λaλ+1，-aλ+1，(1-λ)aλ+1)，B′P=(0，aλ+1，-aλ+1)．平面CA'B'的一个法向量m=(1λ，λ，-1)，平面PA'B'的一个法向量n=(1，1，1)．由|mon||m||n|=|1λ+λ-1|√1λ2+λ2+1o√3=cos60°=12，化简得1λ2+λ2-8λ-8λ+9=0，解得λ=7±3√52．
熟练掌握线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、面面平行的判定与性质定理、线面平行、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角得出二面角的方法等是解题的关键．
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如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′P...
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经过分析，习题“如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面...”主要考察你对“二面角的平面角及求法”
等考点的理解。
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二面角的平面角及求法
与“如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面...”相似的题目：
如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥面ACE．（1）求证：AE⊥BC；（2）若点N为线段AB的中点，求证：MN∥面ADE；（3）若&BE=4，CE=，且二面角A-BC-E的大小为45&，求三棱锥C-ABE的体积．&&&&
如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90&，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90&，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBO；（Ⅱ）求二面角A-PF-E的正切值．&&&&
如图正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（I）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．&&&&
“如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=...”的最新评论
该知识点好题
1（2013o四川）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．（I）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（II）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A-A1M-N的余弦值．
2（2011o湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；（Ⅱ）设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值．
3如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1　　中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角，AA1=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点．E是线段BC1上一点，且BE=13BC1．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小．
该知识点易错题
1如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=√6，AD=√3，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD到平面PBC的距离；（2）求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．（3）求三棱锥P-ECD的体积．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：B′C∥平面A′PE．（Ⅱ）设AP/PB=λ，当λ为何值时，二面角C-A′B′-P的大小为60°？”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：B′C∥平面A′PE．（Ⅱ）设AP/PB=λ，当λ为何值时，二面角C-A′B′-P的大小为60°？”相似的习题。【解答】解：(1) BC与⊙O相切，理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD.
又∵∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC； …………………………………………2分
∴∠BDO=∠C=90°，
∴BC与⊙O相切. ……………………………………4分
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r，OB= r+2.
由（1）知∠BDO=90°，
∴OD2+BD2=OB2，即r2+(2)2=( r+2)2，
解得 r=2. …………………………………………5分
∵tan∠BOD===,
∴∠BOD=60°. …………………………………7分
S阴影=S△OBD-S扇形BDF=×OD×BD-×πr2=2-π.
………………………………….9分
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如图，在△ABC中∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，，求：（1）DC的长；（2）sinB的值．
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（1）在直角△ACD中，=，因而可以设CD=3x，AD=5x，根据勾股定理得到AC=4x，则BC=AD=5x，∵BD=4，∴5x-3x=4，解得x=2，因而BC=10，AC=8，CD=6；（2）在直角△ABC中，根据勾股定理得到AB=2，∴sinB===．
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本题考点：
解直角三角形．
考点点评：
本题主要考查了三角函数的定义，正确求出图形中的线段的长是解决本题的关键．
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已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E．若∠A=30°，DE=2，求∠DBC的度数和CD的长．
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提问人：匿名网友
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已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E．若∠A=30°，DE=2，求∠DBC的度数和CD的长．
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1如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．（1）若∠C=75°，则∠A=______°；（2）若BC=3，则△BCE的周长是8，则AC=______．2如图，D是线段AB，BC的垂直平分线的交点，若∠ABC=50°，则∠ADC的大小是（　　）A．100°B．115°C．130°D．150°3已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（　　）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定4如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAD=3：1，则∠B=______．
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＞＞＞△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=13，则sin∠BAC=______．..
△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=13，则sin∠BAC=______．
题型：填空题难度：中档来源：浙江
如图设AC=b，AB=c，CM=MB=a2，∠MAC=β，在△ABM中，由正弦定理可得a2sin∠BAM=csin∠AMB，代入数据可得a213=csin∠AMB，解得sin∠AMB=2c3a，故cosβ=cos（π2-∠AMC）=sin∠AMC=sin（π-∠AMB）=sin∠AMB=2c3a，而在RT△ACM中，cosβ=ACAM=b(a2)2+b2，故可得b(a2)2+b2=2c3a，化简可得a4-4a2b2+4b4=（a2-2b2）=0，解之可得a=2b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=3b，故在RT△ABC中，sin∠BAC=BCAB=ac=2b3b=63，故答案为：63
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据魔方格专家权威分析，试题“△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=13，则sin∠BAC=______．..”主要考查你对&&正弦定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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