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在二进制里.1加1等于几
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逢2进1，就像十进制逢10进1一样，所以二进制1+1=10十进制数转换为2进制数，可通过余数反向求得。例如：十进制18转换为2进制18÷2=9…… 0
9÷2=4…… 1 4÷2=2……02÷2=1…… 0从最后一个除式的商开始，余数从下往上排，就得到10010
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11是3，1是1，所以结果是4。4的二进制是100
在二进制里.1加1等于=(10)2
二进制逢二进一1+1=10
1+1=2(10进制)=10（2进制）你可以理解为1+1满足2进制限制于是往高位进一，就像5+5的和的个位满足十进制的限制于是往十位进一一样
二进制运算法则：0+0=0 ；
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回答问题，赢新手礼包1加1等于你. 是什么意思_百度知道
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1加1等于你. 是什么意思
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呵呵，是相互之间的情趣话。增加彼此的热度。
你爸爸加你妈妈有了你
爸爸和妈妈生下了你
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回答问题，赢新手礼包1-1+1-1...... 无数个1相加减【奥数吧】_百度贴吧
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1-1+1-1...... 无数个1相加减收藏
无数个1相加减。答案或许会是1，或许会是0。但是结果是1/2。
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运算律只适用于有限情况，不能随意用于无限（项）的情况。这由自然数公理化所限定2º
在无限的情况下，运算律适用的充分条件是无穷（例如级数）要绝对收敛3º
在无限的情况下随意运用运算律几乎可以得到任意的结果。就本题而言结果可以是任何自然数
为啥1-S=S 你确定相等吗？ 仔细想下 这是陷阱吧 就算无数多个 那也是不相等滴我是用小学生思想来解释 当然用大学的数学思想那就是楼上了！
……举个例子吧…你有1000亿，整整的，现在再多给你1快…你觉得这1块根本无足轻重，完全可以忽略不计…但是，你的确是更富有了…你这个式子也一样，你平白无故多了个1，怎么猛等效？3楼的意思就是说无限跟有限的概念是不能混淆的…但这个式子答案只能是1或0
右边s和左边s并不等同呀（式子或许无穷，但s不就两种结果嘛）
使用交换律将前K个“+1”移到首位、结合起来；再从第K+1个“+1”开始向后把所有的“+1”都向前移动K位，然后将“+1”和“-1”结合起来。这样只需使用所谓的“交换律”和“结合律”就构成无限式：（1+…+1）+（1-1）+（1-1）+…；用“1—1”可证明“+1”和“-1”在变换前后既没增加也没减少（Hilbert旅馆）。于是对上式计算：K+0+0+…，结果为K。 另外，你的1/2计算是根本错误的！首先，S是个什么东西？是那个无限式的简化的替代符号，还是表示那个无限式的值？它要参加运算就必须是数，因此就必须首先证明S是个数：1°有值，2°能进行运算（＋－×÷）且满足运算律（结合、交换或是分配）。事实上S根本就不是个数，因为那个无限式根本没有值。其次，你把它当成数进行＋－×÷和移项，又这是怎么做的？有何根据？不能随便将有限的性质想当然地用于无限！ 莱布尼兹（Leibniz，他非常关心中国文化，特别把中国古代数学提到很高的地位，除他之外后来的英国罗素Russell是第二个人）就曾将这个无限式诙谐地取值：既然结果是0和1，那就取平均值1/2更适合概率。
我认为楼主的证明是正确的。就因为可能是1可能是0，两者的概率相同，所以这无限次的可能汇集起来必然是趋近于中间值1/2
发扬彻底娱乐精神，提高大众娱乐水平！娱乐科学，科学娱乐！ 1。 【求证】1-1+1-1+1-1+…… = 1/2　　【证】　　　令：S1 = 1-1+1-1+1-1+……　　　则：1-S1 = 1-(1-1+1-1+1-1+……) = 1-1+1-1+1-1+…… = S1　　　得：1-S1 = S1　　　　　S1 = 1-1+1-1+1-1+…… = 1/2　　　证毕。
2。 【求证】1+2+3+4+5+…… = -1/12　　【证】　　　令：S2 = 1-2+3-4+5-6+……　　　则：S2-S1 = (1-2+3-4+5-6+……)-(1-1+1-1+1-1+……)　　　　　　　　= (1-1)+(-2+1)+(3-1)+(-4+1)+(5-1)+(-6+1)+……　　　　　　　　= 0-1+2-3+4-5+……　　　　　　　　= -(1-2+3-4+5+……)　　　　　　　　= -S2　　　得：S2-S1 = -S2，S2 = 1/4　　　令：S3 = 1+2+3+4+5+……　　　则：S3-S2 = (1+2+3+4+5+6+……)-(1-2+3-4+5-6+……)　　　　　　　　= (1-1)+(2+2)+(3-3)+(4+4)+(5-5)+(6+6)+……　　　　　　　　= 4+8+12+……　　　　　　　　= 4(1+2+3+……)　　　　　　　　= 4S3　　　得：S3-S2 = 4S3，S3 = -S2/3 = -1/12　　　证毕。
3。 【求证】1+1+1+1+1+…… = 0　　【证】　　　令：S4 = 1+1+1+1+1+……　　　因：S3 = 1+2+3+4+5+……= -1/12　　　即：0+S3 = 0+1+2+3+4+……= -1/12　　　两式相减：(1+2+3+4+5+……)+(0-1+2+3+4+……)　　　　　　　= (1-0)+(2-1)+(3-2)+(4-3)+(5-4)+……　　　　　　　= 1+1+1+1+1+……　　　　　　　= (-1/12)-(-1/12)　　　　　　　= 0　　　得：S4 = 1+1+1+1+1+……= 0　　　证毕。
4。 【求证】1 = 0　　【证】　　　因：S4 = 1+1+1+1+1+……= 0　　　即：0+S4 = 0+1+1+1+1+……= 0　　　两式相减：(1+1+1+1+1+……)-(0+1+1+1+1+……)　　　　　　　= (1-0)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+……　　　　　　　= 1+0+0+0+0+……　　　　　　　= 0-0　　　　　　　= 0　　　得：1 = 0　　　证毕。5。 【求证】任意数 = 0　　【证】　　　设：x = 任意数　　　因：1 = 0　　　故：x = x*1 = x*0 = 0　　　所以：万物皆为零，万物皆不存在！　　　证毕。
级数S： a1+a2+a3+… 是它的部分和序列L： a1,a1+a2,a1+a2+a3,… 的极限形式；级数求和就是求序列L的极限。（极限是高中必学的知识）序列有无极限的充要条件是序列的所有子序列都有相同的极限（这是一年级高数第一个月内必学的知识，而且它贯串整个高数）。∑(-1)^n 的部分和之一子序列1,1,1… 的极限是1，另一个子序列0,0,0,… 的极限是0，所以∑(-1)^n没有和（数值）。这是板上钉钉的！它当然不等于1、0更不等于1/2或其它。反过来说，如果L中根本不存在极限为1/2或其它的子序列，那么∑绝不会是1/2或这其它。一个级数可以任意对有限项经行结合、交换、分配率；一个绝对收敛的级数才能任意对无限项进行结合、交换、分配率。（这是一年级下学期必学的知识）数0.999… 是级数0.9+0.09+0.009+… ，它是收敛于1的，当然是绝对地收敛，因为它的部分和序列0.9,0.9+0.09, 0.9+0.09+0.009,… 有极限1。这也是板上钉钉的。 有人认为0.999…≠1，那要看他是哪个层次的。无论是在超实数上还是在标实数上都是绝对等1，因为0.999…中的“…”表示了极限状态。当然小学阶段允许他认为不等，而且这也是积极的思维，他会举出庄子经典语录“一尺之捶，日取其半，万世不竭”。 康托和戴德金关于实数及其连续性的理论中，首先定义实数和它的运算，继而证明它的运算律（符合有理数域的）并给出运算的方法，从而完成了实数的连续性，对数系进行了严密扩充。从此，实数便是数像自然数那样能与其它数自由运算。以上都是数学最最基本的东西。
那些说我那个做法错误的请在这里给出说法，我会帮忙解释，上面太多太杂了，看不清。
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希望同学们不要用自己固有的知识看待新的问题，否则吐槽之后，其实你不知道自己错过了什么
以前也有人拿这个无限项目和来骗人呢，他叫格兰第，是一位僧侣兼数学家，生活在意大利。他以这个无限项目和来证明，神可以从虚无创造万物。假设x为这个式子的代数和，则:x=1-1+1-1+1-1+...然后加括号x=(1-1)+(1-1)+..x=0+0+0+...x=0另一种加括号法x=1-(1-1)+（1-1）+...x=1-0+0-0+0...x=0又一种加括号法。x=1-（1-1+1-1+1-...）=1-x这其实实在利用无限项目和的特殊性在骗人。
我知道！！！
其实不是我没有那些数学家证明这个级数的方法，我当时发这个帖子也不是说要在小学奥数吧讨论大学内容的数学。我是觉得这个证明是显而易见的。不知道大家生出了这么多不同的意见。
这个是一个叫cesaro的一个数学家的证明，利用不收敛级数的求和方式。求出部分和的平均值，可以看出这个级数的和趋向于1/2
这个是一个叫abel的数学家的证明，用阿贝尔定理推导出来
看到20-22楼的内容，还真从未听说过，这才知道1楼的帖子乃有意而来。但是，基本弄懂了21-22楼“那些数学家证明这个级数的方法”（此为20楼的原话）后，就会明白：21-22楼的内容与1楼的证明毫无关系，实在是两回事。为什么这么说呢？这还真不是三言两语能说清楚的。因为这属于纯数学和高等物理理论的范畴，即使是数学和高等物理的研究生，如果不专门从事这方面的研究，也未必很了解。楼主发起此贴，想来有两种可能：一是出于偶然原因知道1-1+1-1+…… = 1/2说法的存在是有某种依据的，但并不清楚其来历细节和内在意义，发到贴吧上告知吧友。二是已经研读并基本理解和熟悉了相关知识，发到贴吧上进行科普。从楼主在1楼贴出的证明过程和在20楼写的“那些数学家证明这个级数的方法”这句话来看，斗胆妄猜，应该是第一种可能性大。下面献丑，先给出21-22楼英文内容的英/中文对照。-------------------------------------------------------------英文原文Summationof Grandi's seriesThe formal manipulations that lead to 1&#x−1+··· being assigned a value of 1⁄2 include:● Adding or subtracting two series term-by-term,● Multiplying through by a scalar term-by-term,● &Shifting& the series with no change in the sum, and● Increasing the sum by adding a new term to the series' head.These are all legal manipulations for sumsof convergent series, but 1 − 1 + 1 − 1 + · · · is not a convergent series.Nonetheless, there are many summationmethods that respect these manipulationsand that do assign a &sum&to Grandi's series. Two of the simplest methods are Cesàro summation and Abelsummation. CesàrosumThe first rigorous method for summingdivergent series was published by Ernesto Cesàro in 1890. The basic idea issimilar to Leibniz's probabilistic approach: essentially, the Cesàro sum of aseries is the average of all of its partial sums. Formally one computes, foreach n, the average σn of the first n partial sums, and takes the limit ofthese Cesàro means as n goes to infinity.For Grandi's series, the sequence ofarithmetic means is 1, 1&#x&#x&#x&#x&#x&#x⁄8, …or, more suggestively, (1&#x⁄2), 1&#x&#x⁄6), 1⁄2, (1&#x⁄10), 1⁄2, (1&#x⁄14), 1⁄2, …where σn = 1/2 for even n，andσn = 1/2+1/2n for odd n.This sequence of arithmetic means convergesto 1⁄2, so the Cesàro sum of ∑ak is 1⁄2.Equivalently, one says thatthe Cesàro limit of the sequence 1, -1, 1, -1, … is 1⁄2. AbelsumAbel summation is similar to Euler'sattempted definition of sums of divergent series, but it avoids Callet's and N.Bernoulli's objections by precisely constructing the functionto use. In fact,Euler likely meant to limit his definition to power series,[5] and in practicehe used it almost exclusively in a form now known as Abel's method.Given a series a0 + a1+ a2 + · · ·, one forms a new series a0 + a1x+ a2x2 + · · ·. If the latter series converges for 0 &x & 1 to a function with a limit as x tends to 1, then this limit is calledthe Abel sum of the original series, after Abel's theorem which guarantees thatthe procedure is consistent with ordinary summation.For Grandi's series one has
中文翻译：格兰迪级数求和给级数1-1+1−1+……赋予一个数值1/2的一般处理方法是：l
两两项相加或相减。l
每两项乘以一个系数。l
“移动”级数的项而不影响其总和。l
通过在级数前面增加新项来改变其总和。这些方法对于收敛级数的求和来说都是合法的，但1-1+1−1+……却不是一个收敛级数。不过，有许多求和方式能够一方面遵守这些方法，另一方面又确实能够给格兰迪级数赋予一个“和”，其中最简单的两个方法是切萨罗求和和阿贝尔求和。 切萨罗和第一个严谨的发散级数求和方法是恩纳斯托·切萨罗在1890年出版公布的，其基本思想类似于莱布尼兹的机率法：本质上，一个级数的切萨罗和就是其所有部分项和的平均值。其计算方法是：对于每个n，计算前n项和的平均值σn，把n趋向于无限大时这些切萨罗平均值的极限值做为切萨罗和。对于格兰迪级数，其部分项和的算术平均值数列为1,1/2,2/3,2/4,3/5,3/6,4/7,4/8,……，或者，最好写为(1/2+1/2),1/2,(1/2+1/6),1/2,(1/2+1/10),1/2,(1/2+1/14),1/2,……，这里，n为偶数时σn = 1/2，n为奇数时σn = 1/2+1/(2n)。这个算术平均值数列收敛于1/2，所以∑ak的切萨罗和为1/2。相应地，我们说，格兰迪数列1,-1,1,−1,……的切萨罗极限为1/2。阿贝尔和（此部分内容的翻译暂时省略）-------------------------------------------------------------理解了上面的内容，就知道为什么说“21-22楼的内容与1楼的证明毫无关系，实在是两回事”了。
在古代欧洲， 大家都是说地球是太阳系的中心， 到后来， 一个叫伽利略的站出来， 说太阳才是太阳系的中心， 当时他被罗马宗教处死了， 因为罗马宗教也是说他在&误人子弟”。但是伽利略错了吗？
在牛顿发现引力之前， 大家对与运动的物体会停下来的原因的解释是因为他们&累了” 但是他们是对的吗？牛顿解释说运动的物体会停下来是因为受到引力的影响，如果没有任何力加到运动的物体上， 那个物体会一直动下去。 就几百年前， 牛顿提出了时间的概念， 然后人们得出了一个结论，时间对宇宙事物都是绝对的， 时间不会停止， 只会一直往前。但是爱因斯坦提出相对论。 他说时间会因为速度而改变， 你移动的越快， 时间就走的越慢， 当你达到光速的时候， 时间就会停止。那他是要根据古人的思想来改变他的相对论， 还是根据相对论改变古人对宇宙的认知？你说我和oldmary 故弄玄虚混淆视听彰显自己，混淆真理颠倒黑白， 误人子弟?
古代人上面传下来的就一定百分百准确无误吗？我们不可以有自己的想法吗？如果每个人都是按照古代人传下来的东西，一点都不敢去质疑， 那科学和数学 还怎么进步？ 中国几千年历史在数学和科学上面的一大片空白也是有原因的。
（续）从十九世纪开始，数学家确定的级数收敛理论有：若级数收敛，则级数随意组合不改变其和；若级数绝对收敛，则级数随意变换项的位置不改变其和；若级数非绝对收敛，重新调整配置各项能得到你任意想要的和，包括无穷。并给出了好几种判别敛散的法则。 几位数学家还给出了几种常用的级数和的类型。他们都是从严格的极限理论、连续和收敛性理论上建立的。主要有：1º
按传统观念建立的Cauchy类型。 对常数项级数∑an，记部分和为Sk=a1+…+ak；若lim (Sk)=s (k→∞，s有限数)，就称s为级数的和，写成∑。这是直接对an求和。2º
按平均观念建立的Cesaro类型。 对常数项级数∑an，若lim(S1+…+Sk)/(1+k)=s (k→∞，s有限数) ，就称s为级数的Cesaro和，记为C∑。这里是先赋予平均观念缩项，注意它不再是∑了。3º
按函数项观念建立的Abel求和法，若∑(ak)x^k在x∈(0,1)满足lim∑(ak)x^k=s (x→1-0，s有限数)，称s为Abel和，记作A∑。注意A∑是对函数项级数求极限，不是按通常意义下的部分和极限，也不是函数项逐项取的极限去求和。这三种和有密切关系（略）。∑前的A、C不能省掉。可见这三种类型的和的原则都是先赋予理念、“构造”收敛，再用极限求，使之合法化，特意规避直接对发散级数求和的非法方式。 特别地，当0&x&1时，幂级数∑(-x)^n满足连续条件，有lim∑(-x)^n=lim1/(1+x)=1/2 (x→1-0，∑对n ▬ 0到∞)，将极限值1/2记作A∑(-1)^n。
注意“A∑(-1)^n”整体起记号作用，表示一个极限数值，不表示函数项逐项取x→1的极限再求和，这样的和是不收敛、不存在的。因而A∑(-1)^n也就不是1-1+1-1+… 至此“Cesaro和C∑”、“Abel和A∑”以及“A∑(-1)^n”就十分明确，不是楼主的直接对an求和意义！在发散的情况下直接对an求和就是错误。
澄清一下 ：我在24楼说“在21-22楼的内容中，切萨罗和阿贝尔并没有证明1-1+1-1+…… = 1/2。”我的意思只是说切萨罗和阿贝尔并没有“证明”1-1+1-1+…… = 1/2。但在21-22楼的内容中，切萨罗和阿贝尔也确实指出：1-1+1-1+…… = 1/2。这并不矛盾。如果读懂 了21-22楼的内容，就会明白：切萨罗和阿贝尔是根据自己发明的算法，“赋予”给无穷级数1-1+1-1+…… 一个值为1/2的&和&，而不是“证明”了1-1+1-1+……的和是1/2。也就是说：楼主说1-1+1-1+…… = 1/2，在数学中是确有其事的。再多说一点：1-2+3-4+5-6+……
= 1/4，1+2+3+4+5+…… = -1/12，和 1+1+1+1+…… = -1/2也是确有其事的。这是因为：就像数学家当初为解决负数开平方问题而发明出了并不实际存在的虚数，数学家也为解决发散级数的求和问题而发明出了并不实际存在的发散级数和。 而且，就像虚数后来得到了实际应用那样，发散级数求和近来也在理论物理前沿研究中得到了应用。但是，这与1楼的所谓证明是两回事。
@ oldmary :你上面说：“而是从实际应用的角度。”你说说发散级数的实际应用。楼主引用的是针对发散级数1+1-1+1-…
学过高等数学就明白了
谁说我是小尾巴！
@、oldmary： 下午我把我的问题和你的帖子及oldmary发言考下来交给老师寻求解答，老师看了扔给我说：“以后别看这些！一派胡言，回去好好学习课本里的基础知识。别受干扰。”，“这两人连最基本的数学理论和思想都搞不清楚。” 现在只好跟你拜拜了！
现在，继续说说关于1-1+1-1+1-1+…… = 1/2的问题。 （一）无穷级数的求和 无穷级数1-1+1-1+1-1+……被称为格兰迪级数（Grandi's series），其级数和忽而为1忽而为0，所以是一个发散级数。 那么，切萨罗和阿贝尔却计算出它的级数和等于1/2又是怎么回事呢？这就要回到至少100多年前说起。 对不同的无穷级数的求和，是很麻烦的事情，需要根据其具体特点采用各种不同的方法，可谓是千变万化。鉴于此，数学家们一直在研究各种无穷级数所共同存在的某些本质特性，试图利用这些特性寻找出一种万能算法，可以计算出任何一个具有收敛性的无穷级数的和。 这样的数学家有切萨罗、阿贝尔、拉马努金(Ramanujan)、柯西、黎曼，等等。他们都给出了自己的算法，其中，切萨罗算法最简单易懂（但最不完善），阿贝尔算法次之，其他人的算法更复杂（但更完善）。 这些算法都是先对被求和的级数进行某种形式的数学变换，然后计算出级数和。但也正是由于进行了数学变换，所以在能计算出收敛性级数的和之外，也使得一些发散性级数经变换后具有了收敛性，也能得到一个确定的“和”，尽管这个“和”事实上是不存在的。 本来，这样计算出的所谓发散性级数的“和”应当像解方程过程中产生的增根那样作为垃圾舍弃，但为了保持形式上的统一，数学家们还是让这个副产品保留了下来。而且既然它是由原来级数经变换得到的，自然就反映了原来级数的某种性质或规律，就像当年的虚数，或许以后有用。 （二）切萨罗求和算法用切萨罗算法计算一个具有收敛性的无穷级数a1+a2+a3+a4+a5+a6+……的和 S，要先计算出它前n项的所有部分和 Sk = a1+……+ak，(k=1,2,3,…,n)，然后计算这n个部分和的平均值Mn = (S1+S2+……+Sn)/n，当n趋于无穷时，Mn等于S。由此算法可知，级数的切萨罗和实际上是一种加权平均算术和。【实例1】1/2+1/4+1/8+1/16+…… = 1这是一个公比为1/2的等比数列。切萨罗求和算法的过程：1）先计算部分和 SkS1 = 1/2S2 = 1/2+1/4 = 3/4S3 = 1/2+1/4+1/8 = 7/8S4 = 1/2+1/4+1/8+1/16 = 15/16……2）再计算MnM1 = S1/1 = 1/2M2 = (S1+S2)/2= (1/2+3/4)/2 = 5/8M3 = (S1+S2+S3)/3= (1/2+3/4+7/8)/3 = 17/24M4 = (S1+S2+S3+S4)/4= (1/2+3/4+7/8+15/16)/4 = 49/64……继续算下去，就会知道n越大，Mn越趋近于1。【实例2】1/1*3-1/2*4+1/3*5-1/4*6+…… = 1/4切萨罗求和算法过程：M1 = S1/1 = 1/3M2 = (S1+S2)/2= (1/3+5/24)/2 = 13/48M3 = (S1+S2+S3)/3= (1/3+5/24+11/40)/3 = 49/180M4 = (S1+S2+S3+S4)/4= (1/3+5/24+11/40+7/30)/4 = 63/240……继续算下去，就会知道n越大，Mn越趋近于1/4。【实例3】4-4/3+4/5-4/7+…… = π切萨罗求和算法过程：M1 = S1/1 = 4M2 = (S1+S2)/2= (4+8/3)/2 = 10/3M3 = (S1+S2+S3)/3= (4+8/3+52/15)/3 = 152/45M4 = (S1+S2+S3+S4)/4= (4+8/3+52/15+304/105)/4 = 114/35……继续算下去，就会知道n越大，Mn越趋近于π。【实例4】格兰迪级数1-1+1-1+1-1+…… = 1/2切萨罗求和算法过程：M1 = S1/1 = 1M2 = (S1+S2)/2= (1+0)/2 = 1/2M3 = (S1+S2+S3)/3= (1+0+1)/3 = 2/3M4 = (S1+S2+S3+S4)/4= (1+0+1+0)/4 = 1/2M5 = (S1+S2+S3+S4+S5)/5= (1+0+1+0+1)/5 = 3/5M6 = (S1+S2+S3+S4+S5+S6)/6= (1+0+1+0+1+0)/6 = 1/2……继续算下去，就会知道n为偶数时，Mn=1/2，n为奇数时，Mn越来越趋近于1/2，所以，格兰迪级数的切萨罗和为1/2。
在这里先说一下吧， 免得招来一大堆喷子。我最早是在看关于26维空间的介绍， 里面有一个推论是用到了一个发散级数就是所有自然数的和=-1/12, 也就是1+2+3+4+5....=-1/12。 我觉得很不可思议， 然后就去找了一些关于这个的一些资料。知道了这个 1+2+3+4+5....=-1/12 可以通过用黎曼的zeta函数可以求出，当然， 应该还有别的方法。 其中有另一个方法就是用格蓝迪级数=1/2 （也就是1-1+1-1+1....=1/2）作为辅助，使用一些简单的算法就可以推导出。我当时也觉得这好像又有点神秘。 我当时有去看了一些关于格兰迪级数的介绍，发现了这个级数可以用一些简单的步骤就推导出等于1/2。 （就是一楼的那个步骤）。 然后我觉得这个挺有趣的, 应该小学生， 初中生就可以理解。然后我就在这个吧发表了这一个帖子。但是还有人说我故弄玄虚混淆视听彰显自己，混淆真理颠倒黑白， 误人子弟。我也不知道该怎么解释了，如果我真的要故弄玄虚， 我为什么不发那个所有自然数的和=-1/12。那个应该更有震撼力吧？因为那个根本不在小学生初中生的理解范围内。
（本楼是37楼的继续）以上4个计算实例中的前3个是收敛级数，可以看到切萨罗算法都准确地算出了原级数的实际级数和，而最后一个例子是发散级数，算出的1/2的结果对于原级数来说实际上是不存在的。（三）阿贝尔求和算法先把在24楼中省略掉的关于阿贝尔求和算法的中文译文贴在下面。-----------------------------------英文原文：Given a series a0 + a1+ a2 + · · ·, one forms a new series a0+ a1x+ a2x2 + · · ·. If thelatter series converges for 0 &x & 1 to a function with a limit as xtends to 1, thenthis limit is called the Abel sum of the original series, after Abel's theorem whichguarantees that the procedure is consistent with ordinary summation.ForGrandi's series one has中文译文：对于给定的级数a0+a1+a2+……，我们构造一个新级数a0+a1*x+a2*x^2+……，如果这个新级数当x在0&x&1的区间上趋向于1时能收敛到某个极限值，那么，根据阿贝尔定理，可以确定该过程与原级数求和是一致的，所以把这个极限值称为原级数的阿贝尔和。对于格兰迪级数，我们有：图片来自：unkown_walker的百度相册--------------------------------------由此可见，格兰迪级数的切萨罗和和阿贝尔和是一致的，都是1/2。【实例5】1-2+3-4+5-6+…… = 1/4阿贝尔求和算法过程：所以，1-2+3-4+5-6+…… = 1/4。如果使用切萨罗求和算法计算1-2+3-4+5-6+……，可知Mn是发散的，所以1-2+3-4+5-6+……存在阿贝尔和，却不存在切萨罗和。【实例6】1+2+3+4+5+6+…… = -1/12阿贝尔求和算法过程：所以，1+2+3+4+5+6+……不存在阿贝尔和。如果使用切萨罗求和算法计算1+2+3+4+5+6+……，可知Mn是发散的，所以1+2+3+4+5+6+……也不存在切萨罗和。但是，如果用拉马努金(Ramanujan)求和算法计算，1+2+3+4+5+6+……的和值为-1/12。【实例7】1+1+1+1+…… = -1/2阿贝尔求和算法过程：所以，1+1+1+1+……不存在阿贝尔和。如果使用切萨罗求和算法计算1+1+1+1+……，可知Mn是发散的，所以1+1+1+1+……也不存在切萨罗和。但是，1+1+1+1+……存在拉马努金和，其值为-1/2。实例4～7都是发散级数，竟然被这帮疯子数学家们弄出了级数和。比如实例5的级数1-2+3-4+5-6+……的和可能是负无穷：1-2+3-4+5-6+……=(1-2)+(3-4)+(5-6)+……= －∞也可能是正无穷：1-2+3-4+5-6+……= 1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+……= ∞但其阿贝尔和却是1/4。
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